+lemma nth_change_vec_neq : ∀A,j,i,n,v,a,d. i ≠ j →
+ nth j ? (change_vec A n v a i) d = nth j ? v d.
+#A #j elim j
+ [#i * // #n #v #a #d cases i
+ [#H @False_ind @(absurd ?? H) //
+ |#i0 #_ >(vec_expand ?? v) in ⊢ (???%); //
+ ]
+ |#m #Hind #i * // cases i // #i0 #n #v #a #d #neqim
+ whd in ⊢(??%?); whd in match (tail ??); >Hind
+ [>(vec_expand ??v) in ⊢ (???%); // |@(not_to_not … neqim) // ]
+ ]
+qed.
+
+lemma change_vec_same : ∀sig,n,v,i,d.
+ change_vec sig n v (nth i ? v d) i = v.
+#sig #n #v #i #d @(eq_vec … d)
+#i0 #Hi0 cases (decidable_eq_nat i i0) #Hi0
+[ >Hi0 >nth_change_vec //
+| >nth_change_vec_neq //
+]
+qed.
+
+lemma change_vec_cons_tail :∀A,n,vA,a,b,i.
+ change_vec A (S n) (vec_cons ? a n vA) b (S i) =
+ vec_cons ? a n (change_vec A n vA b i).
+#A #n #vA cases vA //
+qed.
+
+lemma change_vec_commute : ∀A,n,v,a,b,i,j. i ≠ j →
+ change_vec A n (change_vec A n v a i) b j
+ = change_vec A n (change_vec A n v b j) a i.
+#A #n #v #a #b #i #j #Hij @(eq_vec … a)
+#k #Hk cases (decidable_eq_nat k i) #Hki
+[ >Hki >nth_change_vec // >(nth_change_vec_neq ??????? (sym_not_eq … Hij))
+ >nth_change_vec //
+| cases (decidable_eq_nat k j) #Hkj
+ [ >Hkj >nth_change_vec // >(nth_change_vec_neq ??????? Hij) >nth_change_vec //
+ | >(nth_change_vec_neq ??????? (sym_not_eq … Hki))
+ >(nth_change_vec_neq ??????? (sym_not_eq … Hkj))
+ >(nth_change_vec_neq ??????? (sym_not_eq … Hki))
+ >(nth_change_vec_neq ??????? (sym_not_eq … Hkj)) //
+ ]
+]
+qed.
+
+lemma change_vec_change_vec : ∀A,n,v,a,b,i.
+ change_vec A n (change_vec A n v a i) b i = change_vec A n v b i.
+#A #n #v #a #b #i @(eq_vec … a) #i0 #Hi0
+cases (decidable_eq_nat i i0) #Hii0
+[ >Hii0 >nth_change_vec // >nth_change_vec //
+| >nth_change_vec_neq // >nth_change_vec_neq //
+ >nth_change_vec_neq // ]
+qed.
+
+lemma eq_vec_change_vec : ∀sig,n.∀v1,v2:Vector sig n.∀i,t,d.
+ nth i ? v2 d = t →
+ (∀j.i ≠ j → nth j ? v1 d = nth j ? v2 d) →
+ v2 = change_vec ?? v1 t i.
+#sig #n #v1 #v2 #i #t #d #H1 #H2 @(eq_vec … d)
+#i0 #Hlt cases (decidable_eq_nat i0 i) #Hii0
+[ >Hii0 >nth_change_vec //
+| >nth_change_vec_neq [|@sym_not_eq //] @sym_eq @H2 @sym_not_eq // ]
+qed-.
+
+(* map *)