#T elim T -T //
#I elim I -I /2/
qed.
+
+(* The basic inversion lemmas ***********************************************)
+
+lemma pr_inv_lref2_aux: ∀L,T1,T2. L ⊢ T1 ⇒ T2 → ∀i. T2 = #i →
+ ∨∨ T1 = #i
+ | ∃∃K,V1,j. j < i & K ⊢ V1 ⇒ #(i-j-1) &
+ ↑[O,j] K. 𝕓{Abbr} V1 ≡ L & T1 = #j
+ | ∃∃V,T,T0. ↑[O,1] T0 ≡ T & L ⊢ T0 ⇒ #i &
+ T1 = 𝕓{Abbr} V. T
+ | ∃∃V,T. L ⊢ T ⇒ #i & T1 = 𝕗{Cast} V. T.
+#L #T1 #T2 #H elim H -H L T1 T2
+[ #L #k #i #H destruct
+| #L #j #i /2/
+| #L #I #V1 #V2 #T1 #T2 #_ #_ #_ #_ #i #H destruct
+| #L #I #V1 #V2 #T1 #T2 #_ #_ #_ #_ #i #H destruct
+| #L #V1 #V2 #W #T1 #T2 #_ #_ #_ #_ #i #H destruct
+| #L #K #V1 #V2 #V #j #HLK #HV12 #HV2 #_ #i #H destruct -V;
+ elim (lift_inv_lref2 … HV2) -HV2 * #H1 #H2
+ [ elim (lt_zero_false … H1)
+ | destruct -V2 /3 width=7/
+ ]
+| #L #V #V1 #V2 #W1 #W2 #T1 #T2 #_ #_ #_ #_ #_ #_ #_ #i #H destruct
+| #L #V #T #T1 #T2 #HT1 #HT12 #_ #i #H destruct /3 width=6/
+| #L #V #T1 #T2 #HT12 #_ #i #H destruct /3/
+]
+qed.
+
+lemma pr_inv_lref2: ∀L,T1,i. L ⊢ T1 ⇒ #i →
+ ∨∨ T1 = #i
+ | ∃∃K,V1,j. j < i & K ⊢ V1 ⇒ #(i-j-1) &
+ ↑[O,j] K. 𝕓{Abbr} V1 ≡ L & T1 = #j
+ | ∃∃V,T,T0. ↑[O,1] T0 ≡ T & L ⊢ T0 ⇒ #i &
+ T1 = 𝕓{Abbr} V. T
+ | ∃∃V,T. L ⊢ T ⇒ #i & T1 = 𝕗{Cast} V. T.
+/2/ qed.