weblib/tutorial/chapter2.ma

   1 (*
   2 \ 5h1 class="section"\ 6Induction and Recursion\ 5/h1\ 6
   3 *)
   4 include "basics/types.ma".
   5
   6 (* Most of the types we have seen so far are enumerated types, composed by a
   7 finite set of alternatives, and records, composed by tuples of heteregoneous
   8 elements. A more interesting case of type definition is when some of the rules
   9 defining its elements are recursive, i.e. they allow the formation of more
  10 elements of the type in terms of the already defined ones. The most typical case
  11 is provided by the natural numbers, that can be defined as the smallest set
  12 generated by a constant 0 and a successor function from natural numbers to natural
  13 numbers *)
  14
  15 \ 5img class="anchor" src="icons/tick.png" id="nat"\ 6inductive nat : Type[0] ≝
  16 | O :nat
  17 | S: nat →nat.
  18
  19 (* The two terms O and S are called constructors: they define the signature of the
  20 type, whose objects are the elements freely generated by means of them. So,
  21 examples of natural numbers are O, S O, S (S O), S (S (S O)) and so on.
  22
  23 The language of Matita allows the definition of well founded recursive functions
  24 over inductive types; in order to guarantee termination of recursion you are only
  25 allowed to make recursive calls on structurally smaller arguments than the ones
  26 you received in input. Most mathematical functions can be naturally defined in this
  27 way. For instance, the sum of two natural numbers can be defined as follows *)
  28
  29 \ 5img class="anchor" src="icons/tick.png" id="add"\ 6let rec add n m ≝
  30 match n with
  31 [ O ⇒ m
  32 | S a ⇒ \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 (add a m)
  33 ].
  34
  35 (*
  36 \ 5h2 class="section"\ 6Elimination\ 5/h2\ 6
  37 It is worth to observe that the previous algorithm works by recursion over the
  38 first argument. This means that, for instance, (add O x) will reduce to x, as
  39 expected, but (add x O) is stuck.
  40 How can we prove that, for a generic x, (add x O) = x? The mathematical tool to do
  41 it is called induction. The induction principle states that, given a property P(n)
  42 over natural numbers, if we prove P(0) and prove that, for any m, P(m) implies P(S m),
  43 than we can conclude P(n) for any n.
  44
  45 The elim tactic, allow you to apply induction in a very simple way. If your goal is
  46 P(n), the invocation of
  47   elim n
  48 will break down your task to prove the two subgoals P(0) and ∀m.P(m) → P(S m).
  49
  50 Let us apply it to our case *)
  51
  52 \ 5img class="anchor" src="icons/tick.png" id="add_0"\ 6lemma add_0: ∀a. \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/add.fix(0,0,1)"\ 6add\ 5/a\ 6 a \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.con(0,1,0)"\ 6O\ 5/a\ 6 \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 a.
  53 #a elim a
  54
  55 (* If you stop the computation here, you will see on the right the two subgoals
  56     - add O O = O
  57     - ∀x. add x 0 = x → add (S x) O = S x
  58 After normalization, both goals are trivial.
  59 *)
  60
  61 normalize // qed.
  62
  63 (* In a similar way, it is convenient to state a lemma about the behaviour of
  64 add when the second argument is not zero. *)
  65
  66 \ 5img class="anchor" src="icons/tick.png" id="add_S"\ 6lemma add_S : ∀a,b. \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/add.fix(0,0,1)"\ 6add\ 5/a\ 6 a (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 b) \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/add.fix(0,0,1)"\ 6add\ 5/a\ 6 a b).
  67
  68 (* In the same way as before, we proceed by induction over a. *)
  69
  70 #a #b elim a normalize //
  71 qed.
  72
  73 (* We are now in the position to prove the commutativity of the sum *)
  74
  75 \ 5img class="anchor" src="icons/tick.png" id="add_comm"\ 6theorem add_comm : ∀a,b. \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/add.fix(0,0,1)"\ 6add\ 5/a\ 6 a b \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/add.fix(0,0,1)"\ 6add\ 5/a\ 6 b a.
  76 #a elim a normalize
  77
  78 (* We have two sub goals:
  79   G1: ∀b. b = add b O
  80   G2: ∀x.(∀b. add x b = add b x) → ∀b. S (add x b) = add b (S x).
  81 G1 is just our lemma add_O. For G2, we start introducing x and the induction
  82 hypothesis IH; then, the goal is proved by rewriting using add_S and IH.
  83 For Matita, the task is trivial and we can simply close the goal with // *)
  84
  85 // qed.
  86
  87 (* COERCIONS *)
  88
  89 \ 5img class="anchor" src="icons/tick.png" id="bool"\ 6inductive bool : Type[0] ≝
  90 | tt : bool
  91 | ff : bool.
  92
  93 \ 5img class="anchor" src="icons/tick.png" id="nat_of_bool"\ 6definition nat_of_bool ≝ λb. match b with
  94 [ tt ⇒ \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.con(0,1,0)"\ 6O\ 5/a\ 6
  95 | ff ⇒ \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.con(0,1,0)"\ 6O\ 5/a\ 6
  96 ].
  97
  98 (* coercion nat_of_bool. ?? *)
  99
 100 (* Let us now define the following function: *)
 101
 102 \ 5img class="anchor" src="icons/tick.png" id="twice"\ 6definition twice ≝ λn.\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/add.fix(0,0,1)"\ 6add\ 5/a\ 6 n n.
 103
 104 (*
 105 \ 5h2 class="section"\ 6Existential\ 5/h2\ 6
 106 We are interested to prove that for any natural number n there exists a natural
 107 number m that is the integer half of n. This will give us the opportunity to
 108 introduce new connectives and quantifiers and, later on, to make some interesting
 109 consideration on proofs and computations. *)
 110
 111 \ 5img class="anchor" src="icons/tick.png" id="ex_half"\ 6theorem ex_half: ∀n.\ 5a title="exists" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∃\ 5/a\ 6m. n \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/twice.def(2)"\ 6twice\ 5/a\ 6 m \ 5a title="logical or" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∨\ 5/a\ 6 n \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/twice.def(2)"\ 6twice\ 5/a\ 6 m).
 112 #n elim n normalize
 113
 114 (* We proceed by induction on n, that breaks down to the following goals:
 115   G1: ∃m.O = add O O ∨ O = S (add m m)
 116   G2: ∀x.(∃m. x = add m m ∨ x = S (add m m))→ ∃m. S x = add m m ∨ S x = S (add m m)
 117 The only way we have to prove an existential goal is by exhibiting the witness,
 118 that in the case of first goal is O. We do it by apply the term called ex_intro
 119 instantiated by the witness. Then, it is clear that we must follow the left branch
 120 of the disjunction. One way to do it is by applying the term or_introl, that is
 121 the first constructor of the disjunction. However, remembering the names of
 122 constructors can be annyoing: we can invoke the application of the n-th
 123 constructor of an inductive type (inferred by the current goal) by typing %n. At
 124 this point we are left with the subgoal O = add O O, that is closed by
 125 computation. It is worth to observe that invoking automation at depth /3/ would
 126 also automatically close G1.
 127 *)
 128   [@(\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/ex.con(0,1,2)"\ 6ex_intro\ 5/a\ 6 … \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.con(0,1,0)"\ 6O\ 5/a\ 6) %1 //
 129
 130 (*
 131 \ 5h2 class="section"\ 6Destructuration\ 5/h2\ 6
 132 The case of G2 is more complex. We should start introducing x and the
 133 inductive hypothesis
 134      IH: ∃m. x = add m m ∨ x = S (add m m)
 135 At this point we should assume the existence of m enjoying the inductive
 136 hypothesis. To eliminate the existential from the context we can just use the
 137 case tactic. This situation where we introduce something into the context and
 138 immediately eliminate it by case analysis is so frequent that Matita provides a
 139 convenient shorthand: you can just type a single "*".
 140 The star symbol should be reminiscent of an explosion: the idea is that you have
 141 a structured hypothesis, and you ask to explode it into its constituents. In the
 142 case of the existential, it allows to pass from a goal of the shape
 143     (∃x.P x) → Q
 144 to a goal of the shape
 145     ∀x.P x → Q
 146 *)
 147   |#x *
 148 (* At this point we are left with a new goal with the following shape
 149   G3: ∀m. x = add m m ∨ x = S (add m m) → ....
 150 We should introduce m, the hypothesis H: x = add m m ∨ x = S (add m m), and
 151 then reason by cases on this hypothesis. It is the same situation as before:
 152 we explode the disjunctive hypothesis into its possible consituents. In the case
 153 of a disjunction, the * tactic allows to pass from a goal of the form
 154     A∨B → Q
 155 to two subgoals of the form
 156     A → Q  and  B → Q
 157 *)
 158   #m * #eqx
 159 (* In the first subgoal, we are under the assumption that x = add m m. The half
 160 of (S x) is hence m, and we have to prove the right branch of the disjunction.
 161 In the second subgoal, we are under the assumption that x = S (add m m). The halh
 162 of (S x) is hence (S m), and have to follow the left branch of the disjunction.
 163 *)
 164   [@(\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/ex.con(0,1,2)"\ 6ex_intro\ 5/a\ 6 … m) /\ 5span class="autotactic"\ 62\ 5span class="autotrace"\ 6 trace \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/Or.con(0,2,2)"\ 6or_intror\ 5/a\ 6\ 5/span\ 6\ 5/span\ 6/ | @(\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/ex.con(0,1,2)"\ 6ex_intro\ 5/a\ 6 … (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 m)) normalize /\ 5span class="autotactic"\ 62\ 5span class="autotrace"\ 6 trace \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/Or.con(0,1,2)"\ 6or_introl\ 5/a\ 6\ 5/span\ 6\ 5/span\ 6/
 165   ]
 166 qed.
 167
 168 (*
 169 \ 5h2 class="section"\ 6Computing vs. Proving\ 5/h2\ 6
 170 Instead of proving the existence of a number corresponding to the half of n,
 171 we could be interested in computing it. The best way to do it is to define this
 172 division operation together with the remainder, that in our case is just a
 173 boolean value: tt if the input term is even, and ff if the input term is odd.
 174 Since we must return a pair, we could use a suitably defined record type, or
 175 simply a product type nat × bool, defined in the basic library. The product type
 176 is just a sort of general purpose record, with standard fields fst and snd, called
 177 projections.
 178 A pair of values n and m is written (pair … m n) or \langle n,m \rangle - visually
 179 rendered as 〈n,m〉
 180
 181 We first write down the function, and then discuss it.*)
 182
 183 \ 5img class="anchor" src="icons/tick.png" id="div2"\ 6let rec div2 n ≝
 184 match n with
 185 [ O ⇒ \ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6〈\ 5/a\ 6\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.con(0,1,0)"\ 6O\ 5/a\ 6\ 5span class="error" title="Parse error: [sym,] expected after [term level 19] (in [term])"\ 6\ 5/span\ 6,\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/bool.con(0,2,0)"\ 6ff\ 5/a\ 6\ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6〉\ 5/a\ 6
 186 | S a ⇒ \ 5span style="text-decoration: underline;"\ 6\ 5/span\ 6
 187    let p ≝ (div2 a) in
 188    match (\ 5a href="cic:/matita/basics/types/snd.fix(0,2,1)"\ 6snd\ 5/a\ 6\ 5span class="error" title="Parse error: SYMBOL ':' or RPAREN expected after [term] (in [term])"\ 6\ 5/span\ 6 … p) with
 189    [ tt ⇒ \ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6〈\ 5/a\ 6\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 (\ 5a href="cic:/matita/basics/types/fst.fix(0,2,1)"\ 6fst\ 5/a\ 6 … p),\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/bool.con(0,2,0)"\ 6ff\ 5/a\ 6\ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6〉\ 5/a\ 6
 190    | ff ⇒ \ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6〈\ 5/a\ 6\ 5a href="cic:/matita/basics/types/fst.fix(0,2,1)"\ 6fst\ 5/a\ 6 … p, \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/bool.con(0,1,0)"\ 6tt\ 5/a\ 6\ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6〉\ 5/a\ 6
 191    ]
 192 ].
 193
 194 (* The function is computed by recursion over the input n. If n is 0, then the
 195 quotient is 0 and the remainder is tt. If n = S a, we start computing the half
 196 of a, say 〈q,b〉. Then we have two cases according to the possible values of b:
 197 if b is tt, then we must return 〈q,ff〉, while if b = ff then we must return
 198 〈S q,tt〉.
 199
 200 It is important to point out the deep, substantial analogy between the algorithm
 201 for computing div2 and the the proof of ex_half. In particular ex_half returns a
 202 proof of the kind ∃n.A(n)∨B(n): the really informative content in it is the
 203 witness n and a boolean indicating which one between the two conditions A(n) and
 204 B(n) is met. This is precisely the quotient-remainder pair returned by div2.
 205 In both cases we proceed by recurrence (respectively, induction or recursion) over
 206 the input argument n. In case n = 0, we conclude the proof in ex_half by providing
 207 the witness O and a proof of A(O); this corresponds to returning the pair 〈O,ff〉 in
 208 div2. Similarly, in the inductive case n = S a, we must exploit the inductive
 209 hypothesis for a (i.e. the result of the recursive call), distinguishing two subcases
 210 according to the the two possibilites A(a) or B(a) (i.e. the two possibile values of
 211 the remainder for a). The reader is strongly invited to check all remaining details.
 212
 213 Let us now prove that our div2 function has the expected behaviour.
 214 *)
 215
 216 \ 5img class="anchor" src="icons/tick.png" id="surjective_pairing"\ 6lemma surjective_pairing: ∀A,B.∀p:A\ 5a title="Product" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6×\ 5/a\ 6B. p \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6〈\ 5/a\ 6\ 5a href="cic:/matita/basics/types/fst.fix(0,2,1)"\ 6fst\ 5/a\ 6 … p,\ 5a title="pair pi2" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\snd\ 5/a\ 6\ 5span class="error" title="Parse error: [sym〉] or [sym,] expected after [term level 19] (in [term])"\ 6\ 5/span\ 6 … p\ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6〉\ 5/a\ 6.
 217 #A #B * // qed.
 218
 219 \ 5img class="anchor" src="icons/tick.png" id="div2SO"\ 6lemma div2SO: ∀n,q. \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/div2.fix(0,0,2)"\ 6div2\ 5/a\ 6 n \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6〈\ 5/a\ 6q,\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/bool.con(0,2,0)"\ 6ff\ 5/a\ 6\ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6〉\ 5/a\ 6 → \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/div2.fix(0,0,2)"\ 6div2\ 5/a\ 6 (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 n) \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6〈\ 5/a\ 6\ 5span style="text-decoration: underline;"\ 6\ 5/span\ 6q,\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/bool.con(0,1,0)"\ 6tt\ 5/a\ 6\ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6〉\ 5/a\ 6.
 220 #n #q #H normalize >H normalize // qed.
 221
 222 \ 5img class="anchor" src="icons/tick.png" id="div2S1"\ 6lemma div2S1: ∀n,q. \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/div2.fix(0,0,2)"\ 6div2\ 5/a\ 6 n \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6〈\ 5/a\ 6q,\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/bool.con(0,1,0)"\ 6tt\ 5/a\ 6\ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6〉\ 5/a\ 6 → \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/div2.fix(0,0,2)"\ 6div2\ 5/a\ 6 (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 n) \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6\ 5span class="error" title="Parse error: [term] expected after [sym=] (in [term])"\ 6\ 5/span\ 6 \ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6〈\ 5/a\ 6\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 q,\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/bool.con(0,2,0)"\ 6ff\ 5/a\ 6\ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6〉\ 5/a\ 6.
 223 #n #q #H normalize >H normalize // qed.
 224
 225 \ 5img class="anchor" src="icons/tick.png" id="div2_ok"\ 6lemma div2_ok: ∀n,q,r. \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/div2.fix(0,0,2)"\ 6div2\ 5/a\ 6 n \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6〈\ 5/a\ 6q,r\ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6〉\ 5/a\ 6 → n \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/add.fix(0,0,1)"\ 6add\ 5/a\ 6 (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/twice.def(2)"\ 6twice\ 5/a\ 6 q) (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat_of_bool.def(1)"\ 6nat_of_bool\ 5/a\ 6 r).
 226 #n elim n
 227   [#q #r normalize #H destruct //
 228   |#a #Hind #q #r
 229    cut (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/div2.fix(0,0,2)"\ 6div2\ 5/a\ 6 a \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6〈\ 5/a\ 6\ 5a href="cic:/matita/basics/types/fst.fix(0,2,1)"\ 6fst\ 5/a\ 6 … (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/div2.fix(0,0,2)"\ 6div2\ 5/a\ 6 a), \ 5a href="cic:/matita/basics/types/snd.fix(0,2,1)"\ 6snd\ 5/a\ 6 … (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/div2.fix(0,0,2)"\ 6div2\ 5/a\ 6 a)\ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6〉\ 5/a\ 6) [//]
 230    cases (\ 5a href="cic:/matita/basics/types/snd.fix(0,2,1)"\ 6snd\ 5/a\ 6 … (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/div2.fix(0,0,2)"\ 6div2\ 5/a\ 6 a))
 231     [#H >(\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/div2S1.def(3)"\ 6div2S1\ 5/a\ 6 … H) #H1 destruct @\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq_f.def(3)"\ 6eq_f\ 5/a\ 6 \ 5span style="text-decoration: underline;"\ 6>\ 5/span\ 6\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/add_S.def(2)"\ 6add_S\ 5/a\ 6 whd in ⊢ (???%); <\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/add_S.def(2)"\ 6add_S\ 5/a\ 6 @(Hind … H)
 232     |#H >(\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/div2SO.def(3)"\ 6div2SO\ 5/a\ 6 … H) #H1 destruct >\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/add_S.def(2)"\ 6add_S\ 5/a\ 6 @\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq_f.def(3)"\ 6eq_f\ 5/a\ 6 @(Hind … H)
 233     ]
 234 qed.
 235
 236 (*
 237 \ 5h2 class="section"\ 6Mixing proofs and computations\ 5/h2\ 6
 238 There is still another possibility, however, namely to mix the program and its
 239 specification into a single entity. The idea is to refine the output type of the
 240 div2 function: it should not be just a generic pair 〈q,r〉 of natural numbers but a
 241 specific pair satisfying the specification of the function. In other words, we need
 242 the possibility to define, for a type A and a property P over A, the subset type
 243 {a:A|P(a)} of all elements a of type A that satisfy the property P. Subset types
 244 are just a particular case of the so called dependent types, that is types that
 245 can depend over arguments (such as arrays of a specified length, taken as a
 246 parameter).These kind of types are quite unusual in traditional programming
 247 languages, and their study is one of the new frontiers of the current research on
 248 type systems.
 249
 250 There is nothing special in a subset type {a:A|P(a)}: it is just a record composed
 251 by an element of a of type A and a proof of P(a). The crucial point is to have a
 252 language reach enough to comprise proofs among its expressions.
 253 *)
 254
 255 \ 5img class="anchor" src="icons/tick.png" id="Sub"\ 6record Sub (A:Type[0]) (P:A → Prop) : Type[0] ≝
 256   {witness: A;
 257    proof: P witness}.
 258
 259 \ 5img class="anchor" src="icons/tick.png" id="qr_spec"\ 6definition qr_spec ≝ λn.λp.∀q,r. p \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6〈\ 5/a\ 6q,r\ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6〉\ 5/a\ 6 → n \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/add.fix(0,0,1)"\ 6add\ 5/a\ 6 (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/twice.def(2)"\ 6twice\ 5/a\ 6 q) (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat_of_bool.def(1)"\ 6nat_of_bool\ 5/a\ 6 r).
 260
 261 (* We can now construct a function from n to {p|qr_spec n p} by composing the objects
 262 we already have *)
 263
 264 \ 5img class="anchor" src="icons/tick.png" id="div2P"\ 6definition div2P: ∀n. \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/Sub.ind(1,0,2)"\ 6Sub\ 5/a\ 6 (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6\ 5a title="Product" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6×\ 5/a\ 6\ 5span style="text-decoration: underline;"\ 6\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/bool.ind(1,0,0)"\ 6bool\ 5/a\ 6\ 5/span\ 6) (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/qr_spec.def(3)"\ 6qr_spec\ 5/a\ 6 n) ≝ λn.
 265  \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/Sub.con(0,1,2)"\ 6mk_Sub\ 5/a\ 6 ?? (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/div2.fix(0,0,2)"\ 6div2\ 5/a\ 6 n) (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/div2_ok.def(4)"\ 6div2_ok\ 5/a\ 6 n).
 266
 267 (* But we can also try do directly build such an object *)
 268
 269 \ 5img class="anchor" src="icons/tick.png" id="div2Pagain"\ 6definition div2Pagain : ∀n.\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/Sub.ind(1,0,2)"\ 6Sub\ 5/a\ 6 (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6\ 5a title="Product" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6×\ 5/a\ 6\ 5span style="text-decoration: underline;"\ 6\ 5/span\ 6\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/bool.ind(1,0,0)"\ 6bool\ 5/a\ 6) (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/qr_spec.def(3)"\ 6qr_spec\ 5/a\ 6 n).
 270 #n elim n
 271   [@(\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/Sub.con(0,1,2)"\ 6mk_Sub\ 5/a\ 6 … \ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6〈\ 5/a\ 6\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.con(0,1,0)"\ 6O\ 5/a\ 6,\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/bool.con(0,2,0)"\ 6ff\ 5/a\ 6\ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6〉\ 5/a\ 6) normalize #q #r #H destruct //
 272   |#a * #p #qrspec
 273    cut (p \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6〈\ 5/a\ 6\ 5a href="cic:/matita/basics/types/fst.fix(0,2,1)"\ 6fst\ 5/a\ 6 … p, \ 5a href="cic:/matita/basics/types/snd.fix(0,2,1)"\ 6snd\ 5/a\ 6 … p\ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6〉\ 5/a\ 6) [//]
 274    cases (\ 5a href="cic:/matita/basics/types/snd.fix(0,2,1)"\ 6snd\ 5/a\ 6 … p)
 275     [#H @(\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/Sub.con(0,1,2)"\ 6mk_Sub\ 5/a\ 6 … \ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6〈\ 5/a\ 6\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 (\ 5a href="cic:/matita/basics/types/fst.fix(0,2,1)"\ 6fst\ 5/a\ 6 … p),\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/bool.con(0,2,0)"\ 6ff\ 5/a\ 6\ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6〉\ 5/a\ 6) whd #q #r #H1 destruct @\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq_f.def(3)"\ 6eq_f\ 5/a\ 6 \ 5span style="text-decoration: underline;"\ 6>\ 5/span\ 6\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/add_S.def(2)"\ 6add_S\ 5/a\ 6
 276      whd in ⊢ (???%); <\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/add_S.def(2)"\ 6add_S\ 5/a\ 6 @(qrspec … H)
 277     |#H @(\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/Sub.con(0,1,2)"\ 6mk_Sub\ 5/a\ 6 … \ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6〈\ 5/a\ 6\ 5a href="cic:/matita/basics/types/fst.fix(0,2,1)"\ 6fst\ 5/a\ 6 … p,\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/bool.con(0,1,0)"\ 6tt\ 5/a\ 6\ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6〉\ 5/a\ 6) whd #q #r #H1 destruct >\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/add_S.def(2)"\ 6add_S\ 5/a\ 6 @\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq_f.def(3)"\ 6eq_f\ 5/a\ 6 @(qrspec … H)
 278   ]
 279 qed.
 280
 281 \ 5img class="anchor" src="icons/tick.png" id="quotient7"\ 6example quotient7: \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/witness.fix(0,2,1)"\ 6witness\ 5/a\ 6 … (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/div2Pagain.def(4)"\ 6div2Pagain\ 5/a\ 6 (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6(\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6(\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6(\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6(\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6(\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6(\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.con(0,1,0)"\ 6O\ 5/a\ 6)))))))) \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6〈\ 5/a\ 6\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6(\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6(\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.con(0,1,0)"\ 6O\ 5/a\ 6)),\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/bool.con(0,1,0)"\ 6tt\ 5/a\ 6\ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6〉\ 5/a\ 6.
 282 // qed.
 283
 284 \ 5img class="anchor" src="icons/tick.png" id="quotient8"\ 6example quotient8: \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/witness.fix(0,2,1)"\ 6witness\ 5/a\ 6 … (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/div2Pagain.def(4)"\ 6div2Pagain\ 5/a\ 6 (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/twice.def(2)"\ 6twice\ 5/a\ 6 (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/twice.def(2)"\ 6twice\ 5/a\ 6 (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/twice.def(2)"\ 6twice\ 5/a\ 6 (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/twice.def(2)"\ 6twice\ 5/a\ 6 (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.con(0,1,0)"\ 6O\ 5/a\ 6))))))
 285        \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6〈\ 5/a\ 6\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/twice.def(2)"\ 6twice\ 5/a\ 6 (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/twice.def(2)"\ 6twice\ 5/a\ 6 (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/twice.def(2)"\ 6twice\ 5/a\ 6 (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.con(0,1,0)"\ 6O\ 5/a\ 6))), \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/bool.con(0,2,0)"\ 6ff\ 5/a\ 6\ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6〉\ 5/a\ 6.
 286 // qed.
 287 \ 5pre\ 6\ 5pre\ 6 \ 5/pre\ 6\ 5/pre\ 6