'DSubst D d M = (dsubst D d M).
(* Note: the notation with "/" does not work *)
-notation "hvbox( [ term 46 d â¬\90 break term 46 D ] break term 46 M )"
+notation "hvbox( [ term 46 d â\86\99 break term 46 D ] break term 46 M )"
non associative with precedence 46
for @{ 'DSubst $D $d $M }.
-notation > "hvbox( [ â¬\90 term 46 D ] break term 46 M )"
+notation > "hvbox( [ â\86\99 term 46 D ] break term 46 M )"
non associative with precedence 46
for @{ 'DSubst $D 0 $M }.
-lemma dsubst_vref_lt: â\88\80i,d,D. i < d â\86\92 [d â¬\90 D] #i = #i.
+lemma dsubst_vref_lt: â\88\80i,d,D. i < d â\86\92 [d â\86\99 D] #i = #i.
normalize /2 width=1/
qed.
-lemma dsubst_vref_eq: ∀d,D. [d ⬐ D] #d = ↑[d]D.
+lemma dsubst_vref_eq: ∀i,D. [i ↙ D] #i = ↑[i]D.
normalize //
qed.
-lemma dsubst_vref_gt: â\88\80i,d,D. d < i â\86\92 [d â¬\90 D] #i = #(i-1).
+lemma dsubst_vref_gt: â\88\80i,d,D. d < i â\86\92 [d â\86\99 D] #i = #(i-1).
normalize /2 width=1/
qed.
theorem dsubst_lift_le: ∀h,D,M,d1,d2. d2 ≤ d1 →
- [d2 â¬\90 â\86\91[d1 - d2, h] D] â\86\91[d1 + 1, h] M = â\86\91[d1, h] [d2 â¬\90 D] M.
+ [d2 â\86\99 â\86\91[d1 - d2, h] D] â\86\91[d1 + 1, h] M = â\86\91[d1, h] [d2 â\86\99 D] M.
#h #D #M elim M -M
[ #i #d1 #d2 #Hd21 elim (lt_or_eq_or_gt i d2) #Hid2
[ lapply (lt_to_le_to_lt … Hid2 Hd21) -Hd21 #Hid1
qed.
theorem dsubst_lift_be: ∀h,D,M,d1,d2. d1 ≤ d2 → d2 ≤ d1 + h →
- [d2 â¬\90 D] ↑[d1, h + 1] M = ↑[d1, h] M.
+ [d2 â\86\99 D] ↑[d1, h + 1] M = ↑[d1, h] M.
#h #D #M elim M -M
[ #i #d1 #d2 #Hd12 #Hd21 elim (lt_or_ge i d1) #Hid1
[ lapply (lt_to_le_to_lt … Hid1 Hd12) -Hd12 -Hd21 #Hid2
qed.
theorem dsubst_lift_ge: ∀h,D,M,d1,d2. d1 + h ≤ d2 →
- [d2 â¬\90 D] â\86\91[d1, h] M = â\86\91[d1, h] [d2 - h â¬\90 D] M.
+ [d2 â\86\99 D] â\86\91[d1, h] M = â\86\91[d1, h] [d2 - h â\86\99 D] M.
#h #D #M elim M -M
[ #i #d1 #d2 #Hd12 elim (lt_or_eq_or_gt i (d2-h)) #Hid2h
[ >(dsubst_vref_lt … Hid2h) elim (lt_or_ge i d1) #Hid1
qed.
theorem dsubst_dsubst_ge: ∀D1,D2,M,d1,d2. d1 ≤ d2 →
- [d2 â¬\90 D2] [d1 â¬\90 D1] M = [d1 â¬\90 [d2 - d1 â¬\90 D2] D1] [d2 + 1 â¬\90 D2] M.
+ [d2 â\86\99 D2] [d1 â\86\99 D1] M = [d1 â\86\99 [d2 - d1 â\86\99 D2] D1] [d2 + 1 â\86\99 D2] M.
#D1 #D2 #M elim M -M
[ #i #d1 #d2 #Hd12 elim (lt_or_eq_or_gt i d1) #Hid1
[ lapply (lt_to_le_to_lt … Hid1 Hd12) -Hd12 #Hid2
qed.
theorem dsubst_dsubst_lt: ∀D1,D2,M,d1,d2. d2 < d1 →
- [d2 â¬\90 [d1 - d2 -1 â¬\90 D1] D2] [d1 â¬\90 D1] M = [d1 - 1 â¬\90 D1] [d2 â¬\90 D2] M.
+ [d2 â\86\99 [d1 - d2 -1 â\86\99 D1] D2] [d1 â\86\99 D1] M = [d1 - 1 â\86\99 D1] [d2 â\86\99 D2] M.
#D1 #D2 #M #d1 #d2 #Hd21
lapply (ltn_to_ltO … Hd21) #Hd1
>dsubst_dsubst_ge in ⊢ (???%); /2 width=1/ <plus_minus_m_m //
qed.
definition dsubstable_dx: predicate (relation term) ≝ λR.
- ∀D,M1,M2. R M1 M2 → ∀d. R ([d ⬐ D] M1) ([d ⬐ D] M2).
-
-definition dsubstable_sn: predicate (relation term) ≝ λR.
- ∀D1,D2. R D1 D2 → ∀M,d. R ([d ⬐ D1] M) ([d ⬐ D2] M).
+ ∀D,M1,M2. R M1 M2 → ∀d. R ([d ↙ D] M1) ([d ↙ D] M2).
definition dsubstable: predicate (relation term) ≝ λR.
- â\88\80D1,D2. R D1 D2 â\86\92 â\88\80M1,M2. R M1 M2 â\86\92 â\88\80d. R ([d â¬\90 D1] M1) ([d â¬\90 D2] M2).
+ â\88\80D1,D2. R D1 D2 â\86\92 â\88\80M1,M2. R M1 M2 â\86\92 â\88\80d. R ([d â\86\99 D1] M1) ([d â\86\99 D2] M2).
lemma star_dsubstable_dx: ∀R. dsubstable_dx R → dsubstable_dx (star … R).
#R #HR #D #M1 #M2 #H elim H -M2 // /3 width=3/
qed.
-lemma star_dsubstable_sn: ∀R. dsubstable_sn R → dsubstable_sn (star … R).
-#R #HR #D1 #D2 #H elim H -D2 // /3 width=3/
-qed.
-
lemma lstar_dsubstable_dx: ∀T,R. (∀t. dsubstable_dx (R t)) →
∀l. dsubstable_dx (lstar T … R l).
#T #R #HR #l #D #M1 #M2 #H
@(lstar_ind_l ????????? H) -l -M1 // /3 width=3/
qed.
+
+lemma star_dsubstable: ∀R. reflexive ? R →
+ dsubstable R → dsubstable (star … R).
+#R #H1R #H2 #D1 #D2 #H elim H -D2 /3 width=1/ /3 width=5/
+qed.