weblib/While/semantics.ma

   1 (* new script *)
   2
   3 include "While/syntax.ma".
   4 include "arithmetics/div_and_mod.ma".
   5
   6 (* state *)
   7
   8 definition state ≝ Var → nat.
   9
  10 definition eqvar ≝ λv1,v2.
  11   match v1 with
  12   [Id n => match v2 with [Id m => eqb n m]].
  13
  14 definition update : state → Var → nat → state ≝ λs,v,a,v1.
  15   if eqvar v1 v then a else s v1.
  16
  17 (* Semantics of Arithmetic expressions *)
  18 \ 5pre class="smallmargin" style="display: inline;"\ 6let rec evalA a s ≝
  19   match a with
  20   [ Const n => n
  21   | Aid v => s v
  22   | Add a b => evalA a s+evalA b s
  23   | Sub a b => evalA a s-evalA b s
  24   | Mul a b => evalA a s*evalA b s
  25   | Div a b => div (evalA a s) (evalA b s)
  26   | Mod a b => mod (evalA a s) (evalA b s)
  27   ]
  28  .
  29
  30 example exA1: evalA ((Const 2)+(Const 3)*(Aid (Id 2))) (λx.\ 5span style="text-decoration: underline;"\ 61\ 5/span\ 6) = \ 5span style="text-decoration: underline;"\ 65\ 5/span\ 6.
  31 normalize // qed
  32
  33 let rec evalB b s ≝
  34   match b with
  35   [ BFalse => false
  36   | BTtrue => true
  37   | BNot b => ¬(evalB b s)
  38   | BAnd b1 b2 => evalB b1 s ∧ evalB b2 s
  39   | BOr b1 b2 => evalB b1 s ∨ evalB b2 s \ 5pre class="smallmargin" style="display: inline;"\ 6\ 5/pre\ 6
  40   | Eq a1 a2 => eqb (evalA a1 s) (evalA a2 s)
  41   | LE a1 a2 => leb (evalA a1 s) (evalA a2 s)
  42   ].
  43
  44 inductive Cmd_sem: Cmd → state → state\ 5pre class="smallmargin" style="display: inline;"\ 6→ Prop\ 5/pre\ 6≝
  45   | Skip_sem : \forall s. Cmd_sem Skip s s
  46   | Assign_sem : \forall s,v,a. Cmd_sem (Assign v a) s (update s v (evalA a s))
  47   | Seq_sem : \forall c1,c2,s1,s2,s3. Cmd_sem c1 s1 s2 \to  Cmd_sem c2 s2 s3 \to Cmd_sem (Seq c1 c2) s1 s3
  48   | If_sem_true : \forall b,ct,cf,s,st. evalB b s = true \to  Cmd_sem ct s st \to  Cmd_sem (If b ct cf) s st
  49   | If_sem_false : \forall b,ct,cf,s,sf. evalB b s = false \to  Cmd_sem cf s sf \to  Cmd_sem (If b ct cf) s sf
  50   | While_true : \forall b,c,s,s1,s2. evalB b s = true \to Cmd_sem c s s1 \to Cmd_sem (While b c) s1 s2 \to Cmd_sem (While b c) s s2
  51   | While_false : \forall b,c,s. evalB b s = false \to Cmd_sem (While b c) s s
  52 .\ 5/pre\ 6