weblib/lambda/types.ma

   1 (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||  This file is distributed under the terms of the
   8     \   /  GNU General Public License Version 2
   9      \ /
  10       V_______________________________________________________________ *)
  11
  12 include "lambda/subst.ma".
  13 include "basics/list.ma".
  14
  15
  16 (*************************** substl *****************************)
  17
  18 let rec substl (G:list T) (N:T) : list T ≝
  19   match G with
  20     [ nil ⇒ nil T
  21     | cons A D ⇒ ((subst A (length T D) N)::(substl D N))
  22     ].
  23
  24 (*
  25 nlemma substl_cons: ∀A,N.∀G.
  26 substl (A::G) N = (subst_aux A (length T G) N)::(substl G N).
  27 //; nqed.
  28 *)
  29
  30 (*
  31 nlemma length_cons: ∀A.∀G. length T (A::G) = length T G + 1.
  32 /2/; nqed.*)
  33
  34 (****************************************************************)
  35
  36 axiom A: nat → nat → Prop.
  37 axiom R: nat → nat → nat → Prop.
  38 axiom conv: T → T → Prop.
  39
  40 inductive TJ: list T → T → T → Prop ≝
  41   | ax : ∀i,j. A i j → TJ (nil T) (Sort i) (Sort j)
  42   | start: ∀G.∀A.∀i.TJ G A (Sort i) → TJ (A::G) (Rel 0) (lift A 0 1)
  43   | weak: ∀G.∀A,B,C.∀i.
  44      TJ G A B → TJ G C (Sort i) → TJ (C::G) (lift A 0 1) (lift B 0 1)
  45   | prod: ∀G.∀A,B.∀i,j,k. R i j k →
  46      TJ G A (Sort i) → TJ (A::G) B (Sort j) → TJ G (Prod A B) (Sort k)
  47   | app: ∀G.∀F,A,B,a.
  48      TJ G F (Prod A B) → TJ G a A → TJ G (App F a) (subst B 0 a)
  49   | abs: ∀G.∀A,B,b.∀i.
  50      TJ (A::G) b B → TJ G (Prod A B) (Sort i) → TJ G (Lambda A b) (Prod A B)
  51   | conv: ∀G.∀A,B,C.∀i. conv B C →
  52      TJ G A B → TJ G B (Sort i) → TJ G A C
  53   | dummy: ∀G.∀A,B.∀i.
  54      TJ G A B → TJ G B (Sort i) → TJ G (D A) B.
  55
  56 notation "hvbox(G break  ⊢ A : B)" non associative with precedence 50 for @{'TJ $G $A $B}.
  57 interpretation "type judgement" 'TJ G A B = (TJ G A B).
  58
  59 (* ninverter TJ_inv2 for TJ (%?%) : Prop. *)
  60
  61 (**** definitions ****)
  62
  63 inductive Glegal (G: list T) : Prop ≝
  64 glegalk : ∀A,B. G ⊢ A : B → Glegal G.
  65
  66 inductive Gterm (G: list T) (A:T) : Prop ≝
  67   | is_term: ∀B.G ⊢ A:B → Gterm G A
  68   | is_type: ∀B.G ⊢ B:A → Gterm G A.
  69
  70 inductive Gtype (G: list T) (A:T) : Prop ≝
  71 gtypek: ∀i.G ⊢ A : Sort i → Gtype G A.
  72
  73 inductive Gelement (G:list T) (A:T) : Prop ≝
  74 gelementk: ∀B.G ⊢ A:B → Gtype G B → Gelement G A.
  75
  76 inductive Tlegal (A:T) : Prop ≝
  77 tlegalk: ∀G. Gterm G A → Tlegal A.
  78
  79 (*
  80 ndefinition Glegal ≝ λG: list T.∃A,B:T.TJ G A B .
  81
  82 ndefinition Gterm ≝ λG: list T.λA.∃B.TJ G A B ∨ TJ G B A.
  83
  84 ndefinition Gtype ≝ λG: list T.λA.∃i.TJ G A (Sort i).
  85
  86 ndefinition Gelement ≝ λG: list T.λA.∃B.TJ G A B ∨ Gtype G B.
  87
  88 ndefinition Tlegal ≝ λA:T.∃G: list T.Gterm G A.
  89 *)
  90
  91 (*
  92 ntheorem free_var1: ∀G.∀A,B,C. TJ G A B →
  93 subst C A
  94 #G; #i; #j; #axij; #Gleg; ncases Gleg;
  95 #A; #B; #tjAB; nelim tjAB; /2/; (* bello *) nqed.
  96 *)
  97
  98 theorem start_lemma1: ∀G.∀i,j.
  99 A i j → Glegal G → G ⊢ Sort i: Sort j.
 100 #G #i #j #axij #Gleg (cases Gleg)
 101 #A #B #tjAB (elim tjAB) /2/
 102 (* bello *) qed.
 103
 104 theorem start_rel: ∀G.∀A.∀C.∀n,i,q.
 105 G ⊢ C: Sort q → G ⊢ Rel n: lift A 0 i → (C::G) ⊢ Rel (S n): lift A 0 (S i).
 106 #G #A #C #n #i #p #tjC #tjn
 107  (applyS (weak G (Rel n))) //. (* bello *)
 108  (*
 109  nrewrite > (plus_n_O i);
 110  nrewrite > (plus_n_Sm i O);
 111  nrewrite < (lift_lift A 1 i);
 112  nrewrite > (plus_n_O n);  nrewrite > (plus_n_Sm n O);
 113  applyS (weak G (Rel n) (lift A i) C p tjn tjC). *)
 114 qed.
 115
 116 theorem start_lemma2: ∀G.
 117 Glegal G → ∀n. n < |G| → G ⊢ Rel n: lift (nth n T G (Rel O)) 0 (S n).
 118 #G #Gleg (cases Gleg) #A #B #tjAB (elim tjAB) /2/
 119   [#i #j #axij #p normalize #abs @False_ind @(absurd … abs) //
 120   |#G #A #i #tjA #Hind #m (cases m) /2/
 121    #p #Hle @start_rel // @Hind @le_S_S_to_le @Hle
 122   |#G #A #B #C #i #tjAB #tjC #Hind1 #_ #m (cases m)
 123      /2/ #p #Hle @start_rel // @Hind1 @le_S_S_to_le @Hle
 124   ]
 125 qed.
 126
 127 (*
 128 nlet rec TJm G D on D : Prop ≝
 129   match D with
 130     [ nil ⇒ True
 131     | cons A D1 ⇒ TJ G (Rel 0) A ∧ TJm G D1
 132     ].
 133
 134 nlemma tjm1: ∀G,D.∀A. TJm G (A::D) → TJ G (Rel 0) A.
 135 #G; #D; #A; *; //; nqed.
 136
 137 ntheorem transitivity_tj: ∀D.∀A,B. TJ D A B →
 138   ∀G. Glegal G → TJm G D → TJ G A B.
 139 #D; #A; #B; #tjAB; nelim tjAB;
 140   ##[/2/;
 141   ##|/2/;
 142   ##|#E; #T; #T0; #T1; #n; #tjT; #tjT1; #H; #H1; #G; #HlegG;
 143      #tjGcons;
 144      napply weak;
 145 *)
 146 (*
 147 ntheorem substitution_tj:
 148 ∀G.∀A,B,N,M.TJ (A::G) M B → TJ G N A →
 149   TJ G (subst N M) (subst N B).
 150 #G;#A;#B;#N;#M;#tjM;
 151   napply (TJ_inv2 (A::G) M B);
 152   ##[nnormalize; /3/;
 153   ##|#G; #A; #N; #tjA; #Hind; #Heq;
 154      ndestruct;//;
 155   ##|#G; #A; #B; #C; #n; #tjA; #tjC; #Hind1; #Hind2; #Heq;
 156      ndestruct;//;
 157   ##|nnormalize; #E; #A; #B; #i; #j; #k;
 158      #Ax; #tjA; #tjB; #Hind1; #_;
 159      #Heq; #HeqB; #tjN; napply (prod ?????? Ax);
 160       ##[/2/;
 161       ##|nnormalize; napplyS weak;
 162
 163 *)
 164
 165
 166 axiom conv_subst: ∀P,Q,N,i.conv P Q → conv P[i := N] Q[i := N].
 167
 168 theorem substitution_tj:
 169 ∀E.∀A,B,M. E ⊢M:B → ∀G,D.∀N. E = D@A::G → G ⊢ N:A →
 170   ((substl D N)@G) ⊢ M[|D| := N]: B[|D| := N].
 171 #E #A #B #M #tjMB (elim tjMB)
 172   [normalize #i #j #k #G #D #N (cases D)
 173     [normalize #isnil destruct
 174     |#P #L normalize #isnil destruct
 175     ]
 176   |#G #A1 #i #tjA #Hind #G1 #D (cases D)
 177     [#N #Heq #tjN >(delift (lift N O O) A1 O O O ??) //
 178      (normalize in Heq) destruct /2/
 179     |#H #L #N1 #Heq (normalize in Heq)
 180      #tjN1 normalize destruct; (applyS start) /2/
 181     ]
 182   |#G #P #Q #R #i #tjP #tjR #Hind1 #Hind2 #G1 #D #N
 183    (cases D) normalize
 184     [#Heq destruct #tjN //
 185     |#H #L #Heq #tjN1 destruct;
 186        (* napplyS weak non va *)
 187      (cut (S (length T L) = (length T L)+0+1)) [//]
 188      #Hee (applyS weak) /2/
 189     ]
 190   |#G #P #Q #i #j #k #Ax #tjP #tjQ #Hind1 #Hind2
 191    #G1 #D #N #Heq #tjN normalize @(prod … Ax);
 192     [/2/
 193     |(cut (S (length T D) = (length T D)+1)) [//]
 194      #Heq1 <Heq1 @(Hind2 ? (P::D)) normalize //
 195     ]
 196   |#G #P #Q #R #S #tjP #tjS #Hind1 #Hind2
 197    #G1 #D #N #Heq #tjN (normalize in Hind1 ⊢ %)
 198    >(plus_n_O (length ? D)) in ⊢ (? ? ? (? ? % ?))
 199    >(subst_lemma R S N ? 0) (applyS app) /2/
 200   |#G #P #Q #R #i #tjR #tjProd #Hind1 #Hind2
 201    #G1 #D #N #Heq #tjN normalize
 202    (applyS abs)
 203     [normalize in Hind2 /2/
 204     |(* napplyS (Hind1 G1 (P::D) N ? tjN); sistemare *)
 205      generalize in match (Hind1 G1 (P::D) N ? tjN);
 206       [#H (normalize in H) (applyS H) | normalize // ]
 207     ]
 208   |#G #P #Q #R #i #convQR #tjP #tjQ #Hind1 #Hind2
 209    #G1 #D #N #Heq #tjN
 210    @(conv …(conv_subst … convQR) ? (Hind2 …)) // @Hind1 //
 211   |#G #P #Q #i #tjP #tjQ #Hind1 #Hind2
 212    #G1 #D #N #Heq #tjN @dummy /2/
 213   ]
 214 qed.