+lemma current_chars_change_vec: ∀sig,n,v,a,i. i < S n →
+ current_chars sig ? (change_vec ? (S n) v a i) =
+ change_vec ? (S n)(current_chars ?? v) (current ? a) i.
+#sig #n #v #a #i #Hi @(eq_vec … (None ?)) #i0 #Hi0
+change with (vec_map ?????) in match (current_chars ???);
+<(nth_vec_map … (niltape ?))
+cases (decidable_eq_nat i i0) #Hii0
+[ >Hii0 >nth_change_vec // >nth_change_vec //
+| >nth_change_vec_neq // >nth_change_vec_neq // @nth_vec_map ]
+qed.
+
+lemma inject_trans_def :∀sig:FinSet.∀n,i:nat.i < S n →
+ ∀M,v,s,a,sn,an,mn.
+ trans sig M 〈s,a〉 = 〈sn,an,mn〉 →
+ cic:/matita/turing/turing/trans#fix:0:2:9 sig n (inject_TM sig M n i) 〈s,change_vec ? (S n) v a i〉 =
+ 〈sn,change_vec ? (S n) (null_action ? n) 〈an,mn〉 i〉.
+#sig #n #i #Hlt #M #v #s #a #sn #an #mn #Htrans
+whd in ⊢ (??%?); >nth_change_vec // >Htrans //
+qed.
+
+lemma inj_ter: ∀A,B,C.∀p:A×B×C.
+ p = 〈\fst (\fst p), \snd (\fst p), \snd p〉.
+// qed.
+
+lemma inject_step : ∀sig,n,M,i,q,t,nq,nt,v. i < S n →
+ step sig M (mk_config ?? q t) = mk_config ?? nq nt →
+ cic:/matita/turing/turing/step#def:12 sig n (inject_TM sig M n i)
+ (mk_mconfig ?? n q (change_vec ? (S n) v t i))
+ = mk_mconfig ?? n nq (change_vec ? (S n) v nt i).
+#sig #n #M #i #q #t #nq #nt #v #lein whd in ⊢ (??%?→?);
+whd in match (step ????); >(current_chars_change_vec … lein)
+>(inj_ter … (trans sig M ?)) whd in ⊢ (??%?→?); #H
+>(inject_trans_def sig n i lein M …)
+[|>(eq_pair_fst_snd ?? (trans sig M 〈q,current sig t〉))
+ >(eq_pair_fst_snd ?? (\fst (trans sig M 〈q,current sig t〉))) %
+| *: skip ]
+whd in ⊢ (??%?); @eq_f2 [destruct (H) // ]
+@(eq_vec … (niltape ?)) #i0 #lei0n
+cases (decidable_eq_nat … i i0) #Hii0
+[ >Hii0 >nth_change_vec // >tape_move_multi_def >pmap_change >nth_change_vec // destruct (H) //
+| >nth_change_vec_neq // >tape_move_multi_def >pmap_change >nth_change_vec_neq //
+ <tape_move_multi_def >tape_move_null_action //
+]
+qed.