spare.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 include "LambdaDelta-1/theory.ma".
  18
  19 definition cbk:
  20  C \to nat
  21 \def
  22  let rec cbk (c: C) on c: nat \def (match c with [(CSort m) \Rightarrow m |
  23 (CHead c0 _ _) \Rightarrow (cbk c0)]) in cbk.
  24
  25 definition app1:
  26  C \to (T \to T)
  27 \def
  28  let rec app1 (c: C) on c: (T \to T) \def (\lambda (t: T).(match c with
  29 [(CSort _) \Rightarrow t | (CHead c0 k u) \Rightarrow (app1 c0 (THead k u
  30 t))])) in app1.
  31
  32 theorem lifts_inj:
  33  \forall (xs: TList).(\forall (ts: TList).(\forall (h: nat).(\forall (d:
  34 nat).((eq TList (lifts h d xs) (lifts h d ts)) \to (eq TList xs ts)))))
  35 \def
  36  \lambda (xs: TList).(TList_ind (\lambda (t: TList).(\forall (ts:
  37 TList).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq TList (lifts h d t) (lifts h
  38 d ts)) \to (eq TList t ts)))))) (\lambda (ts: TList).(TList_ind (\lambda (t:
  39 TList).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq TList (lifts h d TNil) (lifts
  40 h d t)) \to (eq TList TNil t))))) (\lambda (_: nat).(\lambda (_:
  41 nat).(\lambda (H: (eq TList TNil TNil)).H))) (\lambda (t: T).(\lambda (t0:
  42 TList).(\lambda (_: ((\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq TList TNil
  43 (lifts h d t0)) \to (eq TList TNil t0)))))).(\lambda (h: nat).(\lambda (d:
  44 nat).(\lambda (H0: (eq TList TNil (TCons (lift h d t) (lifts h d t0)))).(let
  45 H1 \def (eq_ind TList TNil (\lambda (ee: TList).(match ee in TList return
  46 (\lambda (_: TList).Prop) with [TNil \Rightarrow True | (TCons _ _)
  47 \Rightarrow False])) I (TCons (lift h d t) (lifts h d t0)) H0) in (False_ind
  48 (eq TList TNil (TCons t t0)) H1)))))))) ts)) (\lambda (t: T).(\lambda (t0:
  49 TList).(\lambda (H: ((\forall (ts: TList).(\forall (h: nat).(\forall (d:
  50 nat).((eq TList (lifts h d t0) (lifts h d ts)) \to (eq TList t0
  51 ts))))))).(\lambda (ts: TList).(TList_ind (\lambda (t1: TList).(\forall (h:
  52 nat).(\forall (d: nat).((eq TList (lifts h d (TCons t t0)) (lifts h d t1))
  53 \to (eq TList (TCons t t0) t1))))) (\lambda (h: nat).(\lambda (d:
  54 nat).(\lambda (H0: (eq TList (TCons (lift h d t) (lifts h d t0)) TNil)).(let
  55 H1 \def (eq_ind TList (TCons (lift h d t) (lifts h d t0)) (\lambda (ee:
  56 TList).(match ee in TList return (\lambda (_: TList).Prop) with [TNil
  57 \Rightarrow False | (TCons _ _) \Rightarrow True])) I TNil H0) in (False_ind
  58 (eq TList (TCons t t0) TNil) H1))))) (\lambda (t1: T).(\lambda (t2:
  59 TList).(\lambda (_: ((\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq TList (TCons
  60 (lift h d t) (lifts h d t0)) (lifts h d t2)) \to (eq TList (TCons t t0)
  61 t2)))))).(\lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H1: (eq TList (TCons
  62 (lift h d t) (lifts h d t0)) (TCons (lift h d t1) (lifts h d t2)))).(let H2
  63 \def (f_equal TList T (\lambda (e: TList).(match e in TList return (\lambda
  64 (_: TList).T) with [TNil \Rightarrow ((let rec lref_map (f: ((nat \to nat)))
  65 (d0: nat) (t3: T) on t3: T \def (match t3 with [(TSort n) \Rightarrow (TSort
  66 n) | (TLRef i) \Rightarrow (TLRef (match (blt i d0) with [true \Rightarrow i
  67 | false \Rightarrow (f i)])) | (THead k u t4) \Rightarrow (THead k (lref_map
  68 f d0 u) (lref_map f (s k d0) t4))]) in lref_map) (\lambda (x: nat).(plus x
  69 h)) d t) | (TCons t3 _) \Rightarrow t3])) (TCons (lift h d t) (lifts h d t0))
  70 (TCons (lift h d t1) (lifts h d t2)) H1) in ((let H3 \def (f_equal TList
  71 TList (\lambda (e: TList).(match e in TList return (\lambda (_: TList).TList)
  72 with [TNil \Rightarrow ((let rec lifts (h0: nat) (d0: nat) (ts0: TList) on
  73 ts0: TList \def (match ts0 with [TNil \Rightarrow TNil | (TCons t3 ts1)
  74 \Rightarrow (TCons (lift h0 d0 t3) (lifts h0 d0 ts1))]) in lifts) h d t0) |
  75 (TCons _ t3) \Rightarrow t3])) (TCons (lift h d t) (lifts h d t0)) (TCons
  76 (lift h d t1) (lifts h d t2)) H1) in (\lambda (H4: (eq T (lift h d t) (lift h
  77 d t1))).(eq_ind T t (\lambda (t3: T).(eq TList (TCons t t0) (TCons t3 t2)))
  78 (f_equal2 T TList TList TCons t t t0 t2 (refl_equal T t) (H t2 h d H3)) t1
  79 (lift_inj t t1 h d H4)))) H2)))))))) ts))))) xs).
  80
  81 theorem nfs2_tapp:
  82  \forall (c: C).(\forall (t: T).(\forall (ts: TList).((nfs2 c (TApp ts t))
  83 \to (land (nfs2 c ts) (nf2 c t)))))
  84 \def
  85  \lambda (c: C).(\lambda (t: T).(\lambda (ts: TList).(TList_ind (\lambda (t0:
  86 TList).((nfs2 c (TApp t0 t)) \to (land (nfs2 c t0) (nf2 c t)))) (\lambda (H:
  87 (land (nf2 c t) True)).(let H0 \def H in (and_ind (nf2 c t) True (land True
  88 (nf2 c t)) (\lambda (H1: (nf2 c t)).(\lambda (_: True).(conj True (nf2 c t) I
  89 H1))) H0))) (\lambda (t0: T).(\lambda (t1: TList).(\lambda (H: (((nfs2 c
  90 (TApp t1 t)) \to (land (nfs2 c t1) (nf2 c t))))).(\lambda (H0: (land (nf2 c
  91 t0) (nfs2 c (TApp t1 t)))).(let H1 \def H0 in (and_ind (nf2 c t0) (nfs2 c
  92 (TApp t1 t)) (land (land (nf2 c t0) (nfs2 c t1)) (nf2 c t)) (\lambda (H2:
  93 (nf2 c t0)).(\lambda (H3: (nfs2 c (TApp t1 t))).(let H_x \def (H H3) in (let
  94 H4 \def H_x in (and_ind (nfs2 c t1) (nf2 c t) (land (land (nf2 c t0) (nfs2 c
  95 t1)) (nf2 c t)) (\lambda (H5: (nfs2 c t1)).(\lambda (H6: (nf2 c t)).(conj
  96 (land (nf2 c t0) (nfs2 c t1)) (nf2 c t) (conj (nf2 c t0) (nfs2 c t1) H2 H5)
  97 H6))) H4))))) H1)))))) ts))).
  98
  99 theorem pc3_nf2_unfold:
 100  \forall (c: C).(\forall (t1: T).(\forall (t2: T).((pc3 c t1 t2) \to ((nf2 c
 101 t2) \to (pr3 c t1 t2)))))
 102 \def
 103  \lambda (c: C).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (H: (pc3 c t1
 104 t2)).(\lambda (H0: (nf2 c t2)).(let H1 \def H in (ex2_ind T (\lambda (t:
 105 T).(pr3 c t1 t)) (\lambda (t: T).(pr3 c t2 t)) (pr3 c t1 t2) (\lambda (x:
 106 T).(\lambda (H2: (pr3 c t1 x)).(\lambda (H3: (pr3 c t2 x)).(let H_y \def
 107 (nf2_pr3_unfold c t2 x H3 H0) in (let H4 \def (eq_ind_r T x (\lambda (t:
 108 T).(pr3 c t1 t)) H2 t2 H_y) in H4))))) H1)))))).
 109
 110 theorem pc3_pr3_conf:
 111  \forall (c: C).(\forall (t: T).(\forall (t1: T).((pc3 c t t1) \to (\forall
 112 (t2: T).((pr3 c t t2) \to (pc3 c t2 t1))))))
 113 \def
 114  \lambda (c: C).(\lambda (t: T).(\lambda (t1: T).(\lambda (H: (pc3 c t
 115 t1)).(\lambda (t2: T).(\lambda (H0: (pr3 c t t2)).(pc3_t t c t2 (pc3_pr3_x c
 116 t2 t H0) t1 H)))))).
 117
 118 axiom pc3_gen_appls_sort_abst:
 119  \forall (c: C).(\forall (vs: TList).(\forall (w: T).(\forall (u: T).(\forall
 120 (n: nat).((pc3 c (THeads (Flat Appl) vs (TSort n)) (THead (Bind Abst) w u))
 121 \to False)))))
 122 .
 123
 124 axiom pc3_gen_appls_lref_abst:
 125  \forall (c: C).(\forall (d: C).(\forall (v: T).(\forall (i: nat).((getl i c
 126 (CHead d (Bind Abst) v)) \to (\forall (vs: TList).(\forall (w: T).(\forall
 127 (u: T).((pc3 c (THeads (Flat Appl) vs (TLRef i)) (THead (Bind Abst) w u)) \to
 128 False))))))))
 129 .
 130
 131 axiom pc3_gen_appls_lref_sort:
 132  \forall (c: C).(\forall (d: C).(\forall (v: T).(\forall (i: nat).((getl i c
 133 (CHead d (Bind Abst) v)) \to (\forall (vs: TList).(\forall (ws:
 134 TList).(\forall (n: nat).((pc3 c (THeads (Flat Appl) vs (TLRef i)) (THeads
 135 (Flat Appl) ws (TSort n))) \to False))))))))
 136 .
 137
 138 inductive tys3 (g: G) (c: C): TList \to (T \to Prop) \def
 139 | tys3_nil: \forall (u: T).(\forall (u0: T).((ty3 g c u u0) \to (tys3 g c
 140 TNil u)))
 141 | tys3_cons: \forall (t: T).(\forall (u: T).((ty3 g c t u) \to (\forall (ts:
 142 TList).((tys3 g c ts u) \to (tys3 g c (TCons t ts) u))))).
 143
 144 theorem tys3_gen_nil:
 145  \forall (g: G).(\forall (c: C).(\forall (u: T).((tys3 g c TNil u) \to (ex T
 146 (\lambda (u0: T).(ty3 g c u u0))))))
 147 \def
 148  \lambda (g: G).(\lambda (c: C).(\lambda (u: T).(\lambda (H: (tys3 g c TNil
 149 u)).(insert_eq TList TNil (\lambda (t: TList).(tys3 g c t u)) (\lambda (_:
 150 TList).(ex T (\lambda (u0: T).(ty3 g c u u0)))) (\lambda (y: TList).(\lambda
 151 (H0: (tys3 g c y u)).(tys3_ind g c (\lambda (t: TList).(\lambda (t0: T).((eq
 152 TList t TNil) \to (ex T (\lambda (u0: T).(ty3 g c t0 u0)))))) (\lambda (u0:
 153 T).(\lambda (u1: T).(\lambda (H1: (ty3 g c u0 u1)).(\lambda (_: (eq TList
 154 TNil TNil)).(ex_intro T (\lambda (u2: T).(ty3 g c u0 u2)) u1 H1))))) (\lambda
 155 (t: T).(\lambda (u0: T).(\lambda (_: (ty3 g c t u0)).(\lambda (ts:
 156 TList).(\lambda (_: (tys3 g c ts u0)).(\lambda (_: (((eq TList ts TNil) \to
 157 (ex T (\lambda (u1: T).(ty3 g c u0 u1)))))).(\lambda (H4: (eq TList (TCons t
 158 ts) TNil)).(let H5 \def (eq_ind TList (TCons t ts) (\lambda (ee:
 159 TList).(match ee in TList return (\lambda (_: TList).Prop) with [TNil
 160 \Rightarrow False | (TCons _ _) \Rightarrow True])) I TNil H4) in (False_ind
 161 (ex T (\lambda (u1: T).(ty3 g c u0 u1))) H5))))))))) y u H0))) H)))).
 162
 163 theorem tys3_gen_cons:
 164  \forall (g: G).(\forall (c: C).(\forall (ts: TList).(\forall (t: T).(\forall
 165 (u: T).((tys3 g c (TCons t ts) u) \to (land (ty3 g c t u) (tys3 g c ts
 166 u)))))))
 167 \def
 168  \lambda (g: G).(\lambda (c: C).(\lambda (ts: TList).(\lambda (t: T).(\lambda
 169 (u: T).(\lambda (H: (tys3 g c (TCons t ts) u)).(insert_eq TList (TCons t ts)
 170 (\lambda (t0: TList).(tys3 g c t0 u)) (\lambda (_: TList).(land (ty3 g c t u)
 171 (tys3 g c ts u))) (\lambda (y: TList).(\lambda (H0: (tys3 g c y u)).(tys3_ind
 172 g c (\lambda (t0: TList).(\lambda (t1: T).((eq TList t0 (TCons t ts)) \to
 173 (land (ty3 g c t t1) (tys3 g c ts t1))))) (\lambda (u0: T).(\lambda (u1:
 174 T).(\lambda (_: (ty3 g c u0 u1)).(\lambda (H2: (eq TList TNil (TCons t
 175 ts))).(let H3 \def (eq_ind TList TNil (\lambda (ee: TList).(match ee in TList
 176 return (\lambda (_: TList).Prop) with [TNil \Rightarrow True | (TCons _ _)
 177 \Rightarrow False])) I (TCons t ts) H2) in (False_ind (land (ty3 g c t u0)
 178 (tys3 g c ts u0)) H3)))))) (\lambda (t0: T).(\lambda (u0: T).(\lambda (H1:
 179 (ty3 g c t0 u0)).(\lambda (ts0: TList).(\lambda (H2: (tys3 g c ts0
 180 u0)).(\lambda (H3: (((eq TList ts0 (TCons t ts)) \to (land (ty3 g c t u0)
 181 (tys3 g c ts u0))))).(\lambda (H4: (eq TList (TCons t0 ts0) (TCons t
 182 ts))).(let H5 \def (f_equal TList T (\lambda (e: TList).(match e in TList
 183 return (\lambda (_: TList).T) with [TNil \Rightarrow t0 | (TCons t1 _)
 184 \Rightarrow t1])) (TCons t0 ts0) (TCons t ts) H4) in ((let H6 \def (f_equal
 185 TList TList (\lambda (e: TList).(match e in TList return (\lambda (_:
 186 TList).TList) with [TNil \Rightarrow ts0 | (TCons _ t1) \Rightarrow t1]))
 187 (TCons t0 ts0) (TCons t ts) H4) in (\lambda (H7: (eq T t0 t)).(let H8 \def
 188 (eq_ind TList ts0 (\lambda (t1: TList).((eq TList t1 (TCons t ts)) \to (land
 189 (ty3 g c t u0) (tys3 g c ts u0)))) H3 ts H6) in (let H9 \def (eq_ind TList
 190 ts0 (\lambda (t1: TList).(tys3 g c t1 u0)) H2 ts H6) in (let H10 \def (eq_ind
 191 T t0 (\lambda (t1: T).(ty3 g c t1 u0)) H1 t H7) in (conj (ty3 g c t u0) (tys3
 192 g c ts u0) H10 H9)))))) H5))))))))) y u H0))) H)))))).
 193
 194 theorem ty3_gen_appl_nf2:
 195  \forall (g: G).(\forall (c: C).(\forall (w: T).(\forall (v: T).(\forall (x:
 196 T).((ty3 g c (THead (Flat Appl) w v) x) \to (ex4_2 T T (\lambda (u:
 197 T).(\lambda (t: T).(pc3 c (THead (Flat Appl) w (THead (Bind Abst) u t)) x)))
 198 (\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(ty3 g c v (THead (Bind Abst) u t))))
 199 (\lambda (u: T).(\lambda (_: T).(ty3 g c w u))) (\lambda (u: T).(\lambda (t:
 200 T).(nf2 c (THead (Bind Abst) u t))))))))))
 201 \def
 202  \lambda (g: G).(\lambda (c: C).(\lambda (w: T).(\lambda (v: T).(\lambda (x:
 203 T).(\lambda (H: (ty3 g c (THead (Flat Appl) w v) x)).(ex3_2_ind T T (\lambda
 204 (u: T).(\lambda (t: T).(pc3 c (THead (Flat Appl) w (THead (Bind Abst) u t))
 205 x))) (\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(ty3 g c v (THead (Bind Abst) u t))))
 206 (\lambda (u: T).(\lambda (_: T).(ty3 g c w u))) (ex4_2 T T (\lambda (u:
 207 T).(\lambda (t: T).(pc3 c (THead (Flat Appl) w (THead (Bind Abst) u t)) x)))
 208 (\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(ty3 g c v (THead (Bind Abst) u t))))
 209 (\lambda (u: T).(\lambda (_: T).(ty3 g c w u))) (\lambda (u: T).(\lambda (t:
 210 T).(nf2 c (THead (Bind Abst) u t))))) (\lambda (x0: T).(\lambda (x1:
 211 T).(\lambda (H0: (pc3 c (THead (Flat Appl) w (THead (Bind Abst) x0 x1))
 212 x)).(\lambda (H1: (ty3 g c v (THead (Bind Abst) x0 x1))).(\lambda (H2: (ty3 g
 213 c w x0)).(let H_x \def (ty3_correct g c v (THead (Bind Abst) x0 x1) H1) in
 214 (let H3 \def H_x in (ex_ind T (\lambda (t: T).(ty3 g c (THead (Bind Abst) x0
 215 x1) t)) (ex4_2 T T (\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(pc3 c (THead (Flat Appl)
 216 w (THead (Bind Abst) u t)) x))) (\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(ty3 g c v
 217 (THead (Bind Abst) u t)))) (\lambda (u: T).(\lambda (_: T).(ty3 g c w u)))
 218 (\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(nf2 c (THead (Bind Abst) u t))))) (\lambda
 219 (x2: T).(\lambda (H4: (ty3 g c (THead (Bind Abst) x0 x1) x2)).(let H_x0 \def
 220 (ty3_correct g c w x0 H2) in (let H5 \def H_x0 in (ex_ind T (\lambda (t:
 221 T).(ty3 g c x0 t)) (ex4_2 T T (\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(pc3 c (THead
 222 (Flat Appl) w (THead (Bind Abst) u t)) x))) (\lambda (u: T).(\lambda (t:
 223 T).(ty3 g c v (THead (Bind Abst) u t)))) (\lambda (u: T).(\lambda (_: T).(ty3
 224 g c w u))) (\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(nf2 c (THead (Bind Abst) u t)))))
 225 (\lambda (x3: T).(\lambda (H6: (ty3 g c x0 x3)).(let H7 \def (ty3_sn3 g c
 226 (THead (Bind Abst) x0 x1) x2 H4) in (let H_x1 \def (nf2_sn3 c (THead (Bind
 227 Abst) x0 x1) H7) in (let H8 \def H_x1 in (ex2_ind T (\lambda (u: T).(pr3 c
 228 (THead (Bind Abst) x0 x1) u)) (\lambda (u: T).(nf2 c u)) (ex4_2 T T (\lambda
 229 (u: T).(\lambda (t: T).(pc3 c (THead (Flat Appl) w (THead (Bind Abst) u t))
 230 x))) (\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(ty3 g c v (THead (Bind Abst) u t))))
 231 (\lambda (u: T).(\lambda (_: T).(ty3 g c w u))) (\lambda (u: T).(\lambda (t:
 232 T).(nf2 c (THead (Bind Abst) u t))))) (\lambda (x4: T).(\lambda (H9: (pr3 c
 233 (THead (Bind Abst) x0 x1) x4)).(\lambda (H10: (nf2 c x4)).(let H11 \def
 234 (pr3_gen_abst c x0 x1 x4 H9) in (ex3_2_ind T T (\lambda (u2: T).(\lambda (t2:
 235 T).(eq T x4 (THead (Bind Abst) u2 t2)))) (\lambda (u2: T).(\lambda (_:
 236 T).(pr3 c x0 u2))) (\lambda (_: T).(\lambda (t2: T).(\forall (b: B).(\forall
 237 (u: T).(pr3 (CHead c (Bind b) u) x1 t2))))) (ex4_2 T T (\lambda (u:
 238 T).(\lambda (t: T).(pc3 c (THead (Flat Appl) w (THead (Bind Abst) u t)) x)))
 239 (\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(ty3 g c v (THead (Bind Abst) u t))))
 240 (\lambda (u: T).(\lambda (_: T).(ty3 g c w u))) (\lambda (u: T).(\lambda (t:
 241 T).(nf2 c (THead (Bind Abst) u t))))) (\lambda (x5: T).(\lambda (x6:
 242 T).(\lambda (H12: (eq T x4 (THead (Bind Abst) x5 x6))).(\lambda (H13: (pr3 c
 243 x0 x5)).(\lambda (H14: ((\forall (b: B).(\forall (u: T).(pr3 (CHead c (Bind
 244 b) u) x1 x6))))).(let H15 \def (eq_ind T x4 (\lambda (t: T).(nf2 c t)) H10
 245 (THead (Bind Abst) x5 x6) H12) in (let H16 \def (pr3_head_12 c x0 x5 H13
 246 (Bind Abst) x1 x6 (H14 Abst x5)) in (ex4_2_intro T T (\lambda (u: T).(\lambda
 247 (t: T).(pc3 c (THead (Flat Appl) w (THead (Bind Abst) u t)) x))) (\lambda (u:
 248 T).(\lambda (t: T).(ty3 g c v (THead (Bind Abst) u t)))) (\lambda (u:
 249 T).(\lambda (_: T).(ty3 g c w u))) (\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(nf2 c
 250 (THead (Bind Abst) u t)))) x5 x6 (pc3_pr3_conf c (THead (Flat Appl) w (THead
 251 (Bind Abst) x0 x1)) x H0 (THead (Flat Appl) w (THead (Bind Abst) x5 x6))
 252 (pr3_thin_dx c (THead (Bind Abst) x0 x1) (THead (Bind Abst) x5 x6) H16 w
 253 Appl)) (ty3_conv g c (THead (Bind Abst) x5 x6) x2 (ty3_sred_pr3 c (THead
 254 (Bind Abst) x0 x1) (THead (Bind Abst) x5 x6) H16 g x2 H4) v (THead (Bind
 255 Abst) x0 x1) H1 (pc3_pr3_r c (THead (Bind Abst) x0 x1) (THead (Bind Abst) x5
 256 x6) H16)) (ty3_conv g c x5 x3 (ty3_sred_pr3 c x0 x5 H13 g x3 H6) w x0 H2
 257 (pc3_pr3_r c x0 x5 H13)) H15)))))))) H11))))) H8)))))) H5))))) H3))))))))
 258 (ty3_gen_appl g c w v x H))))))).
 259
 260 theorem ty3_inv_lref_nf2_pc3:
 261  \forall (g: G).(\forall (c: C).(\forall (u1: T).(\forall (i: nat).((ty3 g c
 262 (TLRef i) u1) \to ((nf2 c (TLRef i)) \to (\forall (u2: T).((nf2 c u2) \to
 263 ((pc3 c u1 u2) \to (ex T (\lambda (u: T).(eq T u2 (lift (S i) O u))))))))))))
 264 \def
 265  \lambda (g: G).(\lambda (c: C).(\lambda (u1: T).(\lambda (i: nat).(\lambda
 266 (H: (ty3 g c (TLRef i) u1)).(insert_eq T (TLRef i) (\lambda (t: T).(ty3 g c t
 267 u1)) (\lambda (t: T).((nf2 c t) \to (\forall (u2: T).((nf2 c u2) \to ((pc3 c
 268 u1 u2) \to (ex T (\lambda (u: T).(eq T u2 (lift (S i) O u))))))))) (\lambda
 269 (y: T).(\lambda (H0: (ty3 g c y u1)).(ty3_ind g (\lambda (c0: C).(\lambda (t:
 270 T).(\lambda (t0: T).((eq T t (TLRef i)) \to ((nf2 c0 t) \to (\forall (u2:
 271 T).((nf2 c0 u2) \to ((pc3 c0 t0 u2) \to (ex T (\lambda (u: T).(eq T u2 (lift
 272 (S i) O u)))))))))))) (\lambda (c0: C).(\lambda (t2: T).(\lambda (t:
 273 T).(\lambda (_: (ty3 g c0 t2 t)).(\lambda (_: (((eq T t2 (TLRef i)) \to ((nf2
 274 c0 t2) \to (\forall (u2: T).((nf2 c0 u2) \to ((pc3 c0 t u2) \to (ex T
 275 (\lambda (u: T).(eq T u2 (lift (S i) O u))))))))))).(\lambda (u: T).(\lambda
 276 (t1: T).(\lambda (H3: (ty3 g c0 u t1)).(\lambda (H4: (((eq T u (TLRef i)) \to
 277 ((nf2 c0 u) \to (\forall (u2: T).((nf2 c0 u2) \to ((pc3 c0 t1 u2) \to (ex T
 278 (\lambda (u0: T).(eq T u2 (lift (S i) O u0))))))))))).(\lambda (H5: (pc3 c0
 279 t1 t2)).(\lambda (H6: (eq T u (TLRef i))).(\lambda (H7: (nf2 c0 u)).(\lambda
 280 (u2: T).(\lambda (H8: (nf2 c0 u2)).(\lambda (H9: (pc3 c0 t2 u2)).(let H10
 281 \def (eq_ind T u (\lambda (t0: T).(nf2 c0 t0)) H7 (TLRef i) H6) in (let H11
 282 \def (eq_ind T u (\lambda (t0: T).((eq T t0 (TLRef i)) \to ((nf2 c0 t0) \to
 283 (\forall (u3: T).((nf2 c0 u3) \to ((pc3 c0 t1 u3) \to (ex T (\lambda (u0:
 284 T).(eq T u3 (lift (S i) O u0)))))))))) H4 (TLRef i) H6) in (let H12 \def
 285 (eq_ind T u (\lambda (t0: T).(ty3 g c0 t0 t1)) H3 (TLRef i) H6) in (let H_y
 286 \def (H11 (refl_equal T (TLRef i)) H10 u2 H8) in (H_y (pc3_t t2 c0 t1 H5 u2
 287 H9))))))))))))))))))))) (\lambda (c0: C).(\lambda (m: nat).(\lambda (H1: (eq
 288 T (TSort m) (TLRef i))).(\lambda (_: (nf2 c0 (TSort m))).(\lambda (u2:
 289 T).(\lambda (_: (nf2 c0 u2)).(\lambda (_: (pc3 c0 (TSort (next g m))
 290 u2)).(let H5 \def (eq_ind T (TSort m) (\lambda (ee: T).(match ee in T return
 291 (\lambda (_: T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow True | (TLRef _)
 292 \Rightarrow False | (THead _ _ _) \Rightarrow False])) I (TLRef i) H1) in
 293 (False_ind (ex T (\lambda (u: T).(eq T u2 (lift (S i) O u)))) H5)))))))))
 294 (\lambda (n: nat).(\lambda (c0: C).(\lambda (d: C).(\lambda (u: T).(\lambda
 295 (H1: (getl n c0 (CHead d (Bind Abbr) u))).(\lambda (t: T).(\lambda (_: (ty3 g
 296 d u t)).(\lambda (_: (((eq T u (TLRef i)) \to ((nf2 d u) \to (\forall (u2:
 297 T).((nf2 d u2) \to ((pc3 d t u2) \to (ex T (\lambda (u0: T).(eq T u2 (lift (S
 298 i) O u0))))))))))).(\lambda (H4: (eq T (TLRef n) (TLRef i))).(\lambda (H5:
 299 (nf2 c0 (TLRef n))).(\lambda (u2: T).(\lambda (_: (nf2 c0 u2)).(\lambda (H7:
 300 (pc3 c0 (lift (S n) O t) u2)).(let H8 \def (f_equal T nat (\lambda (e:
 301 T).(match e in T return (\lambda (_: T).nat) with [(TSort _) \Rightarrow n |
 302 (TLRef n0) \Rightarrow n0 | (THead _ _ _) \Rightarrow n])) (TLRef n) (TLRef
 303 i) H4) in (let H9 \def (eq_ind nat n (\lambda (n0: nat).(pc3 c0 (lift (S n0)
 304 O t) u2)) H7 i H8) in (let H10 \def (eq_ind nat n (\lambda (n0: nat).(nf2 c0
 305 (TLRef n0))) H5 i H8) in (let H11 \def (eq_ind nat n (\lambda (n0: nat).(getl
 306 n0 c0 (CHead d (Bind Abbr) u))) H1 i H8) in (nf2_gen_lref c0 d u i H11 H10
 307 (ex T (\lambda (u0: T).(eq T u2 (lift (S i) O u0))))))))))))))))))))))
 308 (\lambda (n: nat).(\lambda (c0: C).(\lambda (d: C).(\lambda (u: T).(\lambda
 309 (H1: (getl n c0 (CHead d (Bind Abst) u))).(\lambda (t: T).(\lambda (_: (ty3 g
 310 d u t)).(\lambda (_: (((eq T u (TLRef i)) \to ((nf2 d u) \to (\forall (u2:
 311 T).((nf2 d u2) \to ((pc3 d t u2) \to (ex T (\lambda (u0: T).(eq T u2 (lift (S
 312 i) O u0))))))))))).(\lambda (H4: (eq T (TLRef n) (TLRef i))).(\lambda (H5:
 313 (nf2 c0 (TLRef n))).(\lambda (u2: T).(\lambda (H6: (nf2 c0 u2)).(\lambda (H7:
 314 (pc3 c0 (lift (S n) O u) u2)).(let H8 \def (f_equal T nat (\lambda (e:
 315 T).(match e in T return (\lambda (_: T).nat) with [(TSort _) \Rightarrow n |
 316 (TLRef n0) \Rightarrow n0 | (THead _ _ _) \Rightarrow n])) (TLRef n) (TLRef
 317 i) H4) in (let H9 \def (eq_ind nat n (\lambda (n0: nat).(pc3 c0 (lift (S n0)
 318 O u) u2)) H7 i H8) in (let H10 \def (eq_ind nat n (\lambda (n0: nat).(nf2 c0
 319 (TLRef n0))) H5 i H8) in (let H11 \def (eq_ind nat n (\lambda (n0: nat).(getl
 320 n0 c0 (CHead d (Bind Abst) u))) H1 i H8) in (let H_y \def (pc3_nf2_unfold c0
 321 (lift (S i) O u) u2 H9 H6) in (let H12 \def (pr3_gen_lift c0 u u2 (S i) O H_y
 322 d (getl_drop Abst c0 d u i H11)) in (ex2_ind T (\lambda (t2: T).(eq T u2
 323 (lift (S i) O t2))) (\lambda (t2: T).(pr3 d u t2)) (ex T (\lambda (u0: T).(eq
 324 T u2 (lift (S i) O u0)))) (\lambda (x: T).(\lambda (H13: (eq T u2 (lift (S i)
 325 O x))).(\lambda (_: (pr3 d u x)).(eq_ind_r T (lift (S i) O x) (\lambda (t0:
 326 T).(ex T (\lambda (u0: T).(eq T t0 (lift (S i) O u0))))) (ex_intro T (\lambda
 327 (u0: T).(eq T (lift (S i) O x) (lift (S i) O u0))) x (refl_equal T (lift (S
 328 i) O x))) u2 H13)))) H12)))))))))))))))))))) (\lambda (c0: C).(\lambda (u:
 329 T).(\lambda (t: T).(\lambda (_: (ty3 g c0 u t)).(\lambda (_: (((eq T u (TLRef
 330 i)) \to ((nf2 c0 u) \to (\forall (u2: T).((nf2 c0 u2) \to ((pc3 c0 t u2) \to
 331 (ex T (\lambda (u0: T).(eq T u2 (lift (S i) O u0))))))))))).(\lambda (b:
 332 B).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (_: (ty3 g (CHead c0 (Bind b)
 333 u) t1 t2)).(\lambda (_: (((eq T t1 (TLRef i)) \to ((nf2 (CHead c0 (Bind b) u)
 334 t1) \to (\forall (u2: T).((nf2 (CHead c0 (Bind b) u) u2) \to ((pc3 (CHead c0
 335 (Bind b) u) t2 u2) \to (ex T (\lambda (u0: T).(eq T u2 (lift (S i) O
 336 u0))))))))))).(\lambda (H5: (eq T (THead (Bind b) u t1) (TLRef i))).(\lambda
 337 (_: (nf2 c0 (THead (Bind b) u t1))).(\lambda (u2: T).(\lambda (_: (nf2 c0
 338 u2)).(\lambda (_: (pc3 c0 (THead (Bind b) u t2) u2)).(let H9 \def (eq_ind T
 339 (THead (Bind b) u t1) (\lambda (ee: T).(match ee in T return (\lambda (_:
 340 T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow False |
 341 (THead _ _ _) \Rightarrow True])) I (TLRef i) H5) in (False_ind (ex T
 342 (\lambda (u0: T).(eq T u2 (lift (S i) O u0)))) H9))))))))))))))))) (\lambda
 343 (c0: C).(\lambda (w: T).(\lambda (u: T).(\lambda (_: (ty3 g c0 w u)).(\lambda
 344 (_: (((eq T w (TLRef i)) \to ((nf2 c0 w) \to (\forall (u2: T).((nf2 c0 u2)
 345 \to ((pc3 c0 u u2) \to (ex T (\lambda (u0: T).(eq T u2 (lift (S i) O
 346 u0))))))))))).(\lambda (v: T).(\lambda (t: T).(\lambda (_: (ty3 g c0 v (THead
 347 (Bind Abst) u t))).(\lambda (_: (((eq T v (TLRef i)) \to ((nf2 c0 v) \to
 348 (\forall (u2: T).((nf2 c0 u2) \to ((pc3 c0 (THead (Bind Abst) u t) u2) \to
 349 (ex T (\lambda (u0: T).(eq T u2 (lift (S i) O u0))))))))))).(\lambda (H5: (eq
 350 T (THead (Flat Appl) w v) (TLRef i))).(\lambda (_: (nf2 c0 (THead (Flat Appl)
 351 w v))).(\lambda (u2: T).(\lambda (_: (nf2 c0 u2)).(\lambda (_: (pc3 c0 (THead
 352 (Flat Appl) w (THead (Bind Abst) u t)) u2)).(let H9 \def (eq_ind T (THead
 353 (Flat Appl) w v) (\lambda (ee: T).(match ee in T return (\lambda (_: T).Prop)
 354 with [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow False | (THead _ _
 355 _) \Rightarrow True])) I (TLRef i) H5) in (False_ind (ex T (\lambda (u0:
 356 T).(eq T u2 (lift (S i) O u0)))) H9)))))))))))))))) (\lambda (c0: C).(\lambda
 357 (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (_: (ty3 g c0 t1 t2)).(\lambda (_: (((eq T
 358 t1 (TLRef i)) \to ((nf2 c0 t1) \to (\forall (u2: T).((nf2 c0 u2) \to ((pc3 c0
 359 t2 u2) \to (ex T (\lambda (u: T).(eq T u2 (lift (S i) O u))))))))))).(\lambda
 360 (t0: T).(\lambda (_: (ty3 g c0 t2 t0)).(\lambda (_: (((eq T t2 (TLRef i)) \to
 361 ((nf2 c0 t2) \to (\forall (u2: T).((nf2 c0 u2) \to ((pc3 c0 t0 u2) \to (ex T
 362 (\lambda (u: T).(eq T u2 (lift (S i) O u))))))))))).(\lambda (H5: (eq T
 363 (THead (Flat Cast) t2 t1) (TLRef i))).(\lambda (_: (nf2 c0 (THead (Flat Cast)
 364 t2 t1))).(\lambda (u2: T).(\lambda (_: (nf2 c0 u2)).(\lambda (_: (pc3 c0
 365 (THead (Flat Cast) t0 t2) u2)).(let H9 \def (eq_ind T (THead (Flat Cast) t2
 366 t1) (\lambda (ee: T).(match ee in T return (\lambda (_: T).Prop) with [(TSort
 367 _) \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow False | (THead _ _ _)
 368 \Rightarrow True])) I (TLRef i) H5) in (False_ind (ex T (\lambda (u: T).(eq T
 369 u2 (lift (S i) O u)))) H9))))))))))))))) c y u1 H0))) H))))).
 370
 371 theorem ty3_inv_lref_nf2:
 372  \forall (g: G).(\forall (c: C).(\forall (u: T).(\forall (i: nat).((ty3 g c
 373 (TLRef i) u) \to ((nf2 c (TLRef i)) \to ((nf2 c u) \to (ex T (\lambda (u0:
 374 T).(eq T u (lift (S i) O u0))))))))))
 375 \def
 376  \lambda (g: G).(\lambda (c: C).(\lambda (u: T).(\lambda (i: nat).(\lambda
 377 (H: (ty3 g c (TLRef i) u)).(\lambda (H0: (nf2 c (TLRef i))).(\lambda (H1:
 378 (nf2 c u)).(ty3_inv_lref_nf2_pc3 g c u i H H0 u H1 (pc3_refl c u)))))))).
 379
 380 theorem ty3_inv_appls_lref_nf2:
 381  \forall (g: G).(\forall (c: C).(\forall (vs: TList).(\forall (u1:
 382 T).(\forall (i: nat).((ty3 g c (THeads (Flat Appl) vs (TLRef i)) u1) \to
 383 ((nf2 c (TLRef i)) \to ((nf2 c u1) \to (ex2 T (\lambda (u: T).(nf2 c (lift (S
 384 i) O u))) (\lambda (u: T).(pc3 c (THeads (Flat Appl) vs (lift (S i) O u))
 385 u1))))))))))
 386 \def
 387  \lambda (g: G).(\lambda (c: C).(\lambda (vs: TList).(TList_ind (\lambda (t:
 388 TList).(\forall (u1: T).(\forall (i: nat).((ty3 g c (THeads (Flat Appl) t
 389 (TLRef i)) u1) \to ((nf2 c (TLRef i)) \to ((nf2 c u1) \to (ex2 T (\lambda (u:
 390 T).(nf2 c (lift (S i) O u))) (\lambda (u: T).(pc3 c (THeads (Flat Appl) t
 391 (lift (S i) O u)) u1))))))))) (\lambda (u1: T).(\lambda (i: nat).(\lambda (H:
 392 (ty3 g c (TLRef i) u1)).(\lambda (H0: (nf2 c (TLRef i))).(\lambda (H1: (nf2 c
 393 u1)).(let H_x \def (ty3_inv_lref_nf2 g c u1 i H H0 H1) in (let H2 \def H_x in
 394 (ex_ind T (\lambda (u0: T).(eq T u1 (lift (S i) O u0))) (ex2 T (\lambda (u:
 395 T).(nf2 c (lift (S i) O u))) (\lambda (u: T).(pc3 c (lift (S i) O u) u1)))
 396 (\lambda (x: T).(\lambda (H3: (eq T u1 (lift (S i) O x))).(let H4 \def
 397 (eq_ind T u1 (\lambda (t: T).(nf2 c t)) H1 (lift (S i) O x) H3) in (eq_ind_r
 398 T (lift (S i) O x) (\lambda (t: T).(ex2 T (\lambda (u: T).(nf2 c (lift (S i)
 399 O u))) (\lambda (u: T).(pc3 c (lift (S i) O u) t)))) (ex_intro2 T (\lambda
 400 (u: T).(nf2 c (lift (S i) O u))) (\lambda (u: T).(pc3 c (lift (S i) O u)
 401 (lift (S i) O x))) x H4 (pc3_refl c (lift (S i) O x))) u1 H3)))) H2))))))))
 402 (\lambda (t: T).(\lambda (t0: TList).(\lambda (H: ((\forall (u1: T).(\forall
 403 (i: nat).((ty3 g c (THeads (Flat Appl) t0 (TLRef i)) u1) \to ((nf2 c (TLRef
 404 i)) \to ((nf2 c u1) \to (ex2 T (\lambda (u: T).(nf2 c (lift (S i) O u)))
 405 (\lambda (u: T).(pc3 c (THeads (Flat Appl) t0 (lift (S i) O u))
 406 u1)))))))))).(\lambda (u1: T).(\lambda (i: nat).(\lambda (H0: (ty3 g c (THead
 407 (Flat Appl) t (THeads (Flat Appl) t0 (TLRef i))) u1)).(\lambda (H1: (nf2 c
 408 (TLRef i))).(\lambda (_: (nf2 c u1)).(let H_x \def (ty3_gen_appl_nf2 g c t
 409 (THeads (Flat Appl) t0 (TLRef i)) u1 H0) in (let H3 \def H_x in (ex4_2_ind T
 410 T (\lambda (u: T).(\lambda (t1: T).(pc3 c (THead (Flat Appl) t (THead (Bind
 411 Abst) u t1)) u1))) (\lambda (u: T).(\lambda (t1: T).(ty3 g c (THeads (Flat
 412 Appl) t0 (TLRef i)) (THead (Bind Abst) u t1)))) (\lambda (u: T).(\lambda (_:
 413 T).(ty3 g c t u))) (\lambda (u: T).(\lambda (t1: T).(nf2 c (THead (Bind Abst)
 414 u t1)))) (ex2 T (\lambda (u: T).(nf2 c (lift (S i) O u))) (\lambda (u:
 415 T).(pc3 c (THead (Flat Appl) t (THeads (Flat Appl) t0 (lift (S i) O u)))
 416 u1))) (\lambda (x0: T).(\lambda (x1: T).(\lambda (H4: (pc3 c (THead (Flat
 417 Appl) t (THead (Bind Abst) x0 x1)) u1)).(\lambda (H5: (ty3 g c (THeads (Flat
 418 Appl) t0 (TLRef i)) (THead (Bind Abst) x0 x1))).(\lambda (_: (ty3 g c t
 419 x0)).(\lambda (H7: (nf2 c (THead (Bind Abst) x0 x1))).(let H8 \def
 420 (nf2_gen_abst c x0 x1 H7) in (and_ind (nf2 c x0) (nf2 (CHead c (Bind Abst)
 421 x0) x1) (ex2 T (\lambda (u: T).(nf2 c (lift (S i) O u))) (\lambda (u: T).(pc3
 422 c (THead (Flat Appl) t (THeads (Flat Appl) t0 (lift (S i) O u))) u1)))
 423 (\lambda (H9: (nf2 c x0)).(\lambda (H10: (nf2 (CHead c (Bind Abst) x0)
 424 x1)).(let H_y \def (H (THead (Bind Abst) x0 x1) i H5 H1) in (let H11 \def
 425 (H_y (nf2_abst_shift c x0 H9 x1 H10)) in (ex2_ind T (\lambda (u: T).(nf2 c
 426 (lift (S i) O u))) (\lambda (u: T).(pc3 c (THeads (Flat Appl) t0 (lift (S i)
 427 O u)) (THead (Bind Abst) x0 x1))) (ex2 T (\lambda (u: T).(nf2 c (lift (S i) O
 428 u))) (\lambda (u: T).(pc3 c (THead (Flat Appl) t (THeads (Flat Appl) t0 (lift
 429 (S i) O u))) u1))) (\lambda (x: T).(\lambda (H12: (nf2 c (lift (S i) O
 430 x))).(\lambda (H13: (pc3 c (THeads (Flat Appl) t0 (lift (S i) O x)) (THead
 431 (Bind Abst) x0 x1))).(ex_intro2 T (\lambda (u: T).(nf2 c (lift (S i) O u)))
 432 (\lambda (u: T).(pc3 c (THead (Flat Appl) t (THeads (Flat Appl) t0 (lift (S
 433 i) O u))) u1)) x H12 (pc3_t (THead (Flat Appl) t (THead (Bind Abst) x0 x1)) c
 434 (THead (Flat Appl) t (THeads (Flat Appl) t0 (lift (S i) O x))) (pc3_thin_dx c
 435 (THeads (Flat Appl) t0 (lift (S i) O x)) (THead (Bind Abst) x0 x1) H13 t
 436 Appl) u1 H4))))) H11))))) H8)))))))) H3))))))))))) vs))).
 437
 438 theorem ty3_inv_lref_lref_nf2:
 439  \forall (g: G).(\forall (c: C).(\forall (i: nat).(\forall (j: nat).((ty3 g c
 440 (TLRef i) (TLRef j)) \to ((nf2 c (TLRef i)) \to ((nf2 c (TLRef j)) \to (lt i
 441 j)))))))
 442 \def
 443  \lambda (g: G).(\lambda (c: C).(\lambda (i: nat).(\lambda (j: nat).(\lambda
 444 (H: (ty3 g c (TLRef i) (TLRef j))).(\lambda (H0: (nf2 c (TLRef i))).(\lambda
 445 (H1: (nf2 c (TLRef j))).(let H_x \def (ty3_inv_lref_nf2 g c (TLRef j) i H H0
 446 H1) in (let H2 \def H_x in (ex_ind T (\lambda (u0: T).(eq T (TLRef j) (lift
 447 (S i) O u0))) (lt i j) (\lambda (x: T).(\lambda (H3: (eq T (TLRef j) (lift (S
 448 i) O x))).(let H_x0 \def (lift_gen_lref x O (S i) j H3) in (let H4 \def H_x0
 449 in (or_ind (land (lt j O) (eq T x (TLRef j))) (land (le (plus O (S i)) j) (eq
 450 T x (TLRef (minus j (S i))))) (lt i j) (\lambda (H5: (land (lt j O) (eq T x
 451 (TLRef j)))).(and_ind (lt j O) (eq T x (TLRef j)) (lt i j) (\lambda (H6: (lt
 452 j O)).(\lambda (_: (eq T x (TLRef j))).(lt_x_O j H6 (lt i j)))) H5)) (\lambda
 453 (H5: (land (le (plus O (S i)) j) (eq T x (TLRef (minus j (S i)))))).(and_ind
 454 (le (plus O (S i)) j) (eq T x (TLRef (minus j (S i)))) (lt i j) (\lambda (H6:
 455 (le (plus O (S i)) j)).(\lambda (_: (eq T x (TLRef (minus j (S i))))).H6))
 456 H5)) H4))))) H2))))))))).
 457
 458 theorem ty3_shift1:
 459  \forall (g: G).(\forall (c: C).((wf3 g c c) \to (\forall (t1: T).(\forall
 460 (t2: T).((ty3 g c t1 t2) \to (ty3 g (CSort (cbk c)) (app1 c t1) (app1 c
 461 t2)))))))
 462 \def
 463  \lambda (g: G).(\lambda (c: C).(\lambda (H: (wf3 g c c)).(insert_eq C c
 464 (\lambda (c0: C).(wf3 g c0 c)) (\lambda (c0: C).(\forall (t1: T).(\forall
 465 (t2: T).((ty3 g c0 t1 t2) \to (ty3 g (CSort (cbk c0)) (app1 c0 t1) (app1 c0
 466 t2)))))) (\lambda (y: C).(\lambda (H0: (wf3 g y c)).(wf3_ind g (\lambda (c0:
 467 C).(\lambda (c1: C).((eq C c0 c1) \to (\forall (t1: T).(\forall (t2: T).((ty3
 468 g c0 t1 t2) \to (ty3 g (CSort (cbk c0)) (app1 c0 t1) (app1 c0 t2))))))))
 469 (\lambda (m: nat).(\lambda (_: (eq C (CSort m) (CSort m))).(\lambda (t1:
 470 T).(\lambda (t2: T).(\lambda (H2: (ty3 g (CSort m) t1 t2)).H2))))) (\lambda
 471 (c1: C).(\lambda (c2: C).(\lambda (H1: (wf3 g c1 c2)).(\lambda (H2: (((eq C
 472 c1 c2) \to (\forall (t1: T).(\forall (t2: T).((ty3 g c1 t1 t2) \to (ty3 g
 473 (CSort (cbk c1)) (app1 c1 t1) (app1 c1 t2)))))))).(\lambda (u: T).(\lambda
 474 (t: T).(\lambda (H3: (ty3 g c1 u t)).(\lambda (b: B).(\lambda (H4: (eq C
 475 (CHead c1 (Bind b) u) (CHead c2 (Bind b) u))).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2:
 476 T).(\lambda (H5: (ty3 g (CHead c1 (Bind b) u) t1 t2)).(let H6 \def (f_equal C
 477 C (\lambda (e: C).(match e in C return (\lambda (_: C).C) with [(CSort _)
 478 \Rightarrow c1 | (CHead c0 _ _) \Rightarrow c0])) (CHead c1 (Bind b) u)
 479 (CHead c2 (Bind b) u) H4) in (let H7 \def (eq_ind_r C c2 (\lambda (c0:
 480 C).((eq C c1 c0) \to (\forall (t3: T).(\forall (t4: T).((ty3 g c1 t3 t4) \to
 481 (ty3 g (CSort (cbk c1)) (app1 c1 t3) (app1 c1 t4))))))) H2 c1 H6) in (let H8
 482 \def (eq_ind_r C c2 (\lambda (c0: C).(wf3 g c1 c0)) H1 c1 H6) in (ex_ind T
 483 (\lambda (t0: T).(ty3 g (CHead c1 (Bind b) u) t2 t0)) (ty3 g (CSort (cbk c1))
 484 (app1 c1 (THead (Bind b) u t1)) (app1 c1 (THead (Bind b) u t2))) (\lambda (x:
 485 T).(\lambda (_: (ty3 g (CHead c1 (Bind b) u) t2 x)).(H7 (refl_equal C c1)
 486 (THead (Bind b) u t1) (THead (Bind b) u t2) (ty3_bind g c1 u t H3 b t1 t2
 487 H5)))) (ty3_correct g (CHead c1 (Bind b) u) t1 t2 H5)))))))))))))))))
 488 (\lambda (c1: C).(\lambda (c2: C).(\lambda (H1: (wf3 g c1 c2)).(\lambda (H2:
 489 (((eq C c1 c2) \to (\forall (t1: T).(\forall (t2: T).((ty3 g c1 t1 t2) \to
 490 (ty3 g (CSort (cbk c1)) (app1 c1 t1) (app1 c1 t2)))))))).(\lambda (u:
 491 T).(\lambda (H3: ((\forall (t: T).((ty3 g c1 u t) \to False)))).(\lambda (b:
 492 B).(\lambda (H4: (eq C (CHead c1 (Bind b) u) (CHead c2 (Bind Void) (TSort
 493 O)))).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (H5: (ty3 g (CHead c1 (Bind
 494 b) u) t1 t2)).(let H6 \def (f_equal C C (\lambda (e: C).(match e in C return
 495 (\lambda (_: C).C) with [(CSort _) \Rightarrow c1 | (CHead c0 _ _)
 496 \Rightarrow c0])) (CHead c1 (Bind b) u) (CHead c2 (Bind Void) (TSort O)) H4)
 497 in ((let H7 \def (f_equal C B (\lambda (e: C).(match e in C return (\lambda
 498 (_: C).B) with [(CSort _) \Rightarrow b | (CHead _ k _) \Rightarrow (match k
 499 in K return (\lambda (_: K).B) with [(Bind b0) \Rightarrow b0 | (Flat _)
 500 \Rightarrow b])])) (CHead c1 (Bind b) u) (CHead c2 (Bind Void) (TSort O)) H4)
 501 in ((let H8 \def (f_equal C T (\lambda (e: C).(match e in C return (\lambda
 502 (_: C).T) with [(CSort _) \Rightarrow u | (CHead _ _ t) \Rightarrow t]))
 503 (CHead c1 (Bind b) u) (CHead c2 (Bind Void) (TSort O)) H4) in (\lambda (H9:
 504 (eq B b Void)).(\lambda (H10: (eq C c1 c2)).(let H11 \def (eq_ind B b
 505 (\lambda (b0: B).(ty3 g (CHead c1 (Bind b0) u) t1 t2)) H5 Void H9) in
 506 (eq_ind_r B Void (\lambda (b0: B).(ty3 g (CSort (cbk (CHead c1 (Bind b0) u)))
 507 (app1 (CHead c1 (Bind b0) u) t1) (app1 (CHead c1 (Bind b0) u) t2))) (let H12
 508 \def (eq_ind T u (\lambda (t: T).(ty3 g (CHead c1 (Bind Void) t) t1 t2)) H11
 509 (TSort O) H8) in (let H13 \def (eq_ind T u (\lambda (t: T).(\forall (t0:
 510 T).((ty3 g c1 t t0) \to False))) H3 (TSort O) H8) in (eq_ind_r T (TSort O)
 511 (\lambda (t: T).(ty3 g (CSort (cbk (CHead c1 (Bind Void) t))) (app1 (CHead c1
 512 (Bind Void) t) t1) (app1 (CHead c1 (Bind Void) t) t2))) (let H14 \def
 513 (eq_ind_r C c2 (\lambda (c0: C).((eq C c1 c0) \to (\forall (t3: T).(\forall
 514 (t4: T).((ty3 g c1 t3 t4) \to (ty3 g (CSort (cbk c1)) (app1 c1 t3) (app1 c1
 515 t4))))))) H2 c1 H10) in (let H15 \def (eq_ind_r C c2 (\lambda (c0: C).(wf3 g
 516 c1 c0)) H1 c1 H10) in (ex_ind T (\lambda (t: T).(ty3 g (CHead c1 (Bind Void)
 517 (TSort O)) t2 t)) (ty3 g (CSort (cbk c1)) (app1 c1 (THead (Bind Void) (TSort
 518 O) t1)) (app1 c1 (THead (Bind Void) (TSort O) t2))) (\lambda (x: T).(\lambda
 519 (_: (ty3 g (CHead c1 (Bind Void) (TSort O)) t2 x)).(H14 (refl_equal C c1)
 520 (THead (Bind Void) (TSort O) t1) (THead (Bind Void) (TSort O) t2) (ty3_bind g
 521 c1 (TSort O) (TSort (next g O)) (ty3_sort g c1 O) Void t1 t2 H12))))
 522 (ty3_correct g (CHead c1 (Bind Void) (TSort O)) t1 t2 H12)))) u H8))) b
 523 H9))))) H7)) H6))))))))))))) (\lambda (c1: C).(\lambda (c2: C).(\lambda (H1:
 524 (wf3 g c1 c2)).(\lambda (H2: (((eq C c1 c2) \to (\forall (t1: T).(\forall
 525 (t2: T).((ty3 g c1 t1 t2) \to (ty3 g (CSort (cbk c1)) (app1 c1 t1) (app1 c1
 526 t2)))))))).(\lambda (u: T).(\lambda (f: F).(\lambda (H3: (eq C (CHead c1
 527 (Flat f) u) c2)).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (_: (ty3 g (CHead
 528 c1 (Flat f) u) t1 t2)).(let H5 \def (f_equal C C (\lambda (e: C).e) (CHead c1
 529 (Flat f) u) c2 H3) in (let H6 \def (eq_ind_r C c2 (\lambda (c0: C).((eq C c1
 530 c0) \to (\forall (t3: T).(\forall (t4: T).((ty3 g c1 t3 t4) \to (ty3 g (CSort
 531 (cbk c1)) (app1 c1 t3) (app1 c1 t4))))))) H2 (CHead c1 (Flat f) u) H5) in
 532 (let H7 \def (eq_ind_r C c2 (\lambda (c0: C).(wf3 g c1 c0)) H1 (CHead c1
 533 (Flat f) u) H5) in (let H_x \def (wf3_gen_head2 g c1 c1 u (Flat f) H7) in
 534 (let H8 \def H_x in (ex_ind B (\lambda (b: B).(eq K (Flat f) (Bind b))) (ty3
 535 g (CSort (cbk c1)) (app1 c1 (THead (Flat f) u t1)) (app1 c1 (THead (Flat f) u
 536 t2))) (\lambda (x: B).(\lambda (H9: (eq K (Flat f) (Bind x))).(let H10 \def
 537 (eq_ind K (Flat f) (\lambda (ee: K).(match ee in K return (\lambda (_:
 538 K).Prop) with [(Bind _) \Rightarrow False | (Flat _) \Rightarrow True])) I
 539 (Bind x) H9) in (False_ind (ty3 g (CSort (cbk c1)) (app1 c1 (THead (Flat f) u
 540 t1)) (app1 c1 (THead (Flat f) u t2))) H10)))) H8)))))))))))))))) y c H0)))
 541 H))).
 542