weblib/basics/logic.ma

   1  (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||
   8     \   /  This file is distributed under the terms of the
   9      \ /   GNU General Public License Version 2
  10       V_______________________________________________________________ *)
  11
  12 include "basics/pts.ma".
  13 include "hints_declaration.ma".
  14
  15 (* propositional equality *)
  16
  17 inductive eq (A:Type[2]) (x:A) : A → Prop ≝
  18     refl: eq A x x.
  19
  20 interpretation "leibnitz's equality" 'eq t x y = (eq t x y).
  21 interpretation "leibniz reflexivity" 'refl = refl.
  22
  23 lemma eq_rect_r:
  24  ∀A.∀a,x.∀p:\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.ind(1,0,2)"\ 6eq\ 5/a\ 6 ? x a.∀P: ∀x:A. \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.ind(1,0,2)"\ 6eq\ 5/a\ 6 ? x a → Type[3]. P a (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 A a) → P x p.
  25  #A #a #x #p (cases p) // qed.
  26
  27 lemma eq_ind_r :
  28  ∀A.∀a.∀P: ∀x:A. x \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 a → Prop. P a (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 A a) → ∀x.∀p:\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.ind(1,0,2)"\ 6eq\ 5/a\ 6 ? x a.P x p.
  29  #A #a #P #p #x0 #p0; @(\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq_rect_r.def(1)"\ 6eq_rect_r\ 5/a\ 6 ? ? ? p0) //; qed.
  30
  31 lemma eq_rect_Type0_r:
  32   ∀A.∀a.∀P: ∀x:A. \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.ind(1,0,2)"\ 6eq\ 5/a\ 6 ? x a → Type[0]. P a (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 A a) → ∀x.∀p:\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.ind(1,0,2)"\ 6eq\ 5/a\ 6 ? x a.P x p.
  33   #A #a #P #H #x #p lapply H lapply P
  34   cases p; //; qed.
  35
  36 lemma eq_rect_Type1_r:
  37   ∀A.∀a.∀P: ∀x:A. \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.ind(1,0,2)"\ 6eq\ 5/a\ 6 ? x a → Type[1]. P a (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 A a) → ∀x.∀p:\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.ind(1,0,2)"\ 6eq\ 5/a\ 6 ? x a.P x p.
  38   #A #a #P #H #x #p lapply H lapply P
  39   cases p; //; qed.
  40
  41 lemma eq_rect_Type2_r:
  42   ∀A.∀a.∀P: ∀x:A. \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.ind(1,0,2)"\ 6eq\ 5/a\ 6 ? x a → Type[2]. P a (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 A a) → ∀x.∀p:\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.ind(1,0,2)"\ 6eq\ 5/a\ 6 ? x a.P x p.
  43   #A #a #P #H #x #p lapply H lapply P
  44   cases p; //; qed.
  45
  46 lemma eq_rect_Type3_r:
  47   ∀A.∀a.∀P: ∀x:A. \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.ind(1,0,2)"\ 6eq\ 5/a\ 6 ? x a → Type[3]. P a (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 A a) → ∀x.∀p:\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.ind(1,0,2)"\ 6eq\ 5/a\ 6 ? x a.P x p.
  48   #A #a #P #H #x #p lapply H lapply P
  49   cases p; //; qed.
  50
  51 theorem rewrite_l: ∀A:Type[2].∀x.∀P:A → Type[2]. P x → ∀y. x \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 y → P y.
  52 #A #x #P #Hx #y #Heq (cases Heq); //; qed.
  53
  54 theorem sym_eq: ∀A.∀x,y:A. x \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 y → y \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 x.
  55 #A #x #y #Heq @(\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/rewrite_l.def(1)"\ 6rewrite_l\ 5/a\ 6 A x (λz.z\ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6x)) // qed.
  56
  57 theorem rewrite_r: ∀A:Type[2].∀x.∀P:A → Type[2]. P x → ∀y. y \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 x → P y.
  58 #A #x #P #Hx #y #Heq (cases (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/sym_eq.def(2)"\ 6sym_eq\ 5/a\ 6 ? ? ? Heq)); //; qed.
  59
  60 theorem eq_coerc: ∀A,B:Type[0].A→(A\ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6B)→B.
  61 #A #B #Ha #Heq (elim Heq); //; qed.
  62
  63 theorem trans_eq : ∀A.∀x,y,z:A. x \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 y → y \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 z → x \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 z.
  64 #A #x #y #z #H1 #H2 >H1; //; qed.
  65
  66 theorem eq_f: ∀A,B.∀f:A→B.∀x,y:A. x\ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6y → f x \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 f y.
  67 #A #B #f #x #y #H >H; //; qed.
  68
  69 (* deleterio per auto? *)
  70 theorem eq_f2: ∀A,B,C.∀f:A→B→C.
  71 ∀x1,x2:A.∀y1,y2:B. x1\ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6x2 → y1\ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6y2 → f x1 y1 \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 f x2 y2.
  72 #A #B #C #f #x1 #x2 #y1 #y2 #E1 #E2 >E1; >E2; //; qed.
  73
  74 lemma eq_f3: ∀A,B,C,D.∀f:A→B→C->D.
  75 ∀x1,x2:A.∀y1,y2:B. ∀z1,z2:C. x1\ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6x2 → y1\ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6y2 → z1\ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6z2 → f x1 y1 z1 \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 f x2 y2 z2.
  76 #A #B #C #D #f #x1 #x2 #y1 #y2 #z1 #z2 #E1 #E2 #E3 >E1; >E2; >E3 //; qed.
  77
  78 (* hint to genereric equality
  79 definition eq_equality: equality ≝
  80  mk_equality eq refl rewrite_l rewrite_r.
  81
  82
  83 unification hint 0 ≔ T,a,b;
  84  X ≟ eq_equality
  85 (*------------------------------------*) ⊢
  86     equal X T a b ≡ eq T a b.
  87 *)
  88
  89 (********** connectives ********)
  90
  91 inductive True: Prop ≝
  92 I : True.
  93
  94 inductive False: Prop ≝ .
  95
  96 (* ndefinition Not: Prop → Prop ≝
  97 λA. A → False. *)
  98
  99 inductive Not (A:Prop): Prop ≝
 100 nmk: (A → \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/False.ind(1,0,0)"\ 6False\ 5/a\ 6) → Not A.
 101
 102 interpretation "logical not" 'not x = (Not x).
 103
 104 theorem absurd : ∀A:Prop. A → \ 5a title="logical not" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6¬\ 5/a\ 6A → \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/False.ind(1,0,0)"\ 6False\ 5/a\ 6.
 105 #A #H #Hn (elim Hn); /\ 5span class="autotactic"\ 62\ 5span class="autotrace"\ 6 trace \ 5/span\ 6\ 5/span\ 6/; qed.
 106
 107 (*
 108 ntheorem absurd : ∀ A,C:Prop. A → ¬A → C.
 109 #A; #C; #H; #Hn; nelim (Hn H).
 110 nqed. *)
 111
 112 theorem not_to_not : ∀A,B:Prop. (A → B) → \ 5a title="logical not" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6¬\ 5/a\ 6B →\ 5a title="logical not" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6¬\ 5/a\ 6A.
 113 /\ 5span class="autotactic"\ 64\ 5span class="autotrace"\ 6 trace \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/absurd.def(2)"\ 6absurd\ 5/a\ 6, \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/Not.con(0,1,1)"\ 6nmk\ 5/a\ 6\ 5/span\ 6\ 5/span\ 6/; qed.
 114
 115 (* inequality *)
 116 interpretation "leibnitz's non-equality" 'neq t x y = (Not (eq t x y)).
 117
 118 theorem sym_not_eq: ∀A.∀x,y:A. x \ 5a title="leibnitz's non-equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≠\ 5/a\ 6 y → y \ 5a title="leibnitz's non-equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≠\ 5/a\ 6 x.
 119 /\ 5span class="autotactic"\ 63\ 5span class="autotrace"\ 6 trace \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/absurd.def(2)"\ 6absurd\ 5/a\ 6, \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/Not.con(0,1,1)"\ 6nmk\ 5/a\ 6\ 5/span\ 6\ 5/span\ 6/; qed.
 120
 121 (* and *)
 122 inductive And (A,B:Prop) : Prop ≝
 123     conj : A → B → And A B.
 124
 125 interpretation "logical and" 'and x y = (And x y).
 126
 127 theorem proj1: ∀A,B:Prop. A \ 5a title="logical and" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∧\ 5/a\ 6 B → A.
 128 #A #B #AB (elim AB) //; qed.
 129
 130 theorem proj2: ∀ A,B:Prop. A \ 5a title="logical and" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∧\ 5/a\ 6 B → B.
 131 #A #B #AB (elim AB) //; qed.
 132
 133 (* or *)
 134 inductive Or (A,B:Prop) : Prop ≝
 135      or_introl : A → (Or A B)
 136    | or_intror : B → (Or A B).
 137
 138 interpretation "logical or" 'or x y = (Or x y).
 139
 140 definition decidable : Prop → Prop ≝
 141 λ A:Prop. A \ 5a title="logical or" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∨\ 5/a\ 6 \ 5a title="logical not" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6¬\ 5/a\ 6 A.
 142
 143 (* exists *)
 144 inductive ex (A:Type[0]) (P:A → Prop) : Prop ≝
 145     ex_intro: ∀ x:A. P x →  ex A P.
 146
 147 interpretation "exists" 'exists x = (ex ? x).
 148
 149 inductive ex2 (A:Type[0]) (P,Q:A →Prop) : Prop ≝
 150     ex_intro2: ∀ x:A. P x → Q x → ex2 A P Q.
 151
 152 (* iff *)
 153 definition iff :=
 154  λ A,B. (A → B) \ 5a title="logical and" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∧\ 5/a\ 6 (B → A).
 155
 156 interpretation "iff" 'iff a b = (iff a b).
 157
 158 lemma iff_sym: ∀A,B. A \ 5a title="iff" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6↔\ 5/a\ 6 B → B \ 5a title="iff" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6↔\ 5/a\ 6 A.
 159 #A #B * /\ 5span class="autotactic"\ 63\ 5span class="autotrace"\ 6 trace \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/And.con(0,1,2)"\ 6conj\ 5/a\ 6\ 5/span\ 6\ 5/span\ 6/ qed.
 160
 161 lemma iff_trans:∀A,B,C. A \ 5a title="iff" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6↔\ 5/a\ 6 B → B \ 5a title="iff" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6↔\ 5/a\ 6 C → A \ 5a title="iff" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6↔\ 5/a\ 6 C.
 162 #A #B #C * #H1 #H2 * #H3 #H4 % /\ 5span class="autotactic"\ 63\ 5span class="autotrace"\ 6 trace \ 5/span\ 6\ 5/span\ 6/ qed.
 163
 164 lemma iff_not: ∀A,B. A \ 5a title="iff" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6↔\ 5/a\ 6 B → \ 5a title="logical not" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6¬\ 5/a\ 6A \ 5a title="iff" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6↔\ 5/a\ 6 \ 5a title="logical not" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6¬\ 5/a\ 6B.
 165 #A #B * #H1 #H2 % /\ 5span class="autotactic"\ 63\ 5span class="autotrace"\ 6 trace \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/not_to_not.def(3)"\ 6not_to_not\ 5/a\ 6\ 5/span\ 6\ 5/span\ 6/ qed.
 166
 167 lemma iff_and_l: ∀A,B,C. A \ 5a title="iff" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6↔\ 5/a\ 6 B → C \ 5a title="logical and" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∧\ 5/a\ 6 A \ 5a title="iff" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6↔\ 5/a\ 6 C \ 5a title="logical and" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∧\ 5/a\ 6 B.
 168 #A #B #C * #H1 #H2 % * /\ 5span class="autotactic"\ 63\ 5span class="autotrace"\ 6 trace \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/And.con(0,1,2)"\ 6conj\ 5/a\ 6\ 5/span\ 6\ 5/span\ 6/ qed.
 169
 170 lemma iff_and_r: ∀A,B,C. A \ 5a title="iff" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6↔\ 5/a\ 6 B → A \ 5a title="logical and" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∧\ 5/a\ 6 C \ 5a title="iff" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6↔\ 5/a\ 6 B \ 5a title="logical and" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∧\ 5/a\ 6 C.
 171 #A #B #C * #H1 #H2 % * /\ 5span class="autotactic"\ 63\ 5span class="autotrace"\ 6 trace \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/And.con(0,1,2)"\ 6conj\ 5/a\ 6\ 5/span\ 6\ 5/span\ 6/ qed.
 172
 173 lemma iff_or_l: ∀A,B,C. A \ 5a title="iff" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6↔\ 5/a\ 6 B → C \ 5a title="logical or" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∨\ 5/a\ 6 A \ 5a title="iff" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6↔\ 5/a\ 6 C \ 5a title="logical or" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∨\ 5/a\ 6 B.
 174 #A #B #C * #H1 #H2 % * /\ 5span class="autotactic"\ 63\ 5span class="autotrace"\ 6 trace \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/Or.con(0,1,2)"\ 6or_introl\ 5/a\ 6, \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/Or.con(0,2,2)"\ 6or_intror\ 5/a\ 6\ 5/span\ 6\ 5/span\ 6/ qed.
 175
 176 lemma iff_or_r: ∀A,B,C. A \ 5a title="iff" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6↔\ 5/a\ 6 B → A \ 5a title="logical or" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∨\ 5/a\ 6 C \ 5a title="iff" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6↔\ 5/a\ 6 B \ 5a title="logical or" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∨\ 5/a\ 6 C.
 177 #A #B #C * #H1 #H2 % * /\ 5span class="autotactic"\ 63\ 5span class="autotrace"\ 6 trace \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/Or.con(0,1,2)"\ 6or_introl\ 5/a\ 6, \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/Or.con(0,2,2)"\ 6or_intror\ 5/a\ 6\ 5/span\ 6\ 5/span\ 6/ qed.
 178
 179 (* cose per destruct: da rivedere *)
 180
 181 definition R0 ≝ λT:Type[0].λt:T.t.
 182
 183 definition R1 ≝ \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq_rect_Type0.fix(0,5,1)"\ 6eq_rect_Type0\ 5/a\ 6.
 184
 185 (* used for lambda-delta *)
 186 definition R2 :
 187   ∀T0:Type[0].
 188   ∀a0:T0.
 189   ∀T1:∀x0:T0. a0\ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6x0 → Type[0].
 190   ∀a1:T1 a0 (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 ? a0).
 191   ∀T2:∀x0:T0. ∀p0:a0\ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6x0. ∀x1:T1 x0 p0. \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/R1.def(2)"\ 6R1\ 5/a\ 6 ?? T1 a1 ? p0 \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 x1 → Type[0].
 192   ∀a2:T2 a0 (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 ? a0) a1 (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 ? a1).
 193   ∀b0:T0.
 194   ∀e0:a0 \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 b0.
 195   ∀b1: T1 b0 e0.
 196   ∀e1:\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/R1.def(2)"\ 6R1\ 5/a\ 6 ?? T1 a1 ? e0 \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 b1.
 197   T2 b0 e0 b1 e1.
 198 #T0 #a0 #T1 #a1 #T2 #a2 #b0 #e0 #b1 #e1
 199 @(\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq_rect_Type0.fix(0,5,1)"\ 6eq_rect_Type0\ 5/a\ 6 ????? e1)
 200 @(\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/R1.def(2)"\ 6R1\ 5/a\ 6 ?? ? ?? e0)
 201 @a2
 202 qed.
 203
 204 definition R3 :
 205   ∀T0:Type[0].
 206   ∀a0:T0.
 207   ∀T1:∀x0:T0. a0\ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6x0 → Type[0].
 208   ∀a1:T1 a0 (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 ? a0).
 209   ∀T2:∀x0:T0. ∀p0:a0\ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6x0. ∀x1:T1 x0 p0. \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/R1.def(2)"\ 6R1\ 5/a\ 6 ?? T1 a1 ? p0 \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 x1 → Type[0].
 210   ∀a2:T2 a0 (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 ? a0) a1 (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 ? a1).
 211   ∀T3:∀x0:T0. ∀p0:a0\ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6x0. ∀x1:T1 x0 p0.∀p1:\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/R1.def(2)"\ 6R1\ 5/a\ 6 ?? T1 a1 ? p0 \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 x1.
 212       ∀x2:T2 x0 p0 x1 p1.\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/R2.def(3)"\ 6R2\ 5/a\ 6 ???? T2 a2 x0 p0 ? p1 \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 x2 → Type[0].
 213   ∀a3:T3 a0 (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 ? a0) a1 (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 ? a1) a2 (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 ? a2).
 214   ∀b0:T0.
 215   ∀e0:a0 \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 b0.
 216   ∀b1: T1 b0 e0.
 217   ∀e1:\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/R1.def(2)"\ 6R1\ 5/a\ 6 ?? T1 a1 ? e0 \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 b1.
 218   ∀b2: T2 b0 e0 b1 e1.
 219   ∀e2:\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/R2.def(3)"\ 6R2\ 5/a\ 6 ???? T2 a2 b0 e0 ? e1 \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 b2.
 220   T3 b0 e0 b1 e1 b2 e2.
 221 #T0 #a0 #T1 #a1 #T2 #a2 #T3 #a3 #b0 #e0 #b1 #e1 #b2 #e2
 222 @(\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq_rect_Type0.fix(0,5,1)"\ 6eq_rect_Type0\ 5/a\ 6 ????? e2)
 223 @(\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/R2.def(3)"\ 6R2\ 5/a\ 6 ?? ? ???? e0 ? e1)
 224 @a3
 225 qed.
 226
 227 definition R4 :
 228   ∀T0:Type[0].
 229   ∀a0:T0.
 230   ∀T1:∀x0:T0. \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.ind(1,0,2)"\ 6eq\ 5/a\ 6 T0 a0 x0 → Type[0].
 231   ∀a1:T1 a0 (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 T0 a0).
 232   ∀T2:∀x0:T0. ∀p0:\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.ind(1,0,2)"\ 6eq\ 5/a\ 6 (T0 …) a0 x0. ∀x1:T1 x0 p0.\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.ind(1,0,2)"\ 6eq\ 5/a\ 6 (T1 …) (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/R1.def(2)"\ 6R1\ 5/a\ 6 T0 a0 T1 a1 x0 p0) x1 → Type[0].
 233   ∀a2:T2 a0 (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 T0 a0) a1 (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 (T1 a0 (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 T0 a0)) a1).
 234   ∀T3:∀x0:T0. ∀p0:\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.ind(1,0,2)"\ 6eq\ 5/a\ 6 (T0 …) a0 x0. ∀x1:T1 x0 p0.∀p1:\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.ind(1,0,2)"\ 6eq\ 5/a\ 6 (T1 …) (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/R1.def(2)"\ 6R1\ 5/a\ 6 T0 a0 T1 a1 x0 p0) x1.
 235       ∀x2:T2 x0 p0 x1 p1.\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.ind(1,0,2)"\ 6eq\ 5/a\ 6 (T2 …) (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/R2.def(3)"\ 6R2\ 5/a\ 6 T0 a0 T1 a1 T2 a2 x0 p0 x1 p1) x2 → Type[0].
 236   ∀a3:T3 a0 (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 T0 a0) a1 (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 (T1 a0 (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 T0 a0)) a1)
 237       a2 (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 (T2 a0 (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 T0 a0) a1 (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 (T1 a0 (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 T0 a0)) a1)) a2).
 238   ∀T4:∀x0:T0. ∀p0:\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.ind(1,0,2)"\ 6eq\ 5/a\ 6 (T0 …) a0 x0. ∀x1:T1 x0 p0.∀p1:\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.ind(1,0,2)"\ 6eq\ 5/a\ 6 (T1 …) (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/R1.def(2)"\ 6R1\ 5/a\ 6 T0 a0 T1 a1 x0 p0) x1.
 239       ∀x2:T2 x0 p0 x1 p1.∀p2:\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.ind(1,0,2)"\ 6eq\ 5/a\ 6 (T2 …) (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/R2.def(3)"\ 6R2\ 5/a\ 6 T0 a0 T1 a1 T2 a2 x0 p0 x1 p1) x2.
 240       ∀x3:T3 x0 p0 x1 p1 x2 p2.∀p3:\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.ind(1,0,2)"\ 6eq\ 5/a\ 6 (T3 …) (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/R3.def(4)"\ 6R3\ 5/a\ 6 T0 a0 T1 a1 T2 a2 T3 a3 x0 p0 x1 p1 x2 p2) x3.
 241       Type[0].
 242   ∀a4:T4 a0 (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 T0 a0) a1 (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 (T1 a0 (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 T0 a0)) a1)
 243       a2 (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 (T2 a0 (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 T0 a0) a1 (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 (T1 a0 (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 T0 a0)) a1)) a2)
 244       a3 (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 (T3 a0 (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 T0 a0) a1 (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 (T1 a0 (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 T0 a0)) a1)
 245                    a2 (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 (T2 a0 (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 T0 a0) a1 (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 (T1 a0 (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 T0 a0)) a1)) a2))
 246                    a3).
 247   ∀b0:T0.
 248   ∀e0:\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.ind(1,0,2)"\ 6eq\ 5/a\ 6 (T0 …) a0 b0.
 249   ∀b1: T1 b0 e0.
 250   ∀e1:\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.ind(1,0,2)"\ 6eq\ 5/a\ 6 (T1 …) (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/R1.def(2)"\ 6R1\ 5/a\ 6 T0 a0 T1 a1 b0 e0) b1.
 251   ∀b2: T2 b0 e0 b1 e1.
 252   ∀e2:\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.ind(1,0,2)"\ 6eq\ 5/a\ 6 (T2 …) (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/R2.def(3)"\ 6R2\ 5/a\ 6 T0 a0 T1 a1 T2 a2 b0 e0 b1 e1) b2.
 253   ∀b3: T3 b0 e0 b1 e1 b2 e2.
 254   ∀e3:\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.ind(1,0,2)"\ 6eq\ 5/a\ 6 (T3 …) (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/R3.def(4)"\ 6R3\ 5/a\ 6 T0 a0 T1 a1 T2 a2 T3 a3 b0 e0 b1 e1 b2 e2) b3.
 255   T4 b0 e0 b1 e1 b2 e2 b3 e3.
 256 #T0 #a0 #T1 #a1 #T2 #a2 #T3 #a3 #T4 #a4 #b0 #e0 #b1 #e1 #b2 #e2 #b3 #e3
 257 @(\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq_rect_Type0.fix(0,5,1)"\ 6eq_rect_Type0\ 5/a\ 6 ????? e3)
 258 @(\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/R3.def(4)"\ 6R3\ 5/a\ 6 ????????? e0 ? e1 ? e2)
 259 @a4
 260 qed.
 261
 262 definition eqProp ≝ λA:Prop.\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.ind(1,0,2)"\ 6eq\ 5/a\ 6 A.
 263
 264 (* Example to avoid indexing and the consequential creation of ill typed
 265    terms during paramodulation *)
 266 example lemmaK : ∀A.∀x:A.∀h:x\ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6x. \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eqProp.def(1)"\ 6eqProp\ 5/a\ 6 ? h (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 A x).
 267 #A #x #h @(\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 ? h: \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eqProp.def(1)"\ 6eqProp\ 5/a\ 6 ? ? ?).
 268 qed.
 269
 270 theorem streicherK : ∀T:Type[2].∀t:T.∀P:t \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 t → Type[3].P (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 ? t) → ∀p.P p.
 271  #T #t #P #H #p >(\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/lemmaK.def(2)"\ 6lemmaK\ 5/a\ 6 T t p) @H
 272 qed.