]> matita.cs.unibo.it Git - helm.git/blob - weblib/basics/logic.ma
Ground_2 ported to new syntax ...
[helm.git] / weblib / basics / logic.ma
1 (*
2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic        
3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science     
4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.                     
5     ||I||                                                                 
6     ||T||  
7     ||A||  
8     \   /  This file is distributed under the terms of the       
9      \ /   GNU General Public License Version 2   
10       V_______________________________________________________________ *)
11
12 include "basics/pts.ma".
13 (*include "hints_declaration.ma".*)
14
15 (* propositional equality *)
16
17 inductive eq (A:Type[1]) (x:A) : A → Prop ≝
18     refl: eq A x x. 
19
20 interpretation "leibnitz's equality" 'eq t x y = (eq t x y).
21
22 lemma eq_rect_r:
23  ∀A.∀a,x.∀p:\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.ind(1,0,2)"\ 6eq\ 5/a\ 6 ? x a.∀P: 
24  ∀x:A. x \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 a → Type[2]. P a (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 A a) → P x p.
25  #A #a #x #p (cases p) // qed.
26
27 lemma eq_ind_r :
28  ∀A.∀a.∀P: ∀x:A. x \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 a → Prop. P a (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 A a) → 
29    ∀x.∀p:\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.ind(1,0,2)"\ 6eq\ 5/a\ 6 ? x a.P x p.
30  #A #a #P #p #x0 #p0; @(\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq_rect_r.def(1)"\ 6eq_rect_r\ 5/a\ 6 ? ? ? p0) //; qed.
31
32 lemma eq_rect_Type2_r:
33   ∀A.∀a.∀P: ∀x:A. \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.ind(1,0,2)"\ 6eq\ 5/a\ 6 ? x a → Type[2]. P a (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 A a) → 
34     ∀x.∀p:\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.ind(1,0,2)"\ 6eq\ 5/a\ 6 ? x a.P x p.
35   #A #a #P #H #x #p (generalize in match H) (generalize in match P)
36   cases p; //; qed.
37
38 theorem rewrite_l: ∀A:Type[1].∀x.∀P:A → Type[1]. P x → ∀y. x \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 y → P y.
39 #A #x #P #Hx #y #Heq (cases Heq); //; qed.
40
41 theorem sym_eq: ∀A.∀x,y:A. x \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 y → y \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 x.
42 #A #x #y #Heq @(\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/rewrite_l.def(1)"\ 6rewrite_l\ 5/a\ 6 A x (λz.z\ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6x)); //; qed.
43
44 theorem rewrite_r: ∀A:Type[1].∀x.∀P:A → Type[1]. P x → ∀y. y \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 x → P y.
45 #A #x #P #Hx #y #Heq (cases (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/sym_eq.def(2)"\ 6sym_eq\ 5/a\ 6 ? ? ? Heq)); //; qed.
46
47 theorem eq_coerc: ∀A,B:Type[0].A→(A\ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6B)→B.
48 #A #B #Ha #Heq (elim Heq); //; qed.
49
50 theorem trans_eq : ∀A.∀x,y,z:A. x \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 y → y \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 z → x \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 z.
51 #A #x #y #z #H1 #H2 >H1; //; qed.
52
53 theorem eq_f: ∀A,B.∀f:A→B.∀x,y:A. x\ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6y → f x \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 f y.
54 #A #B #f #x #y #H >H; //; qed.
55
56 (* deleterio per auto? *)
57 theorem eq_f2: ∀A,B,C.∀f:A→B→C.
58 ∀x1,x2:A.∀y1,y2:B. x1\ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6x2 → y1\ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6y2 → f x1 y1 \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 f x2 y2.
59 #A #B #C #f #x1 #x2 #y1 #y2 #E1 #E2 >E1; >E2; //; qed. 
60
61 (* hint to genereric equality 
62 definition eq_equality: equality ≝
63  mk_equality eq refl rewrite_l rewrite_r.
64
65
66 unification hint 0 ≔ T,a,b;
67  X ≟ eq_equality
68 (*------------------------------------*) ⊢
69     equal X T a b ≡ eq T a b.
70 *)
71   
72 (********** connectives ********)
73
74 inductive True: Prop ≝  
75 I : True.
76
77 inductive False: Prop ≝ .
78
79 (* ndefinition Not: Prop → Prop ≝
80 λA. A → False. *)
81
82 inductive Not (A:Prop): Prop ≝
83 nmk: (A → \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/False.ind(1,0,0)"\ 6False\ 5/a\ 6) → Not A.
84
85
86 interpretation "logical not" 'not x = (Not x).
87
88 theorem absurd : ∀A:Prop. A → \ 5a title="logical not" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6¬\ 5/a\ 6A → \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/False.ind(1,0,0)"\ 6False\ 5/a\ 6.
89 #A #H #Hn (elim Hn); /2/; qed.
90
91 (*
92 ntheorem absurd : ∀ A,C:Prop. A → ¬A → C.
93 #A; #C; #H; #Hn; nelim (Hn H).
94 nqed. *)
95
96 theorem not_to_not : ∀A,B:Prop. (A → B) → \ 5a title="logical not" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6¬\ 5/a\ 6B →\ 5a title="logical not" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6¬\ 5/a\ 6A.
97 /4/; qed.
98
99 (* inequality *)
100 interpretation "leibnitz's non-equality" 'neq t x y = (Not (eq t x y)).
101
102 theorem sym_not_eq: ∀A.∀x,y:A. x \ 5a title="leibnitz's non-equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\ 5/a\ 6 y → y \ 5a title="leibnitz's non-equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\ 5/a\ 6 x.
103 /3/; qed.
104
105 (* and *)
106 inductive And (A,B:Prop) : Prop ≝
107     conj : A → B → And A B.
108
109 interpretation "logical and" 'and x y = (And x y).
110
111 theorem proj1: ∀A,B:Prop. A \ 5a title="logical and" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\ 5/a\ 6 B → A.
112 #A #B #AB (elim AB) //; qed.
113
114 theorem proj2: ∀ A,B:Prop. A \ 5a title="logical and" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\ 5/a\ 6 B → B.
115 #A #B #AB (elim AB) //; qed.
116
117 (* or *)
118 inductive Or (A,B:Prop) : Prop ≝
119      or_introl : A → (Or A B)
120    | or_intror : B → (Or A B).
121
122 interpretation "logical or" 'or x y = (Or x y).
123
124 definition decidable : Prop → Prop ≝ 
125 λ A:Prop. A \ 5a title="logical or" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\ 5/a\ 6 \ 5a title="logical not" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6¬\ 5/a\ 6 A.
126
127 (* exists *)
128 inductive ex (A:Type[0]) (P:A → Prop) : Prop ≝
129     ex_intro: ∀ x:A. P x →  ex A P.
130     
131 interpretation "exists" 'exists x = (ex ? x).
132
133 inductive ex2 (A:Type[0]) (P,Q:A →Prop) : Prop ≝
134     ex_intro2: ∀ x:A. P x → Q x → ex2 A P Q.
135
136 (* iff *)
137 definition iff :=
138  λ A,B. (A → B) \ 5a title="logical and" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\ 5/a\ 6 (B → A).
139
140 interpretation "iff" 'iff a b = (iff a b).  
141
142 (* cose per destruct: da rivedere *) 
143
144 definition R0 ≝ λT:Type[0].λt:T.t.
145   
146 definition R1 ≝ \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq_rect_Type0.fix(0,5,1)"\ 6eq_rect_Type0\ 5/a\ 6.
147
148 (* useless stuff *)
149 definition R2 :
150   ∀T0:Type[0].
151   ∀a0:T0.
152   ∀T1:∀x0:T0. a0\ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6x0 → Type[0].
153   ∀a1:T1 a0 (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 ? a0).
154   ∀T2:∀x0:T0. ∀p0:a0\ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6x0. ∀x1:T1 x0 p0. \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/R1.def(2)"\ 6R1\ 5/a\ 6 ?? T1 a1 ? p0 \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 x1 → Type[0].
155   ∀a2:T2 a0 (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 ? a0) a1 (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 ? a1).
156   ∀b0:T0.
157   ∀e0:a0 \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 b0.
158   ∀b1: T1 b0 e0.
159   ∀e1:\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/R1.def(2)"\ 6R1\ 5/a\ 6 ?? T1 a1 ? e0 \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 b1.
160   T2 b0 e0 b1 e1.
161 #T0 #a0 #T1 #a1 #T2 #a2 #b0 #e0 #b1 #e1 
162 @(\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq_rect_Type0.fix(0,5,1)"\ 6eq_rect_Type0\ 5/a\ 6 ????? e1) 
163 @(\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/R1.def(2)"\ 6R1\ 5/a\ 6 ?? ? ?? e0) 
164 @a2 
165 qed.
166
167 definition R3 :
168   ∀T0:Type[0].
169   ∀a0:T0.
170   ∀T1:∀x0:T0. a0\ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6x0 → Type[0].
171   ∀a1:T1 a0 (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 ? a0).
172   ∀T2:∀x0:T0. ∀p0:a0\ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6x0. ∀x1:T1 x0 p0. \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/R1.def(2)"\ 6R1\ 5/a\ 6 ?? T1 a1 ? p0 \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 x1 → Type[0].
173   ∀a2:T2 a0 (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 ? a0) a1 (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 ? a1).
174   ∀T3:∀x0:T0. ∀p0:a0\ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6x0. ∀x1:T1 x0 p0.∀p1:\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/R1.def(2)"\ 6R1\ 5/a\ 6 ?? T1 a1 ? p0 \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 x1.
175       ∀x2:T2 x0 p0 x1 p1.\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/R2.def(3)"\ 6R2\ 5/a\ 6 ???? T2 a2 x0 p0 ? p1 \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 x2 → Type[0].
176   ∀a3:T3 a0 (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 ? a0) a1 (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 ? a1) a2 (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 ? a2).
177   ∀b0:T0.
178   ∀e0:a0 \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 b0.
179   ∀b1: T1 b0 e0.
180   ∀e1:\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/R1.def(2)"\ 6R1\ 5/a\ 6 ?? T1 a1 ? e0 \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 b1.
181   ∀b2: T2 b0 e0 b1 e1.
182   ∀e2:\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/R2.def(3)"\ 6R2\ 5/a\ 6 ???? T2 a2 b0 e0 ? e1 \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 b2.
183   T3 b0 e0 b1 e1 b2 e2.
184 #T0 #a0 #T1 #a1 #T2 #a2 #T3 #a3 #b0 #e0 #b1 #e1 #b2 #e2 
185 @(\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq_rect_Type0.fix(0,5,1)"\ 6eq_rect_Type0\ 5/a\ 6 ????? e2) 
186 @(\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/R2.def(3)"\ 6R2\ 5/a\ 6 ?? ? ???? e0 ? e1) 
187 @a3 
188 qed.
189
190 definition R4 :
191   ∀T0:Type[0].
192   ∀a0:T0.
193   ∀T1:∀x0:T0. \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.ind(1,0,2)"\ 6eq\ 5/a\ 6 T0 a0 x0 → Type[0].
194   ∀a1:T1 a0 (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 T0 a0).
195   ∀T2:∀x0:T0. ∀p0:\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.ind(1,0,2)"\ 6eq\ 5/a\ 6 (T0 …) a0 x0. ∀x1:T1 x0 p0.\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.ind(1,0,2)"\ 6eq\ 5/a\ 6 (T1 …) (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/R1.def(2)"\ 6R1\ 5/a\ 6 T0 a0 T1 a1 x0 p0) x1 → Type[0].
196   ∀a2:T2 a0 (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 T0 a0) a1 (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 (T1 a0 (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 T0 a0)) a1).
197   ∀T3:∀x0:T0. ∀p0:\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.ind(1,0,2)"\ 6eq\ 5/a\ 6 (T0 …) a0 x0. ∀x1:T1 x0 p0.∀p1:\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.ind(1,0,2)"\ 6eq\ 5/a\ 6 (T1 …) (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/R1.def(2)"\ 6R1\ 5/a\ 6 T0 a0 T1 a1 x0 p0) x1.
198       ∀x2:T2 x0 p0 x1 p1.\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.ind(1,0,2)"\ 6eq\ 5/a\ 6 (T2 …) (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/R2.def(3)"\ 6R2\ 5/a\ 6 T0 a0 T1 a1 T2 a2 x0 p0 x1 p1) x2 → Type[0].
199   ∀a3:T3 a0 (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 T0 a0) a1 (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 (T1 a0 (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 T0 a0)) a1) 
200       a2 (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 (T2 a0 (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 T0 a0) a1 (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 (T1 a0 (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 T0 a0)) a1)) a2). 
201   ∀T4:∀x0:T0. ∀p0:\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.ind(1,0,2)"\ 6eq\ 5/a\ 6 (T0 …) a0 x0. ∀x1:T1 x0 p0.∀p1:\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.ind(1,0,2)"\ 6eq\ 5/a\ 6 (T1 …) (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/R1.def(2)"\ 6R1\ 5/a\ 6 T0 a0 T1 a1 x0 p0) x1.
202       ∀x2:T2 x0 p0 x1 p1.∀p2:\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.ind(1,0,2)"\ 6eq\ 5/a\ 6 (T2 …) (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/R2.def(3)"\ 6R2\ 5/a\ 6 T0 a0 T1 a1 T2 a2 x0 p0 x1 p1) x2.
203       ∀x3:T3 x0 p0 x1 p1 x2 p2.∀p3:\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.ind(1,0,2)"\ 6eq\ 5/a\ 6 (T3 …) (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/R3.def(4)"\ 6R3\ 5/a\ 6 T0 a0 T1 a1 T2 a2 T3 a3 x0 p0 x1 p1 x2 p2) x3. 
204       Type[0].
205   ∀a4:T4 a0 (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 T0 a0) a1 (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 (T1 a0 (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 T0 a0)) a1) 
206       a2 (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 (T2 a0 (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 T0 a0) a1 (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 (T1 a0 (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 T0 a0)) a1)) a2) 
207       a3 (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 (T3 a0 (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 T0 a0) a1 (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 (T1 a0 (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 T0 a0)) a1) 
208                    a2 (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 (T2 a0 (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 T0 a0) a1 (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 (T1 a0 (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 T0 a0)) a1)) a2))
209                    a3).
210   ∀b0:T0.
211   ∀e0:\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.ind(1,0,2)"\ 6eq\ 5/a\ 6 (T0 …) a0 b0.
212   ∀b1: T1 b0 e0.
213   ∀e1:\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.ind(1,0,2)"\ 6eq\ 5/a\ 6 (T1 …) (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/R1.def(2)"\ 6R1\ 5/a\ 6 T0 a0 T1 a1 b0 e0) b1.
214   ∀b2: T2 b0 e0 b1 e1.
215   ∀e2:\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.ind(1,0,2)"\ 6eq\ 5/a\ 6 (T2 …) (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/R2.def(3)"\ 6R2\ 5/a\ 6 T0 a0 T1 a1 T2 a2 b0 e0 b1 e1) b2.
216   ∀b3: T3 b0 e0 b1 e1 b2 e2.
217   ∀e3:\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.ind(1,0,2)"\ 6eq\ 5/a\ 6 (T3 …) (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/R3.def(4)"\ 6R3\ 5/a\ 6 T0 a0 T1 a1 T2 a2 T3 a3 b0 e0 b1 e1 b2 e2) b3.
218   T4 b0 e0 b1 e1 b2 e2 b3 e3.
219 #T0 #a0 #T1 #a1 #T2 #a2 #T3 #a3 #T4 #a4 #b0 #e0 #b1 #e1 #b2 #e2 #b3 #e3 
220 @(\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq_rect_Type0.fix(0,5,1)"\ 6eq_rect_Type0\ 5/a\ 6 ????? e3) 
221 @(\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/R3.def(4)"\ 6R3\ 5/a\ 6 ????????? e0 ? e1 ? e2)
222 @a4 
223 qed.
224
225 (* TODO concrete definition by means of proof irrelevance *)
226 axiom streicherK : ∀T:Type[1].∀t:T.∀P:t \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 t → Type[2].P (\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq.con(0,1,2)"\ 6refl\ 5/a\ 6 ? t) → ∀p.P p.