-let rec aprem_ind (P: (nat \to (A \to (A \to Prop)))) (f: (\forall (a1:
-A).(\forall (a2: A).(P O (AHead a1 a2) a1)))) (f0: (\forall (a2: A).(\forall
-(a: A).(\forall (i: nat).((aprem i a2 a) \to ((P i a2 a) \to (\forall (a1:
-A).(P (S i) (AHead a1 a2) a)))))))) (n: nat) (a: A) (a0: A) (a1: aprem n a
-a0) on a1: P n a a0 \def match a1 with [(aprem_zero a2 a3) \Rightarrow (f a2
-a3) | (aprem_succ a2 a3 i a4 a5) \Rightarrow (f0 a2 a3 i a4 ((aprem_ind P f
-f0) i a2 a3 a4) a5)].
+implied let rec aprem_ind (P: (nat \to (A \to (A \to Prop)))) (f: (\forall
+(a1: A).(\forall (a2: A).(P O (AHead a1 a2) a1)))) (f0: (\forall (a2:
+A).(\forall (a: A).(\forall (i: nat).((aprem i a2 a) \to ((P i a2 a) \to
+(\forall (a1: A).(P (S i) (AHead a1 a2) a)))))))) (n: nat) (a: A) (a0: A)
+(a1: aprem n a a0) on a1: P n a a0 \def match a1 with [(aprem_zero a2 a3)
+\Rightarrow (f a2 a3) | (aprem_succ a2 a3 i a4 a5) \Rightarrow (f0 a2 a3 i a4
+((aprem_ind P f f0) i a2 a3 a4) a5)].