interpretation "star lang" 'star l = (star ? l).
lemma cat_ext_l: ∀S.∀A,B,C:word S →Prop.
- A =1 C → A · B =1 C · B.
+ A ≐ C → A · B ≐ C · B.
#S #A #B #C #H #w % * #w1 * #w2 * * #eqw #inw1 #inw2
cases (H w1) /6/
qed.
lemma cat_ext_r: ∀S.∀A,B,C:word S →Prop.
- B =1 C → A · B =1 A · C.
+ B ≐ C → A · B ≐ A · C.
#S #A #B #C #H #w % * #w1 * #w2 * * #eqw #inw1 #inw2
cases (H w2) /6/
qed.
-lemma cat_empty_l: ∀S.∀A:word S→Prop. ∅ · A =1 ∅.
+lemma cat_empty_l: ∀S.∀A:word S→Prop. ∅ · A ≐ ∅.
#S #A #w % [|*] * #w1 * #w2 * * #_ *
qed.
lemma distr_cat_r: ∀S.∀A,B,C:word S →Prop.
- (A ∪ B) · C =1 A · C ∪ B · C.
+ (A ∪ B) · C ≐ A · C ∪ B · C.
#S #A #B #C #w %
[* #w1 * #w2 * * #eqw * /6/ |* * #w1 * #w2 * * /6/]
qed.
definition deriv ≝ λS.λA:word S → Prop.λa,w. A (a::w).
lemma deriv_middot: ∀S,A,B,a. ¬ A ϵ →
- deriv S (A·B) a =1 (deriv S A a) · B.
+ deriv S (A·B) a ≐ (deriv S A a) · B.
#S #A #B #a #noteps #w normalize %
[* #w1 cases w1
[* #w2 * * #_ #Aeps @False_ind /2/
qed.
lemma fix_star: ∀S.∀A:word S → Prop.
- A^* =1 A · A^* ∪ {ϵ}.
+ A^* ≐ A · A^* ∪ {ϵ}.
#S #A #w %
[* #l generalize in match w; -w cases l [normalize #w * /2/]
#w1 #tl #w * whd in ⊢ ((??%?)→?); #eqw whd in ⊢ (%→?); *
qed.
lemma star_fix_eps : ∀S.∀A:word S → Prop.
- A^* =1 (A - {ϵ}) · A^* ∪ {ϵ}.
+ A^* ≐ (A - {ϵ}) · A^* ∪ {ϵ}.
#S #A #w %
[* #l elim l
[* whd in ⊢ ((??%?)→?); #eqw #_ %2 <eqw //
qed.
lemma star_epsilon: ∀S:DeqSet.∀A:word S → Prop.
- A^* ∪ {ϵ} =1 A^*.
+ A^* ∪ {ϵ} ≐ A^*.
#S #A #w % /2/ * //
qed.
lemma epsilon_cat_r: ∀S.∀A:word S →Prop.
- A · {ϵ} =1 A.
+ A · {ϵ} ≐ A.
#S #A #w %
[* #w1 * #w2 * * #eqw #inw1 normalize #eqw2 <eqw //
|#inA @(ex_intro … w) @(ex_intro … [ ]) /3/
qed.
lemma epsilon_cat_l: ∀S.∀A:word S →Prop.
- {ϵ} · A =1 A.
+ {ϵ} · A ≐ A.
#S #A #w %
[* #w1 * #w2 * * #eqw normalize #eqw2 <eqw <eqw2 //
|#inA @(ex_intro … ϵ) @(ex_intro … w) /3/
qed.
lemma distr_cat_r_eps: ∀S.∀A,C:word S →Prop.
- (A ∪ {ϵ}) · C =1 A · C ∪ C.
+ (A ∪ {ϵ}) · C ≐ A · C ∪ C.
#S #A #C @eqP_trans [|@distr_cat_r |@eqP_union_l @epsilon_cat_l]
qed.