-1. definire il funtore OR
-2. dimostrare che ORel e' faithful
-
-3. Definire la funzione
- Apply:
- \forall C1,C2: CAT2. F: arrows3 CAT2 C1 C2 -> CAT2
- :=
- constructor 1;
- [ gli oggetti sono gli oggetti di C1 mappati da F
- | i morfismi i morfismi di C1 mappati da F
- | ....
- ]
-
- Quindi (Apply C1 C2 F) (che usando da ora in avanti una coercion
- scrivero' (F C1) ) e' l'immagine di C1 tramite F ed e'
- una sottocategoria di C2 (qualcosa da dimostare qui??? vedi sotto
- al punto 5)
-
-4. Definire rOBP (le OBP rappresentabili) come (BP_to_OBP BP)
- [Si puo' fare lo stesso per le OA: rOA := Rel_to_OA REL ]
-
-5. Dimostrare che OR (il funtore faithful da OBP a OBTop) e' full
- quando applicato a rOBP.
- Nota: puo' darsi che faccia storie ad accettare lo statement.
- Infatti rOBP e' (BP_to_OBP BP) ed e' "una sottocategoria di OBP"
- e OR va da OBP a OBTop. Non so se tipa subito o se devi dare
- una "proiezione" da rOBP a OBP.
-
-6. Definire rOBTop come (OBP_to_OBTop rOBP).
-
-7. Per composizione si ha un funtore full and faithful da BP a rOBTop:
- basta prendere (OR \circ BP_to_OBP).
-
-8. Dimostrare (banale: quasi tutti i campi sono per conversione) che
- esiste un funtore da rOBTop a BTop. Dimostrare che tale funtore e'
- faithful e full (banale: tutta conversione).
-
-9. Per composizione si ha un funtore full and faithful da BP a BTop.
-
-10. Dimostrare che i seguenti funtori sono anche isomorphism-dense
- (http://planetmath.org/encyclopedia/DenseFunctor.html):
-
- BP_to_OBP
- OBP_to_OBTop quando applicato alle rOBP
- OBTop_to_BTop quando applicato alle rOBTop
-
- Concludere per composizione che anche il funtore da BP a BTop e'
- isomorphism-dense.
-
-====== Da qui in avanti non e' "necessario" nulla:
-
-== altre cose mancanti
-
-11. Dimostrare che le r* e le * orrizzontali
- sono isomorfe dando il funtore da r* a * e dimostrando che componendo i
- due funtori ottengo l'identita'
-
-12. La definizione di r* fa schifo: in pratica dici solo come ottieni
- qualcosa, ma non come lo caratterizzeresti. Ora un teorema carino
- e' che una a* (e.g. una aOBP) e' sempre una rOBP dove "a" sta per
- atomic. Dimostrarlo per tutte le r*.
-
-== categorish/future works
-
-13. definire astrattamente la FG-completion e usare quella per
- ottenere le BP da Rel e le OBP da OA.
-
-14. indebolire le OA, generalizzare le costruzioni, etc. come detto
- con Giovanni
+definition OR : carr3 (arrows3 CAT2 OBP OBTop).
+constructor 1;
+[ apply o_basic_topology_of_o_basic_pair;
+| intros; constructor 1;
+ [ apply o_continuous_relation_of_o_relation_pair;
+ | apply hide;
+ intros; whd; unfold o_continuous_relation_of_o_relation_pair; simplify;;
+ change with ((a \sub \f ⎻* ∘ oA (o_basic_topology_of_o_basic_pair S)) =
+ (a' \sub \f ⎻*∘ oA (o_basic_topology_of_o_basic_pair S)));
+ whd in e; cases e; clear e e2 e3 e4;
+ change in ⊢ (? ? ? (? ? ? ? ? % ?) ?) with ((⊩\sub S)⎻* ∘ (⊩\sub S)⎻);
+ apply (.= (comp_assoc2 ? ???? ?? a\sub\f⎻* ));
+ change in ⊢ (? ? ? (? ? ? ? ? ? %) ?) with (a\sub\f ∘ ⊩\sub S)⎻*;
+ apply (.= #‡†(Ocommute:?)^-1);
+ apply (.= #‡e1);
+ change in ⊢ (? ? ? (? ? ? ? ? ? %) ?) with (⊩\sub T ∘ a'\sub\c)⎻*;
+ apply (.= #‡†(Ocommute:?));
+ change in ⊢ (? ? ? (? ? ? ? ? ? %) ?) with (a'\sub\f⎻* ∘ (⊩\sub S)⎻* );
+ apply (.= (comp_assoc2 ? ???? ?? a'\sub\f⎻* )^-1);
+ apply refl2;]
+| intros 2 (o a); apply refl1;
+| intros 6; apply refl1;]
+qed.