weblib/tutorial/chapter3.ma

   1 include "basics/bool.ma".
   2
   3 inductive list (A:Type[0]) : Type[0] :=
   4   | nil: list A
   5   | cons: A -> list A -> list A.
   6
   7 notation "hvbox(hd break :: tl)"
   8   right associative with precedence 47
   9   for @{'cons $hd $tl}.
  10
  11 notation "[ list0 x sep ; ]"
  12   non associative with precedence 90
  13   for ${fold right @'nil rec acc @{'cons $x $acc}}.
  14
  15 notation "hvbox(l1 break @ l2)"
  16   right associative with precedence 47
  17   for @{'append $l1 $l2 }.
  18
  19 interpretation "nil" 'nil = (nil ?).
  20 interpretation "cons" 'cons hd tl = (cons ? hd tl).
  21
  22 definition not_nil: ∀A:Type[0].\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/list.ind(1,0,1)"\ 6list\ 5/a\ 6 A → Prop ≝
  23  λA.λl.match l with [ nil ⇒ \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/True.ind(1,0,0)"\ 6True\ 5/a\ 6| cons hd tl ⇒ \ 5a href="cic:/matita/basics/logic/False.ind(1,0,0)"\ 6False\ 5/a\ 6].
  24
  25 theorem nil_cons:
  26   ∀A:Type[0].∀l:\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/list.ind(1,0,1)"\ 6list\ 5/a\ 6 A.∀a:A. a\ 5a title="cons" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6:\ 5/a\ 6:l \ 5a title="leibnitz's non-equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6≠\ 5/a\ 6 \ 5a title="nil" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6[\ 5/a\ 6].
  27   #A #l #a @\ 5a href="cic:/matita/basics/logic/Not.con(0,1,1)"\ 6nmk\ 5/a\ 6 #Heq (change with (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/not_nil.def(1)"\ 6not_nil\ 5/a\ 6 ? (a\ 5a title="cons" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6:\ 5/a\ 6:l))) >Heq //
  28 qed.
  29
  30 let rec append A (l1: \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/list.ind(1,0,1)"\ 6list\ 5/a\ 6 A) l2 on l1 ≝
  31   match l1 with
  32   [ nil ⇒  l2
  33   | cons hd tl ⇒  hd \ 5a title="cons" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6:\ 5/a\ 6: append A tl l2 ].
  34
  35 definition hd ≝ λA.λl: \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/list.ind(1,0,1)"\ 6list\ 5/a\ 6 A.λd:A.
  36   match l with [ nil ⇒ d | cons a _ ⇒ a].
  37
  38 definition tail ≝  λA.λl: \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/list.ind(1,0,1)"\ 6list\ 5/a\ 6 A.
  39   match l with [ nil ⇒  \ 5a title="nil" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6[\ 5/a\ 6] | cons hd tl ⇒  tl].
  40
  41 interpretation "append" 'append l1 l2 = (append ? l1 l2).
  42
  43 theorem append_nil: ∀A.∀l:\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/list.ind(1,0,1)"\ 6list\ 5/a\ 6 A.l \ 5a title="append" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6@\ 5/a\ 6 \ 5a title="nil" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6[\ 5/a\ 6] \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 l.
  44 #A #l (elim l) normalize // qed.
  45
  46 theorem associative_append:
  47  ∀A.\ 5a href="cic:/matita/basics/relations/associative.def(1)"\ 6associative\ 5/a\ 6 (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/list.ind(1,0,1)"\ 6list\ 5/a\ 6 A) (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/append.fix(0,1,1)"\ 6append\ 5/a\ 6 A).
  48 #A #l1 #l2 #l3 (elim l1) normalize // qed.
  49
  50 (* qualcosa di strano qui theorem append_cons:∀A.∀a:A.∀l,l1: \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/list.ind(1,0,1)"\ 6list\ 5/a\ 6 A.l\ 5a title="append" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6@\ 5/a\ 6(a\ 5a title="cons" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6:\ 5/a\ 6:l1)\ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 (l \ 5a title="append" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6@\ 5/a\ 6 \ 5a title="cons" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6[\ 5/a\ 6a]) \ 5a title="append" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6@\ 5/a\ 6 l1.
  51 /2/ qed. *)
  52
  53 theorem nil_append_elim: ∀A.∀l1,l2: \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/list.ind(1,0,1)"\ 6list\ 5/a\ 6 A.∀P:?→?→Prop.
  54   l1\ 5a title="append" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6@\ 5/a\ 6l2\ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6\ 5a title="nil" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6[\ 5/a\ 6] → P \ 5a title="nil" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6[\ 5/a\ 6] \ 5a title="nil" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6[\ 5/a\ 6] → P l1 l2.
  55 #A #l1 #l2 #P (cases l1) normalize //
  56 #a #l3 #heq destruct
  57 qed.
  58
  59 theorem nil_to_nil:  ∀A.∀l1,l2:\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/list.ind(1,0,1)"\ 6list\ 5/a\ 6 \ 5span style="text-decoration: underline;"\ 6\ 5/span\ 6A.
  60   l1\ 5a title="append" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6@\ 5/a\ 6l2 \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a title="nil" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6[\ 5/a\ 6] → l1 \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a title="nil" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6[\ 5/a\ 6] \ 5a title="logical and" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∧\ 5/a\ 6 l2 \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a title="nil" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6[\ 5/a\ 6].
  61 #A #l1 #l2 #isnil @(\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/nil_append_elim.def(3)"\ 6nil_append_elim\ 5/a\ 6 A l1 l2) /2/
  62 qed.
  63
  64 (* iterators *)
  65
  66 let rec map (A,B:Type[0]) (f: A → B) (l:\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/list.ind(1,0,1)"\ 6list\ 5/a\ 6 A) on l: \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/list.ind(1,0,1)"\ 6list\ 5/a\ 6 B ≝
  67  match l with [ nil ⇒ \ 5a title="nil" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6[\ 5/a\ 6] | cons x tl ⇒ f x \ 5a title="cons" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6:\ 5/a\ 6: (map A B f tl)].
  68
  69 let rec foldr (A,B:Type[0]) (f:A → B → B) (b:B) (l:\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/list.ind(1,0,1)"\ 6list\ 5/a\ 6 A) on l :B ≝
  70  match l with [ nil ⇒ b | cons a l ⇒ f a (foldr A B f b l)].
  71
  72 definition filter ≝
  73   λT.λp:T → \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.ind(1,0,0)"\ 6bool\ 5/a\ 6.
  74   \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/foldr.fix(0,4,1)"\ 6foldr\ 5/a\ 6 T (\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/list.ind(1,0,1)"\ 6list\ 5/a\ 6 T) (λx,l0.\ 5a href="cic:/matita/basics/bool/if_then_else.def(1)"\ 6if_then_else\ 5/a\ 6 ? (p x) (x\ 5a title="cons" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6:\ 5/a\ 6:l0) l0) \ 5a title="nil" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6[\ 5/a\ 6].
  75
  76 lemma filter_true : ∀A,l,a,p. p a \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,1,0)"\ 6true\ 5/a\ 6 →
  77   \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/filter.def(2)"\ 6filter\ 5/a\ 6 A p (a\ 5a title="cons" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6:\ 5/a\ 6:l) \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 a \ 5a title="cons" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6:\ 5/a\ 6: \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/filter.def(2)"\ 6filter\ 5/a\ 6 A p l.
  78 #A #l #a #p #pa (elim l) normalize >pa // qed.
  79
  80 lemma filter_false : ∀A,l,a,p. p a \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,2,0)"\ 6false\ 5/a\ 6 →
  81   \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/filter.def(2)"\ 6filter\ 5/a\ 6 A p (a\ 5a title="cons" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6:\ 5/a\ 6:l) \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter3/filter.def(2)"\ 6filter\ 5/a\ 6 A p l.
  82 #A #l #a #p #pa (elim l) normalize >pa normalize // qed.
  83
  84 theorem eq_map : ∀A,B,f,g,l. (∀x.f x \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 g x) → \ 5a href="cic:/matita/basics/list/map.fix(0,3,1)"\ 6map\ 5/a\ 6 A B f l \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/basics/list/map.fix(0,3,1)"\ 6map\ 5/a\ 6 A B g l.
  85 #A #B #f #g #l #eqfg (elim l) normalize // qed.
  86
  87 (*
  88 let rec dprodl (A:Type[0]) (f:A→Type[0]) (l1:list A) (g:(∀a:A.list (f a))) on l1 ≝
  89 match l1 with
  90   [ nil ⇒ nil ?
  91   | cons a tl ⇒ (map ??(dp ?? a) (g a)) @ dprodl A f tl g
  92   ]. *)
  93
  94 (**************************** length ******************************
  95
  96 let rec length (A:Type[0]) (l:list A) on l ≝
  97   match l with
  98     [ nil ⇒ 0
  99     | cons a tl ⇒ S (length A tl)].
 100
 101 let rec nth n (A:Type[0]) (l:list A) (d:A)  ≝
 102   match n with
 103     [O ⇒ hd A l d
 104     |S m ⇒ nth m A (tail A l) d].
 105
 106 **************************** fold *******************************)
 107
 108 let rec fold (A,B:Type[0]) (op:B → B → B) (b:B) (p:A→\ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.ind(1,0,0)"\ 6bool\ 5/a\ 6) (f:A→B) (l:\ 5a href="cic:/matita/basics/list/list.ind(1,0,1)"\ 6list\ 5/a\ 6 A) on l :B ≝
 109  match l with
 110   [ nil ⇒ b
 111   | cons a l ⇒ \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/if_then_else.def(1)"\ 6if_then_else\ 5/a\ 6 ? (p a) (op (f a) (fold A B op b p f l))
 112       (fold A B op b p f l)].
 113
 114 notation "\fold  [ op , nil ]_{ ident i ∈ l | p} f"
 115   with precedence 80
 116 for @{'fold $op $nil (λ${ident i}. $p) (λ${ident i}. $f) $l}.
 117
 118 notation "\fold [ op , nil ]_{ident i ∈ l } f"
 119   with precedence 80
 120 for @{'fold $op $nil (λ${ident i}.true) (λ${ident i}. $f) $l}.
 121
 122 interpretation "\fold" 'fold op nil p f l = (fold ? ? op nil p f l).
 123
 124 theorem fold_true:
 125 ∀A,B.∀a:A.∀l.∀p.∀op:B→B→B.∀nil.∀f:A→B. p a \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,1,0)"\ 6true\ 5/a\ 6 →
 126   \ 5a title="\fold" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\fold\ 5/a\ 6[op,nil]_{i ∈ a\ 5a title="cons" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6:\ 5/a\ 6:l| p i} (f i) \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6
 127     op (f a) \ 5a title="\fold" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\fold\ 5/a\ 6[op,nil]_{i ∈ l| p i} (f i).
 128 #A #B #a #l #p #op #nil #f #pa normalize >pa // qed.
 129
 130 theorem fold_false:
 131 ∀A,B.∀a:A.∀l.∀p.∀op:B→B→B.∀nil.∀f.
 132 p a \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,2,0)"\ 6false\ 5/a\ 6 → \ 5a title="\fold" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\fold\ 5/a\ 6[op,nil]_{i ∈ a\ 5a title="cons" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6:\ 5/a\ 6:l| p i} (f i) \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6
 133   \ 5a title="\fold" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\fold\ 5/a\ 6[op,nil]_{i ∈ l| p i} (f i).
 134 #A #B #a #l #p #op #nil #f #pa normalize >pa // qed.
 135
 136 theorem fold_filter:
 137 ∀A,B.∀a:A.∀l.∀p.∀op:B→B→B.∀nil.∀f:A →B.
 138   \ 5a title="\fold" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\fold\ 5/a\ 6[op,nil]_{i ∈ l| p i} (f i) \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6
 139     \ 5a title="\fold" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\fold\ 5/a\ 6[op,nil]_{i ∈ (\ 5a href="cic:/matita/basics/list/filter.def(2)"\ 6filter\ 5/a\ 6 A p l)} (f i).
 140 #A #B #a #l #p #op #nil #f elim l //
 141 #a #tl #Hind cases(\ 5a href="cic:/matita/basics/bool/true_or_false.def(1)"\ 6true_or_false\ 5/a\ 6 (p a)) #pa
 142   [ >\ 5a href="cic:/matita/basics/list/filter_true.def(3)"\ 6filter_true\ 5/a\ 6 // > \ 5a href="cic:/matita/basics/list/fold_true.def(3)"\ 6fold_true\ 5/a\ 6 // >\ 5a href="cic:/matita/basics/list/fold_true.def(3)"\ 6fold_true\ 5/a\ 6 //
 143   | >\ 5a href="cic:/matita/basics/list/filter_false.def(3)"\ 6filter_false\ 5/a\ 6 // >\ 5a href="cic:/matita/basics/list/fold_false.def(3)"\ 6fold_false\ 5/a\ 6 // ]
 144 qed.
 145
 146 record Aop (A:Type[0]) (nil:A) : Type[0] ≝
 147   {op :2> A → A → A;
 148    nill:∀a. op nil a \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 a;
 149    nilr:∀a. op a nil \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 a;
 150    assoc: ∀a,b,c.op a (op b c) \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 op (op a b) c
 151   }.
 152
 153 theorem fold_sum: ∀A,B. ∀I,J:\ 5a href="cic:/matita/basics/list/list.ind(1,0,1)"\ 6list\ 5/a\ 6 A.∀nil.∀op:\ 5a href="cic:/matita/basics/list/Aop.ind(1,0,2)"\ 6Aop\ 5/a\ 6 B nil.∀f.
 154   op (\ 5a title="\fold" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\fold\ 5/a\ 6[op,nil]_{i∈I} (f i)) (\ 5a title="\fold" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\fold\ 5/a\ 6[op,nil]_{i∈J} (f i)) \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6
 155     \ 5a title="\fold" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\fold\ 5/a\ 6[op,nil]_{i∈(I\ 5a title="append" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6@\ 5/a\ 6J)} (f i).
 156 #A #B #I #J #nil #op #f (elim I) normalize
 157   [>\ 5a href="cic:/matita/basics/list/nill.fix(0,2,2)"\ 6nill\ 5/a\ 6 //|#a #tl #Hind <\ 5a href="cic:/matita/basics/list/assoc.fix(0,2,2)"\ 6assoc\ 5/a\ 6 //]
 158 qed.