]> matita.cs.unibo.it Git - helm.git/blob - weblib/tutorial/chapter2.ma
commit by user andrea
[helm.git] / weblib / tutorial / chapter2.ma
1 include "basics/types.ma".
2
3 (* Most of the types we have seen so far are enumerated types, composed by a 
4 finite set of alternatives, and records, composed by tuples of heteregoneous 
5 elements. A more interesting case of type definition is when some of the rules 
6 defining its elements are recursive, i.e. they allow the formation of more 
7 elements of the type in terms of the already defined ones. The most typical case 
8 is provided by the natural numbers, that can be defined as the smallest set 
9 generated by a constant 0 and a successor function from natural numbers to natural
10 numbers *)
11
12 inductive nat : Type[0] ≝ 
13 | O :nat
14 | S: nat →nat.
15
16 (* The two terms O and S are called constructors: they define the signature of the
17 type, whose objects are the elements freely generated by means of them. So, 
18 examples of natural numbers are O, S O, S (S O), S (S (S O)) and so on. 
19
20 The language of Matita allows the definition of well founded recursive functions 
21 over inductive types; in order to guarantee termination of recursion you are only 
22 allowed to make recursive calls on structurally smaller arguments than the ones 
23 you received in input. Most mathematical functions can be naturally defined in this
24 way. For instance, the sum of two natural numbers can be defined as follows *)
25
26 let rec add n m ≝ 
27 match n with
28 [ O ⇒ m
29 | S a ⇒ \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 (add a m)
30 ].
31
32 (* It is worth to observe that the previous algorithm works by recursion over the
33 first argument. This means that, for instance, (add O x) will reduce to x, as 
34 expected, but (add x O) is stuck. 
35 How can we prove that, for a generic x, (add x O) = x? The mathematical tool to do 
36 it is called induction. The induction principle states that, given a property P(n) 
37 over natural numbers, if we prove P(0) and prove that, for any m, P(m) implies P(S m), 
38 than we can conclude P(n) for any n. 
39
40 The elim tactic, allow you to apply induction in a very simple way. If your goal is 
41 P(n), the invocation of
42   elim n
43 will break down your task to prove the two subgoals P(0) and ∀m.P(m) → P(S m).
44
45 Let us apply it to our case *)
46
47 lemma add_0: ∀a. \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/add.fix(0,0,1)"\ 6add\ 5/a\ 6 a \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.con(0,1,0)"\ 6O\ 5/a\ 6 \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 a.
48 #a elim a
49
50 (* If you stop the computation here, you will see on the right the two subgoals 
51     - add O O = O
52     - ∀x. add x 0 = x → add (S x) O = S x
53 After normalization, both goals are trivial.
54 *)
55
56 normalize // qed.
57
58 (* In a similar way, it is convenient to state a lemma about the behaviour of 
59 add when the second argument is not zero. *)
60
61 lemma add_S : ∀a,b. \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/add.fix(0,0,1)"\ 6add\ 5/a\ 6 a (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 b) \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/add.fix(0,0,1)"\ 6add\ 5/a\ 6 a b).
62
63 (* In the same way as before, we proceed by induction over a. *)
64
65 #a #b elim a normalize //
66 qed. 
67
68 (* We are now in the position to prove the commutativity of the sum *)
69
70 theorem add_comm : ∀a,b. \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/add.fix(0,0,1)"\ 6add\ 5/a\ 6 a b \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/add.fix(0,0,1)"\ 6add\ 5/a\ 6 b a.
71 #a elim a normalize
72
73 (* We have two sub goals:
74   G1: ∀b. b = add b O
75   G2: ∀x.(∀b. add x b = add b x) → ∀b. S (add x b) = add b (S x). 
76 G1 is just our lemma add_O. For G2, we start introducing x and the induction 
77 hypothesis IH; then, the goal is proved by rewriting using add_S and IH.
78 For Matita, the task is trivial and we can simply close the goal with // *)
79
80 // qed.
81
82 (* COERCIONS *)
83
84 inductive bool : Type[0] ≝
85 | tt : bool
86 | ff : bool.
87
88 definition nat_of_bool ≝ λb. match b with 
89 [ tt ⇒ \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.con(0,1,0)"\ 6O\ 5/a\ 6 
90 | ff ⇒ \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.con(0,1,0)"\ 6O\ 5/a\ 6 
91 ].
92
93 (* coercion nat_of_bool. ?? *)
94  
95 (* Let us now define the following function: *)
96
97 definition twice ≝ λn.\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/add.fix(0,0,1)"\ 6add\ 5/a\ 6 n n. 
98
99 (* We are interested to prove that for any natural number n there exists a natural 
100 number m that is the integer half of n. This will give us the opportunity to 
101 introduce new connectives and quantifiers and, later on, to make some interesting 
102 consideration on proofs and computations. *)
103
104 theorem ex_half: ∀n.\ 5a title="exists" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\ 5/a\ 6m. n \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/twice.def(2)"\ 6twice\ 5/a\ 6 m \ 5a title="logical or" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\ 5/a\ 6 n \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/twice.def(2)"\ 6twice\ 5/a\ 6 m).
105 #n elim n normalize 
106
107 (* We proceed by induction on n, that breaks down to the following goals:
108   G1: ∃m.O = add O O ∨ O = S (add m m)
109   G2: ∀x.(∃m. x = add m m ∨ x = S (add m m))→ ∃m. S x = add m m ∨ S x = S (add m m)
110 The only way we have to prove an existential goal is by exhibiting the witness, 
111 that in the case of first goal is O. We do it by apply the term called ex_intro 
112 instantiated by the witness. Then, it is clear that we must follow the left branch 
113 of the disjunction. One way to do it is by applying the term or_introl, that is 
114 the first constructor of the disjunction. However, remembering the names of 
115 constructors can be annyoing: we can invoke the application of the n-th 
116 constructor of an inductive type (inferred by the current goal) by typing %n. At 
117 this point we are left with the subgoal O = add O O, that is closed by 
118 computation. It is worth to observe that invoking automation at depth /3/ would 
119 also automatically close G1.
120 *)
121   [@(\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/ex.con(0,1,2)"\ 6ex_intro\ 5/a\ 6 … \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.con(0,1,0)"\ 6O\ 5/a\ 6) %1 //
122
123 (* The case of G2 is more complex. We should start introducing x and the 
124 inductive hypothesis
125      IH: ∃m. x = add m m ∨ x = S (add m m) 
126 At this point we should assume the existence of m enjoying the inductive 
127 hypothesis. To eliminate the existential from the context we can just use the 
128 case tactic. This situation where we introduce something into the context and 
129 immediately eliminate it by case analysis is so frequent that Matita provides a 
130 convenient shorthand: you can just type a single "*". 
131 The star symbol should be reminiscent of an explosion: the idea is that you have
132 a structured hypothesis, and you ask to explode it into its constituents. In the 
133 case of the existential, it allows to pass from a goal of the shape 
134     (∃x.P x) → Q
135 to a goal of the shape
136     ∀x.P x → Q
137 *)
138   |#x *
139 (* At this point we are left with a new goal with the following shape
140   G3: ∀m. x = add m m ∨ x = S (add m m) → ....  
141 We should introduce m, the hypothesis H: x = add m m ∨ x = S (add m m), and 
142 then reason by cases on this hypothesis. It is the same situation as before: 
143 we explode the disjunctive hypothesis into its possible consituents. In the case 
144 of a disjunction, the * tactic allows to pass from a goal of the form
145     A∨B → Q
146 to two subgoals of the form
147     A → Q  and  B → Q
148 *)
149   #m * #eqx
150 (* In the first subgoal, we are under the assumption that x = add m m. The half 
151 of (S x) is hence m, and we have to prove the right branch of the disjunction. 
152 In the second subgoal, we are under the assumption that x = S (add m m). The halh 
153 of (S x) is hence (S m), and have to follow the left branch of the disjunction.
154 *)
155   [@(\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/ex.con(0,1,2)"\ 6ex_intro\ 5/a\ 6 … m) /\ 5span class="autotactic"\ 62\ 5span class="autotrace"\ 6 trace \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/Or.con(0,2,2)"\ 6or_intror\ 5/a\ 6\ 5/span\ 6\ 5/span\ 6/ | @(\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/ex.con(0,1,2)"\ 6ex_intro\ 5/a\ 6 … (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 m)) normalize /\ 5span class="autotactic"\ 62\ 5span class="autotrace"\ 6 trace \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/Or.con(0,1,2)"\ 6or_introl\ 5/a\ 6\ 5/span\ 6\ 5/span\ 6/
156   ]
157 qed. 
158
159 (* Instead of proving the existence of a number corresponding to the half of n, 
160 we could be interested in computing it. The best way to do it is to define this 
161 division operation together with the remainder, that in our case is just a boolean 
162 value: tt if the input term is even, and ff if the input term is odd. Since we 
163 must return a pair, we could use a suitably defined record type, or simply a product 
164 type nat × bool, defined in the basic library. The product type is just a sort of 
165 general purpose record, with standard fields fst and snd, called projections. 
166 A pair of values n and m is written (pair … m n) or \langle n,m \rangle - 
167 visually rendered as 〈n,m〉 
168
169 We first write down the function, and then discuss it.*)
170
171 let rec div2 n ≝ 
172 match n with
173 [ O ⇒ \ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\ 5/a\ 6\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.con(0,1,0)"\ 6O\ 5/a\ 6,\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/bool.con(0,2,0)"\ 6ff\ 5/a\ 6
174 | S a ⇒ \ 5span style="text-decoration: underline;"\ 6\ 5/span\ 6
175    let p ≝ (div2 a) in
176    match (\ 5a href="cic:/matita/basics/types/snd.def(1)"\ 6snd\ 5/a\ 6 … p) with
177    [ tt ⇒ \ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\ 5/a\ 6\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 (\ 5a href="cic:/matita/basics/types/fst.def(1)"\ 6fst\ 5/a\ 6 … p),\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/bool.con(0,2,0)"\ 6ff\ 5/a\ 6〉 
178    | ff ⇒ \ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\ 5/a\ 6\ 5a href="cic:/matita/basics/types/fst.def(1)"\ 6fst\ 5/a\ 6 … p, \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/bool.con(0,1,0)"\ 6tt\ 5/a\ 6
179    ]
180 ]. 
181
182 (* The function is computed by recursion over the input n. If n is 0, then the 
183 quotient is 0 and the remainder is tt. If n = S a, we start computing the half 
184 of a, say 〈q,b〉. Then we have two cases according to the possible values of b: 
185 if b is tt, then we must return 〈q,ff〉, while if b = ff then we must return 〈S q,tt〉.
186
187 It is important to point out the deep, substantial analogy between the algorithm for 
188 computing div2 and the the proof of ex_half. In particular ex_half returns a 
189 proof of the kind ∃n.A(n)∨B(n): the really informative content in it is the witness
190 n and a boolean indicating which one between the two conditions A(n) and B(n) is met.
191 This is precisely the quotient-remainder pair returned by div2.
192 In both cases we proceed by recurrence (respectively, induction or recursion) over the 
193 input argument n. In case n = 0, we conclude the proof in ex_half by providing the
194 witness O and a proof of A(O); this corresponds to returning the pair 〈O,ff〉 in div2.
195 Similarly, in the inductive case n = S a, we must exploit the inductive hypothesis 
196 for a (i.e. the result of the recursive call), distinguishing two subcases according 
197 to the the two possibilites A(a) or B(a) (i.e. the two possibile values of the remainder 
198 for a). The reader is strongly invited to check all remaining details.
199
200 Let us now prove that our div2 function has the expected behaviour.
201 *)
202
203 lemma surjective_pairing: ∀A,B.∀p:A\ 5a title="Product" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6×\ 5/a\ 6B. p \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\ 5/a\ 6\ 5a href="cic:/matita/basics/types/fst.def(1)"\ 6fst\ 5/a\ 6 … p,\ 5a title="pair pi2" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\snd\ 5/a\ 6 … p〉.
204 #A #B * // qed.
205
206 lemma div2SO: ∀n,q. \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/div2.fix(0,0,2)"\ 6div2\ 5/a\ 6 n \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\ 5/a\ 6q,\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/bool.con(0,2,0)"\ 6ff\ 5/a\ 6〉 → \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/div2.fix(0,0,2)"\ 6div2\ 5/a\ 6 (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 n) \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\ 5/a\ 6\ 5span style="text-decoration: underline;"\ 6\ 5/span\ 6q,\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/bool.con(0,1,0)"\ 6tt\ 5/a\ 6〉.
207 #n #q #H normalize >H normalize // qed.
208
209 lemma div2S1: ∀n,q. \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/div2.fix(0,0,2)"\ 6div2\ 5/a\ 6 n \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\ 5/a\ 6q,\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/bool.con(0,1,0)"\ 6tt\ 5/a\ 6〉 → \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/div2.fix(0,0,2)"\ 6div2\ 5/a\ 6 (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 n) \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\ 5/a\ 6\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 q,\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/bool.con(0,2,0)"\ 6ff\ 5/a\ 6〉.
210 #n #q #H normalize >H normalize // qed.
211
212 lemma div2_ok: ∀n,q,r. \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/div2.fix(0,0,2)"\ 6div2\ 5/a\ 6 n \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\ 5/a\ 6q,r〉 → n \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/add.fix(0,0,1)"\ 6add\ 5/a\ 6 (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/twice.def(2)"\ 6twice\ 5/a\ 6 q) (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat_of_bool.def(1)"\ 6nat_of_bool\ 5/a\ 6 r).
213 #n elim n
214   [#q #r normalize #H destruct //
215   |#a #Hind #q #r 
216    cut (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/div2.fix(0,0,2)"\ 6div2\ 5/a\ 6 a \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\ 5/a\ 6\ 5a href="cic:/matita/basics/types/fst.def(1)"\ 6fst\ 5/a\ 6 … (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/div2.fix(0,0,2)"\ 6div2\ 5/a\ 6 a), \ 5a href="cic:/matita/basics/types/snd.def(1)"\ 6snd\ 5/a\ 6 … (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/div2.fix(0,0,2)"\ 6div2\ 5/a\ 6 a)〉) [//] 
217    cases (\ 5a href="cic:/matita/basics/types/snd.def(1)"\ 6snd\ 5/a\ 6 … (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/div2.fix(0,0,2)"\ 6div2\ 5/a\ 6 a))
218     [#H >(\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/div2S1.def(3)"\ 6div2S1\ 5/a\ 6 … H) #H1 destruct @\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq_f.def(3)"\ 6eq_f\ 5/a\ 6 \ 5span style="text-decoration: underline;"\ 6>\ 5/span\ 6\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/add_S.def(2)"\ 6add_S\ 5/a\ 6 <\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/add_S.def(2)"\ 6add_S\ 5/a\ 6 @(Hind … H) 
219     |#H >(\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/div2SO.def(3)"\ 6div2SO\ 5/a\ 6 … H) #H1 destruct >\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/add_S.def(2)"\ 6add_S\ 5/a\ 6 @\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq_f.def(3)"\ 6eq_f\ 5/a\ 6 @(Hind … H) 
220     ]
221 qed.
222
223 (* There is still another possibility, however, namely to mix the program and its 
224 specification into a single entity. The idea is to refine the output type of the 
225 div2 function: it should not be just a generic pair 〈q,r〉 of natural numbers but a 
226 specific pair satisfying the specification of the function. In other words, we need 
227 the possibility to define, for a type A and a property P over A, the subset type 
228 {a:A|P(a)} of all elements a of type A that satisfy the property P. Subset types 
229 are just a particular case of the so called dependent types, that is types that 
230 can depend over arguments (such as arrays of a specified length, taken as a 
231 parameter).These kind of types are quite unusual in traditional programming 
232 languages, and their study is one of the new frontiers of the current research on 
233 type systems. 
234
235 There is nothing special in a subset type {a:A|P(a)}: it is just a record composed 
236 by an element of a of type A and a proof of P(a). The crucial point is to have a 
237 language reach enough to comprise proofs among its expressions. 
238 *)
239
240 record Sub (A:Type[0]) (P:A → Prop) : Type[0] ≝
241   {witness: A; 
242    proof: P witness}.
243
244 definition qr_spec ≝ λn.λp.∀q,r. p \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\ 5/a\ 6q,r〉 → n \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/add.fix(0,0,1)"\ 6add\ 5/a\ 6 (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/twice.def(2)"\ 6twice\ 5/a\ 6 q) (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat_of_bool.def(1)"\ 6nat_of_bool\ 5/a\ 6 r).
245   
246 (* We can now construct a function from n to {p|qr_spec n p} by composing the objects
247 we already have *)
248
249 definition div2P: ∀n.\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/Sub.ind(1,0,2)"\ 6 Sub\ 5/a\ 6 (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6\ 5a title="Product" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6×\ 5/a\ 6\ 5span style="text-decoration: underline;"\ 6\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/bool.ind(1,0,0)"\ 6bool\ 5/a\ 6\ 5/span\ 6) (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/qr_spec.def(3)"\ 6qr_spec\ 5/a\ 6 n) ≝ λn.
250  \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/Sub.con(0,1,2)"\ 6mk_Sub\ 5/a\ 6 ?? (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/div2.fix(0,0,2)"\ 6div2\ 5/a\ 6 n) (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/div2_ok.def(4)"\ 6div2_ok\ 5/a\ 6 n).
251
252 (* But we can also try do directly build such an object *)
253
254 definition div2Pagain : ∀n.\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/Sub.ind(1,0,2)"\ 6Sub\ 5/a\ 6 (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.ind(1,0,0)"\ 6nat\ 5/a\ 6\ 5a title="Product" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6×\ 5/a\ 6\ 5span style="text-decoration: underline;"\ 6\ 5/span\ 6\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/bool.ind(1,0,0)"\ 6bool\ 5/a\ 6) (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/qr_spec.def(3)"\ 6qr_spec\ 5/a\ 6 n).
255 #n elim n
256   [@(\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/Sub.con(0,1,2)"\ 6mk_Sub\ 5/a\ 6 … \ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\ 5/a\ 6\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.con(0,1,0)"\ 6O\ 5/a\ 6,\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/bool.con(0,2,0)"\ 6ff\ 5/a\ 6〉) normalize #q #r #H destruct //
257   |#a * #p #qrspec 
258    cut (p \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\ 5/a\ 6\ 5a href="cic:/matita/basics/types/fst.def(1)"\ 6fst\ 5/a\ 6 … p, \ 5a href="cic:/matita/basics/types/snd.def(1)"\ 6snd\ 5/a\ 6 … p〉) [//] 
259    cases (\ 5a href="cic:/matita/basics/types/snd.def(1)"\ 6snd\ 5/a\ 6 … p)
260     [#H @(\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/Sub.con(0,1,2)"\ 6mk_Sub\ 5/a\ 6 … \ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\ 5/a\ 6\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 (\ 5a href="cic:/matita/basics/types/fst.def(1)"\ 6fst\ 5/a\ 6 … p),\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/bool.con(0,2,0)"\ 6ff\ 5/a\ 6〉) whd #q #r #H1 destruct @\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq_f.def(3)"\ 6eq_f\ 5/a\ 6 \ 5span style="text-decoration: underline;"\ 6>\ 5/span\ 6\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/add_S.def(2)"\ 6add_S\ 5/a\ 6 <\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/add_S.def(2)"\ 6add_S\ 5/a\ 6 @(qrspec … H)
261     |#H @(\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/Sub.con(0,1,2)"\ 6mk_Sub\ 5/a\ 6 … \ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\ 5/a\ 6\ 5a href="cic:/matita/basics/types/fst.def(1)"\ 6fst\ 5/a\ 6 … p,\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/bool.con(0,1,0)"\ 6tt\ 5/a\ 6〉) whd #q #r #H1 destruct >\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/add_S.def(2)"\ 6add_S\ 5/a\ 6 @\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/eq_f.def(3)"\ 6eq_f\ 5/a\ 6 @(qrspec … H) 
262   ]
263 qed.
264
265 example quotient7: \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/witness.fix(0,2,1)"\ 6witness\ 5/a\ 6 … (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/div2Pagain.def(4)"\ 6div2Pagain\ 5/a\ 6 (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6(\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6(\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6(\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6(\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6(\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6(\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.con(0,1,0)"\ 6O\ 5/a\ 6)))))))) \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\ 5/a\ 6\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6(\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6(\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.con(0,1,0)"\ 6O\ 5/a\ 6)),\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/bool.con(0,1,0)"\ 6tt\ 5/a\ 6〉.
266 // qed.
267
268 example quotient8: \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/witness.fix(0,2,1)"\ 6witness\ 5/a\ 6 … (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/div2Pagain.def(4)"\ 6div2Pagain\ 5/a\ 6 (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/twice.def(2)"\ 6twice\ 5/a\ 6 (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/twice.def(2)"\ 6twice\ 5/a\ 6 (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/twice.def(2)"\ 6twice\ 5/a\ 6 (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/twice.def(2)"\ 6twice\ 5/a\ 6 (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.con(0,1,0)"\ 6O\ 5/a\ 6)))))) 
269        \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\ 5/a\ 6\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/twice.def(2)"\ 6twice\ 5/a\ 6 (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/twice.def(2)"\ 6twice\ 5/a\ 6 (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/twice.def(2)"\ 6twice\ 5/a\ 6 (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.con(0,1,0)"\ 6O\ 5/a\ 6))), \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/bool.con(0,2,0)"\ 6ff\ 5/a\ 6〉.
270 // qed. 
271 \ 5pre\ 6\ 5pre\ 6 \ 5/pre\ 6\ 5/pre\ 6