-fact csx_appl_beta_aux: ∀h,o,a,G,L,U1. ⦃G, L⦄ ⊢ ⬊*[h, o] U1 →
- ∀V,W,T1. U1 = ⓓ{a}ⓝW.V.T1 → ⦃G, L⦄ ⊢ ⬊*[h, o] ⓐV.ⓛ{a}W.T1.
-#h #o #a #G #L #X #H @(csx_ind … H) -X
-#X #HT1 #IHT1 #V #W #T1 #H1 destruct
-@csx_intro #X #H1 #H2
-elim (cpx_inv_appl1 … H1) -H1 *
-[ -HT1 #V0 #Y #HLV0 #H #H0 destruct
- elim (cpx_inv_abst1 … H) -H #W0 #T0 #HLW0 #HLT0 #H destruct
- @IHT1 -IHT1 [4: // | skip |3: #H destruct /2 width=1 by/ ] -H2
- lapply (lsubr_cpx_trans … HLT0 (L.ⓓⓝW.V) ?) -HLT0 /3 width=1 by cpx_bind, cpx_flat, lsubr_beta/
-| -IHT1 -H2 #b #V0 #W0 #W2 #T0 #T2 #HLV0 #HLW02 #HLT02 #H1 #H3 destruct
- lapply (lsubr_cpx_trans … HLT02 (L.ⓓⓝW0.V) ?) -HLT02
- /4 width=5 by csx_cpx_trans, cpx_bind, cpx_flat, lsubr_beta/
-| -HT1 -IHT1 -H2 #b #V0 #V1 #W0 #W1 #T0 #T3 #_ #_ #_ #_ #H destruct
-]
-qed-.
-
-(* Basic_1: was just: sn3_beta *)
-lemma csx_appl_beta: ∀h,o,a,G,L,V,W,T. ⦃G, L⦄ ⊢ ⬊*[h, o] ⓓ{a}ⓝW.V.T → ⦃G, L⦄ ⊢ ⬊*[h, o] ⓐV.ⓛ{a}W.T.
-/2 width=3 by csx_appl_beta_aux/ qed.
-
-fact csx_appl_theta_aux: ∀h,o,a,G,L,U. ⦃G, L⦄ ⊢ ⬊*[h, o] U → ∀V1,V2. ⬆[0, 1] V1 ≡ V2 →
- ∀V,T. U = ⓓ{a}V.ⓐV2.T → ⦃G, L⦄ ⊢ ⬊*[h, o] ⓐV1.ⓓ{a}V.T.
-#h #o #a #G #L #X #H @(csx_ind_alt … H) -X #X #HVT #IHVT #V1 #V2 #HV12 #V #T #H destruct
+fact csx_appl_theta_aux: ∀h,p,G,L,U. ⦃G,L⦄ ⊢ ⬈*[h] 𝐒⦃U⦄ → ∀V1,V2. ⬆*[1] V1 ≘ V2 →
+ ∀V,T. U = ⓓ{p}V.ⓐV2.T → ⦃G,L⦄ ⊢ ⬈*[h] 𝐒⦃ⓐV1.ⓓ{p}V.T⦄.
+#h #p #G #L #X #H
+@(csx_ind_cpxs … H) -X #X #HVT #IHVT #V1 #V2 #HV12 #V #T #H destruct