]> matita.cs.unibo.it Git - helm.git/blobdiff - helm/DEVEL/mathml_editor/doc/spec.tex
* major update in regular context language definition and semantics
[helm.git] / helm / DEVEL / mathml_editor / doc / spec.tex
index 62e1473f8e347395134d27a2edda088b2a1cd143..be9ba51bb68495a7dd80a18f213ae626b790cdb5 100644 (file)
@@ -5,11 +5,14 @@
 \usepackage{euler}
 \usepackage{amssymb}
 \usepackage{stmaryrd}
+\usepackage{wasysym}
 
-\title{A MathML Editor Based on \TeX{} Syntax\\Formal Specification}
+\title{\EdiTeX: a MathML Editor Based on \TeX{} Syntax\\\small Description and Formal Specification}
 \author{Paolo Marinelli\\Luca Padovani\\\small\{{\tt pmarinel},{\tt lpadovan}\}{\tt @cs.unibo.it}\\\small Department of Computer Science\\\small University of Bologna}
 \date{}
 
+\newcommand{\EdiTeX}{Edi\TeX}
+
 \newcommand{\tmap}[1]{\llbracket#1\rrbracket}
 \newcommand{\tadvance}{\vartriangle}
 \newcommand{\tnext}{\rhd}
 \newcommand{\CELL}{\texttt{cell}}
 \newcommand{\ROW}{\texttt{row}}
 \newcommand{\SLDROP}{\blacktriangleleft}
-\newcommand{\SLDSCRIPT}{\blacktriangleleft_{s}}
 \newcommand{\NLDROP}{\vartriangleleft}
-\newcommand{\RGROUP}{\vartriangleleft_{rg}}
-\newcommand{\NLDGP}{\vartriangleleft_{g}}
-\newcommand{\NLDSCRIPT}{\vartriangleleft_{s}}
-\newcommand{\NLDMACRO}{\vartriangleleft_{c}}
-\newcommand{\NLDTABLE}{\vartriangleleft_{t}}
+\newcommand{\RDROP}{\vartriangleright}
 
 \begin{document}
 
 \maketitle
 
+\section{Introduction}
+
+MathML~\cite{MathML1,MathML2,MathML2E} is an XML application for the
+representation of mathematical expressions. As most XML applications,
+MathML is unsuitable to be hand-written, except for the simplest
+cases, because of its verbosity. In fact, the MathML specification
+explicitly states that
+\begin{quote}
+``While MathML is human-readable, it is anticipated that, in all but
+the simplest cases, authors will use equation editors, conversion
+programs, and other specialized software tools to generate MathML''
+\end{quote}
+
+The statement about human readability of MathML is already too strong,
+as the large number of mathematical symbols, operators, and
+diacritical marks that are used in mathematical notation cause MathML
+documents to make extensive use of Unicode characters that typically
+are not in the ``visible'' range of common text editors. Such
+characters may appear as entity references, whose name indicates
+somehow the kind of symbol used, or character references or they are
+directly encoded in the document encoding scheme (for instance,
+UTF-8).
+
+It is thus obvious that authoring MathML documents assumes the
+assistance of dedicated tools. As of today, such tools can be
+classified into two main categories:
+\begin{enumerate}
+  \item WYSIWYG (What You See Is What You Get) editors that allow the
+    author to see the formatted document on the screen as it is
+    composed;
+  \item conversion tools that generate MathML markup from different
+    sources, typically other markup languages for scientific
+    documents, such as \TeX.
+\end{enumerate}
+
+While the former tools are certainly more appealing, especially to the
+unexperienced user, as they give a direct visual feedback, the
+existance of tools in the second category takes into account the large
+availability of existing documents in \TeX{} format, and also the fact
+that experienced or ``lazy'' users may continue to prefer the use of a
+markup language other than MathML for editing, and generate MathML
+only as a final step of the authoring process. The ``laziness'' is not
+really intended as a way of being reluctant towards a new technology,
+but rather as a justified convincement that WYSIWYG editors are ``nice
+to look at'' but after all they may slow down the authoring process.
+WYSIWYG editors often involve the use of menus, palettes of symbols,
+and, in general, an extensive use of the pointing device (the mouse)
+for completing most operations. The use of shortcuts is of little
+help, as it implies very soon a challenging exercise for the fingers
+and the mind. Moreover, authors \emph{cannot improve} their authoring
+speed with time.  On the other side, the gap between the syntax of any
+markup language for mathematics and mathematical notation may be
+relevant, especially for large, non-trivial formulas and authoring is
+a re-iterated process in which the author repeadtedly types the markup
+in the editor, compiles, and looks at the result inside a pre-viewer.
+
+\EdiTeX{} tries to synthesize the ``best of both worlds'' in a single
+tool. The basic idea is that of creating a WYSIWYG editor in which
+editing is achieved by typing \TeX{} markup as the author would do in
+a text editor. The \TeX{} markup is tokenized and parsed on-the-fly
+and a corresponding MathML representation is created and
+displayed. This way, the author can see the rendered document as it
+changes. The advantages of this approach can be summarized as follows:
+\begin{itemize}
+  \item the document is rendered concurrently with the editing, the
+    user has an immediate feedback hence it is easier to spot errors;
+  \item the author types in a concrete (and likely familiar) syntax
+    improving the editing speed;
+  \item the usual WYSIWYG mechanisms are still available. In
+    particular, it is possible to select \emph{visually} a fragment of
+    the document that needs re-editing, or that was left behind for
+    subsequent editing.
+\end{itemize}
+
+\paragraph{The Name of the Game:} there is no reference to MathML in
+the name ``\EdiTeX.'' In fact, the architecture of the editor is not
+tied to MathML markup. Although we focus on MathML editing, by
+changing a completely modularized component of the editor it is
+virtually possible to generate any other markup language.
+
+\paragraph{Acknowledgments.} Stephen M. Watt and Igor Rodionov for
+their work on the \TeX{} to MathML conversion tool; Stan Devitt for an
+illuminating discussion about the architecture of \TeX{} to XML
+conversion tools; Claudio Sacerdoti Coen for the valuable feedback and
+uncountable bug reports.
+
+\section{Architecture}
+
+\section{Customization}
+
+\subsection{Short and Long Identifiers}
+
+\subsection{The Dictionary}
+
+\subsection{Stylesheets and Trasformations}
+
+\subsection{Rendering}
+
+\section{XML Representation of \TeX{} Markup}
+
 \section{Tokens}
 
 The following tokens are defined:
@@ -83,7 +181,7 @@ The following tokens are defined:
 \end{tabular}
 %$
 
-%% \section{Description and Semantics of the Pattern Language}
+\section{Description and Semantics of the Pattern Language}
 
 %% \begin{eqnarray*}
 %%   \mathit{NodeTest} & ::= & \mathtt{*} \\
@@ -99,6 +197,28 @@ The following tokens are defined:
 %%   & | & \mathit{AttributeName}\mathtt{='}\mathit{Text}\mathtt{'}
 %% \end{eqnarray*}
 
+\begin{table}
+\[
+\begin{array}{rcl@{\hspace{3em}}rcl@{\hspace{3em}}rcl}
+  C &::=& Q\verb+/+       & Q &::=& T                                          & P &::=& P' \\
+  &|& Q\verb+//+          & &|& Q\verb+[@+n\verb+=+v\verb+]+                   & &|& \verb+^+P'\\
+  &|& \verb+(+C\verb+)+   & &|& Q\verb+[!@+n\verb+=+v\verb+]+                  & &|& P'\verb+$+\\%$
+  &|& (\alpha\verb+=+C)   & &|& Q\verb+[@+n\verb+]+                            & &|& \verb+^+P'\verb+$+\\%$
+  &|& C_1 \verb+&+ C_2    & &|& Q\verb+[+P\verb+]+                             & & &\\
+  &|& C_1 \verb+|+ C_2    & & &                                                & P' &::=& P''\\
+  &|& C\verb.+.           & T &::=& N                                          & &|& P''\verb+#+P''\\
+  &|& C\verb+*+           & &|& C N                                            & & &\\
+  &|& C\verb+?+           & & &                                                & P'' &::=& \\
+  &|& C_1~C_2             & N &::=& \verb+<*>+                                 & &|& T\;P''\\
+  &|& \verb+!+C           & &|& \verb+<+n_1\verb+|+\cdots\verb+|+n_2\verb+>+   & & &\\ 
+  & &                     & &|& \verb+<!+n_1\verb+|+\cdots\verb+|+n_2\verb+>+  & & &\\
+\end{array}
+\]
+\caption{Syntax of the pattern language. $n$, $n_i$ denote names, $v$
+denotes a string enclosed in single or double quotes}
+\end{table}
+
+
 \section{Insert Rules}
 
 \paragraph{Begin Group:} $\{$
@@ -421,48 +541,34 @@ cursor with \ONODE{}, append $\tadvance$ after the \ONODE{} node
 
 \begin{description}
 
-  %*******************************************************************************************************
-  %************** rules handling the case in which the cursor has a preceding node ***********************
-  %*******************************************************************************************************
-
-  %************** cursor's parent is a group or a parameter (a p node)
-
-  \item{\verb+<g|p>[(i|n|o|s|c[!*])#]/cursor+}\\
-  remove the token.
-
-  \item{\verb+<g|p>[g#]/cursor+}\\
-  remove the cursor and append it to the \G{} node.
-
-  \item{\verb+<g|p>[<sp|sb>#]cursor+}\\
-  remove the cursor and append the $\SLDSCRIPT$
+  \item{\verb+cursor+}\\
+  replace the cursor with the $\SLDROP$.
 
-  \item{\verb+<g|p>[c[p[@right-open="1"]$]#]/cursor+}\\
-  remove the cursor and append the it to the \PNODE{} node.
+\end{description}
 
-  % remember to add the rules handling the primes
+\section{Right Drop Rules}
 
-  %*************************************************************************************************
-  %*********** rules handling the case in which the cursor has no preceding nodes ******************
-  %*************************************************************************************************
+\begin{description}
 
-  \item{\verb+g[@id][^#$]/cursor+}\\
-  replace the \G{} node with the cursor.
+  \item{\verb+cursor+}\\
+  replace the cursor with the $\RDROP$.
 
 \end{description}
 
-\section{Right Drop Rules}
-
 \section{$\varepsilon$-rules}
 
 \paragraph{Nromal Left Drop}
 
 \begin{description}
 
+  \item{\verb+math/g[^#]/+$\NLDROP$}\\
+  repalce the $\NLDROP$ with the cursor.
+
   %**************************************************************************************
   %****************************** epsilon-rules with \NLDROP ****************************
   %**************************************************************************************
 
-  %***************************** \NLDROP has no preceding nodes *************************
+  %**************  \NLDROP has neither preceding nor following nodes ********************
 
   \item{\verb+math[^#$]/+$\NLDROP$}\\
   replace the $\NLDROP$ with the cursor.
@@ -470,19 +576,10 @@ cursor with \ONODE{}, append $\tadvance$ after the \ONODE{} node
   \item{\verb+g[^#$]/+$\NLDROP$}\\
   replace the \G{} node with the $\NLDROP$.
 
-  % this rule overrides the rule above
-  \item{\verb+math/g[^#$]/+$\NLDROP$}\\
-  replace the $\NLDROP$ with the cursor.
-
+  % this rule is overridden by the two ones below
   \item{\verb+c/p[^#$]/+$\NLDROP$}\\
   remove the $\NLDROP$ and insert it before the \PNODE{} node.
 
-  \item{\verb+cell[^#$]/+$\NLDROP$}\\
-  replace the cell with the $\NLDROP_n$.
-
-  \item{\verb+table[^#$]/+$\NLDROP$}\\
-  replace the \TABLE{} node with the $\NLDROP$.
-
   \item{\verb+c[p[@left-open='1'][*]#$]/p[@right-open='1'][^#$]/+$\NLDROP$}\\
   replace the \CNODE{} node with the content of the first \PNODE{} node and insert the $\NLDROP$ after this content
 
@@ -492,6 +589,12 @@ cursor with \ONODE{}, append $\tadvance$ after the \ONODE{} node
   \item{\verb+c[^#][!p(*)]/+$\NLDROP$}\\
   replace the \CNODE{} node with the $\NLDROP$.
 
+  \item{\verb+cell[^#$]/+$\NLDROP$}\\
+  replace the cell with the $\NLDROP_n$.
+
+  \item{\verb+table[^#$]/+$\NLDROP$}\\
+  replace the \TABLE{} node with the $\NLDROP$.
+
   %************************* \NLDROP has at least one preceding node *********************
 
   % general rules
@@ -501,7 +604,7 @@ cursor with \ONODE{}, append $\tadvance$ after the \ONODE{} node
   remove the $\NLDROP$ and append it as the last child of its ex preceding brother.
 
   % this rule overrides the one above
-  \item{\verb+*[<i|n|o|s>#]/+$\NLDROP$}\\
+  \item{\verb+*[(i|n|o|s|c[!*])#]/+$\NLDROP$}\\
   remove the $\NLDROP$ and replace the token with the $\NLDROP_n$.
 
   % special rules
@@ -535,13 +638,104 @@ cursor with \ONODE{}, append $\tadvance$ after the \ONODE{} node
 
   % special rules
 
-  \item{\verb+math/g[^#*]/+$\NLDROP$}\\
-  replace the $\NLDROP$ with the cursor.
-
   % this rule is applicable to all macros.
   \item{\verb+c[^#][p[*]]/+$\NLDROP$}\\
   remove the $\NLDROP$ and insert it before the \CNODE{} node.
 
+\end{description}
+
+\paragraph{Special Left Drop}
+
+\begin{description}
+
+  %********************************************************************************************************
+  %************************************ epsilon-rules with \SLDROP ****************************************
+  %********************************************************************************************************
+
+  \item{\verb+math/+$\SLDROP$}\\
+  replace the $\SLDROP$ with the cursor.
+
+  \item{\verb+math/g[^#]/+$\NLDROP$}\\
+  replace the $\NLDROP$ with the cursor.
+
+  %************************ \SLDROP has neither preceding nor following nodes *****************************
+
+  \item{\verb+g[^#$]/+$\SLDROP$}\\
+  replace the \G{} node with the cursor.
+
+  \item{\verb+c[p[@left-open='1'][*]#$]/p[@right-open='1'][^#$]/+$\SLDROP$}\\
+  replace the \CNODE{} node with the content of the first \PNODE{} node and insert the cursor after this content
+
+  \item{\verb+c[p[@left-open='1'][!*]#$]/p[@right-open='1'][^#$]/+$\SLDROP$}\\
+  replace the \CNODE{} node with the cursor.
+
+  \item{\verb+c/p[^#$]/+$\SLDROP$}\\
+  remove the $\SLDROP$ and insert it before the \PNODE{} node.
+
+  \item{\verb+c[^#][!p(*)]/+$\SLDROP$}\\
+  replace the \CNODE{} node with the cursor.
+
+  \item{\verb+cell[^#$]/+$\SLDROP$}\\
+  replace the cell with the $\NLDROP_n$.
+
+  \item{\verb+table[^#$]/+$\SLDROP$}\\
+  replace the \TABLE{} node with the cursor.
+
+  %*********************** \SLDROP has at least one preceding node ***********************************
+
+  \item{\verb+*[sp[!@id][^*g[!@id][^o[@name='prime']++\verb+o[@name='prime']$]]#]/+$\SLDROP$}\\
+  remove the last \ONODE{} node and replace the $\SLDROP$ with the cursor.
+
+  \item{\verb+*[sp[!@id][^*g[!@id][^o[@name='prime']$]]#]/+$\SLDROP$}\\
+  replace the script with its first child and replace the $\SLDROP$ with the cursor.%$\NLDROP_n$.
+
+  \item{\verb+<sp|sb>[^g[!@id][!*]#$]/+$\SLDROP$}\\
+  replace the script with the cursor.
+
+  % this rule is overridden by the three rules above.
+  \item{\verb+<sp|sb>[^*#$]+/$\SLDROP$}\\
+  replace the script node with its first child and insert the cursor after it.
+
+  \item{\verb+c[(i|n|o|s|c[!*])#]/+$\SLDROP$}\\
+  remove the $\SLDROP$ and insert the cursor before the delimiter.
+
+  \item{\verb+c[p#(i|n|o|s|c[!*])]/+$\SLDROP$}\\
+  remove the $\SLDROP$ and insert the cursor into the \PNODE{} node.
+
+  \item{\verb+c[p[@right-open='1']#]+}\\
+  remove the $\SLDROP$ and append the curor as last child of the \PNODE{} node.
+
+  % this rule is overridden by the two ones above.
+  \item{\verb+c[p#]/+$\SLDROP$}\\
+  move the $\SLDROP$ into the \PNODE{} node.
+
+  \item{\verb+*[(i|n|o|s|c[!*])#]/+$\SLDROP$}\\
+  remove the $\SLDROP$ and replace the token with the cursor.
+
+  \item{\verb+*[table#]/+$\SLDROP$}\\
+  remove the $\SLDROP$ and append the $\NLDROP_n$ as the last child of the \TABLE{} node.
+
+  \item{\verb+*[c#]/+$\SLDROP$}\\
+  move the $\SLDROP$ into the \CNODE{} node.
+
+  \item{\verb+*[g#]/+$\SLDROP$}\\
+  remove the $\SLDROP$ and append the cursor as the last child of the \G{} node.
+
+  %********** \SLDROP has no preceding node, but has following ones **************
+
+  \item{\verb+c[^#p][p(*)]/+$\SLDROP$}\\
+  remove the $\SLDROP$ and insert the cursor before the \CNODE{} node.
+
+  % general rule
+  \item{\verb+*[^#*]/+$\SLDROP$}\\
+  remove the $\SLDROP$ and insert the cursor before its parent.
+
+\end{description}
+
+\paragraph{Normalize Left Drop}
+
+\begin{description}
+
   %****************************************************************************************
   %***************************** epsilon-rules with \NLDROP_n *****************************
   %****************************************************************************************
@@ -559,18 +753,57 @@ cursor with \ONODE{}, append $\tadvance$ after the \ONODE{} node
   remove the $\NLDROP_n$ and append it as last child of the \ROW{} node.
 
   \item{\verb+table[^#$]/+$\NLDROP_n$}\\
-  replace the \texttt{table} with the cursor.%$\NLDROP_n$.
+  replace the \TABLE{} with the cursor.%$\NLDROP_n$.
 
   \item{\verb+g[@id][^#$]/+$\NLDROP_n$}\\
   replace the \G{} node with the $\NLDROP_n$.
 
+  \item{$\NLDROP_n$}\\
+  replace the $\NLDROP_n$ with the cursor.
+
 \end{description}
 
-\paragraph{Special Left Drop}
+\paragraph{Right Drop}
+
+\begin{description}
+
+  %************************* \RDROP has at least a following node ****************************************
+
+  \item{\verb+c[#(i|n|o|s|c[!*])]/+$\RDROP$}\\
+  remove the $\RDROP$ and append it after the delimiter
+
+  \item{\verb+*[#(i|n|o|s|c[!*])]/+$\RDROP$}\\
+  remove the token and replace the $\RDROP$ with the cursor $\RDROP_n$.
+
+  % this rule is overridden by those ones above.
+  \item{\verb+*[#*]/+$\RDROP$}\\
+  remove the $\RDROP$ and append it as the first child of the following node.
 
-%\begin{description}
+  %************************** \RDROP has neither following nor preceding nodes ******************************
 
-%\end{description}
+  \item{\verb+c[#$][!p[*]]/+$\RDROP$}\\
+  replace the \CNODE{} with the $\RDROP$.
+
+  \item{\verb+p[^#$]/+$\RDROP$}\\
+  move the $\RDROP$ after the \PNODE{} node.
+
+  \item{\verb+g[^#$]/+$\RDROP$}\\
+  replace the \G{} node with the $\RDROP$.
+
+\end{description}
+
+\paragraph{Normalize Right Drop}
+
+\begin{description}
+
+  % at the moment it's the only rule, defined for this symbol.
+  \item{\verb+g[@id][^#$]/+$\RDROP_n$}\\
+  replace the \G{} node with the $\RDROP_n$.
+
+  \item{$\RDROP_n$}\\
+  replace the $\RDROP$ with the cursor.
+
+\end{description}
 
 \paragraph{Advance}
 
@@ -609,4 +842,64 @@ cursor with \ONODE{}, append $\tadvance$ after the \ONODE{} node
 % g[@id][^#$]/cursor  <-   cursor
 % (!g[@id][^#$])[A#B]/(g[@id][^#$]/)+cursor  <-  (!g[@id][^#$])[A#B]/cursor  
 
+\clearpage
+\appendix
+\section{Semantics of the Regular Context Language}
+
+\newcommand{\CSEM}[2]{\mathcal{C}\llbracket#1\rrbracket#2}
+\newcommand{\QSEM}[2]{\mathcal{Q}\llbracket#1\rrbracket#2}
+\newcommand{\TSEMUP}[2]{\mathcal{T}^\uparrow\llbracket#1\rrbracket#2}
+\newcommand{\TSEMDOWN}[2]{\mathcal{T}_\downarrow\llbracket#1\rrbracket#2}
+\newcommand{\NSEM}[2]{\mathcal{N}\llbracket#1\rrbracket#2}
+\newcommand{\PSEM}[2]{\mathcal{P}\llbracket#1\rrbracket#2}
+\newcommand{\PPSEM}[2]{\mathcal{P'}\llbracket#1\rrbracket(#2)}
+\newcommand{\PARENT}[1]{\mathit{parent}(#1)}
+\newcommand{\CHILDREN}[1]{\mathit{children}(#1)}
+\newcommand{\ANCESTORS}[1]{\mathit{ancestors}(#1)}
+\newcommand{\DESCENDANTS}[1]{\mathit{descendants}(#1)}
+\newcommand{\HASATTRIBUTE}[2]{\mathit{hasAttribute}(#1,#2)}
+\newcommand{\HASNOATTRIBUTE}[2]{\mathit{hasNoAttribute}(#1,#2)}
+\newcommand{\ATTRIBUTE}[2]{\mathit{attribute}(#1,#2)}
+\newcommand{\ISELEMENT}[1]{\mathit{isElement}(#1)}
+\newcommand{\NAME}[1]{\mathit{name}(#1)}
+\newcommand{\PREV}[1]{\mathit{prev}(#1)}
+\newcommand{\NEXT}[1]{\mathit{next}(#1)}
+
+\[
+\begin{array}{rcl}
+  \CSEM{.}{x} &=& \{x\}\\
+  \CSEM{..}{x} &=& \PARENT{x}\\
+  \CSEM{/}{x} &=& \CHILDREN{x}\\
+  \CSEM{q}{x} &=& \{x_1\mid x_1\in\{x\} \wedge \QSEM{q}{x_1}\}\\
+  \CSEM{(c)}{x} &=& \CSEM{c}{x}\\
+  \CSEM{\alpha(c)}{x} &=& \CSEM{c}{x}, \mbox{bind $\alpha$ to $x$}\\
+  \CSEM{c_1\&c_2}{x} &=& \CSEM{c_1}{x} \cap \CSEM{c_2}{x}\\
+  \CSEM{c_1\mid c_2}{x} &=& \CSEM{c_1}{x} \cup \CSEM{c_2}{x}\\
+  \CSEM{c+}{x} &=& \CSEM{c}{x} \cup \CSEM{c+}{\CSEM{c}{x}}\\
+  \CSEM{c?}{x} &=& \CSEM{.\mid c}{x}\\
+  \CSEM{c*}{x} &=& \CSEM{{c+}?}{x}\\
+  \CSEM{c_1\;c_2}{x} &=& \CSEM{c_2}{\CSEM{c_1}{x}}\\[3ex]
+  \QSEM{\langle*\rangle}{x} &=& \ISELEMENT{x}\\
+  \QSEM{\langle!*\rangle}{x} &=& \neg\QSEM{\langle*\rangle}{x}\\
+  \QSEM{\langle n_1\mid\cdots\mid n_k\rangle}{x} &=& \exists i\in\{1,\dots,k\}:\NAME{x}=n_i\\
+  \QSEM{\langle !n_1\mid\cdots\mid n_k\rangle}{x} &=& \neg\QSEM{\langle n_1\mid\cdots\mid n_k\rangle}{x}\\
+  \QSEM{q[@n]}{x} &=& \QSEM{q}{x} \wedge \HASATTRIBUTE{x}{n}\\
+  \QSEM{q[!@n]}{x} &=& \QSEM{q}{x} \wedge \HASNOATTRIBUTE{x}{n}\\
+  \QSEM{q[@n=v]}{x} &=& \QSEM{q}{x} \wedge \ATTRIBUTE{x}{n}= v\\
+  \QSEM{q[!@n=v]}{x} &=& \QSEM{q}{x} \wedge \ATTRIBUTE{x}{n}\ne v\\
+  \QSEM{q[p]}{x} &=& \QSEM{q}{x} \wedge \PSEM{p}{x}\\
+  \QSEM{q[!p]}{x} &=& \QSEM{q}{x} \wedge \neg\PSEM{p}{x}\\[3ex]
+  \PSEM{p_1\#p_2}{x} &=& \PPSEM{p_1}{*,x}\wedge\PPSEM{p_2}{x,*}\\
+  \PSEM{\cent p_1\#p_2}{x} &=& \PPSEM{p_1}{\cent,x}\wedge\PPSEM{p_2}{x,*}\\
+  \PSEM{p_1\#p_2\$}{x} &=& \PPSEM{p_1}{*,x}\wedge\PPSEM{p_2}{x,\$}\\
+  \PSEM{\cent p_1\#p_2\$}{x} &=& \PPSEM{p_1}{\cent,x}\wedge\PPSEM{p_2}{x,\$}\\[3ex]
+  \PPSEM{}{*,x} &=& \mathit{true}\\
+  \PPSEM{}{\cent,x} &=& \PREV{x}=\emptyset\\
+  \PPSEM{}{x,*} &=& \mathit{true}\\
+  \PPSEM{}{x,\$} &=& \NEXT{x}=\emptyset\\
+  \PPSEM{p\;c}{\alpha,x} &=& \CSEM{c}{\PREV{x}}\ne\emptyset\wedge\PPSEM{p}{\alpha,\PREV{x}}\\
+  \PPSEM{c\;p}{x,\alpha} &=& \CSEM{c}{\NEXT{x}}\ne\emptyset\wedge\PPSEM{p}{\NEXT{x},\alpha}\\
+\end{array}
+\]
+
 \end{document}