ps_defs.ma

   1 (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||  This file is distributed under the terms of the
   8     \   /  GNU General Public License Version 2
   9      \ /
  10       V_______________________________________________________________ *)
  11
  12 include "lambda-delta/substitution/drop_defs.ma".
  13
  14 (* PARALLEL SUBSTITUTION ****************************************************)
  15
  16 inductive ps: lenv → term → nat → nat → term → Prop ≝
  17 | ps_sort : ∀L,k,d,e. ps L (⋆k) d e (⋆k)
  18 | ps_lref : ∀L,i,d,e. ps L (#i) d e (#i)
  19 | ps_subst: ∀L,K,V,U1,U2,i,d,e.
  20             d ≤ i → i < d + e →
  21             ↓[0, i] L ≡ K. 𝕓{Abbr} V → ps K V 0 (d + e - i - 1) U1 →
  22             ↑[0, i + 1] U1 ≡ U2 → ps L (#i) d e U2
  23 | ps_bind : ∀L,I,V1,V2,T1,T2,d,e.
  24             ps L V1 d e V2 → ps (L. 𝕓{I} V1) T1 (d + 1) e T2 →
  25             ps L (𝕓{I} V1. T1) d e (𝕓{I} V2. T2)
  26 | ps_flat : ∀L,I,V1,V2,T1,T2,d,e.
  27             ps L V1 d e V2 → ps L T1 d e T2 →
  28             ps L (𝕗{I} V1. T1) d e (𝕗{I} V2. T2)
  29 .
  30
  31 interpretation "parallel substritution" 'PSubst L T1 d e T2 = (ps L T1 d e T2).
  32
  33 (* Basic properties *********************************************************)
  34
  35 lemma subst_refl: ∀T,L,d,e. L ⊢ T [d, e] ≫ T.
  36 #T elim T -T //
  37 #I elim I -I /2/
  38 qed.
  39
  40 (* Basic inversion lemmas ***************************************************)
  41
  42 lemma ps_inv_bind1_aux: ∀d,e,L,U1,U2. L ⊢ U1 [d, e] ≫ U2 →
  43                         ∀I,V1,T1. U1 = 𝕓{I} V1. T1 →
  44                         ∃∃V2,T2. L ⊢ V1 [d, e] ≫ V2 &
  45                                  L. 𝕓{I} V1 ⊢ T1 [d + 1, e] ≫ T2 &
  46                                  U2 =  𝕓{I} V2. T2.
  47 #d #e #L #U1 #U2 #H elim H -H d e L U1 U2
  48 [ #L #k #d #e #I #V1 #T1 #H destruct
  49 | #L #i #d #e #I #V1 #T1 #H destruct
  50 | #L #K #V #U1 #U2 #i #d #e #_ #_ #_ #_ #_ #_ #I #V1 #T1 #H destruct
  51 | #L #J #V1 #V2 #T1 #T2 #d #e #HV12 #HT12 #_ #_ #I #V #T #H destruct /2 width=5/
  52 | #L #J #V1 #V2 #T1 #T2 #d #e #_ #_ #_ #_ #I #V #T #H destruct
  53 ]
  54 qed.
  55
  56 lemma subst_inv_bind1: ∀d,e,L,I,V1,T1,U2. L ⊢ 𝕓{I} V1. T1 [d, e] ≫ U2 →
  57                        ∃∃V2,T2. L ⊢ V1 [d, e] ≫ V2 &
  58                                 L. 𝕓{I} V1 ⊢ T1 [d + 1, e] ≫ T2 &
  59                                 U2 =  𝕓{I} V2. T2.
  60 /2/ qed.
  61
  62 lemma subst_inv_flat1_aux: ∀d,e,L,U1,U2. L ⊢ U1 [d, e] ≫ U2 →
  63                            ∀I,V1,T1. U1 = 𝕗{I} V1. T1 →
  64                            ∃∃V2,T2. L ⊢ V1 [d, e] ≫ V2 & L ⊢ T1 [d, e] ≫ T2 &
  65                                     U2 =  𝕗{I} V2. T2.
  66 #d #e #L #U1 #U2 #H elim H -H d e L U1 U2
  67 [ #L #k #d #e #I #V1 #T1 #H destruct
  68 | #L #i #d #e #I #V1 #T1 #H destruct
  69 | #L #K #V #U1 #U2 #i #d #e #_ #_ #_ #_ #_ #_ #I #V1 #T1 #H destruct
  70 | #L #J #V1 #V2 #T1 #T2 #d #e #_ #_ #_ #_ #I #V #T #H destruct
  71 | #L #J #V1 #V2 #T1 #T2 #d #e #HV12 #HT12 #_ #_ #I #V #T #H destruct /2 width=5/
  72 ]
  73 qed.
  74
  75 lemma subst_inv_flat1: ∀d,e,L,I,V1,T1,U2. L ⊢ 𝕗{I} V1. T1 [d, e] ≫ U2 →
  76                        ∃∃V2,T2. L ⊢ V1 [d, e] ≫ V2 & L ⊢ T1 [d, e] ≫ T2 &
  77                                 U2 =  𝕗{I} V2. T2.
  78 /2/ qed.