]> matita.cs.unibo.it Git - helm.git/blob - weblib/lambda/subst.ma
lablgladecc => lablgladecc3
[helm.git] / weblib / lambda / subst.ma
1 (*
2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic        
3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science     
4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.                     
5     ||I||                                                                 
6     ||T||  
7     ||A||  This file is distributed under the terms of the 
8     \   /  GNU General Public License Version 2        
9      \ /      
10       V_______________________________________________________________ *)
11
12 include "arithmetics/nat.ma".
13
14 inductive T : Type[0] ≝
15   | Sort: nat → T     (* starts from 0 *)
16   | Rel: nat → T      (* starts from ... ? *)
17   | App: T → T → T    (* function, argument *)
18   | Lambda: T → T → T (* type, body *)
19   | Prod: T → T → T   (* type, body *)
20   | D: T → T          (* dummifier *)
21 .
22
23 (* arguments: k is the depth (starts from 0), p is the height (starts from 0) *)
24 let rec lift t k p ≝
25   match t with 
26     [ Sort n ⇒ Sort n
27     | Rel n ⇒ if_then_else T (leb (S n) k) (Rel n) (Rel (n+p))
28     | App m n ⇒ App (lift m k p) (lift n k p)
29     | Lambda m n ⇒ Lambda (lift m k p) (lift n (k+1) p)
30     | Prod m n ⇒ Prod (lift m k p) (lift n (k+1) p)
31     | D n ⇒ D (lift n k p)
32     ].
33
34 (* 
35 ndefinition lift ≝ λt.λp.lift_aux t 0 p.
36
37 notation "↑ ^ n ( M )" non associative with precedence 40 for @{'Lift O $M}.
38 notation "↑ _ k ^ n ( M )" non associative with precedence 40 for @{'Lift $n $k $M}.
39 *)
40 (* interpretation "Lift" 'Lift n M = (lift M n). *)
41 interpretation "Lift" 'Lift n k M = (lift M k n).
42
43 let rec subst t k a ≝ 
44   match t with 
45     [ Sort n ⇒ Sort n
46     | Rel n ⇒ if_then_else T (leb (S n) k) (Rel n)
47         (if_then_else T (eqb n k) (lift a 0 n) (Rel (n-1)))
48     | App m n ⇒ App (subst m k a) (subst n k a)
49     | Lambda m n ⇒ Lambda (subst m k a) (subst n (k+1) a)
50     | Prod m n ⇒ Prod (subst m k a) (subst n (k+1) a)
51     | D n ⇒ D (subst n k a)
52     ].
53
54 (* meglio non definire 
55 ndefinition subst ≝ λa.λt.subst_aux t 0 a.
56 notation "M [ N ]" non associative with precedence 90 for @{'Subst $N $M}.
57 *)
58
59 notation "M [ k := N ]" non associative with precedence 90 for @{'Subst $M $k $N}.
60
61 (* interpretation "Subst" 'Subst N M = (subst N M). *)
62 interpretation "Subst" 'Subst M k N = (subst M k N).
63
64 (*** properties of lift and subst ***)
65
66 lemma lift_0: ∀t:T.∀k. lift t k 0 = t.
67 #t (elim t) normalize // #n #k cases (leb (S n) k) normalize // 
68 qed.
69
70 (* nlemma lift_0: ∀t:T. lift t 0 = t.
71 #t; nelim t; nnormalize; //; nqed. *)
72
73 lemma lift_sort: ∀i,k,n. lift (Sort i) k n = Sort i.
74 // qed.
75
76 lemma lift_rel: ∀i,n. lift (Rel i) 0 n = Rel (i+n).
77 // qed.
78
79 lemma lift_rel1: ∀i.lift (Rel i) 0 1 = Rel (S i).
80 #i (change with (lift (Rel i) 0 1 = Rel (1 + i))) //
81 qed.
82
83 lemma lift_lift: ∀t.∀i,j.j ≤ i  → ∀h,k. 
84   lift (lift t k i) (j+k) h = lift t k (i+h).
85 #t #i #j #h (elim t) normalize // #n #h #k
86 @(leb_elim (S n) k) #Hnk normalize
87   [>(le_to_leb_true (S n) (j+k) ?) normalize /2/
88   |>(lt_to_leb_false (S n+i) (j+k) ?)
89      normalize // @le_S_S >(commutative_plus j k)
90      @le_plus // @not_lt_to_le /2/
91   ]
92 qed.
93
94 lemma lift_lift1: ∀t.∀i,j,k. 
95   lift(lift t k j) k i = lift t k (j+i).
96 /2/ qed.
97
98 lemma lift_lift2: ∀t.∀i,j,k. 
99   lift (lift t k j) (j+k) i = lift t k (j+i).
100 /2/ qed.
101
102 (*
103 nlemma lift_lift: ∀t.∀i,j. lift (lift t j) i = lift t (j+i).
104 nnormalize; //; nqed. *)
105
106 lemma subst_lift_k: ∀A,B.∀k. (lift B k 1)[k ≝ A] = B.
107 #A #B (elim B) normalize /2/ #n #k
108 @(leb_elim (S n) k) normalize #Hnk
109   [>(le_to_leb_true ?? Hnk) normalize //
110   |>(lt_to_leb_false (S (n + 1)) k ?) normalize
111     [>(not_eq_to_eqb_false (n+1) k ?) normalize /2/
112     |@le_S (applyS (not_le_to_lt (S n) k Hnk))
113     ]
114   ]
115 qed.
116
117 (*
118 nlemma subst_lift: ∀A,B. subst A (lift B 1) = B.
119 nnormalize; //; nqed. *)
120
121 lemma subst_sort: ∀A.∀n,k.(Sort n) [k ≝ A] = Sort n.
122 // qed.
123
124 lemma subst_rel: ∀A.(Rel 0) [0 ≝ A] = A.
125 normalize // qed.
126
127 lemma subst_rel1: ∀A.∀k,i. i < k → 
128   (Rel i) [k ≝ A] = Rel i.
129 #A #k #i normalize #ltik >(le_to_leb_true (S i) k) //
130 qed.
131
132 lemma subst_rel2: ∀A.∀k. 
133   (Rel k) [k ≝ A] = lift A 0 k.
134 #A #k normalize >(lt_to_leb_false (S k) k) // >(eq_to_eqb_true … (refl …)) //
135 qed.
136
137 lemma subst_rel3: ∀A.∀k,i. k < i → 
138   (Rel i) [k ≝ A] = Rel (i-1).
139 #A #k #i normalize #ltik >(lt_to_leb_false (S i) k) /2/ 
140 >(not_eq_to_eqb_false i k) // @sym_not_eq @lt_to_not_eq //
141 qed.
142
143 lemma lift_subst_ijk: ∀A,B.∀i,j,k.
144   lift (B [j+k := A]) k i = (lift B k i) [j+k+i ≝ A].
145 #A #B #i #j (elim B) normalize /2/ #n #k
146 @(leb_elim (S n) (j + k)) normalize #Hnjk
147   [(elim (leb (S n) k))
148     [>(subst_rel1 A (j+k+i) n) /2/
149     |>(subst_rel1 A (j+k+i) (n+i)) /2/
150     ]
151   |@(eqb_elim n (j+k)) normalize #Heqnjk 
152     [>(lt_to_leb_false (S n) k);
153       [(cut (j+k+i = n+i)) [//] #Heq
154        >Heq >(subst_rel2 A ?) normalize (applyS lift_lift) //
155       |/2/
156       ]
157     |(cut (j + k < n))
158       [@not_eq_to_le_to_lt;
159         [/2/ |@le_S_S_to_le @not_le_to_lt /2/ ]
160       |#ltjkn
161        (cut (O < n)) [/2/] #posn (cut (k ≤ n)) [/2/] #lekn
162        >(lt_to_leb_false (S (n-1)) k) normalize
163         [>(lt_to_leb_false … (le_S_S … lekn))
164          >(subst_rel3 A (j+k+i) (n+i)); [/3/ |/2/]
165         |@le_S_S; (* /3/; 65 *) (applyS monotonic_pred) @le_plus_b //
166         ]
167      ]
168   ]
169 qed. 
170
171 theorem delift : ∀A,B.∀i,j,k. i ≤ j → j ≤ i + k → 
172   (lift B i (S k)) [j ≝ A] = lift B i k.
173 #A #B (elim B) normalize /2/
174   [2,3,4: #T #T0 #Hind1 #Hind2 #i #j #k #leij #lejk
175    @eq_f2 /2/ @Hind2 (applyS (monotonic_le_plus_l 1)) //
176   |5:#T #Hind #i #j #k #leij #lejk @eq_f @Hind //
177   |#n #i #j #k #leij #ltjk @(leb_elim (S n) i) normalize #len
178     [>(le_to_leb_true (S n) j) /2/
179     |>(lt_to_leb_false (S (n+S k)) j);
180       [normalize >(not_eq_to_eqb_false (n+S k) j)normalize 
181        /2/ @(not_to_not …len) #H @(le_plus_to_le_r k) normalize //
182       |@le_S_S @(transitive_le … ltjk) @le_plus // @not_lt_to_le /2/
183       ]
184     ]
185   ]
186 qed.
187      
188 (********************* substitution lemma ***********************)    
189
190 lemma subst_lemma: ∀A,B,C.∀k,i. 
191   (A [i ≝ B]) [k+i ≝ C] = 
192     (A [S (k+i) := C]) [i ≝ B [k ≝ C]].
193 #A #B #C #k (elim A) normalize // (* WOW *)
194 #n #i @(leb_elim (S n) i) #Hle
195   [(cut (n < k+i)) [/2/] #ltn (* lento *) (cut (n ≤ k+i)) [/2/] #len
196    >(subst_rel1 C (k+i) n ltn) >(le_to_leb_true n (k+i) len) >(subst_rel1 … Hle) // 
197   |@(eqb_elim n i) #eqni
198     [>eqni >(le_to_leb_true i (k+i)) // >(subst_rel2 …); 
199      normalize @sym_eq (applyS (lift_subst_ijk C B i k O))
200     |@(leb_elim (S (n-1)) (k+i)) #nk
201       [>(subst_rel1 C (k+i) (n-1) nk) >(le_to_leb_true n (k+i));
202         [>(subst_rel3 ? i n) // @not_eq_to_le_to_lt;
203           [/2/ |@not_lt_to_le /2/]
204         |@(transitive_le … nk) //
205         ]
206       |(cut (i < n)) [@not_eq_to_le_to_lt; [/2/] @(not_lt_to_le … Hle)]
207        #ltin (cut (O < n)) [/2/] #posn
208        @(eqb_elim (n-1) (k+i)) #H
209         [>H >(subst_rel2 C (k+i)) >(lt_to_leb_false n (k+i));
210           [>(eq_to_eqb_true n (S(k+i))); 
211             [normalize |<H (applyS plus_minus_m_m) // ]
212            (generalize in match ltin)
213            <H @(lt_O_n_elim … posn) #m #leim >delift normalize /2/
214           |<H @(lt_O_n_elim … posn) #m normalize //
215           ]
216         |(cut (k+i < n-1))
217           [@not_eq_to_le_to_lt; [@sym_not_eq @H |@(not_lt_to_le … nk)]]
218          #Hlt >(lt_to_leb_false n (k+i));
219           [>(not_eq_to_eqb_false n (S(k+i)));
220             [>(subst_rel3 C (k+i) (n-1) Hlt);
221              >(subst_rel3 ? i (n-1)) // @(le_to_lt_to_lt … Hlt) //
222             |@(not_to_not … H) #Hn >Hn normalize //
223             ]
224           |@(transitive_lt … Hlt) @(lt_O_n_elim … posn) normalize // 
225           ]
226         ]
227       ]
228     ]
229   ] 
230 qed.