-lemma cpr_fwd_theta: ∀L,V1,V,T,U. L ⊢ ⓐV1. ⓓV. T ➡ U →
- ∀V2. ⇧[0, 1] V1 ≡ V2 → ⓐV1. ⓓV. T ≃ U ∨
- L ⊢ ⓓV. ⓐV2. T ➡* U.
-#L #V1 #V #T #U #H #V2 #HV12
-elim (cpr_inv_appl1 … H) -H *
-[ -HV12 #V0 #X #_ #_ #H destruct /2 width=1/
-| -HV12 #V0 #W #T1 #T2 #_ #_ #H destruct
-| #V0 #V3 #W1 #W2 #T1 #T2 #HV10 #HW12 #HT12 #HV03 #H1 #H2 destruct
- lapply (cpr_lift (L.ⓓW1) … HV12 … HV03 … HV10) -V0 -HV12 /2 width=1/ #HV23
- lapply (lcpr_cpr_trans (L. ⓓW1) … HT12) -HT12 /2 width=1/ #HT12
- /4 width=1/
+(* Note: probably this is an inversion lemma *)
+lemma cprs_fwd_delta: ∀L,K,V1,i. ⇩[0, i] L ≡ K. ⓓV1 →
+ ∀V2. ⇧[0, i + 1] V1 ≡ V2 →
+ ∀U. L ⊢ #i ➡* U →
+ #i ≃ U ∨ L ⊢ V2 ➡* U.
+#L #K #V1 #i #HLK #V2 #HV12 #U #H
+elim (cprs_inv_lref1 … H) -H /2 width=1/
+* #K0 #V0 #U0 #HLK0 #HVU0 #HU0 #_
+lapply (ldrop_mono … HLK0 … HLK) -HLK0 #H destruct
+lapply (ldrop_fwd_ldrop2 … HLK) -HLK /3 width=9/
+qed-.
+
+lemma cprs_fwd_theta: ∀a,L,V1,V,T,U. L ⊢ ⓐV1. ⓓ{a}V. T ➡* U →
+ ∀V2. ⇧[0, 1] V1 ≡ V2 → ⓐV1. ⓓ{a}V. T ≃ U ∨
+ L ⊢ ⓓ{a}V. ⓐV2. T ➡* U.
+#a #L #V1 #V #T #U #H #V2 #HV12
+elim (cprs_inv_appl1 … H) -H *
+[ -HV12 #V0 #T0 #_ #_ #H destruct /2 width=1/
+| #b #V0 #W #T0 #HV10 #HT0 #HU
+ elim (cprs_inv_abbr1 … HT0) -HT0 *
+ [ #V3 #T3 #_ #_ #H destruct
+ | #X #HT2 #H #H0 destruct
+ elim (lift_inv_bind1 … H) -H #W2 #T2 #HW2 #HT02 #H destruct
+ @or_intror @(cprs_trans … HU) -U (**) (* explicit constructor *)
+ @(cprs_trans … (+ⓓV.ⓐV2.ⓛ{b}W2.T2)) [ /3 width=1/ ] -T
+ @(cprs_strap2 … (ⓐV1.ⓛ{b}W.T0)) [ /5 width=7/ ] -V -V2 -W2 -T2
+ @(cprs_strap2 … (ⓓ{b}V1.T0)) [ /3 width=1/ ] -W /2 width=1/
+ ]
+| #b #V3 #V4 #V0 #T0 #HV13 #HV34 #HT0 #HU
+ @or_intror @(cprs_trans … HU) -U (**) (* explicit constructor *)
+ elim (cprs_inv_abbr1 … HT0) -HT0 *
+ [ #V5 #T5 #HV5 #HT5 #H destruct
+ lapply (cprs_lift (L.ⓓV) … HV12 … HV13 … HV34) -V1 -V3 /2 width=1/
+ /3 width=1/
+ | #X #HT1 #H #H0 destruct
+ elim (lift_inv_bind1 … H) -H #V5 #T5 #HV05 #HT05 #H destruct
+ lapply (cprs_lift (L.ⓓV0) … HV12 … HV13 … HV34) -V3 /2 width=1/ #HV24
+ @(cprs_trans … (+ⓓV.ⓐV2.ⓓ{b}V5.T5)) [ /3 width=1/ ] -T
+ @(cprs_strap2 … (ⓐV1.ⓓ{b}V0.T0)) [ /5 width=7/ ] -V -V5 -T5
+ @(cprs_strap2 … (ⓓ{b}V0.ⓐV2.T0)) [ /3 width=3/ ] -V1 /3 width=1/
+ ]