weblib/tutorial/chapter3.ma

   1
   2 include "tutorial/chapter2.ma".
   3 include "basics/bool.ma".
   4
   5 (* Matita supports polymorphic data types. The most typical case are polymorphic
   6 lists, parametric in the type of their elements: *)
   7
   8 inductive list (A:Type[0]) : Type[0] ≝
   9   | nil: list A
  10   | cons: A -> list A -> list A.
  11
  12 (* The type notation list A is the type of all lists with elements of type A: it is
  13 defined by two constructors: a polymorphic empty list (nil A) and a cons operation,
  14 adding a new head element of type A to a previous list. For instance, (list nat) and
  15 and (list bool) are lists of natural numbers and booleans, respectively. But we can
  16 also form more complex data types, like (list (list (nat → nat))), that is a list whose
  17 elements are lists of functions from natural numbers to natural numbers.
  18
  19 Typical elements in (list bool) are for instance,
  20   nil nat                                      - the empty list of type nat
  21   cons nat true (nil nat)                      - the list containing true
  22   cons nat false (cons nat (true (nil nat)))   - the list containing false and true
  23 and so on.
  24
  25 Note that both constructos nil and cons are expecting in input the type parameter -
  26 in this case, bool.
  27
  28 We now add a bit of notation, in order to make the syntax more readable. In particular,
  29 we would like to write [] instead of (nil A) and a::l instead of (cons A a l), leaving
  30 the system the burden to infer A, whenever possible.
  31 *)
  32
  33 notation "hvbox(hd break :: tl)"
  34   right associative with precedence 47
  35   for @{'cons $hd $tl}.
  36
  37 notation "[ list0 x sep ; ]"
  38   non associative with precedence 90
  39   for ${fold right @'nil rec acc @{'cons $x $acc}}.
  40
  41 notation "hvbox(l1 break @ l2)"
  42   right associative with precedence 47
  43   for @{'append $l1 $l2 }.
  44
  45 interpretation "nil" 'nil = (nil ?).
  46 interpretation "cons" 'cons hd tl = (cons ? hd tl).
  47
  48 (* Let us define a few basic functions over lists. Our first example is the append
  49 function, concatenating two lists l1 and l2. The natural way is to proceed by recursion
  50 on l1: if it is empty the result is simply l2, while if l1 = hd::tl then we
  51 recursively append tl and l2 , and then add hd as first element. Note that the append
  52 function itself is polymorphic, and the first argument it takes in input is the type
  53 A of the elements of two lists l1 and l2.
  54 Moreover, since the append function takes in input several parameters, we must also
  55 specify in the its defintion on which one of them we are recurring: in this case l1.
  56 If not othewise specified, recursion is supposed to act on the first argument of the
  57 function.*)
  58
  59 let rec append A (l1: \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/list.ind(1,0,1)"\ 6list\ 5/a\ 6 A) l2 on l1 ≝
  60   match l1 with
  61   [ nil ⇒  l2
  62   | cons hd tl ⇒  hd \ 5a title="cons" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6:\ 5/a\ 6: append A tl l2 ].
  63
  64 interpretation "append" 'append l1 l2 = (append ? l1 l2).
  65
  66 (* As usual, the function is executable. For instance, (append A nil l) reduces to
  67 l, as shown by the following example: *)
  68
  69 example nil_append: ∀A.∀l:\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/list.ind(1,0,1)"\ 6list\ 5/a\ 6 A. \ 5a title="nil" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6[\ 5/a\ 6] \ 5a title="append" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6@\ 5/a\ 6 l \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 l.
  70 #A #l normalize // qed.
  71
  72 (* Proving that l @ [] = l is just a bit more complex. The situation is exactly the
  73 same as for the addition operation of the previous chapter: since append is defined
  74 by recutsion over the first argument, the computation of l @ [] is stuck, and we must
  75 proceed by induction on l *)
  76
  77 lemma append_nil: ∀A.∀l:\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/list.ind(1,0,1)"\ 6list\ 5/a\ 6 A.l \ 5a title="append" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6@\ 5/a\ 6 \ 5a title="nil" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6[\ 5/a\ 6] \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 l.
  78 #A #l (elim l) normalize // qed.
  79
  80 (* similarly, we can define the two functions head and tail. Since we can only define
  81 total functions, we should decide what to do in case the input list is empty. For tl, it
  82 is natural to return the empty list; for hd, we take in input a default element d of type
  83 A to return in this case. *)
  84
  85 definition head ≝ λA.λl: \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/list.ind(1,0,1)"\ 6list\ 5/a\ 6 A.λd:A.
  86   match l with [ nil ⇒ d | cons a _ ⇒ a].
  87
  88 definition tail ≝  λA.λl: \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/list.ind(1,0,1)"\ 6list\ 5/a\ 6 A.
  89   match l with [ nil ⇒  \ 5a title="nil" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6[\ 5/a\ 6] | cons hd tl ⇒  tl].
  90
  91 example ex_head: ∀A.∀a,d,l. \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/head.def(1)"\ 6head\ 5/a\ 6 A (a\ 5a title="cons" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6:\ 5/a\ 6:l) d \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 a.
  92 #A #a #d #l normalize // qed.
  93
  94 (* Problemi con la notazione *)
  95 example ex_tail: \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/tail.def(1)"\ 6tail\ 5/a\ 6 ? (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/list.con(0,2,1)"\ 6cons\ 5/a\ 6 ? \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,1,0)"\ 6true\ 5/a\ 6 \ 5a title="nil" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6[\ 5/a\ 6]) \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a title="nil" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6[\ 5/a\ 6].
  96 normalize // qed.
  97
  98 theorem associative_append:
  99 ∀A.∀l1,l2,l3: \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/list.ind(1,0,1)"\ 6list\ 5/a\ 6 A. (l1 \ 5a title="append" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6@\ 5/a\ 6 l2) \ 5a title="append" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6@\ 5/a\ 6 l3 \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 l1 \ 5a title="append" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6@\ 5/a\ 6 (l2 \ 5a title="append" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6@\ 5/a\ 6 l3).
 100 #A #l1 #l2 #l3 (elim l1) normalize // qed.
 101
 102 (* Problemi con la notazione *)
 103 theorem append_cons:
 104 ∀A.∀a:A.∀l,l1: \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/list.ind(1,0,1)"\ 6list\ 5/a\ 6 A.l\ 5a title="append" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6@\ 5/a\ 6(a\ 5a title="cons" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6:\ 5/a\ 6:l1)\ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 (l \ 5a title="append" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6@\ 5/a\ 6 (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/list.con(0,2,1)"\ 6cons\ 5/a\ 6 ? a \ 5a title="nil" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6[\ 5/a\ 6])) \ 5a title="append" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6@\ 5/a\ 6 l1.
 105 /2/ qed.
 106
 107 (* Other typical functions over lists are those computing the length
 108 of a list, and the function returning the nth element *)
 109
 110 let rec length (A:Type[0]) (l:\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/list.ind(1,0,1)"\ 6list\ 5/a\ 6 A) on l ≝
 111 match l with
 112   [ nil ⇒ \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.con(0,1,0)"\ 6O\ 5/a\ 6
 113     | cons a tl ⇒ \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 (length A tl)].
 114
 115 let rec nth n (A:Type[0]) (l:\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/list.ind(1,0,1)"\ 6list\ 5/a\ 6 A) (d:A)  ≝
 116   match n with
 117     [O ⇒ \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/hd.def(1)"\ 6hd\ 5/a\ 6 A l d
 118     |S m ⇒ nth m A (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/tail.def(1)"\ 6tail\ 5/a\ 6 A l) d].
 119
 120 example ex_length: \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/length.fix(0,1,1)"\ 6length\ 5/a\ 6 ? (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/list.con(0,2,1)"\ 6cons\ 5/a\ 6 ? \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.con(0,1,0)"\ 6O\ 5/a\ 6 \ 5a title="nil" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6[\ 5/a\ 6]) \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.con(0,1,0)"\ 6O\ 5/a\ 6.
 121 normalize // qed.
 122
 123 example ex_nth: \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/nth.fix(0,0,2)"\ 6nth\ 5/a\ 6 (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.con(0,1,0)"\ 6O\ 5/a\ 6) ? (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/list.con(0,2,1)"\ 6cons\ 5/a\ 6 ? (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.con(0,2,0)"\ 6S\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.con(0,1,0)"\ 6O\ 5/a\ 6) (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/list.con(0,2,1)"\ 6cons\ 5/a\ 6 ? \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.con(0,1,0)"\ 6O\ 5/a\ 6 \ 5a title="nil" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6[\ 5/a\ 6])) \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.con(0,1,0)"\ 6O\ 5/a\ 6 \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/nat.con(0,1,0)"\ 6O\ 5/a\ 6.
 124 normalize // qed.
 125
 126 (* Proving that the length of l1@l2 is the sum of the lengths of l1
 127 and l2 just requires a trivial induction on the first list. *)
 128
 129  lemma  length_add: ∀A.∀l1,l2:\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/list.ind(1,0,1)"\ 6list\ 5/a\ 6 A.
 130   \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/length.fix(0,1,1)"\ 6length\ 5/a\ 6 ? (l1\ 5a title="append" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6@\ 5/a\ 6l2) \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter2/add.fix(0,0,1)"\ 6add\ 5/a\ 6 (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/length.fix(0,1,1)"\ 6length\ 5/a\ 6 ? l1) (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/length.fix(0,1,1)"\ 6length\ 5/a\ 6 ? l2).
 131 #A #l1 elim l1 normalize // qed.
 132
 133 (* Let us come to a more interesting question. How can we prove that the empty list is
 134 different from any list with at least one element, that is from any list of the kind (a::l)?
 135 We start defining a simple predicate stating if a list is empty or not. The predicate
 136 is computed by inspection over the list *)
 137
 138 definition is_nil: ∀A:Type[0].\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/list.ind(1,0,1)"\ 6list\ 5/a\ 6 A → Prop ≝
 139 λA.λl.match l with [ nil ⇒ l \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a title="nil" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6[\ 5/a\ 6] | cons hd tl ⇒ (l \ 5a title="leibnitz's non-equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≠\ 5/a\ 6 \ 5a title="nil" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6[\ 5/a\ 6])].
 140
 141 (* Next we need a simple result about negation: if you wish to prove ¬P you are
 142 authorized to add P to your hypothesis: *)
 143
 144 lemma neg_aux : ∀P:Prop. (P → \ 5a title="logical not" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6¬\ 5/a\ 6P) → \ 5a title="logical not" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6¬\ 5/a\ 6P.
 145 #P #PtonegP % /3/ qed.
 146
 147 theorem diff_cons_nil:
 148 ∀A:Type[0].∀l:\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/list.ind(1,0,1)"\ 6list\ 5/a\ 6 A.∀a:A. a\ 5a title="cons" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6:\ 5/a\ 6:l \ 5a title="leibnitz's non-equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≠\ 5/a\ 6 \ 5a title="nil" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6[\ 5/a\ 6].
 149 #A #l #a @\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/neg_aux.def(3)"\ 6neg_aux\ 5/a\ 6 #Heq
 150 (* we start assuming the new hypothesis Heq of type a::l = [] using neg_aux.
 151 Next we use the change tactic to pass from the current goal a::l≠ [] to the expression
 152 is_nil a::l, convertible with it. *)
 153 (change with (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/is_nil.def(1)"\ 6is_nil\ 5/a\ 6 ? (a\ 5a title="cons" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6:\ 5/a\ 6:l)))
 154 (* Now, we rewrite with Heq, obtaining (is_nil A []), that reduces to the trivial
 155 goal [] = [] *)
 156 >Heq // qed.
 157
 158 (* As an application of the previous result let us prove that l1@l2 is empty if and
 159 only if both l1 and l2 are empty. The idea is to proceed by cases on l1: if l1=[] the
 160 statement is trivial; on the other side, if l1 = a::tl, then the hypothesis
 161 (a::tl)@l2 = [] is absurd, hence we can prove anything from it. When we know we can
 162 prove both A and ¬A, a sensible way to proceed is to apply False_ind: ∀P.False → P to the
 163 current goal, that breaks down to prove False, and then absurd: ∀A:Prop. A → ¬A → False
 164 to reduce to the contradictory cases. Usually, you may invoke automation to take care
 165 to solve the absurd case. *)
 166
 167 lemma nil_to_nil:  ∀A.∀l1,l2:\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/list.ind(1,0,1)"\ 6list\ 5/a\ 6 \ 5span style="text-decoration: underline;"\ 6\ 5/span\ 6A.
 168   l1\ 5a title="append" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6@\ 5/a\ 6l2 \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a title="nil" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6[\ 5/a\ 6] → l1 \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a title="nil" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6[\ 5/a\ 6] \ 5a title="logical and" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∧\ 5/a\ 6 l2 \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a title="nil" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6[\ 5/a\ 6].
 169 #A #l1 cases l1 normalize /2/ #a #tl #l2 #H @\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/False_ind.fix(0,1,1)"\ 6False_ind\ 5/a\ 6 /2/ qed.
 170
 171 (* Let us come to some important, higher order, polymorphic functionals
 172 acting over lists. A typical example is the map function, taking a function
 173 f:A → B, a list l = [a1; a2; ... ; an] and returning the list
 174 [f a1; f a2; ... ; f an]. *)
 175
 176 let rec map (A,B:Type[0]) (f: A → B) (l:\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/list.ind(1,0,1)"\ 6list\ 5/a\ 6 A) on l: \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/list.ind(1,0,1)"\ 6list\ 5/a\ 6 B ≝
 177  match l with [ nil ⇒ \ 5a title="nil" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6[\ 5/a\ 6] | cons x tl ⇒ f x \ 5a title="cons" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6:\ 5/a\ 6: (map A B f tl)].
 178
 179 (* Another major example is the fold function, that taken a list
 180 l = [a1; a2; ... ;an], a base value b:B, and a function f: A → B → B returns
 181 (f a1 (f a2 (... (f an b)...))). *)
 182
 183 let rec foldr (A,B:Type[0]) (f:A → B → B) (b:B) (l:\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/list.ind(1,0,1)"\ 6list\ 5/a\ 6 A) on l :B ≝
 184   match l with [ nil ⇒ b | cons a l ⇒ f a (foldr A B f b l)].
 185
 186 (* As an example of application of foldr, let us use it to define a filter function
 187 that given a list l: list A and a boolean test p:A → bool returns the sublist of elements
 188 satisfying the test. In this case, the result type B of foldr should be (list A), the base
 189 value is [], and f: A → list A →list A is the function that taken x and l returns x::l, if
 190 x satisfies the test, and l otherwise. We use an if_then_else function included from
 191 bbol.ma to this purpose. *)
 192
 193 definition filter ≝
 194   λT.λp:T → \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.ind(1,0,0)"\ 6bool\ 5/a\ 6.
 195   \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/foldr.fix(0,4,1)"\ 6foldr\ 5/a\ 6 T (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/list.ind(1,0,1)"\ 6list\ 5/a\ 6 T) (λx,l0.\ 5a href="cic:/matita/basics/bool/if_then_else.def(1)"\ 6if_then_else\ 5/a\ 6 ? (p x) (x\ 5a title="cons" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6:\ 5/a\ 6:l0) l0) \ 5a title="nil" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6[\ 5/a\ 6].
 196
 197 (* Here are a couple of simple lemmas on the behaviour of the filter function.
 198 It is often convenient to state such lemmas, in order to be able to use rewriting
 199 as an alternative to reduction in proofs: reduction is a bit difficult to control.
 200 *)
 201
 202 lemma filter_true : ∀A,l,a,p. p a \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,1,0)"\ 6true\ 5/a\ 6 →
 203   \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/filter.def(2)"\ 6filter\ 5/a\ 6 A p (a\ 5a title="cons" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6:\ 5/a\ 6:l) \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 a \ 5a title="cons" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6:\ 5/a\ 6: \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/filter.def(2)"\ 6filter\ 5/a\ 6 A p l.
 204 #A #l #a #p #pa (elim l) normalize >pa // qed.
 205
 206 lemma filter_false : ∀A,l,a,p. p a \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,2,0)"\ 6false\ 5/a\ 6 →
 207   \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/filter.def(2)"\ 6filter\ 5/a\ 6 A p (a\ 5a title="cons" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6:\ 5/a\ 6:l) \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/filter.def(2)"\ 6filter\ 5/a\ 6 A p l.
 208 #A #l #a #p #pa (elim l) normalize >pa normalize // qed.
 209
 210 (* As another example, let us redefine the map function using foldr. The
 211 result type B is (list B), the base value b is [], and the fold function
 212 of type A → list B → list B is the function mapping a and l to (f a)::l.
 213 *)
 214
 215 definition map_again ≝ λA,B,f,l. \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/foldr.fix(0,4,1)"\ 6foldr\ 5/a\ 6 A (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/list.ind(1,0,1)"\ 6list\ 5/a\ 6 B) (λa,l.f a\ 5a title="cons" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6:\ 5/a\ 6:l) \ 5a title="nil" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6[\ 5/a\ 6] l.
 216
 217 (* Can we prove that map_again is "the same" as map? We should first of all
 218 clarify in which sense we expect the two functions to be equal. Equality in
 219 Matita has an intentional meaning: it is the smallest predicate induced by
 220 convertibility, i.e. syntactical equality up to normalization. From an
 221 intentional point of view, map and map_again are not functions, but programs,
 222 and they are clearly different. What we would like to say is that the two
 223 programs behave in the same way: this is a different, extensional equality
 224 that can be defined in the following way. *)
 225
 226 definition ExtEq ≝ λA,B:Type[0].λf,g:A→B.∀a:A.f a \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 g a.
 227
 228 (* Proving that map and map_again are extentionally equal in the
 229 previous sense can be proved by a trivial structural induction on the list *)
 230
 231 lemma eq_maps: ∀A,B,f. \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/ExtEq.def(1)"\ 6ExtEq\ 5/a\ 6 ?? (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/map.fix(0,3,1)"\ 6map\ 5/a\ 6 A B f) (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/map_again.def(2)"\ 6map_again\ 5/a\ 6 A B f).
 232 #A #B #f #n (elim n) normalize // qed.
 233
 234 (* Let us make another remark about extensional equality. It is clear that,
 235 if f is extensionally equal to g, then (map A B f) is extensionally equal to
 236 (map A B g). Let us prove it. *)
 237
 238 theorem eq_map : ∀A,B,f,g. \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/ExtEq.def(1)"\ 6ExtEq\ 5/a\ 6 A B f g → \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/ExtEq.def(1)"\ 6ExtEq\ 5/a\ 6 ?? (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/map.fix(0,3,1)"\ 6map\ 5/a\ 6 \ 5span style="text-decoration: underline;"\ 6\ 5/span\ 6A B f) (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/map.fix(0,3,1)"\ 6map\ 5/a\ 6 A B g).
 239 #A #B #f #g #eqfg
 240
 241 (* the relevant point is that we cannot proceed by rewriting f with g via
 242 eqfg, here. Rewriting only works with Matita intensional equality, while here
 243 we are dealing with a different predicate, defined by the user. The right way
 244 to proceed is to unfold the definition of ExtEq, and work by induction on l,
 245 as usual when we want to prove extensional equality between functions over
 246 inductive types; again the rest of the proof is trivial. *)
 247
 248 #l (elim l) normalize // qed.
 249
 250 (**************************** BIGOPS *******************************)
 251
 252 (* Building a library of basic functions, it is important to achieve a
 253 good degree of abstraction and generality, in order to be able to reuse
 254 suitable instances of the same function in different context. This has not
 255 only the obvious benefit of factorizing code, but especially to avoid
 256 repeating proofs of generic properties over and over again.
 257 A really convenient tool is the following combination of fold and filter,
 258 that essentially allow you to iterate on every subset of a given enumerated
 259 (finite) type, represented as a list. *)
 260
 261  let rec fold (A,B:Type[0]) (op:B → B → B) (b:B) (p:A→\ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.ind(1,0,0)"\ 6bool\ 5/a\ 6) (f:A→B) (l:\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/list.ind(1,0,1)"\ 6list\ 5/a\ 6 A) on l :B ≝
 262  match l with
 263   [ nil ⇒ b
 264   | cons a l ⇒ \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/if_then_else.def(1)"\ 6if_then_else\ 5/a\ 6 ? (p a) (op (f a) (fold A B op b p f l))
 265       (fold A B op b p f l)].
 266
 267 (* It is also important to spend a few time to introduce some fancy notation
 268 for these iterators. *)
 269
 270  notation "\fold  [ op , nil ]_{ ident i ∈ l | p} f"
 271   with precedence 80
 272 for @{'fold $op $nil (λ${ident i}. $p) (λ${ident i}. $f) $l}.
 273
 274 notation "\fold [ op , nil ]_{ident i ∈ l } f"
 275   with precedence 80
 276 for @{'fold $op $nil (λ${ident i}.true) (λ${ident i}. $f) $l}.
 277
 278 interpretation "\fold" 'fold op nil p f l = (fold ? ? op nil p f l).
 279
 280 theorem fold_true:
 281 ∀A,B.∀a:A.∀l.∀p.∀op:B→B→B.∀nil.∀f:A→B. p a \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,1,0)"\ 6true\ 5/a\ 6 →
 282   \ 5a title="\fold" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\fold\ 5/a\ 6[op,nil]_{i ∈ a\ 5a title="cons" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6:\ 5/a\ 6:l| p i} (f i) \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6
 283     op (f a) \ 5a title="\fold" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\fold\ 5/a\ 6[op,nil]_{i ∈ l| p i} (f i).
 284 #A #B #a #l #p #op #nil #f #pa normalize >pa // qed.
 285
 286 theorem fold_false:
 287 ∀A,B.∀a:A.∀l.∀p.∀op:B→B→B.∀nil.∀f.
 288 p a \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,2,0)"\ 6false\ 5/a\ 6 → \ 5a title="\fold" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\fold\ 5/a\ 6[op,nil]_{i ∈ a\ 5a title="cons" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6:\ 5/a\ 6:l| p i} (f i) \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6
 289   \ 5a title="\fold" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\fold\ 5/a\ 6[op,nil]_{i ∈ l| p i} (f i).
 290 #A #B #a #l #p #op #nil #f #pa normalize >pa // qed.
 291
 292 theorem fold_filter:
 293 ∀A,B.∀a:A.∀l.∀p.∀op:B→B→B.∀nil.∀f:A →B.
 294   \ 5a title="\fold" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\fold\ 5/a\ 6[op,nil]_{i ∈ l| p i} (f i) \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6
 295     \ 5a title="\fold" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\fold\ 5/a\ 6[op,nil]_{i ∈ (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/filter.def(2)"\ 6filter\ 5/a\ 6 A p l)} (f i).
 296 #A #B #a #l #p #op #nil #f elim l //
 297 #a #tl #Hind cases(\ 5a href="cic:/matita/basics/bool/true_or_false.def(1)"\ 6true_or_false\ 5/a\ 6 (p a)) #pa
 298   [ >\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/filter_true.def(3)"\ 6filter_true\ 5/a\ 6 // > \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/fold_true.def(3)"\ 6fold_true\ 5/a\ 6 // >\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/fold_true.def(3)"\ 6fold_true\ 5/a\ 6 //
 299   | >\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/filter_false.def(3)"\ 6filter_false\ 5/a\ 6 // >\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/fold_false.def(3)"\ 6fold_false\ 5/a\ 6 // ]
 300 qed.
 301
 302 record Aop (A:Type[0]) (nil:A) : Type[0] ≝
 303 {op :2> A → A → A;
 304   nill:∀a. op nil a \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 a;
 305   nilr:∀a. op a nil \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 a;
 306   assoc: ∀a,b,c.op a (op b c) \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 op (op a b) c
 307 }.
 308
 309 theorem fold_sum: ∀A,B. ∀I,J:\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/list.ind(1,0,1)"\ 6list\ 5/a\ 6 A.∀nil.∀op:\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/Aop.ind(1,0,2)"\ 6Aop\ 5/a\ 6 B nil.∀f:A → B.
 310  op (\ 5a title="\fold" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\fold\ 5/a\ 6[op,nil]_{i ∈ I} (f i)) (\ 5a title="\fold" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\fold\ 5/a\ 6[op,nil]_{i ∈ J} (f i)) \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6
 311    \ 5a title="\fold" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\fold\ 5/a\ 6[op,nil]_{i ∈ (I\ 5a title="append" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6@\ 5/a\ 6J)} (f i).
 312 #A #B #I #J #nil #op #f (elim I) normalize
 313   [>\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/nill.fix(0,2,2)"\ 6nill\ 5/a\ 6//|#a #tl #Hind <\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/assoc.fix(0,2,2)"\ 6assoc\ 5/a\ 6 //]
 314 qed.