+++ /dev/null
-(* Esercitazione di logica 29/10/2008.
-
- Note per gli esercizi:
-
- http://www.cs.unibo.it/~tassi/exercise-duality.ma.html
-
-*)
-
-(* Esercizio 0
- ===========
-
- Compilare i seguenti campi:
-
- Nome1: ...
- Cognome1: ...
- Matricola1: ...
- Account1: ...
-
- Nome2: ...
- Cognome2: ...
- Matricola2: ...
- Account2: ...
-
- Prima di abbandonare la postazione:
-
- * salvare il file (menu `File ▹ Save as ...`) nella directory (cartella)
- /public/ con nome linguaggi_Account1.ma, ad esempio Mario Rossi, il cui
- account è mrossi, deve salvare il file in /public/linguaggi_mrossi.ma
-
- * mandatevi via email o stampate il file. Per stampare potete usare
- usare l'editor gedit che offre la funzionalità di stampa
-*)
-
-(*DOCBEGIN
-
-Il teorema di dualità
-=====================
-
-Il teorema di dualizzazione dice che date due formule `F1` ed `F2`,
-se le due formule sono equivalenti (`F1 ≡ F2`) allora anche le
-loro dualizzate lo sono (`dualize F1 ≡ dualize F2`).
-
-L'ingrediente principale è la funzione di dualizzazione di una formula `F`:
-
- * Scambia FTop con FBot e viceversa
-
- * Scambia il connettivo FAnd con FOr e viceversa
-
- * Sostituisce il connettivo FImpl con FAnd e nega la
- prima sottoformula.
-
- Ad esempio la formula `A → (B ∧ ⊥)` viene dualizzata in
- `¬A ∧ (B ∨ ⊤)`.
-
-Per dimostrare il teorema di dualizzazione in modo agevole è necessario
-definire altre nozioni:
-
-* La funzione `negate` che presa una formula `F` ne nega gli atomi.
- Ad esempio la formula `(A ∨ (⊤ → B))` deve diventare `¬A ∨ (⊤ → ¬B)`.
-
-* La funzione `invert` permette di invertire un mondo `v`.
- Ovvero, per ogni indice di atomo `i`, se `v i` restituisce
- `1` allora `(invert v) i` restituisce `0` e viceversa.
-
-DOCEND*)
-
-(* ATTENZIONE
- ==========
-
- Non modificare quanto segue
-*)
-include "nat/minus.ma".
-definition if_then_else ≝ λT:Type.λe,t,f.match e return λ_.T with [ true ⇒ t | false ⇒ f].
-notation > "'if' term 19 e 'then' term 19 t 'else' term 90 f" non associative with precedence 19 for @{ 'if_then_else $e $t $f }.
-notation < "'if' \nbsp term 19 e \nbsp 'then' \nbsp term 19 t \nbsp 'else' \nbsp term 90 f \nbsp" non associative with precedence 19 for @{ 'if_then_else $e $t $f }.
-interpretation "Formula if_then_else" 'if_then_else e t f = (if_then_else _ e t f).
-definition max ≝ λn,m. if eqb (n - m) 0 then m else n.
-definition min ≝ λn,m. if eqb (n - m) 0 then n else m.
-
-(* Ripasso
- =======
-
- Il linguaggio delle formule, dove gli atomi sono
- rapperesentati da un numero naturale
-*)
-inductive Formula : Type ≝
-| FBot: Formula
-| FTop: Formula
-| FAtom: nat → Formula
-| FAnd: Formula → Formula → Formula
-| FOr: Formula → Formula → Formula
-| FImpl: Formula → Formula → Formula
-| FNot: Formula → Formula
-.
-
-(* Esercizio 1
- ===========
-
- Modificare la funzione `sem` scritta nella precedente
- esercitazione in modo che valga solo 0 oppure 1 nel caso degli
- atomi, anche nel caso in cui il mondo `v` restituisca un numero
- maggiore di 1.
-
- Suggerimento: non è necessario usare il costrutto if_then_else
- e tantomento il predicato di maggiore o uguale. È invece possibile
- usare la funzione `min`.
-*)
-let rec sem (v: nat → nat) (F: Formula) on F : nat ≝
- match F with
- [ FBot ⇒ 0
- | FTop ⇒ 1
- | FAtom n ⇒ (*BEGIN*)min (v n) 1(*END*)
- | FAnd F1 F2 ⇒ min (sem v F1) (sem v F2)
- | FOr F1 F2 ⇒ max (sem v F1) (sem v F2)
- | FImpl F1 F2 ⇒ max (1 - sem v F1) (sem v F2)
- | FNot F1 ⇒ 1 - (sem v F1)
- ]
-.
-
-(* ATTENZIONE
- ==========
-
- Non modificare quanto segue.
-*)
-notation < "[[ \nbsp term 19 a \nbsp ]] \nbsp \sub term 90 v" non associative with precedence 90 for @{ 'semantics $v $a }.
-notation > "[[ term 19 a ]] \sub term 90 v" non associative with precedence 90 for @{ 'semantics $v $a }.
-notation > "[[ term 19 a ]]_ term 90 v" non associative with precedence 90 for @{ sem $v $a }.
-interpretation "Semantic of Formula" 'semantics v a = (sem v a).
-
-definition v20 ≝ λx.
- if eqb x 0 then 2
- else if eqb x 1 then 1
- else 0.
-
-(* Test 1
- ======
-
- La semantica della formula `(A ∨ C)` nel mondo `v20` in cui
- `A` vale `2` e `C` vale `0` deve valere `1`.
-
-*)
-eval normalize on [[FOr (FAtom 0) (FAtom 2)]]_v20.
-
-(*DOCBEGIN
-
-La libreria di Matita
-=====================
-
-Gli strumenti per la dimostrazione assistita sono corredati da
-librerie di teoremi già dimostrati. Per portare a termine l'esercitazione
-sono necessari i seguenti lemmi:
-
-* lemma `sem_le_1` : `∀F,v. [[ F ]]_v ≤ 1`
-* lemma `min_1_1` : `∀x. x ≤ 1 → 1 - (1 - x) = x`
-* lemma `min_bool` : `∀n. min n 1 = 0 ∨ min n 1 = 1`
-* lemma `min_max` : `∀F,G,v.min (1 - [[F]]_v) (1 - [[G]]_v) = 1 - max [[F]]_v [[G]]_v`
-* lemma `max_min` : `∀F,G,v.max (1 - [[F]]_v) (1 - [[G]]_v) = 1 - min [[F]]_v [[G]]_v`
-* lemma `equiv_rewrite` : `∀F1,F2,F3. F1 ≡ F2 → F1 ≡ F3 → F2 ≡ F3`
-
-DOCEND*)
-
-(* ATTENZIONE
- ==========
-
- Non modificare quanto segue.
-*)
-lemma sem_bool : ∀F,v. [[ F ]]_v = 0 ∨ [[ F ]]_v = 1. intros; elim F; simplify; [left;reflexivity; |right;reflexivity; |cases (v n);[left;|cases n1;right;]reflexivity; |4,5,6: cases H; cases H1; rewrite > H2; rewrite > H3; simplify; first [ left;reflexivity | right; reflexivity ]. |cases H; rewrite > H1; simplify;[right|left]reflexivity;] qed.
-lemma min_bool : ∀n. min n 1 = 0 ∨ min n 1 = 1. intros; cases n; [left;reflexivity] cases n1; right; reflexivity; qed.
-lemma min_max : ∀F,G,v. min (1 - [[F]]_v) (1 - [[G]]_v) = 1 - max [[F]]_v [[G]]_v. intros; cases (sem_bool F v);cases (sem_bool G v); rewrite > H; rewrite >H1; simplify; reflexivity; qed.
-lemma max_min : ∀F,G,v. max (1 - [[F]]_v) (1 - [[G]]_v) = 1 - min [[F]]_v [[G]]_v. intros; cases (sem_bool F v);cases (sem_bool G v); rewrite > H; rewrite >H1; simplify; reflexivity; qed.
-lemma min_1_1 : ∀x.x ≤ 1 → 1 - (1 - x) = x. intros; inversion H; intros; destruct; [reflexivity;] rewrite < (le_n_O_to_eq ? H1); reflexivity;qed.
-lemma sem_le_1 : ∀F,v.[[F]]_v ≤ 1. intros; cases (sem_bool F v); rewrite > H; [apply le_O_n|apply le_n]qed.
-
-(* Esercizio 2
- ===========
-
- Definire per ricorsione strutturale la funzione `negate`
- che presa una formula `F` ne nega gli atomi.
-
- Ad esempio la formula `(A ∨ (⊤ → B))` deve diventare
- `¬A ∨ (⊤ → ¬B)`.
-*)
-let rec negate (F: Formula) on F : Formula ≝
- match F with
- [ (*BEGIN*)FBot ⇒ FBot
- | FTop ⇒ FTop
- | FAtom n ⇒ FNot (FAtom n)
- | FAnd F1 F2 ⇒ FAnd (negate F1) (negate F2)
- | FOr F1 F2 ⇒ FOr (negate F1) (negate F2)
- | FImpl F1 F2 ⇒ FImpl (negate F1) (negate F2)
- | FNot F ⇒ FNot (negate F)(*END*)
- ].
-
-(* Test 2
- ======
-
- Testare la funzione `negate`. Il risultato atteso è:
-
- FOr (FNot (FAtom O)) (FImpl FTop (FNot (FAtom 1)))
-*)
-
-eval normalize on (negate (FOr (FAtom 0) (FImpl FTop (FAtom 1)))).
-
-(* ATTENZIONE
- ==========
-
- Non modificare quanto segue
-*)
-definition equiv ≝ λF1,F2. ∀v.[[ F1 ]]_v = [[ F2 ]]_v.
-notation "hvbox(a \nbsp break mstyle color #0000ff (≡) \nbsp b)" non associative with precedence 45 for @{ 'equivF $a $b }.
-notation > "a ≡ b" non associative with precedence 50 for @{ equiv $a $b }.
-interpretation "equivalence for Formulas" 'equivF a b = (equiv a b).
-lemma equiv_rewrite : ∀F1,F2,F3. F1 ≡ F2 → F1 ≡ F3 → F2 ≡ F3. intros; intro; autobatch. qed.
-
-(* Esercizio 3
- ===========
-
- Definire per ricorsione strutturale la funzione di
- dualizzazione di una formula `F`. Tale funzione:
-
- * Scambia FTop con FBot e viceversa
-
- * Scambia il connettivo FAnd con FOr e viceversa
-
- * Sostituisce il connettivo FImpl con FAnd e nega la
- prima sottoformula. Il razionale è che `FImpl A B`
- è semanticamente equivalente a `FOr (FNot A) B` il
- cui duale è `FAnd (FNot A) B`.
-
- Ad esempio la formula `A → (B ∧ ⊥)` viene dualizzata in
- `¬A ∧ (B ∨ ⊤)`.
-*)
-let rec dualize (F : Formula) on F : Formula ≝
- match F with
- [ (*BEGIN*)FBot ⇒ FTop
- | FTop ⇒ FBot
- | FAtom n ⇒ FAtom n
- | FAnd F1 F2 ⇒ FOr (dualize F1) (dualize F2)
- | FOr F1 F2 ⇒ FAnd (dualize F1) (dualize F2)
- | FImpl F1 F2 ⇒ FAnd (FNot (dualize F1)) (dualize F2)
- | FNot F ⇒ FNot (dualize F)(*END*)
- ].
-
-(* Test 3
- ======
-
- Testare la funzione `dualize`. Il risultato atteso è:
-
- FAnd (FNot (FAtom O)) (FOr (FAtom 1) FTop)
-*)
-
-eval normalize on (dualize (FImpl (FAtom 0) (FAnd (FAtom 1) FBot))).
-
-(* Spiegazione
- ===========
-
- La funzione `invert` permette di invertire un mondo `v`.
- Ovvero, per ogni indice di atomo `i`, se `v i` restituisce
- `1` allora `(invert v) i` restituisce `0` e viceversa.
-
-*)
-definition invert ≝
- λv:ℕ → ℕ. λx. if eqb (min (v x) 1) 0 then 1 else 0.
-
-interpretation "Inversione del mondo" 'invert v = (invert v).
-
-(*DOCBEGIN
-
-Il linguaggio di dimostrazione di Matita
-========================================
-
-Per dimostrare il lemma `negate_invert` in modo agevole è necessario
-utilizzare il seguente comando:
-
-* by H1, H2 we proved P (H)
-
- Il comando `by ... we proved` visto nella scorsa esercitazione
- permette di utilizzare più ipotesi o lemmi alla volta
- separandoli con una virgola.
-
-DOCEND*)
-
-(* Esercizio 4
- ===========
-
- Dimostrare il lemma `negate_invert` che asserisce che
- la semantica in un mondo `v` associato alla formula
- negata di `F` e uguale alla semantica associata
- a `F` in un mondo invertito.
-*)
-lemma negate_invert:
- ∀F:Formula.∀v:ℕ→ℕ.[[ negate F ]]_v=[[ F ]]_(invert v).
-assume F:Formula.
-assume v:(ℕ→ℕ).
-we proceed by induction on F to prove ([[ negate F ]]_v=[[ F ]]_(invert v)).
- case FBot.
- (*BEGIN*)
- the thesis becomes ([[ negate FBot ]]_v=[[ FBot ]]_(invert v)).
- (*END*)
- done.
- case FTop.
- (*BEGIN*)
- the thesis becomes ([[ negate FTop ]]_v=[[ FTop ]]_(invert v)).
- (*END*)
- done.
- case FAtom.
- assume n : ℕ.
- the thesis becomes ((*BEGIN*)[[ negate (FAtom n) ]]_v=[[ FAtom n ]]_(invert v)(*END*)).
- the thesis becomes ((*BEGIN*)1 - (min (v n) 1)= min (invert v n) 1(*END*)).
- the thesis becomes (1 - (min (v n) 1)= min (if eqb (min (v n) 1) 0 then 1 else 0) 1).
- by min_bool we proved (min (v n) 1 = 0 ∨ min (v n) 1 = 1) (H1);
- we proceed by cases on (H1) to prove (1 - (min (v n) 1)= min (if eqb (min (v n) 1) 0 then 1 else 0) 1).
- case Left.
- conclude
- (1 - (min (v n) 1))
- = (1 - 0) by H.
- = 1.
- = (min 1 1).
- = (min (if true then 1 else O) 1).
- = (min (if eqb 0 0 then 1 else O) 1).
- = (min (if eqb (min (v n) 1) O then 1 else O) 1) by H.
- done.
- case Right.
- (*BEGIN*)
- conclude
- (1 - (min (v n) 1))
- = (1 - 1) by H.
- = 0.
- = (min 0 1).
- = (min (if eqb 1 0 then 1 else O) 1).
- = (min (if eqb (min (v n) 1) O then 1 else O) 1) by H.
- (*END*)
- done.
- case FAnd.
- assume f : Formula.
- by induction hypothesis we know
- ((*BEGIN*)[[ negate f ]]_v=[[ f ]]_(invert v)(*END*)) (H).
- assume f1 : Formula.
- by induction hypothesis we know
- ((*BEGIN*)[[ negate f1 ]]_v=[[ f1 ]]_(invert v)(*END*)) (H1).
- the thesis becomes
- ([[ negate (FAnd f f1) ]]_v=[[ FAnd f f1 ]]_(invert v)).
- the thesis becomes
- (min [[ negate f ]]_v [[ negate f1]]_v = [[ FAnd f f1 ]]_(invert v)).
- conclude
- (min [[ negate f ]]_v [[ negate f1]]_v)
- = (min [[ f ]]_(invert v) [[ negate f1]]_v) by (*BEGIN*)H(*END*).
- = (min [[ f ]]_(invert v) [[ f1]]_(invert v)) by (*BEGIN*)H1(*END*).
- done.
- case FOr.
- (*BEGIN*)
- assume f : Formula.
- by induction hypothesis we know
- ([[ negate f ]]_v=[[ f ]]_(invert v)) (H).
- assume f1 : Formula.
- by induction hypothesis we know
- ([[ negate f1 ]]_v=[[ f1 ]]_(invert v)) (H1).
- the thesis becomes
- ([[ negate (FOr f f1) ]]_v=[[ FOr f f1 ]]_(invert v)).
- the thesis becomes
- (max [[ negate f ]]_v [[ negate f1]]_v = [[ FOr f f1 ]]_(invert v)).
- conclude
- (max [[ negate f ]]_v [[ negate f1]]_v)
- = (max [[ f ]]_(invert v) [[ negate f1]]_v) by H.
- = (max [[ f ]]_(invert v) [[ f1]]_(invert v)) by H1.
- (*END*)
- done.
- case FImpl.
- (*BEGIN*)
- assume f : Formula.
- by induction hypothesis we know
- ([[ negate f ]]_v=[[ f ]]_(invert v)) (H).
- assume f1 : Formula.
- by induction hypothesis we know
- ([[ negate f1 ]]_v=[[ f1 ]]_(invert v)) (H1).
- the thesis becomes
- ([[ negate (FImpl f f1) ]]_v=[[ FImpl f f1 ]]_(invert v)).
- the thesis becomes
- (max (1 - [[ negate f ]]_v) [[ negate f1]]_v = [[ FImpl f f1 ]]_(invert v)).
- conclude
- (max (1 - [[ negate f ]]_v) [[ negate f1]]_v)
- = (max (1 - [[ f ]]_(invert v)) [[ negate f1]]_v) by H.
- = (max (1 - [[ f ]]_(invert v)) [[ f1]]_(invert v)) by H1.
- (*END*)
- done.
- case FNot.
- (*BEGIN*)
- assume f : Formula.
- by induction hypothesis we know
- ([[ negate f ]]_v=[[ f ]]_(invert v)) (H).
- the thesis becomes
- ([[ negate (FNot f) ]]_v=[[ FNot f ]]_(invert v)).
- the thesis becomes
- (1 - [[ negate f ]]_v=[[ FNot f ]]_(invert v)).
- conclude (1 - [[ negate f ]]_v) = (1 - [[f]]_(invert v)) by H.
- (*END*)
- done.
-qed.
-
-(* Esercizio 5
- ===========
-
- Dimostrare che la funzione negate rispetta l'equivalenza.
-*)
-lemma negate_fun:
- ∀F:Formula.∀G:Formula.F ≡ G → negate F ≡ negate G.
- assume (*BEGIN*)F:Formula(*END*).
- assume (*BEGIN*)G:Formula(*END*).
- suppose (*BEGIN*)(F ≡ G) (H)(*END*).
- the thesis becomes (*BEGIN*)(negate F ≡ negate G)(*END*).
- the thesis becomes (*BEGIN*)(∀v:ℕ→ℕ.[[ negate F ]]_v=[[ negate G ]]_v)(*END*).
- assume v:(ℕ→ℕ).
- conclude
- [[ negate F ]]_v
- = [[ F ]]_(invert v) by (*BEGIN*)negate_invert(*END*).
- = [[ G ]]_((*BEGIN*)invert v(*BEGIN*)) by (*BEGIN*)H(*BEGIN*).
- = [[ negate G ]]_(*BEGIN*)v(*BEGIN*) by (*BEGIN*)negate_invert(*END*).
- done.
-qed.
-
-(* Esercizio 6
- ===========
-
- Dimostrare che per ogni formula `F`, `(negate F)` equivale a
- dualizzarla e negarla.
-*)
-lemma not_dualize_eq_negate:
- ∀F:Formula.negate F ≡ FNot (dualize F).
- (*BEGIN*)
- assume F:Formula.
- the thesis becomes (∀v:ℕ→ℕ.[[negate F]]_v=[[FNot (dualize F)]]_v).
- (*END*)
- assume v:(ℕ→ℕ).
- we proceed by induction on F to prove ([[negate F]]_v=[[FNot (dualize F)]]_v).
- case FBot.
- (*BEGIN*)
- the thesis becomes ([[ negate FBot ]]_v=[[ FNot (dualize FBot) ]]_v).
- (*END*)
- done.
- case FTop.
- (*BEGIN*)
- the thesis becomes ([[ negate FTop ]]_v=[[ FNot (dualize FTop) ]]_v).
- (*END*)
- done.
- case FAtom.
- (*BEGIN*)
- assume n : ℕ.
- the thesis becomes ([[ negate (FAtom n) ]]_v=[[ FNot (dualize (FAtom n)) ]]_v).
- (*END*)
- done.
- case FAnd.
- assume f : Formula.
- by induction hypothesis we know
- ([[ negate f ]]_v=[[ FNot (dualize f) ]]_v) (H).
- assume f1 : Formula.
- by induction hypothesis we know
- ([[ negate f1 ]]_v=[[ FNot (dualize f1) ]]_v) (H1).
- the thesis becomes
- ([[ negate (FAnd f f1) ]]_v=[[ FNot (dualize (FAnd f f1)) ]]_v).
- the thesis becomes
- (min [[ negate f ]]_v [[ negate f1 ]]_v=[[ FNot (dualize (FAnd f f1)) ]]_v).
- conclude
- (min (*BEGIN*)[[ negate f ]]_v(*END*) (*BEGIN*)[[ negate f1 ]]_v(*END*))
- = (min (*BEGIN*)[[ FNot (dualize f) ]]_v(*END*) (*BEGIN*)[[ negate f1 ]]_v(*END*)) by H.
- = (min (*BEGIN*)[[ FNot (dualize f) ]]_v(*END*) (*BEGIN*)[[ FNot (dualize f1) ]]_v(*END*)) by H1.
- = (min (1 - [[ dualize f ]]_v) (1 - [[ dualize f1 ]]_v)).
- = (1 - (max [[ dualize f ]]_v [[ dualize f1 ]]_v)) by min_max.
- done.
- case FOr.
- (*BEGIN*)
- assume f : Formula.
- by induction hypothesis we know
- ([[ negate f ]]_v=[[ FNot (dualize f) ]]_v) (H).
- assume f1 : Formula.
- by induction hypothesis we know
- ([[ negate f1 ]]_v=[[ FNot (dualize f1) ]]_v) (H1).
- the thesis becomes
- ([[ negate (FOr f f1) ]]_v=[[ FNot (dualize (FOr f f1)) ]]_v).
- the thesis becomes
- (max [[ negate f ]]_v [[ negate f1 ]]_v=[[ FNot (dualize (FOr f f1)) ]]_v).
- conclude
- (max [[ negate f ]]_v [[ negate f1 ]]_v)
- = (max [[ FNot (dualize f) ]]_v [[ negate f1 ]]_v) by H.
- = (max [[ FNot (dualize f) ]]_v [[ FNot (dualize f1) ]]_v) by H1.
- = (max (1 - [[ dualize f ]]_v) (1 - [[ dualize f1 ]]_v)).
- = (1 - (min [[ dualize f ]]_v [[ dualize f1 ]]_v)) by max_min.
- (*END*)
- done.
- case FImpl.
- (*BEGIN*)
- assume f : Formula.
- by induction hypothesis we know
- ([[ negate f ]]_v=[[ FNot (dualize f) ]]_v) (H).
- assume f1 : Formula.
- by induction hypothesis we know
- ([[ negate f1 ]]_v=[[ FNot (dualize f1) ]]_v) (H1).
- the thesis becomes
- ([[ negate (FImpl f f1) ]]_v=[[ FNot (dualize (FImpl f f1)) ]]_v).
- the thesis becomes
- (max (1 - [[ negate f ]]_v) [[ negate f1 ]]_v=[[ FNot (dualize (FImpl f f1)) ]]_v).
- conclude
- (max (1-[[ negate f ]]_v) [[ negate f1 ]]_v)
- = (max (1-[[ FNot (dualize f) ]]_v) [[ negate f1 ]]_v) by H.
- = (max (1-[[ FNot (dualize f) ]]_v) [[ FNot (dualize f1) ]]_v) by H1.
- = (max (1 - [[ FNot (dualize f) ]]_v) (1 - [[ dualize f1 ]]_v)).
- = (1 - (min [[ FNot (dualize f) ]]_v [[ dualize f1 ]]_v)) by max_min.
- (*END*)
- done.
- case FNot.
- (*BEGIN*)
- assume f : Formula.
- by induction hypothesis we know
- ([[ negate f ]]_v=[[ FNot (dualize f) ]]_v) (H).
- the thesis becomes
- ([[ negate (FNot f) ]]_v=[[ FNot (dualize (FNot f)) ]]_v).
- the thesis becomes
- (1 - [[ negate f ]]_v=[[ FNot (dualize (FNot f)) ]]_v).
- conclude (1 - [[ negate f ]]_v) = (1 - [[ FNot (dualize f) ]]_v) by H.
- (*END*)
- done.
-qed.
-
-(* Esercizio 7
- ===========
-
- Dimostrare che la negazione è iniettiva
-*)
-theorem not_inj:
- ∀F,G:Formula.FNot F ≡ FNot G→F ≡ G.
- (*BEGIN*)
- assume F:Formula.
- assume G:Formula.
- suppose (FNot F ≡ FNot G) (H).
- the thesis becomes (F ≡ G).
- the thesis becomes (∀v:ℕ→ℕ.[[ F ]]_v=[[ G ]]_v).
- (*END*)
- assume v:(ℕ→ℕ).
- by sem_le_1 we proved ([[F]]_v ≤ 1) (H1).
- by (*BEGIN*)sem_le_1(*END*) we proved ([[G]]_v ≤ 1) (H2).
- by min_1_1, H1 we proved (1 - (1 - [[F]]_v) = [[F]]_v) (H3).
- by (*BEGIN*)min_1_1, H2(*END*) we proved ((*BEGIN*)1 - (1 - [[G]]_v)(*END*) = [[G]]_v) (H4).
- conclude
- ([[F]]_v)
- = (1 - (1 - [[F]]_v)) by (*BEGIN*)H3(*END*).
- = (1 - [[(*BEGIN*)FNot F(*END*)]]_v).
- = (1 - [[ FNot G]]_v) by H.
- = (1 - (*BEGIN*)(1 - [[G]]_v)(*END*)).
- = [[G]]_v by (*BEGIN*)H4(*END*).
- done.
-qed.
-
-(*DOCBEGIN
-
-La prova del teorema di dualità
-===============================
-
-Il teorema di dualità accennato a lezione dice che se due formule
-`F1` ed `F2` sono equivalenti, allora anche le formule duali lo sono.
-
- ∀F1,F2:Formula. F1 ≡ F2 → dualize F1 ≡ dualize F2.
-
-Per dimostrare tale teorema è bene suddividere la prova in lemmi intermedi
-
-1. lemma `negate_invert`, dimostrato per induzione su F, utilizzando
- `min_bool`
-
- ∀F:Formula.∀v:ℕ→ℕ.[[ negate F ]]_v=[[ F ]]_(invert v).
-
-2. lemma `negate_fun`, conseguenza di `negate_invert`
-
- ∀F,G:Formula. F ≡ G → negate F ≡ negate G.
-
-2. lemma `not_dualize_eq_negate`, dimostrato per induzione su F,
- utilizzando `max_min` e `min_max`
-
- ∀F:Formula. negate F ≡ FNot (dualize F)
-
-4. lemma `not_inj`, conseguenza di `sem_bool`
-
- ∀F,G:Formula. FNot F ≡ FNot G → F ≡ G
-
-Una volta dimostrati tali lemmi la prova del teorema di dualità
-procede come di seguito:
-
-1. Assume l'ipotesi
-
- F1 ≡ F2
-
-2. Utilizza `negate_fun` per ottenere
-
- negate F1 ≡ negate F2
-
-3. Utilizzando due volte il lemma `not_dualize_eq_negate` e il lemma
- `equiv_rewrite` ottiene
-
- FNot (dualize F1) ≡ FNot (dualize F2)
-
-4. Conclude utilizzando il lemma `not_inj` per ottenere la tesi
-
- dualize F1 ≡ dualize F2
-
-DOCEND*)
-
-(* Esercizio 8
- ===========
-
- Dimostrare il teorema di dualità
-*)
-theorem duality: ∀F1,F2:Formula.F1 ≡ F2 → dualize F1 ≡ dualize F2.
- assume F1:Formula.
- assume F2:Formula.
- suppose (F1 ≡ F2) (H).
- the thesis becomes (dualize F1 ≡ dualize F2).
- by (*BEGIN*)negate_fun(*END*), H we proved (negate F1 ≡ negate F2) (H1).
- by (*BEGIN*)not_dualize_eq_negate(*END*), (*BEGIN*)equiv_rewrite(*END*), H1 we proved (FNot (dualize F1) ≡ negate F2) (H2).
- by (*BEGIN*)not_dualize_eq_negate(*END*), (*BEGIN*)equiv_rewrite(*END*), H2 we proved (FNot (dualize F1) ≡ FNot (dualize F2)) (H3).
- by (*BEGIN*)not_inj(*END*), H3 we proved (dualize F1 ≡ dualize F2) (H4).
- by H4 done.
-qed.
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