weblib/flagtest/prova.ma

   1 <<<<<<< .mine
   2 (* scriptino *)=======
   3 (*
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  11      \ /
  12       V_______________________________________________________________ *)
  13
  14 include "basics/relations.ma".
  15
  16 inductive nat : Type[0] ≝
  17   | O : nat
  18   | S : nat → nat.
  19
  20 interpretation "Natural numbers" 'N = nat.
  21
  22 alias num (instance 0) = "natural number".
  23
  24 definition pred ≝
  25  λn. match n with [ O ⇒ \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,1,0)"\ 6O\ 5/a\ 6 | S p ⇒ p].
  26
  27 theorem pred_Sn : ∀n.n \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/pred.def(1)"\ 6pred\ 5/a\ 6 (\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 n).
  28 // qed.
  29
  30 theorem injective_S : \ 5a href="cic:/matita/basics/relations/injective.def(1)"\ 6injective\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6.
  31 // qed.
  32
  33 (*
  34 theorem inj_S : \forall n,m:nat.(S n)=(S m) \to n=m.
  35 //. qed. *)
  36
  37 theorem not_eq_S: ∀n,m:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6. n \ 5a title="leibnitz's non-equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≠\ 5/a\ 6 m → \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 n \ 5a title="leibnitz's non-equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≠\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 m.
  38 /2/ qed.
  39
  40 definition not_zero: \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6 → Prop ≝
  41  λn: \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6. match n with [ O ⇒ \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/False.ind(1,0,0)"\ 6False\ 5/a\ 6 | (S p) ⇒ \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/True.ind(1,0,0)"\ 6True\ 5/a\ 6 ].
  42
  43 theorem not_eq_O_S : ∀n:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6. \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,1,0)"\ 6O\ 5/a\ 6 \ 5a title="leibnitz's non-equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≠\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 n.
  44 #n @\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/Not.con(0,1,1)"\ 6nmk\ 5/a\ 6 #eqOS (change with (\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/not_zero.def(1)"\ 6not_zero\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,1,0)"\ 6O\ 5/a\ 6)) >eqOS // qed.
  45
  46 theorem not_eq_n_Sn: ∀n:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6. n \ 5a title="leibnitz's non-equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≠\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 n.
  47 #n (elim n) /2/ qed.
  48
  49 theorem nat_case:
  50  ∀n:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6.∀P:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6 → Prop.
  51   (n\ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,1,0)"\ 6O\ 5/a\ 6 → P \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,1,0)"\ 6O\ 5/a\ 6) → (∀m:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6. n\ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 m → P (\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 m)) → P n.
  52 #n #P (elim n) /2/ qed.
  53
  54 theorem nat_elim2 :
  55  ∀R:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6 → \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6 → Prop.
  56   (∀n:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6. R \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,1,0)"\ 6O\ 5/a\ 6 n)
  57   → (∀n:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6. R (\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 n) \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,1,0)"\ 6O\ 5/a\ 6)
  58   → (∀n,m:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6. R n m → R (\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 n) (\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 m))
  59   → ∀n,m:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6. R n m.
  60 #R #ROn #RSO #RSS #n (elim n) // #n0 #Rn0m #m (cases m) /2/ qed.
  61
  62 theorem decidable_eq_nat : ∀n,m:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6.\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/decidable.def(1)"\ 6decidable\ 5/a\ 6 (n\ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6m).
  63 @\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat_elim2.def(2)"\ 6nat_elim2\ 5/a\ 6 #n [ (cases n) /2/ | /3/ | #m #Hind (cases Hind) /3/]
  64 qed.
  65
  66 (*************************** plus ******************************)
  67
  68 let rec plus n m ≝
  69  match n with [ O ⇒ m | S p ⇒ \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 (plus p m) ].
  70
  71 interpretation "natural plus" 'plus x y = (plus x y).
  72
  73 theorem plus_O_n: ∀n:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6. n \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,1,0)"\ 6O\ 5/a\ 6\ 5a title="natural plus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6+\ 5/a\ 6n.
  74 // qed.
  75
  76 (*
  77 theorem plus_Sn_m: ∀n,m:nat. S (n + m) = S n + m.
  78 // qed.
  79 *)
  80
  81 theorem plus_n_O: ∀n:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6. n \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 n\ 5a title="natural plus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6+\ 5/a\ 6\ 5a title="natural number" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 60\ 5/a\ 6.
  82 #n (elim n) normalize // qed.
  83
  84 theorem plus_n_Sm : ∀n,m:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6. \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 (n\ 5a title="natural plus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6+\ 5/a\ 6m) \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 n \ 5a title="natural plus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6+\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 m.
  85 #n (elim n) normalize // qed.
  86
  87 (*
  88 theorem plus_Sn_m1: ∀n,m:nat. S m + n = n + S m.
  89 #n (elim n) normalize // qed.
  90 *)
  91
  92 (* deleterio?
  93 theorem plus_n_1 : ∀n:nat. S n = n+1.
  94 // qed.
  95 *)
  96
  97 theorem commutative_plus: \ 5a href="cic:/matita/basics/relations/commutative.def(1)"\ 6commutative\ 5/a\ 6 ? \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/plus.fix(0,0,1)"\ 6plus\ 5/a\ 6.
  98 #n (elim n) normalize // qed.
  99
 100 theorem associative_plus : \ 5a href="cic:/matita/basics/relations/associative.def(1)"\ 6associative\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/plus.fix(0,0,1)"\ 6plus\ 5/a\ 6.
 101 #n (elim n) normalize // qed.
 102
 103 theorem assoc_plus1: ∀a,b,c. c \ 5a title="natural plus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6+\ 5/a\ 6 (b \ 5a title="natural plus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6+\ 5/a\ 6 a) \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 b \ 5a title="natural plus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6+\ 5/a\ 6 c \ 5a title="natural plus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6+\ 5/a\ 6 a.
 104 // qed.
 105
 106 theorem injective_plus_r: ∀n:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6.\ 5a href="cic:/matita/basics/relations/injective.def(1)"\ 6injective\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6 (λm.n\ 5a title="natural plus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6+\ 5/a\ 6m).
 107 #n (elim n) normalize /3/ qed.
 108
 109 (* theorem inj_plus_r: \forall p,n,m:nat. p+n = p+m \to n=m
 110 \def injective_plus_r.
 111
 112 theorem injective_plus_l: ∀m:nat.injective nat nat (λn.n+m).
 113 /2/ qed. *)
 114
 115 (* theorem inj_plus_l: \forall p,n,m:nat. n+p = m+p \to n=m
 116 \def injective_plus_l. *)
 117
 118 (*************************** times *****************************)
 119
 120 let rec times n m ≝
 121  match n with [ O ⇒ \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,1,0)"\ 6O\ 5/a\ 6 | S p ⇒ m\ 5a title="natural plus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6+\ 5/a\ 6(times p m) ].
 122
 123 interpretation "natural times" 'times x y = (times x y).
 124
 125 theorem times_Sn_m: ∀n,m:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6. m\ 5a title="natural plus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6+\ 5/a\ 6n\ 5a title="natural times" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6*\ 5/a\ 6m \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 n\ 5a title="natural times" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6*\ 5/a\ 6m.
 126 // qed.
 127
 128 theorem times_O_n: ∀n:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6. \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,1,0)"\ 6O\ 5/a\ 6 \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,1,0)"\ 6O\ 5/a\ 6\ 5a title="natural times" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6*\ 5/a\ 6n.
 129 // qed.
 130
 131 theorem times_n_O: ∀n:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6. \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,1,0)"\ 6O\ 5/a\ 6 \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 n\ 5a title="natural times" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6*\ 5/a\ 6\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,1,0)"\ 6O\ 5/a\ 6.
 132 #n (elim n) // qed.
 133
 134 theorem times_n_Sm : ∀n,m:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6. n\ 5a title="natural plus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6+\ 5/a\ 6(n\ 5a title="natural times" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6*\ 5/a\ 6m) \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 n\ 5a title="natural times" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6*\ 5/a\ 6(\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 m).
 135 #n (elim n) normalize // qed.
 136
 137 theorem commutative_times : \ 5a href="cic:/matita/basics/relations/commutative.def(1)"\ 6commutative\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/times.fix(0,0,2)"\ 6times\ 5/a\ 6.
 138 #n (elim n) normalize // qed.
 139
 140 (* variant sym_times : \forall n,m:nat. n*m = m*n \def
 141 symmetric_times. *)
 142
 143 theorem distributive_times_plus : \ 5a href="cic:/matita/basics/relations/distributive.def(1)"\ 6distributive\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/times.fix(0,0,2)"\ 6times\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/plus.fix(0,0,1)"\ 6plus\ 5/a\ 6.
 144 #n (elim n) normalize // qed.
 145
 146 theorem distributive_times_plus_r :
 147   ∀a,b,c:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6. (b\ 5a title="natural plus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6+\ 5/a\ 6c)\ 5a title="natural times" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6*\ 5/a\ 6a \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 b\ 5a title="natural times" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6*\ 5/a\ 6a \ 5a title="natural plus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6+\ 5/a\ 6 c\ 5a title="natural times" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6*\ 5/a\ 6a.
 148 // qed.
 149
 150 theorem associative_times: \ 5a href="cic:/matita/basics/relations/associative.def(1)"\ 6associative\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/times.fix(0,0,2)"\ 6times\ 5/a\ 6.
 151 #n (elim n) normalize // qed.
 152
 153 lemma times_times: ∀x,y,z. x\ 5a title="natural times" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6*\ 5/a\ 6(y\ 5a title="natural times" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6*\ 5/a\ 6z) \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 y\ 5a title="natural times" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6*\ 5/a\ 6(x\ 5a title="natural times" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6*\ 5/a\ 6z).
 154 // qed.
 155
 156 theorem times_n_1 : ∀n:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6. n \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 n \ 5a title="natural times" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6*\ 5/a\ 6 \ 5a title="natural number" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 61\ 5/a\ 6.
 157 #n // qed.
 158
 159 (* ci servono questi risultati?
 160 theorem times_O_to_O: ∀n,m:nat.n*m=O → n=O ∨ m=O.
 161 napply nat_elim2 /2/
 162 #n #m #H normalize #H1 napply False_ind napply not_eq_O_S
 163 // qed.
 164
 165 theorem times_n_SO : ∀n:nat. n = n * S O.
 166 #n // qed.
 167
 168 theorem times_SSO_n : ∀n:nat. n + n = (S(S O)) * n.
 169 normalize // qed.
 170
 171 nlemma times_SSO: \forall n.(S(S O))*(S n) = S(S((S(S O))*n)).
 172 // qed.
 173
 174 theorem or_eq_eq_S: \forall n.\exists m.
 175 n = (S(S O))*m \lor n = S ((S(S O))*m).
 176 #n (elim n)
 177   ##[@ /2/
 178   ##|#a #H nelim H #b#ornelim or#aeq
 179     ##[@ b @ 2 //
 180     ##|@ (S b) @ 1 /2/
 181     ##]
 182 qed.
 183 *)
 184
 185 (******************** ordering relations ************************)
 186
 187 inductive le (n:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6) : \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6 → Prop ≝
 188   | le_n : le n n
 189   | le_S : ∀ m:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6. le n m → le n (\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 m).
 190
 191 interpretation "natural 'less or equal to'" 'leq x y = (le x y).
 192
 193 interpretation "natural 'neither less nor equal to'" 'nleq x y = (Not (le x y)).
 194
 195 definition lt: \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6 → \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6 → Prop ≝ λn,m. \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 n \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 m.
 196
 197 interpretation "natural 'less than'" 'lt x y = (lt x y).
 198 interpretation "natural 'not less than'" 'nless x y = (Not (lt x y)).
 199
 200 (* lemma eq_lt: ∀n,m. (n < m) = (S n ≤ m).
 201 // qed. *)
 202
 203 definition ge: \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6 → \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6 → Prop ≝ λn,m.m \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 n.
 204
 205 interpretation "natural 'greater or equal to'" 'geq x y = (ge x y).
 206
 207 definition gt: \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6 → \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6 → Prop ≝ λn,m.m\ 5a title="natural 'less than'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6<\ 5/a\ 6n.
 208
 209 interpretation "natural 'greater than'" 'gt x y = (gt x y).
 210 interpretation "natural 'not greater than'" 'ngtr x y = (Not (gt x y)).
 211
 212 theorem transitive_le : \ 5a href="cic:/matita/basics/relations/transitive.def(2)"\ 6transitive\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/le.ind(1,0,1)"\ 6le\ 5/a\ 6.
 213 #a #b #c #leab #lebc (elim lebc) /2/
 214 qed.
 215
 216 (*
 217 theorem trans_le: \forall n,m,p:nat. n \leq m \to m \leq p \to n \leq p
 218 \def transitive_le. *)
 219
 220 theorem transitive_lt: \ 5a href="cic:/matita/basics/relations/transitive.def(2)"\ 6transitive\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/lt.def(1)"\ 6lt\ 5/a\ 6.
 221 #a #b #c #ltab #ltbc (elim ltbc) /2/qed.
 222
 223 (*
 224 theorem trans_lt: \forall n,m,p:nat. lt n m \to lt m p \to lt n p
 225 \def transitive_lt. *)
 226
 227 theorem le_S_S: ∀n,m:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6. n \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 m → \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 n \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 m.
 228 #n #m #lenm (elim lenm) /2/ qed.
 229
 230 theorem le_O_n : ∀n:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6. \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,1,0)"\ 6O\ 5/a\ 6 \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 n.
 231 #n (elim n) /2/ qed.
 232
 233 theorem le_n_Sn : ∀n:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6. n \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 n.
 234 /2/ qed.
 235
 236 theorem le_pred_n : ∀n:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6. \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/pred.def(1)"\ 6pred\ 5/a\ 6 n \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 n.
 237 #n (elim n) // qed.
 238
 239 theorem monotonic_pred: \ 5a href="cic:/matita/basics/relations/monotonic.def(1)"\ 6monotonic\ 5/a\ 6 ? \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/le.ind(1,0,1)"\ 6le\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/pred.def(1)"\ 6pred\ 5/a\ 6.
 240 #n #m #lenm (elim lenm) /2/ qed.
 241
 242 theorem le_S_S_to_le: ∀n,m:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6. \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 n \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 m → n \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 m.
 243 (* demo *)
 244 /2/ qed.
 245
 246 (* this are instances of the le versions
 247 theorem lt_S_S_to_lt: ∀n,m. S n < S m → n < m.
 248 /2/ qed.
 249
 250 theorem lt_to_lt_S_S: ∀n,m. n < m → S n < S m.
 251 /2/ qed. *)
 252
 253 theorem lt_to_not_zero : ∀n,m:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6. n \ 5a title="natural 'less than'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6<\ 5/a\ 6 m → \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/not_zero.def(1)"\ 6not_zero\ 5/a\ 6 m.
 254 #n #m #Hlt (elim Hlt) // qed.
 255
 256 (* lt vs. le *)
 257 theorem not_le_Sn_O: ∀ n:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6. \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 n \ 5a title="natural 'neither less nor equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≰\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,1,0)"\ 6O\ 5/a\ 6.
 258 #n @\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/Not.con(0,1,1)"\ 6nmk\ 5/a\ 6 #Hlen0 @(\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/lt_to_not_zero.def(2)"\ 6lt_to_not_zero\ 5/a\ 6 ?? Hlen0) qed.
 259
 260 theorem not_le_to_not_le_S_S: ∀ n,m:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6. n \ 5a title="natural 'neither less nor equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≰\ 5/a\ 6 m → \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 n \ 5a title="natural 'neither less nor equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≰\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 m.
 261 /3/ qed.
 262
 263 theorem not_le_S_S_to_not_le: ∀ n,m:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6. \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 n \ 5a title="natural 'neither less nor equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≰\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 m → n \ 5a title="natural 'neither less nor equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≰\ 5/a\ 6 m.
 264 /3/ qed.
 265
 266 theorem decidable_le: ∀n,m. \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/decidable.def(1)"\ 6decidable\ 5/a\ 6 (n\ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6m).
 267 @\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat_elim2.def(2)"\ 6nat_elim2\ 5/a\ 6 #n /2/ #m * /3/ qed.
 268
 269 theorem decidable_lt: ∀n,m. \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/decidable.def(1)"\ 6decidable\ 5/a\ 6 (n \ 5a title="natural 'less than'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6<\ 5/a\ 6 m).
 270 #n #m @\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/decidable_le.def(6)"\ 6decidable_le\ 5/a\ 6  qed.
 271
 272 theorem not_le_Sn_n: ∀n:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6. \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 n \ 5a title="natural 'neither less nor equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≰\ 5/a\ 6 n.
 273 #n (elim n) /2/ qed.
 274
 275 (* this is le_S_S_to_le
 276 theorem lt_S_to_le: ∀n,m:nat. n < S m → n ≤ m.
 277 /2/ qed.
 278 *)
 279
 280 lemma le_gen: ∀P:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6 → Prop.∀n.(∀i. i \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 n → P i) → P n.
 281 /2/ qed.
 282
 283 theorem not_le_to_lt: ∀n,m. n \ 5a title="natural 'neither less nor equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≰\ 5/a\ 6 m → m \ 5a title="natural 'less than'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6<\ 5/a\ 6 n.
 284 @\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat_elim2.def(2)"\ 6nat_elim2\ 5/a\ 6 #n
 285  [#abs @\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/False_ind.fix(0,1,1)"\ 6False_ind\ 5/a\ 6 /2/
 286  |/2/
 287  |#m #Hind #HnotleSS @\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/le_S_S.def(2)"\ 6le_S_S\ 5/a\ 6 /3/
 288  ]
 289 qed.
 290
 291 theorem lt_to_not_le: ∀n,m. n \ 5a title="natural 'less than'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6<\ 5/a\ 6 m → m \ 5a title="natural 'neither less nor equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≰\ 5/a\ 6 n.
 292 #n #m #Hltnm (elim Hltnm) /3/ qed.
 293
 294 theorem not_lt_to_le: ∀n,m:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6. n \ 5a title="natural 'not less than'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≮\ 5/a\ 6 m → m \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 n.
 295 /4/ qed.
 296
 297 theorem le_to_not_lt: ∀n,m:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6. n \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 m → m \ 5a title="natural 'not less than'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≮\ 5/a\ 6 n.
 298 #n #m #H @\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/lt_to_not_le.def(7)"\ 6lt_to_not_le\ 5/a\ 6 /2/ (* /3/ *) qed.
 299
 300 (* lt and le trans *)
 301
 302 theorem lt_to_le_to_lt: ∀n,m,p:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6. n \ 5a title="natural 'less than'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6<\ 5/a\ 6 m → m \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 p → n \ 5a title="natural 'less than'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6<\ 5/a\ 6 p.
 303 #n #m #p #H #H1 (elim H1) /2/ qed.
 304
 305 theorem le_to_lt_to_lt: ∀n,m,p:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6. n \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 m → m \ 5a title="natural 'less than'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6<\ 5/a\ 6 p → n \ 5a title="natural 'less than'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6<\ 5/a\ 6 p.
 306 #n #m #p #H (elim H) /3/ qed.
 307
 308 theorem lt_S_to_lt: ∀n,m. \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 n \ 5a title="natural 'less than'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6<\ 5/a\ 6 m → n \ 5a title="natural 'less than'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6<\ 5/a\ 6 m.
 309 /2/ qed.
 310
 311 theorem ltn_to_ltO: ∀n,m:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6. n \ 5a title="natural 'less than'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6<\ 5/a\ 6 m → \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,1,0)"\ 6O\ 5/a\ 6 \ 5a title="natural 'less than'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6<\ 5/a\ 6 m.
 312 /2/ qed.
 313
 314 (*
 315 theorem lt_SO_n_to_lt_O_pred_n: \forall n:nat.
 316 (S O) \lt n \to O \lt (pred n).
 317 intros.
 318 apply (ltn_to_ltO (pred (S O)) (pred n) ?).
 319  apply (lt_pred (S O) n)
 320  [ apply (lt_O_S O)
 321  | assumption
 322  ]
 323 qed. *)
 324
 325 theorem lt_O_n_elim: ∀n:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6. \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,1,0)"\ 6O\ 5/a\ 6 \ 5a title="natural 'less than'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6<\ 5/a\ 6 n →
 326   ∀P:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6 → Prop.(∀m:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6.P (\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 m)) → P n.
 327 #n (elim n) // #abs @\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/False_ind.fix(0,1,1)"\ 6False_ind\ 5/a\ 6 /2/
 328 qed.
 329
 330 theorem S_pred: ∀n. \ 5a title="natural number" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 60\ 5/a\ 6 \ 5a title="natural 'less than'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6<\ 5/a\ 6 n → \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6(\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/pred.def(1)"\ 6pred\ 5/a\ 6 n) \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 n.
 331 #n #posn (cases posn) //
 332 qed.
 333
 334 (*
 335 theorem lt_pred: \forall n,m.
 336   O < n \to n < m \to pred n < pred m.
 337 apply nat_elim2
 338   [intros.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O ? H)
 339   |intros.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O ? H1)
 340   |intros.simplify.unfold.apply le_S_S_to_le.assumption
 341   ]
 342 qed.
 343
 344 theorem le_pred_to_le:
 345  ∀n,m. O < m → pred n ≤ pred m → n ≤ m.
 346 intros 2
 347 elim n
 348 [ apply le_O_n
 349 | simplify in H2
 350   rewrite > (S_pred m)
 351   [ apply le_S_S
 352     assumption
 353   | assumption
 354   ]
 355 ].
 356 qed.
 357
 358 *)
 359
 360 (* le to lt or eq *)
 361 theorem le_to_or_lt_eq: ∀n,m:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6. n \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 m → n \ 5a title="natural 'less than'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6<\ 5/a\ 6 m \ 5a title="logical or" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∨\ 5/a\ 6 n \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 m.
 362 #n #m #lenm (elim lenm) /3/ qed.
 363
 364 (* not eq *)
 365 theorem lt_to_not_eq : ∀n,m:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6. n \ 5a title="natural 'less than'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6<\ 5/a\ 6 m → n \ 5a title="leibnitz's non-equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≠\ 5/a\ 6 m.
 366 #n #m #H @\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/not_to_not.def(3)"\ 6not_to_not\ 5/a\ 6 /2/ qed.
 367
 368 (*not lt
 369 theorem eq_to_not_lt: ∀a,b:nat. a = b → a ≮ b.
 370 intros.
 371 unfold Not.
 372 intros.
 373 rewrite > H in H1.
 374 apply (lt_to_not_eq b b)
 375 [ assumption
 376 | reflexivity
 377 ]
 378 qed.
 379
 380 theorem lt_n_m_to_not_lt_m_Sn: ∀n,m. n < m → m ≮ S n.
 381 intros
 382 unfold Not
 383 intro
 384 unfold lt in H
 385 unfold lt in H1
 386 generalize in match (le_S_S ? ? H)
 387 intro
 388 generalize in match (transitive_le ? ? ? H2 H1)
 389 intro
 390 apply (not_le_Sn_n ? H3).
 391 qed. *)
 392
 393 theorem not_eq_to_le_to_lt: ∀n,m. n\ 5a title="leibnitz's non-equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≠\ 5/a\ 6m → n\ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6m → n\ 5a title="natural 'less than'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6<\ 5/a\ 6m.
 394 #n #m #Hneq #Hle cases (\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/le_to_or_lt_eq.def(5)"\ 6le_to_or_lt_eq\ 5/a\ 6 ?? Hle) //
 395 #Heq /3/ qed.
 396 (*
 397 nelim (Hneq Heq) qed. *)
 398
 399 (* le elimination *)
 400 theorem le_n_O_to_eq : ∀n:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6. n \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,1,0)"\ 6O\ 5/a\ 6 → \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,1,0)"\ 6O\ 5/a\ 6\ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6n.
 401 #n (cases n) // #a  #abs @\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/False_ind.fix(0,1,1)"\ 6False_ind\ 5/a\ 6 /2/ qed.
 402
 403 theorem le_n_O_elim: ∀n:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6. n \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,1,0)"\ 6O\ 5/a\ 6 → ∀P: \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6 →Prop. P \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,1,0)"\ 6O\ 5/a\ 6 → P n.
 404 #n (cases n) // #a #abs @\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/False_ind.fix(0,1,1)"\ 6False_ind\ 5/a\ 6 /2/ qed.
 405
 406 theorem le_n_Sm_elim : ∀n,m:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6.n \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 m →
 407 ∀P:Prop. (\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 n \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 m → P) → (n\ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 m → P) → P.
 408 #n #m #Hle #P (elim Hle) /3/ qed.
 409
 410 (* le and eq *)
 411
 412 theorem le_to_le_to_eq: ∀n,m. n \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 m → m \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 n → n \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 m.
 413 @\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat_elim2.def(2)"\ 6nat_elim2\ 5/a\ 6 /4/
 414 qed.
 415
 416 theorem lt_O_S : ∀n:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6. \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,1,0)"\ 6O\ 5/a\ 6 \ 5a title="natural 'less than'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6<\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 n.
 417 /2/ qed.
 418
 419 (*
 420 (* other abstract properties *)
 421 theorem antisymmetric_le : antisymmetric nat le.
 422 unfold antisymmetric.intros 2.
 423 apply (nat_elim2 (\lambda n,m.(n \leq m \to m \leq n \to n=m))).
 424 intros.apply le_n_O_to_eq.assumption.
 425 intros.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O ? H).
 426 intros.apply eq_f.apply H.
 427 apply le_S_S_to_le.assumption.
 428 apply le_S_S_to_le.assumption.
 429 qed.
 430
 431 theorem antisym_le: \forall n,m:nat. n \leq m \to m \leq n \to n=m
 432 \def antisymmetric_le.
 433
 434 theorem le_n_m_to_lt_m_Sn_to_eq_n_m: ∀n,m. n ≤ m → m < S n → n=m.
 435 intros
 436 unfold lt in H1
 437 generalize in match (le_S_S_to_le ? ? H1)
 438 intro
 439 apply antisym_le
 440 assumption.
 441 qed.
 442 *)
 443
 444 (* well founded induction principles *)
 445
 446 theorem nat_elim1 : ∀n:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6.∀P:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6 → Prop.
 447 (∀m.(∀p. p \ 5a title="natural 'less than'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6<\ 5/a\ 6 m → P p) → P m) → P n.
 448 #n #P #H
 449 cut (∀q:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6. q \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 n → P q) /2/
 450 (elim n)
 451  [#q #HleO (* applica male *)
 452     @(\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/le_n_O_elim.def(4)"\ 6le_n_O_elim\ 5/a\ 6 ? HleO)
 453     @H #p #ltpO @\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/False_ind.fix(0,1,1)"\ 6False_ind\ 5/a\ 6 /2/ (* 3 *)
 454  |#p #Hind #q #HleS
 455     @H #a #lta @Hind @\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/le_S_S_to_le.def(5)"\ 6le_S_S_to_le\ 5/a\ 6 /2/
 456  ]
 457 qed.
 458
 459 (* some properties of functions *)
 460
 461 definition increasing ≝ λf:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6 → \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6. ∀n:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6. f n \ 5a title="natural 'less than'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6<\ 5/a\ 6 f (\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 n).
 462
 463 theorem increasing_to_monotonic: ∀f:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6 → \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6.
 464   \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/increasing.def(2)"\ 6increasing\ 5/a\ 6 f → \ 5a href="cic:/matita/basics/relations/monotonic.def(1)"\ 6monotonic\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/lt.def(1)"\ 6lt\ 5/a\ 6 f.
 465 #f #incr #n #m #ltnm (elim ltnm) /2/
 466 qed.
 467
 468 theorem le_n_fn: ∀f:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6 → \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6.
 469   \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/increasing.def(2)"\ 6increasing\ 5/a\ 6 f → ∀n:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6. n \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 f n.
 470 #f #incr #n (elim n) /2/
 471 qed.
 472
 473 theorem increasing_to_le: ∀f:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6 → \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6.
 474   \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/increasing.def(2)"\ 6increasing\ 5/a\ 6 f → ∀m:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6.\ 5a title="exists" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∃\ 5/a\ 6i.m \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 f i.
 475 #f #incr #m (elim m) /2/#n * #a #lenfa
 476 @(\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/ex.con(0,1,2)"\ 6ex_intro\ 5/a\ 6 ?? (\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 a)) /2/
 477 qed.
 478
 479 theorem increasing_to_le2: ∀f:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6 → \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6. \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/increasing.def(2)"\ 6increasing\ 5/a\ 6 f →
 480   ∀m:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6. f \ 5a title="natural number" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 60\ 5/a\ 6 \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 m → \ 5a title="exists" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∃\ 5/a\ 6i. f i \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 m \ 5a title="logical and" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∧\ 5/a\ 6 m \ 5a title="natural 'less than'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6<\ 5/a\ 6 f (\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 i).
 481 #f #incr #m #lem (elim lem)
 482   [@(\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/ex.con(0,1,2)"\ 6ex_intro\ 5/a\ 6 ? ? \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,1,0)"\ 6O\ 5/a\ 6) /2/
 483   |#n #len * #a * #len #ltnr (cases(\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/le_to_or_lt_eq.def(5)"\ 6le_to_or_lt_eq\ 5/a\ 6 … ltnr)) #H
 484     [@(\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/ex.con(0,1,2)"\ 6ex_intro\ 5/a\ 6 ? ? a) % /2/
 485     |@(\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/ex.con(0,1,2)"\ 6ex_intro\ 5/a\ 6 ? ? (\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 a)) % //
 486     ]
 487   ]
 488 qed.
 489
 490 theorem increasing_to_injective: ∀f:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6 → \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6.
 491   \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/increasing.def(2)"\ 6increasing\ 5/a\ 6 f → \ 5a href="cic:/matita/basics/relations/injective.def(1)"\ 6injective\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6 f.
 492 #f #incr #n #m cases(\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/decidable_le.def(6)"\ 6decidable_le\ 5/a\ 6 n m)
 493   [#lenm cases(\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/le_to_or_lt_eq.def(5)"\ 6le_to_or_lt_eq\ 5/a\ 6 … lenm) //
 494    #lenm #eqf @\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/False_ind.fix(0,1,1)"\ 6False_ind\ 5/a\ 6 @(\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/absurd.def(2)"\ 6absurd\ 5/a\ 6 … eqf) @\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/lt_to_not_eq.def(7)"\ 6lt_to_not_eq\ 5/a\ 6
 495    @\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/increasing_to_monotonic.def(4)"\ 6increasing_to_monotonic\ 5/a\ 6 //
 496   |#nlenm #eqf @\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/False_ind.fix(0,1,1)"\ 6False_ind\ 5/a\ 6 @(\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/absurd.def(2)"\ 6absurd\ 5/a\ 6 … eqf) @\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/sym_not_eq.def(4)"\ 6sym_not_eq\ 5/a\ 6
 497    @\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/lt_to_not_eq.def(7)"\ 6lt_to_not_eq\ 5/a\ 6 @\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/increasing_to_monotonic.def(4)"\ 6increasing_to_monotonic\ 5/a\ 6 /2/
 498   ]
 499 qed.
 500
 501 (*********************** monotonicity ***************************)
 502 theorem monotonic_le_plus_r:
 503 ∀n:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6.\ 5a href="cic:/matita/basics/relations/monotonic.def(1)"\ 6monotonic\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/le.ind(1,0,1)"\ 6le\ 5/a\ 6 (λm.n \ 5a title="natural plus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6+\ 5/a\ 6 m).
 504 #n #a #b (elim n) normalize //
 505 #m #H #leab @\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/le_S_S.def(2)"\ 6le_S_S\ 5/a\ 6 /2/ qed.
 506
 507 (*
 508 theorem le_plus_r: ∀p,n,m:nat. n ≤ m → p + n ≤ p + m
 509 ≝ monotonic_le_plus_r. *)
 510
 511 theorem monotonic_le_plus_l:
 512 ∀m:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6.\ 5a href="cic:/matita/basics/relations/monotonic.def(1)"\ 6monotonic\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/le.ind(1,0,1)"\ 6le\ 5/a\ 6 (λn.n \ 5a title="natural plus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6+\ 5/a\ 6 m).
 513 /2/ qed.
 514
 515 (*
 516 theorem le_plus_l: \forall p,n,m:nat. n \le m \to n + p \le m + p
 517 \def monotonic_le_plus_l. *)
 518
 519 theorem le_plus: ∀n1,n2,m1,m2:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6. n1 \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 n2  → m1 \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 m2
 520 → n1 \ 5a title="natural plus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6+\ 5/a\ 6 m1 \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 n2 \ 5a title="natural plus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6+\ 5/a\ 6 m2.
 521 #n1 #n2 #m1 #m2 #len #lem @(\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/transitive_le.def(3)"\ 6transitive_le\ 5/a\ 6 ? (n1\ 5a title="natural plus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6+\ 5/a\ 6m2))
 522 /2/ qed.
 523
 524 theorem le_plus_n :∀n,m:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6. m \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 n \ 5a title="natural plus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6+\ 5/a\ 6 m.
 525 /2/ qed.
 526
 527 lemma le_plus_a: ∀a,n,m. n \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 m → n \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 a \ 5a title="natural plus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6+\ 5/a\ 6 m.
 528 /2/ qed.
 529
 530 lemma le_plus_b: ∀b,n,m. n \ 5a title="natural plus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6+\ 5/a\ 6 b \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 m → n \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 m.
 531 /2/ qed.
 532
 533 theorem le_plus_n_r :∀n,m:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6. m \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 m \ 5a title="natural plus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6+\ 5/a\ 6 n.
 534 /2/ qed.
 535
 536 theorem eq_plus_to_le: ∀n,m,p:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6.n\ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6m\ 5a title="natural plus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6+\ 5/a\ 6p → m \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 n.
 537 // qed.
 538
 539 theorem le_plus_to_le: ∀a,n,m. a \ 5a title="natural plus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6+\ 5/a\ 6 n \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 a \ 5a title="natural plus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6+\ 5/a\ 6 m → n \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 m.
 540 #a (elim a) normalize /3/ qed.
 541
 542 theorem le_plus_to_le_r: ∀a,n,m. n \ 5a title="natural plus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6+\ 5/a\ 6 a \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 m \ 5a title="natural plus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6+\ 5/a\ 6a → n \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 m.
 543 /2/ qed.
 544
 545 (* plus &amp; lt *)
 546
 547 theorem monotonic_lt_plus_r:
 548 ∀n:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6.\ 5a href="cic:/matita/basics/relations/monotonic.def(1)"\ 6monotonic\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/lt.def(1)"\ 6lt\ 5/a\ 6 (λm.n\ 5a title="natural plus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6+\ 5/a\ 6m).
 549 /2/ qed.
 550
 551 (*
 552 variant lt_plus_r: \forall n,p,q:nat. p < q \to n + p < n + q \def
 553 monotonic_lt_plus_r. *)
 554
 555 theorem monotonic_lt_plus_l:
 556 ∀n:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6.\ 5a href="cic:/matita/basics/relations/monotonic.def(1)"\ 6monotonic\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/lt.def(1)"\ 6lt\ 5/a\ 6 (λm.m\ 5a title="natural plus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6+\ 5/a\ 6n).
 557 /2/ qed.
 558
 559 (*
 560 variant lt_plus_l: \forall n,p,q:nat. p < q \to p + n < q + n \def
 561 monotonic_lt_plus_l. *)
 562
 563 theorem lt_plus: ∀n,m,p,q:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6. n \ 5a title="natural 'less than'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6<\ 5/a\ 6 m → p \ 5a title="natural 'less than'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6<\ 5/a\ 6 q → n \ 5a title="natural plus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6+\ 5/a\ 6 p \ 5a title="natural 'less than'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6<\ 5/a\ 6 m \ 5a title="natural plus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6+\ 5/a\ 6 q.
 564 #n #m #p #q #ltnm #ltpq
 565 @(\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/transitive_lt.def(3)"\ 6transitive_lt\ 5/a\ 6 ? (n\ 5a title="natural plus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6+\ 5/a\ 6q))/2/ qed.
 566
 567 theorem lt_plus_to_lt_l :∀n,p,q:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6. p\ 5a title="natural plus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6+\ 5/a\ 6n \ 5a title="natural 'less than'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6<\ 5/a\ 6 q\ 5a title="natural plus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6+\ 5/a\ 6n → p\ 5a title="natural 'less than'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6<\ 5/a\ 6q.
 568 /2/ qed.
 569
 570 theorem lt_plus_to_lt_r :∀n,p,q:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6. n\ 5a title="natural plus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6+\ 5/a\ 6p \ 5a title="natural 'less than'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6<\ 5/a\ 6 n\ 5a title="natural plus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6+\ 5/a\ 6q → p\ 5a title="natural 'less than'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6<\ 5/a\ 6q.
 571 /2/ qed.
 572
 573 (*
 574 theorem le_to_lt_to_lt_plus: ∀a,b,c,d:nat.
 575 a ≤ c → b < d → a + b < c+d.
 576 (* bello /2/ un po' lento *)
 577 #a #b #c #d #leac #lebd
 578 normalize napplyS le_plus // qed.
 579 *)
 580
 581 (* times *)
 582 theorem monotonic_le_times_r:
 583 ∀n:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6.\ 5a href="cic:/matita/basics/relations/monotonic.def(1)"\ 6monotonic\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/le.ind(1,0,1)"\ 6le\ 5/a\ 6 (λm. n \ 5a title="natural times" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6*\ 5/a\ 6 m).
 584 #n #x #y #lexy (elim n) normalize//(* lento /2/*)
 585 #a #lea @\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/le_plus.def(7)"\ 6le_plus\ 5/a\ 6 //
 586 qed.
 587
 588 (*
 589 theorem le_times_r: \forall p,n,m:nat. n \le m \to p*n \le p*m
 590 \def monotonic_le_times_r. *)
 591
 592 (*
 593 theorem monotonic_le_times_l:
 594 ∀m:nat.monotonic nat le (λn.n*m).
 595 /2/ qed.
 596 *)
 597
 598 (*
 599 theorem le_times_l: \forall p,n,m:nat. n \le m \to n*p \le m*p
 600 \def monotonic_le_times_l. *)
 601
 602 theorem le_times: ∀n1,n2,m1,m2:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6.
 603 n1 \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 n2  → m1 \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 m2 → n1\ 5a title="natural times" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6*\ 5/a\ 6m1 \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 n2\ 5a title="natural times" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6*\ 5/a\ 6m2.
 604 #n1 #n2 #m1 #m2 #len #lem @(\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/transitive_le.def(3)"\ 6transitive_le\ 5/a\ 6 ? (n1\ 5a title="natural times" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6*\ 5/a\ 6m2)) /2/
 605 qed.
 606
 607 (* interessante *)
 608 theorem lt_times_n: ∀n,m:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6. \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,1,0)"\ 6O\ 5/a\ 6 \ 5a title="natural 'less than'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6<\ 5/a\ 6 n → m \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 n\ 5a title="natural times" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6*\ 5/a\ 6m.
 609 #n #m #H /2/ qed.
 610
 611 theorem le_times_to_le:
 612 ∀a,n,m. \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,1,0)"\ 6O\ 5/a\ 6 \ 5a title="natural 'less than'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6<\ 5/a\ 6 a → a \ 5a title="natural times" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6*\ 5/a\ 6 n \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 a \ 5a title="natural times" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6*\ 5/a\ 6 m → n \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 m.
 613 #a @\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat_elim2.def(2)"\ 6nat_elim2\ 5/a\ 6 normalize
 614   [//
 615   |#n #H1 #H2
 616      @(\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/transitive_le.def(3)"\ 6transitive_le\ 5/a\ 6 ? (a\ 5a title="natural times" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6*\ 5/a\ 6\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 n)) /2/
 617   |#n #m #H #lta #le
 618      @\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/le_S_S.def(2)"\ 6le_S_S\ 5/a\ 6 @H /2/
 619   ]
 620 qed.
 621
 622 (*
 623 theorem le_S_times_2: ∀n,m.O < m → n ≤ m → S n ≤ 2*m.
 624 #n #m #posm #lenm  (* interessante *)
 625 applyS (le_plus n m) // qed. *)
 626
 627 (* times &amp; lt *)
 628 (*
 629 theorem lt_O_times_S_S: ∀n,m:nat.O < (S n)*(S m).
 630 intros.simplify.unfold lt.apply le_S_S.apply le_O_n.
 631 qed. *)
 632
 633 (*
 634 theorem lt_times_eq_O: \forall a,b:nat.
 635 O < a → a * b = O → b = O.
 636 intros.
 637 apply (nat_case1 b)
 638 [ intros.
 639   reflexivity
 640 | intros.
 641   rewrite > H2 in H1.
 642   rewrite > (S_pred a) in H1
 643   [ apply False_ind.
 644     apply (eq_to_not_lt O ((S (pred a))*(S m)))
 645     [ apply sym_eq.
 646       assumption
 647     | apply lt_O_times_S_S
 648     ]
 649   | assumption
 650   ]
 651 ]
 652 qed.
 653
 654 theorem O_lt_times_to_O_lt: \forall a,c:nat.
 655 O \lt (a * c) \to O \lt a.
 656 intros.
 657 apply (nat_case1 a)
 658 [ intros.
 659   rewrite > H1 in H.
 660   simplify in H.
 661   assumption
 662 | intros.
 663   apply lt_O_S
 664 ]
 665 qed.
 666
 667 lemma lt_times_to_lt_O: \forall i,n,m:nat. i < n*m \to O < m.
 668 intros.
 669 elim (le_to_or_lt_eq O ? (le_O_n m))
 670   [assumption
 671   |apply False_ind.
 672    rewrite < H1 in H.
 673    rewrite < times_n_O in H.
 674    apply (not_le_Sn_O ? H)
 675   ]
 676 qed. *)
 677
 678 (*
 679 theorem monotonic_lt_times_r:
 680 ∀n:nat.monotonic nat lt (λm.(S n)*m).
 681 /2/
 682 simplify.
 683 intros.elim n.
 684 simplify.rewrite < plus_n_O.rewrite < plus_n_O.assumption.
 685 apply lt_plus.assumption.assumption.
 686 qed. *)
 687
 688 theorem monotonic_lt_times_r:
 689   ∀c:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6. \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,1,0)"\ 6O\ 5/a\ 6 \ 5a title="natural 'less than'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6<\ 5/a\ 6 c → \ 5a href="cic:/matita/basics/relations/monotonic.def(1)"\ 6monotonic\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/lt.def(1)"\ 6lt\ 5/a\ 6 (λt.(c\ 5a title="natural times" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6*\ 5/a\ 6t)).
 690 #c #posc #n #m #ltnm
 691 (elim ltnm) normalize
 692   [/2/
 693   |#a #_ #lt1 @(\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/transitive_le.def(3)"\ 6transitive_le\ 5/a\ 6 … lt1) //
 694   ]
 695 qed.
 696
 697 theorem monotonic_lt_times_l:
 698   ∀c:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6. \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,1,0)"\ 6O\ 5/a\ 6 \ 5a title="natural 'less than'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6<\ 5/a\ 6 c → \ 5a href="cic:/matita/basics/relations/monotonic.def(1)"\ 6monotonic\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/lt.def(1)"\ 6lt\ 5/a\ 6 (λt.(t\ 5a title="natural times" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6*\ 5/a\ 6c)).
 699 /2/
 700 qed.
 701
 702 theorem lt_to_le_to_lt_times:
 703 ∀n,m,p,q:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6. n \ 5a title="natural 'less than'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6<\ 5/a\ 6 m → p \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 q → \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,1,0)"\ 6O\ 5/a\ 6 \ 5a title="natural 'less than'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6<\ 5/a\ 6 q → n\ 5a title="natural times" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6*\ 5/a\ 6p \ 5a title="natural 'less than'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6<\ 5/a\ 6 m\ 5a title="natural times" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6*\ 5/a\ 6q.
 704 #n #m #p #q #ltnm #lepq #posq
 705 @(\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/le_to_lt_to_lt.def(4)"\ 6le_to_lt_to_lt\ 5/a\ 6 ? (n\ 5a title="natural times" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6*\ 5/a\ 6q))
 706   [@\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/monotonic_le_times_r.def(8)"\ 6monotonic_le_times_r\ 5/a\ 6 //
 707   |@\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/monotonic_lt_times_l.def(9)"\ 6monotonic_lt_times_l\ 5/a\ 6 //
 708   ]
 709 qed.
 710
 711 theorem lt_times:∀n,m,p,q:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6. n\ 5a title="natural 'less than'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6<\ 5/a\ 6m → p\ 5a title="natural 'less than'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6<\ 5/a\ 6q → n\ 5a title="natural times" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6*\ 5/a\ 6p \ 5a title="natural 'less than'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6<\ 5/a\ 6 m\ 5a title="natural times" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6*\ 5/a\ 6q.
 712 #n #m #p #q #ltnm #ltpq @\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/lt_to_le_to_lt_times.def(10)"\ 6lt_to_le_to_lt_times\ 5/a\ 6/2/
 713 qed.
 714
 715 theorem lt_times_n_to_lt_l:
 716 ∀n,p,q:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6. p\ 5a title="natural times" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6*\ 5/a\ 6n \ 5a title="natural 'less than'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6<\ 5/a\ 6 q\ 5a title="natural times" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6*\ 5/a\ 6n → p \ 5a title="natural 'less than'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6<\ 5/a\ 6 q.
 717 #n #p #q #Hlt (elim (\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/decidable_lt.def(7)"\ 6decidable_lt\ 5/a\ 6 p q)) //
 718 #nltpq @\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/False_ind.fix(0,1,1)"\ 6False_ind\ 5/a\ 6 @(\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/absurd.def(2)"\ 6absurd\ 5/a\ 6 ? ? (\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/lt_to_not_le.def(7)"\ 6lt_to_not_le\ 5/a\ 6 ? ? Hlt))
 719 applyS \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/monotonic_le_times_r.def(8)"\ 6monotonic_le_times_r\ 5/a\ 6 /2/
 720 qed.
 721
 722 theorem lt_times_n_to_lt_r:
 723 ∀n,p,q:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6. n\ 5a title="natural times" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6*\ 5/a\ 6p \ 5a title="natural 'less than'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6<\ 5/a\ 6 n\ 5a title="natural times" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6*\ 5/a\ 6q → p \ 5a title="natural 'less than'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6<\ 5/a\ 6 q.
 724 /2/ qed.
 725
 726 (*
 727 theorem nat_compare_times_l : \forall n,p,q:nat.
 728 nat_compare p q = nat_compare ((S n) * p) ((S n) * q).
 729 intros.apply nat_compare_elim.intro.
 730 apply nat_compare_elim.
 731 intro.reflexivity.
 732 intro.absurd (p=q).
 733 apply (inj_times_r n).assumption.
 734 apply lt_to_not_eq. assumption.
 735 intro.absurd (q<p).
 736 apply (lt_times_to_lt_r n).assumption.
 737 apply le_to_not_lt.apply lt_to_le.assumption.
 738 intro.rewrite < H.rewrite > nat_compare_n_n.reflexivity.
 739 intro.apply nat_compare_elim.intro.
 740 absurd (p<q).
 741 apply (lt_times_to_lt_r n).assumption.
 742 apply le_to_not_lt.apply lt_to_le.assumption.
 743 intro.absurd (q=p).
 744 symmetry.
 745 apply (inj_times_r n).assumption.
 746 apply lt_to_not_eq.assumption.
 747 intro.reflexivity.
 748 qed. *)
 749
 750 (* times and plus
 751 theorem lt_times_plus_times: \forall a,b,n,m:nat.
 752 a < n \to b < m \to a*m + b < n*m.
 753 intros 3.
 754 apply (nat_case n)
 755   [intros.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O ? H)
 756   |intros.simplify.
 757    rewrite < sym_plus.
 758    unfold.
 759    change with (S b+a*m1 \leq m1+m*m1).
 760    apply le_plus
 761     [assumption
 762     |apply le_times
 763       [apply le_S_S_to_le.assumption
 764       |apply le_n
 765       ]
 766     ]
 767   ]
 768 qed. *)
 769
 770 (************************** minus ******************************)
 771
 772 let rec minus n m ≝
 773  match n with
 774  [ O ⇒ \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,1,0)"\ 6O\ 5/a\ 6
 775  | S p ⇒
 776         match m with
 777           [ O ⇒ \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 p
 778     | S q ⇒ minus p q ]].
 779
 780 interpretation "natural minus" 'minus x y = (minus x y).
 781
 782 theorem minus_S_S: ∀n,m:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6.\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 n \ 5a title="natural minus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6-\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 m \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 n \ 5a title="natural minus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6-\ 5/a\ 6m.
 783 // qed.
 784
 785 theorem minus_O_n: ∀n:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6.\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,1,0)"\ 6O\ 5/a\ 6\ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,1,0)"\ 6O\ 5/a\ 6\ 5a title="natural minus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6-\ 5/a\ 6n.
 786 #n (cases n) // qed.
 787
 788 theorem minus_n_O: ∀n:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6.n\ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6n\ 5a title="natural minus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6-\ 5/a\ 6\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,1,0)"\ 6O\ 5/a\ 6.
 789 #n (cases n) // qed.
 790
 791 theorem minus_n_n: ∀n:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6.\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,1,0)"\ 6O\ 5/a\ 6\ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6n\ 5a title="natural minus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6-\ 5/a\ 6n.
 792 #n (elim n) // qed.
 793
 794 theorem minus_Sn_n: ∀n:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6. \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,1,0)"\ 6O\ 5/a\ 6 \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 (\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 n)\ 5a title="natural minus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6-\ 5/a\ 6n.
 795 #n (elim n) normalize // qed.
 796
 797 theorem minus_Sn_m: ∀m,n:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6. m \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 n → \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 n \ 5a title="natural minus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6-\ 5/a\ 6m \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 (n\ 5a title="natural minus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6-\ 5/a\ 6m).
 798 (* qualcosa da capire qui
 799 #n #m #lenm nelim lenm napplyS refl_eq. *)
 800 @\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat_elim2.def(2)"\ 6nat_elim2\ 5/a\ 6
 801   [//
 802   |#n #abs @\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/False_ind.fix(0,1,1)"\ 6False_ind\ 5/a\ 6 /2/
 803   |#n #m #Hind #c applyS Hind /2/
 804   ]
 805 qed.
 806
 807 (*
 808 theorem not_eq_to_le_to_le_minus:
 809   ∀n,m.n ≠ m → n ≤ m → n ≤ m - 1.
 810 #n * #m (cases m// #m normalize
 811 #H #H1 napply le_S_S_to_le
 812 napplyS (not_eq_to_le_to_lt n (S m) H H1)
 813 qed. *)
 814
 815 theorem eq_minus_S_pred: ∀n,m. n \ 5a title="natural minus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6-\ 5/a\ 6 (\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 m) \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/pred.def(1)"\ 6pred\ 5/a\ 6(n \ 5a title="natural minus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6-\ 5/a\ 6m).
 816 @\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat_elim2.def(2)"\ 6nat_elim2\ 5/a\ 6 normalize // qed.
 817
 818 theorem plus_minus:
 819 ∀m,n,p:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6. m \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 n → (n\ 5a title="natural minus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6-\ 5/a\ 6m)\ 5a title="natural plus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6+\ 5/a\ 6p \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 (n\ 5a title="natural plus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6+\ 5/a\ 6p)\ 5a title="natural minus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6-\ 5/a\ 6m.
 820 @\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat_elim2.def(2)"\ 6nat_elim2\ 5/a\ 6
 821   [//
 822   |#n #p #abs @\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/False_ind.fix(0,1,1)"\ 6False_ind\ 5/a\ 6 /2/
 823   |normalize/3/
 824   ]
 825 qed.
 826
 827 theorem minus_plus_m_m: ∀n,m:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6.n \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 (n\ 5a title="natural plus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6+\ 5/a\ 6m)\ 5a title="natural minus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6-\ 5/a\ 6m.
 828 /2/ qed.
 829
 830 theorem plus_minus_m_m: ∀n,m:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6.
 831   m \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 n → n \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 (n\ 5a title="natural minus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6-\ 5/a\ 6m)\ 5a title="natural plus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6+\ 5/a\ 6m.
 832 #n #m #lemn @\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/sym_eq.def(2)"\ 6sym_eq\ 5/a\ 6 /2/ qed.
 833
 834 theorem le_plus_minus_m_m: ∀n,m:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6. n \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 (n\ 5a title="natural minus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6-\ 5/a\ 6m)\ 5a title="natural plus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6+\ 5/a\ 6m.
 835 #n (elim n) // #a #Hind #m (cases m) // normalize #n/2/
 836 qed.
 837
 838 theorem minus_to_plus :∀n,m,p:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6.
 839   m \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 n → n\ 5a title="natural minus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6-\ 5/a\ 6m \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 p → n \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 m\ 5a title="natural plus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6+\ 5/a\ 6p.
 840 #n #m #p #lemn #eqp (applyS \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/plus_minus_m_m.def(7)"\ 6plus_minus_m_m\ 5/a\ 6) //
 841 qed.
 842
 843 theorem plus_to_minus :∀n,m,p:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6.n \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 m\ 5a title="natural plus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6+\ 5/a\ 6p → n\ 5a title="natural minus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6-\ 5/a\ 6m \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 p.
 844 #n #m #p #eqp @\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/sym_eq.def(2)"\ 6sym_eq\ 5/a\ 6 (applyS (\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/minus_plus_m_m.def(6)"\ 6minus_plus_m_m\ 5/a\ 6 p m))
 845 qed.
 846
 847 theorem minus_pred_pred : ∀n,m:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6. \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,1,0)"\ 6O\ 5/a\ 6 \ 5a title="natural 'less than'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6<\ 5/a\ 6 n → \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,1,0)"\ 6O\ 5/a\ 6 \ 5a title="natural 'less than'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6<\ 5/a\ 6 m →
 848 \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/pred.def(1)"\ 6pred\ 5/a\ 6 n \ 5a title="natural minus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6-\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/pred.def(1)"\ 6pred\ 5/a\ 6 m \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 n \ 5a title="natural minus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6-\ 5/a\ 6 m.
 849 #n #m #posn #posm @(\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/lt_O_n_elim.def(4)"\ 6lt_O_n_elim\ 5/a\ 6 n posn) @(\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/lt_O_n_elim.def(4)"\ 6lt_O_n_elim\ 5/a\ 6 m posm) //.
 850 qed.
 851
 852
 853 (*
 854
 855 theorem le_SO_minus: \forall n,m:nat.S n \leq m \to S O \leq m-n.
 856 intros.elim H.elim (minus_Sn_n n).apply le_n.
 857 rewrite > minus_Sn_m.
 858 apply le_S.assumption.
 859 apply lt_to_le.assumption.
 860 qed.
 861
 862 theorem minus_le_S_minus_S: \forall n,m:nat. m-n \leq S (m-(S n)).
 863 intros.
 864 apply (nat_elim2 (\lambda n,m.m-n \leq S (m-(S n)))).
 865 intro.elim n1.simplify.apply le_n_Sn.
 866 simplify.rewrite < minus_n_O.apply le_n.
 867 intros.simplify.apply le_n_Sn.
 868 intros.simplify.apply H.
 869 qed.
 870
 871 theorem lt_minus_S_n_to_le_minus_n : \forall n,m,p:nat. m-(S n) < p \to m-n \leq p.
 872 intros 3.intro.
 873 (* autobatch *)
 874 (* end auto($Revision: 9739 $) proof: TIME=1.33 SIZE=100 DEPTH=100 *)
 875 apply (trans_le (m-n) (S (m-(S n))) p).
 876 apply minus_le_S_minus_S.
 877 assumption.
 878 qed.
 879
 880 theorem le_minus_m: \forall n,m:nat. n-m \leq n.
 881 intros.apply (nat_elim2 (\lambda m,n. n-m \leq n)).
 882 intros.rewrite < minus_n_O.apply le_n.
 883 intros.simplify.apply le_n.
 884 intros.simplify.apply le_S.assumption.
 885 qed.
 886
 887 theorem lt_minus_m: \forall n,m:nat. O < n \to O < m \to n-m \lt n.
 888 intros.apply (lt_O_n_elim n H).intro.
 889 apply (lt_O_n_elim m H1).intro.
 890 simplify.unfold lt.apply le_S_S.apply le_minus_m.
 891 qed.
 892
 893 theorem minus_le_O_to_le: \forall n,m:nat. n-m \leq O \to n \leq m.
 894 intros 2.
 895 apply (nat_elim2 (\lambda n,m:nat.n-m \leq O \to n \leq m)).
 896 intros.apply le_O_n.
 897 simplify.intros. assumption.
 898 simplify.intros.apply le_S_S.apply H.assumption.
 899 qed.
 900 *)
 901
 902 (* monotonicity and galois *)
 903
 904 theorem monotonic_le_minus_l:
 905 ∀p,q,n:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6. q \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 p → q\ 5a title="natural minus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6-\ 5/a\ 6n \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 p\ 5a title="natural minus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6-\ 5/a\ 6n.
 906 @\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat_elim2.def(2)"\ 6nat_elim2\ 5/a\ 6 #p #q
 907   [#lePO @(\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/le_n_O_elim.def(4)"\ 6le_n_O_elim\ 5/a\ 6 ? lePO) //
 908   |//
 909   |#Hind #n (cases n) // #a #leSS @Hind /2/
 910   ]
 911 qed.
 912
 913 theorem le_minus_to_plus: ∀n,m,p. n\ 5a title="natural minus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6-\ 5/a\ 6m \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 p → n\ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 p\ 5a title="natural plus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6+\ 5/a\ 6m.
 914 #n #m #p #lep @\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/transitive_le.def(3)"\ 6transitive_le\ 5/a\ 6
 915   [|@\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/le_plus_minus_m_m.def(6)"\ 6le_plus_minus_m_m\ 5/a\ 6 | @\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/monotonic_le_plus_l.def(6)"\ 6monotonic_le_plus_l\ 5/a\ 6 // ]
 916 qed.
 917
 918 theorem le_minus_to_plus_r: ∀a,b,c. c \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 b → a \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 b \ 5a title="natural minus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6-\ 5/a\ 6 c → a \ 5a title="natural plus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6+\ 5/a\ 6 c \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 b.
 919 #a #b #c #Hlecb #H >(\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/plus_minus_m_m.def(7)"\ 6plus_minus_m_m\ 5/a\ 6 … Hlecb) /2/
 920 qed.
 921
 922 theorem le_plus_to_minus: ∀n,m,p. n \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 p\ 5a title="natural plus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6+\ 5/a\ 6m → n\ 5a title="natural minus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6-\ 5/a\ 6m \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 p.
 923 #n #m #p #lep /2/ qed.
 924
 925 theorem le_plus_to_minus_r: ∀a,b,c. a \ 5a title="natural plus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6+\ 5/a\ 6 b \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 c → a \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 c \ 5a title="natural minus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6-\ 5/a\ 6b.
 926 #a #b #c #H @(\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/le_plus_to_le_r.def(6)"\ 6le_plus_to_le_r\ 5/a\ 6 … b) /2/
 927 qed.
 928
 929 theorem lt_minus_to_plus: ∀a,b,c. a \ 5a title="natural minus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6-\ 5/a\ 6 b \ 5a title="natural 'less than'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6<\ 5/a\ 6 c → a \ 5a title="natural 'less than'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6<\ 5/a\ 6 c \ 5a title="natural plus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6+\ 5/a\ 6 b.
 930 #a #b #c #H @\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/not_le_to_lt.def(5)"\ 6not_le_to_lt\ 5/a\ 6
 931 @(\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/not_to_not.def(3)"\ 6not_to_not\ 5/a\ 6 … (\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/lt_to_not_le.def(7)"\ 6lt_to_not_le\ 5/a\ 6 …H)) /2/
 932 qed.
 933
 934 theorem lt_minus_to_plus_r: ∀a,b,c. a \ 5a title="natural 'less than'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6<\ 5/a\ 6 b \ 5a title="natural minus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6-\ 5/a\ 6 c → a \ 5a title="natural plus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6+\ 5/a\ 6 c \ 5a title="natural 'less than'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6<\ 5/a\ 6 b.
 935 #a #b #c #H @\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/not_le_to_lt.def(5)"\ 6not_le_to_lt\ 5/a\ 6 @(\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/not_to_not.def(3)"\ 6not_to_not\ 5/a\ 6 … (\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/le_plus_to_minus.def(7)"\ 6le_plus_to_minus\ 5/a\ 6 …))
 936 @\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/lt_to_not_le.def(7)"\ 6lt_to_not_le\ 5/a\ 6 //
 937 qed.
 938
 939 theorem lt_plus_to_minus: ∀n,m,p. m \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 n → n \ 5a title="natural 'less than'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6<\ 5/a\ 6 p\ 5a title="natural plus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6+\ 5/a\ 6m → n\ 5a title="natural minus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6-\ 5/a\ 6m \ 5a title="natural 'less than'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6<\ 5/a\ 6 p.
 940 #n #m #p #lenm #H normalize <\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/minus_Sn_m.def(5)"\ 6minus_Sn_m\ 5/a\ 6 // @\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/le_plus_to_minus.def(7)"\ 6le_plus_to_minus\ 5/a\ 6 //
 941 qed.
 942
 943 theorem lt_plus_to_minus_r: ∀a,b,c. a \ 5a title="natural plus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6+\ 5/a\ 6 b \ 5a title="natural 'less than'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6<\ 5/a\ 6 c → a \ 5a title="natural 'less than'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6<\ 5/a\ 6 c \ 5a title="natural minus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6-\ 5/a\ 6 b.
 944 #a #b #c #H @\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/le_plus_to_minus_r.def(7)"\ 6le_plus_to_minus_r\ 5/a\ 6 //
 945 qed.
 946
 947 theorem monotonic_le_minus_r:
 948 ∀p,q,n:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6. q \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 p → n\ 5a title="natural minus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6-\ 5/a\ 6p \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 n\ 5a title="natural minus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6-\ 5/a\ 6q.
 949 #p #q #n #lepq @\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/le_plus_to_minus.def(7)"\ 6le_plus_to_minus\ 5/a\ 6
 950 @(\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/transitive_le.def(3)"\ 6transitive_le\ 5/a\ 6 … (\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/le_plus_minus_m_m.def(6)"\ 6le_plus_minus_m_m\ 5/a\ 6 ? q)) /2/
 951 qed.
 952
 953 theorem eq_minus_O: ∀n,m:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6.
 954   n \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 m → n\ 5a title="natural minus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6-\ 5/a\ 6m \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,1,0)"\ 6O\ 5/a\ 6.
 955 #n #m #lenm @(\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/le_n_O_elim.def(4)"\ 6le_n_O_elim\ 5/a\ 6 (n\ 5a title="natural minus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6-\ 5/a\ 6m)) /2/
 956 qed.
 957
 958 theorem distributive_times_minus: \ 5a href="cic:/matita/basics/relations/distributive.def(1)"\ 6distributive\ 5/a\ 6 ? \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/times.fix(0,0,2)"\ 6times\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/minus.fix(0,0,1)"\ 6minus\ 5/a\ 6.
 959 #a #b #c
 960 (cases (\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/decidable_lt.def(7)"\ 6decidable_lt\ 5/a\ 6 b c)) #Hbc
 961  [> \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/eq_minus_O.def(9)"\ 6eq_minus_O\ 5/a\ 6 /2/ >\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/eq_minus_O.def(9)"\ 6eq_minus_O\ 5/a\ 6 //
 962   @\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/monotonic_le_times_r.def(8)"\ 6monotonic_le_times_r\ 5/a\ 6 /2/
 963  |@\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/sym_eq.def(2)"\ 6sym_eq\ 5/a\ 6 (applyS \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/plus_to_minus.def(7)"\ 6plus_to_minus\ 5/a\ 6) <\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/distributive_times_plus.def(7)"\ 6distributive_times_plus\ 5/a\ 6
 964   @\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq_f.def(3)"\ 6eq_f\ 5/a\ 6 (applyS \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/plus_minus_m_m.def(7)"\ 6plus_minus_m_m\ 5/a\ 6) /2/
 965 qed.
 966
 967 theorem minus_plus: ∀n,m,p. n\ 5a title="natural minus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6-\ 5/a\ 6m\ 5a title="natural minus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6-\ 5/a\ 6p \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 n \ 5a title="natural minus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6-\ 5/a\ 6(m\ 5a title="natural plus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6+\ 5/a\ 6p).
 968 #n #m #p
 969 cases (\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/decidable_le.def(6)"\ 6decidable_le\ 5/a\ 6 (m\ 5a title="natural plus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6+\ 5/a\ 6p) n) #Hlt
 970   [@\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/plus_to_minus.def(7)"\ 6plus_to_minus\ 5/a\ 6 @\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/plus_to_minus.def(7)"\ 6plus_to_minus\ 5/a\ 6 <\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/associative_plus.def(4)"\ 6associative_plus\ 5/a\ 6
 971    @\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/minus_to_plus.def(8)"\ 6minus_to_plus\ 5/a\ 6 //
 972   |cut (n \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 m\ 5a title="natural plus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6+\ 5/a\ 6p) [@(\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/transitive_le.def(3)"\ 6transitive_le\ 5/a\ 6 … (\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/le_n_Sn.def(1)"\ 6le_n_Sn\ 5/a\ 6 …)) @\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/not_le_to_lt.def(5)"\ 6not_le_to_lt\ 5/a\ 6 //]
 973    #H >\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/eq_minus_O.def(9)"\ 6eq_minus_O\ 5/a\ 6 /2/ >\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/eq_minus_O.def(9)"\ 6eq_minus_O\ 5/a\ 6 //
 974   ]
 975 qed.
 976
 977 (*
 978 theorem plus_minus: ∀n,m,p. p ≤ m → (n+m)-p = n +(m-p).
 979 #n #m #p #lepm @plus_to_minus >(commutative_plus p)
 980 >associative_plus <plus_minus_m_m //
 981 qed.  *)
 982
 983 theorem minus_minus: ∀n,m,p:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6. p \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 m → m \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 n →
 984   p\ 5a title="natural plus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6+\ 5/a\ 6(n\ 5a title="natural minus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6-\ 5/a\ 6m) \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 n\ 5a title="natural minus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6-\ 5/a\ 6(m\ 5a title="natural minus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6-\ 5/a\ 6p).
 985 #n #m #p #lepm #lemn
 986 @\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/sym_eq.def(2)"\ 6sym_eq\ 5/a\ 6 @\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/plus_to_minus.def(7)"\ 6plus_to_minus\ 5/a\ 6 <\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/associative_plus.def(4)"\ 6associative_plus\ 5/a\ 6 <\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/plus_minus_m_m.def(7)"\ 6plus_minus_m_m\ 5/a\ 6 //
 987 <\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/commutative_plus.def(5)"\ 6commutative_plus\ 5/a\ 6 <\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/plus_minus_m_m.def(7)"\ 6plus_minus_m_m\ 5/a\ 6 //
 988 qed.
 989
 990 (*********************** boolean arithmetics ********************)
 991 include "basics/bool.ma".
 992
 993 let rec eqb n m ≝
 994 match n with
 995   [ O ⇒ match m with [ O ⇒ \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,1,0)"\ 6true\ 5/a\ 6 | S q ⇒ \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,2,0)"\ 6false\ 5/a\ 6]
 996   | S p ⇒ match m with [ O ⇒ \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,2,0)"\ 6false\ 5/a\ 6 | S q ⇒ eqb p q]
 997   ].
 998
 999 theorem eqb_elim : ∀ n,m:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6.∀ P:\ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.ind(1,0,0)"\ 6bool\ 5/a\ 6 → Prop.
1000 (n\ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6m → (P \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,1,0)"\ 6true\ 5/a\ 6)) → (n \ 5a title="leibnitz's non-equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≠\ 5/a\ 6 m → (P \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,2,0)"\ 6false\ 5/a\ 6)) → (P (\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/eqb.fix(0,0,1)"\ 6eqb\ 5/a\ 6 n m)).
1001 @\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat_elim2.def(2)"\ 6nat_elim2\ 5/a\ 6
1002   [#n (cases n) normalize /3/
1003   |normalize /3/
1004   |normalize /4/
1005   ]
1006 qed.
1007
1008 theorem eqb_n_n: ∀n. \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/eqb.fix(0,0,1)"\ 6eqb\ 5/a\ 6 n n \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,1,0)"\ 6true\ 5/a\ 6.
1009 #n (elim n) normalize // qed.
1010
1011 theorem eqb_true_to_eq: ∀n,m:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6. \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/eqb.fix(0,0,1)"\ 6eqb\ 5/a\ 6 n m \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,1,0)"\ 6true\ 5/a\ 6 → n \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 m.
1012 #n #m @(\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/eqb_elim.def(5)"\ 6eqb_elim\ 5/a\ 6 n m) // #_ #abs @\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/False_ind.fix(0,1,1)"\ 6False_ind\ 5/a\ 6 /2/ qed.
1013
1014 theorem eqb_false_to_not_eq: ∀n,m:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6. \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/eqb.fix(0,0,1)"\ 6eqb\ 5/a\ 6 n m \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,2,0)"\ 6false\ 5/a\ 6 → n \ 5a title="leibnitz's non-equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≠\ 5/a\ 6 m.
1015 #n #m @(\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/eqb_elim.def(5)"\ 6eqb_elim\ 5/a\ 6 n m) /2/ qed.
1016
1017 theorem eq_to_eqb_true: ∀n,m:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6.n \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 m → \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/eqb.fix(0,0,1)"\ 6eqb\ 5/a\ 6 n m \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,1,0)"\ 6true\ 5/a\ 6.
1018 // qed.
1019
1020 theorem not_eq_to_eqb_false: ∀n,m:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6.
1021   n \ 5a title="leibnitz's non-equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≠\ 5/a\ 6  m → \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/eqb.fix(0,0,1)"\ 6eqb\ 5/a\ 6 n m \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,2,0)"\ 6false\ 5/a\ 6.
1022 #n #m #noteq @\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/eqb_elim.def(5)"\ 6eqb_elim\ 5/a\ 6// #Heq @\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/False_ind.fix(0,1,1)"\ 6False_ind\ 5/a\ 6 /2/ qed.
1023
1024 let rec leb n m ≝
1025 match n with
1026     [ O ⇒ \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,1,0)"\ 6true\ 5/a\ 6
1027     | (S p) ⇒
1028         match m with
1029         [ O ⇒ \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,2,0)"\ 6false\ 5/a\ 6
1030               | (S q) ⇒ leb p q]].
1031
1032 theorem leb_elim: ∀n,m:\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6. ∀P:\ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.ind(1,0,0)"\ 6bool\ 5/a\ 6 → Prop.
1033 (n \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 m → P \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,1,0)"\ 6true\ 5/a\ 6) → (n \ 5a title="natural 'neither less nor equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≰\ 5/a\ 6 m → P \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,2,0)"\ 6false\ 5/a\ 6) → P (\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/leb.fix(0,0,1)"\ 6leb\ 5/a\ 6 n m).
1034 @\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat_elim2.def(2)"\ 6nat_elim2\ 5/a\ 6 normalize
1035   [/2/
1036   |/3/
1037   |#n #m #Hind #P #Pt #Pf @Hind
1038     [#lenm @Pt @\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/le_S_S.def(2)"\ 6le_S_S\ 5/a\ 6 // |#nlenm @Pf /2/ ]
1039   ]
1040 qed.
1041
1042 theorem leb_true_to_le:∀n,m.\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/leb.fix(0,0,1)"\ 6leb\ 5/a\ 6 n m \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,1,0)"\ 6true\ 5/a\ 6 → n \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 m.
1043 #n #m @\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/leb_elim.def(6)"\ 6leb_elim\ 5/a\ 6 // #_ #abs @\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/False_ind.fix(0,1,1)"\ 6False_ind\ 5/a\ 6 /2/ qed.
1044
1045 theorem leb_false_to_not_le:∀n,m.
1046   \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/leb.fix(0,0,1)"\ 6leb\ 5/a\ 6 n m \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,2,0)"\ 6false\ 5/a\ 6 → n \ 5a title="natural 'neither less nor equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≰\ 5/a\ 6 m.
1047 #n #m @\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/leb_elim.def(6)"\ 6leb_elim\ 5/a\ 6 // #_ #abs @\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/False_ind.fix(0,1,1)"\ 6False_ind\ 5/a\ 6 /2/ qed.
1048
1049 theorem le_to_leb_true: ∀n,m. n \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 m → \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/leb.fix(0,0,1)"\ 6leb\ 5/a\ 6 n m \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,1,0)"\ 6true\ 5/a\ 6.
1050 #n #m @\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/leb_elim.def(6)"\ 6leb_elim\ 5/a\ 6 // #H #H1 @\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/False_ind.fix(0,1,1)"\ 6False_ind\ 5/a\ 6 /2/ qed.
1051
1052 theorem not_le_to_leb_false: ∀n,m. n \ 5a title="natural 'neither less nor equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≰\ 5/a\ 6 m → \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/leb.fix(0,0,1)"\ 6leb\ 5/a\ 6 n m \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,2,0)"\ 6false\ 5/a\ 6.
1053 #n #m @\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/leb_elim.def(6)"\ 6leb_elim\ 5/a\ 6 // #H #H1 @\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/False_ind.fix(0,1,1)"\ 6False_ind\ 5/a\ 6 /2/ qed.
1054
1055 theorem lt_to_leb_false: ∀n,m. m \ 5a title="natural 'less than'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6<\ 5/a\ 6 n → \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/leb.fix(0,0,1)"\ 6leb\ 5/a\ 6 n m \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,2,0)"\ 6false\ 5/a\ 6.
1056 /3/ qed.
1057
1058 (* serve anche ltb?
1059 ndefinition ltb ≝λn,m. leb (S n) m.
1060
1061 theorem ltb_elim: ∀n,m:nat. ∀P:bool → Prop.
1062 (n < m → P true) → (n ≮ m → P false) → P (ltb n m).
1063 #n #m #P #Hlt #Hnlt
1064 napply leb_elim /3/ qed.
1065
1066 theorem ltb_true_to_lt:∀n,m.ltb n m = true → n < m.
1067 #n #m #Hltb napply leb_true_to_le nassumption
1068 qed.
1069
1070 theorem ltb_false_to_not_lt:∀n,m.
1071   ltb n m = false → n ≮ m.
1072 #n #m #Hltb napply leb_false_to_not_le nassumption
1073 qed.
1074
1075 theorem lt_to_ltb_true: ∀n,m. n < m → ltb n m = true.
1076 #n #m #Hltb napply le_to_leb_true nassumption
1077 qed.
1078
1079 theorem le_to_ltb_false: ∀n,m. m \le n → ltb n m = false.
1080 #n #m #Hltb napply lt_to_leb_false /2/
1081 qed. *)
1082
1083 (* min e max *)
1084 definition min: \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6 →\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6 →\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6 ≝
1085 λn.λm. \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/if_then_else.def(1)"\ 6if_then_else\ 5/a\ 6 ? (\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/leb.fix(0,0,1)"\ 6leb\ 5/a\ 6 n m) n m.
1086
1087 definition max: \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6 →\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6 →\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6 ≝
1088 λn.λm. \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/if_then_else.def(1)"\ 6if_then_else\ 5/a\ 6 ? (\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/leb.fix(0,0,1)"\ 6leb\ 5/a\ 6 n m) m n.
1089
1090 lemma commutative_min: \ 5a href="cic:/matita/basics/relations/commutative.def(1)"\ 6commutative\ 5/a\ 6 ? \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/min.def(2)"\ 6min\ 5/a\ 6.
1091 #n #m normalize @\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/leb_elim.def(6)"\ 6leb_elim\ 5/a\ 6
1092   [@\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/leb_elim.def(6)"\ 6leb_elim\ 5/a\ 6 normalize /2/
1093   |#notle >(\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/le_to_leb_true.def(7)"\ 6le_to_leb_true\ 5/a\ 6 …) // @(\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/transitive_le.def(3)"\ 6transitive_le\ 5/a\ 6 ? (\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 m)) /2/
1094   ] qed.
1095
1096 lemma le_minr: ∀i,n,m. i \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/min.def(2)"\ 6min\ 5/a\ 6 n m → i \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 m.
1097 #i #n #m normalize @\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/leb_elim.def(6)"\ 6leb_elim\ 5/a\ 6 normalize /2/ qed.
1098
1099 lemma le_minl: ∀i,n,m. i \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/min.def(2)"\ 6min\ 5/a\ 6 n m → i \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 n.
1100 /2/ qed.
1101
1102 lemma to_min: ∀i,n,m. i \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 n → i \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 m → i \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/min.def(2)"\ 6min\ 5/a\ 6 n m.
1103 #i #n #m #lein #leim normalize (cases (\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/leb.fix(0,0,1)"\ 6leb\ 5/a\ 6 n m))
1104 normalize // qed.
1105
1106 lemma commutative_max: \ 5a href="cic:/matita/basics/relations/commutative.def(1)"\ 6commutative\ 5/a\ 6 ? \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/max.def(2)"\ 6max\ 5/a\ 6.
1107 #n #m normalize @\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/leb_elim.def(6)"\ 6leb_elim\ 5/a\ 6
1108   [@\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/leb_elim.def(6)"\ 6leb_elim\ 5/a\ 6 normalize /2/
1109   |#notle >(\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/le_to_leb_true.def(7)"\ 6le_to_leb_true\ 5/a\ 6 …) // @(\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/transitive_le.def(3)"\ 6transitive_le\ 5/a\ 6 ? (\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 m)) /2/
1110   ] qed.
1111
1112 lemma le_maxl: ∀i,n,m. \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/max.def(2)"\ 6max\ 5/a\ 6 n m \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 i → n \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 i.
1113 #i #n #m normalize @\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/leb_elim.def(6)"\ 6leb_elim\ 5/a\ 6 normalize /2/ qed.
1114
1115 lemma le_maxr: ∀i,n,m. \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/max.def(2)"\ 6max\ 5/a\ 6 n m \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 i → m \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 i.
1116 /2/ qed.
1117
1118 lemma to_max: ∀i,n,m. n \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 i → m \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 i → \ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/max.def(2)"\ 6max\ 5/a\ 6 n m \ 5a title="natural 'less or equal to'" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≤\ 5/a\ 6 i.
1119 #i #n #m #leni #lemi normalize (cases (\ 5a href="cic:/matita/arithmetics/nat/leb.fix(0,0,1)"\ 6leb\ 5/a\ 6 n m))
1120 normalize // qed.
1121 >>>>>>> .r11514