include "basics/star.ma".
include "Ground_2/xoa_props.ma".
+include "Ground_2/notation.ma".
-(* PROPERTIES of RELATIONS **************************************************)
+(* PROPERTIES OF RELATIONS **************************************************)
-definition Decidable: Prop → Prop ≝
- λR. R ∨ (R → False).
+definition Decidable: Prop → Prop ≝ λR. R ∨ (R → False).
-definition confluent: ∀A. ∀R1,R2: relation A. Prop ≝ λA,R1,R2.
- ∀a0,a1. R1 a0 a1 → ∀a2. R2 a0 a2 →
- ∃∃a. R2 a1 a & R1 a2 a.
+definition confluent2: ∀A. ∀R1,R2: relation A. Prop ≝ λA,R1,R2.
+ ∀a0,a1. R1 a0 a1 → ∀a2. R2 a0 a2 →
+ ∃∃a. R2 a1 a & R1 a2 a.
-definition transitive: ∀A. ∀R1,R2: relation A. Prop ≝ λA,R1,R2.
- ∀a1,a0. R1 a1 a0 → ∀a2. R2 a0 a2 →
- ∃∃a. R2 a1 a & R1 a a2.
+definition transitive2: ∀A. ∀R1,R2: relation A. Prop ≝ λA,R1,R2.
+ ∀a1,a0. R1 a1 a0 → ∀a2. R2 a0 a2 →
+ ∃∃a. R2 a1 a & R1 a a2.
-lemma TC_strip1: ∀A,R1,R2. confluent A R1 R2 →
+lemma TC_strip1: ∀A,R1,R2. confluent2 A R1 R2 →
∀a0,a1. TC … R1 a0 a1 → ∀a2. R2 a0 a2 →
∃∃a. R2 a1 a & TC … R1 a2 a.
-#A #R1 #R2 #HR12 #a0 #a1 #H elim H -H a1
+#A #R1 #R2 #HR12 #a0 #a1 #H elim H -a1
[ #a1 #Ha01 #a2 #Ha02
- elim (HR12 … Ha01 … Ha02) -HR12 a0 /3/
+ elim (HR12 … Ha01 … Ha02) -HR12 -a0 /3 width=3/
| #a #a1 #_ #Ha1 #IHa0 #a2 #Ha02
- elim (IHa0 … Ha02) -IHa0 Ha02 a0 #a0 #Ha0 #Ha20
- elim (HR12 … Ha1 … Ha0) -HR12 a /4/
+ elim (IHa0 … Ha02) -a0 #a0 #Ha0 #Ha20
+ elim (HR12 … Ha1 … Ha0) -HR12 -a /4 width=3/
]
qed.
-lemma TC_strip2: ∀A,R1,R2. confluent A R1 R2 →
+lemma TC_strip2: ∀A,R1,R2. confluent2 A R1 R2 →
∀a0,a2. TC … R2 a0 a2 → ∀a1. R1 a0 a1 →
∃∃a. TC … R2 a1 a & R1 a2 a.
-#A #R1 #R2 #HR12 #a0 #a2 #H elim H -H a2
+#A #R1 #R2 #HR12 #a0 #a2 #H elim H -a2
[ #a2 #Ha02 #a1 #Ha01
- elim (HR12 … Ha01 … Ha02) -HR12 a0 /3/
+ elim (HR12 … Ha01 … Ha02) -HR12 -a0 /3 width=3/
| #a #a2 #_ #Ha2 #IHa0 #a1 #Ha01
- elim (IHa0 … Ha01) -IHa0 Ha01 a0 #a0 #Ha10 #Ha0
- elim (HR12 … Ha0 … Ha2) -HR12 a /4/
+ elim (IHa0 … Ha01) -a0 #a0 #Ha10 #Ha0
+ elim (HR12 … Ha0 … Ha2) -HR12 -a /4 width=3/
]
qed.
-lemma TC_confluent: ∀A,R1,R2.
- confluent A R1 R2 → confluent A (TC … R1) (TC … R2).
-#A #R1 #R2 #HR12 #a0 #a1 #H elim H -H a1
+lemma TC_confluent2: ∀A,R1,R2.
+ confluent2 A R1 R2 → confluent2 A (TC … R1) (TC … R2).
+#A #R1 #R2 #HR12 #a0 #a1 #H elim H -a1
[ #a1 #Ha01 #a2 #Ha02
- elim (TC_strip2 … HR12 … Ha02 … Ha01) -HR12 a0 /3/
+ elim (TC_strip2 … HR12 … Ha02 … Ha01) -HR12 -a0 /3 width=3/
| #a #a1 #_ #Ha1 #IHa0 #a2 #Ha02
- elim (IHa0 … Ha02) -IHa0 Ha02 a0 #a0 #Ha0 #Ha20
- elim (TC_strip2 … HR12 … Ha0 … Ha1) -HR12 a /4/
+ elim (IHa0 … Ha02) -a0 #a0 #Ha0 #Ha20
+ elim (TC_strip2 … HR12 … Ha0 … Ha1) -HR12 -a /4 width=3/
]
qed.
-lemma TC_strap: ∀A. ∀R:relation A. ∀a1,a,a2.
- R a1 a → TC … R a a2 → TC … R a1 a2.
-/3/ qed.
-
-lemma TC_strap1: ∀A,R1,R2. transitive A R1 R2 →
+lemma TC_strap1: ∀A,R1,R2. transitive2 A R1 R2 →
∀a1,a0. TC … R1 a1 a0 → ∀a2. R2 a0 a2 →
∃∃a. R2 a1 a & TC … R1 a a2.
-#A #R1 #R2 #HR12 #a1 #a0 #H elim H -H a0
+#A #R1 #R2 #HR12 #a1 #a0 #H elim H -a0
[ #a0 #Ha10 #a2 #Ha02
- elim (HR12 … Ha10 … Ha02) -HR12 a0 /3/
+ elim (HR12 … Ha10 … Ha02) -HR12 -a0 /3 width=3/
| #a #a0 #_ #Ha0 #IHa #a2 #Ha02
- elim (HR12 … Ha0 … Ha02) -HR12 a0 #a0 #Ha0 #Ha02
- elim (IHa … Ha0) -a /4/
+ elim (HR12 … Ha0 … Ha02) -HR12 -a0 #a0 #Ha0 #Ha02
+ elim (IHa … Ha0) -a /4 width=3/
]
qed.
-lemma TC_strap2: ∀A,R1,R2. transitive A R1 R2 →
+lemma TC_strap2: ∀A,R1,R2. transitive2 A R1 R2 →
∀a0,a2. TC … R2 a0 a2 → ∀a1. R1 a1 a0 →
∃∃a. TC … R2 a1 a & R1 a a2.
-#A #R1 #R2 #HR12 #a0 #a2 #H elim H -H a2
+#A #R1 #R2 #HR12 #a0 #a2 #H elim H -a2
[ #a2 #Ha02 #a1 #Ha10
- elim (HR12 … Ha10 … Ha02) -HR12 a0 /3/
+ elim (HR12 … Ha10 … Ha02) -HR12 -a0 /3 width=3/
| #a #a2 #_ #Ha02 #IHa #a1 #Ha10
elim (IHa … Ha10) -a0 #a0 #Ha10 #Ha0
- elim (HR12 … Ha0 … Ha02) -HR12 a /4/
+ elim (HR12 … Ha0 … Ha02) -HR12 -a /4 width=3/
]
qed.
-lemma TC_transitive: ∀A,R1,R2.
- transitive A R1 R2 → transitive A (TC … R1) (TC … R2).
+lemma TC_transitive2: ∀A,R1,R2.
+ transitive2 A R1 R2 → transitive2 A (TC … R1) (TC … R2).
#A #R1 #R2 #HR12 #a1 #a0 #H elim H -a0
[ #a0 #Ha10 #a2 #Ha02
- elim (TC_strap2 … HR12 … Ha02 … Ha10) -HR12 a0 /3/
+ elim (TC_strap2 … HR12 … Ha02 … Ha10) -HR12 -a0 /3 width=3/
| #a #a0 #_ #Ha0 #IHa #a2 #Ha02
- elim (TC_strap2 … HR12 … Ha02 … Ha0) -HR12 a0 #a0 #Ha0 #Ha02
- elim (IHa … Ha0) -a /4/
+ elim (TC_strap2 … HR12 … Ha02 … Ha0) -HR12 -a0 #a0 #Ha0 #Ha02
+ elim (IHa … Ha0) -a /4 width=3/
]
qed.
-lemma TC_reflexive: ∀A,R. reflexive A R → reflexive A (TC … R).
-/2/ qed.
-
-lemma TC_star_ind: ∀A,R. reflexive A R → ∀a1. ∀P:A→Prop.
- P a1 → (∀a,a2. TC … R a1 a → R a a2 → P a → P a2) →
- ∀a2. TC … R a1 a2 → P a2.
-#A #R #H #a1 #P #Ha1 #IHa1 #a2 #Ha12 elim Ha12 -Ha12 a2 /3/
-qed.
-
-definition NF: ∀A. relation A → relation A → A → Prop ≝
+definition NF: ∀A. relation A → relation A → predicate A ≝
λA,R,S,a1. ∀a2. R a1 a2 → S a1 a2.
-inductive SN (A) (R,S:relation A): A → Prop ≝
+inductive SN (A) (R,S:relation A): predicate A ≝
| SN_intro: ∀a1. (∀a2. R a1 a2 → (S a1 a2 → False) → SN A R S a2) → SN A R S a1
.
lemma NF_to_SN: ∀A,R,S,a. NF A R S a → SN A R S a.
#A #R #S #a1 #Ha1
@SN_intro #a2 #HRa12 #HSa12
-elim (HSa12 ?) -HSa12 /2/
+elim (HSa12 ?) -HSa12 /2 width=1/
qed.