-(* Esercitazione di logica 29/10/2008. *)
+(* Esercitazione di logica 29/10/2008.
+
+ Note per gli esercizi:
+
+ http://www.cs.unibo.it/~tassi/exercise-duality.ma.html
+
+*)
(* Esercizio 0
===========
Modificare la funzione `sem` scritta nella precedente
esercitazione in modo che valga solo 0 oppure 1 nel caso degli
- atomi, anche nel caso il mondo `v` restituisca un numero
+ atomi, anche nel caso in cui il mondo `v` restituisca un numero
maggiore di 1.
Suggerimento: non è necessario usare il costrutto if_then_else
- e tantomento il predicato di maggiore o uguale.
+ e tantomento il predicato di maggiore o uguale. È invece possibile
+ usare la funzione `min`.
*)
let rec sem (v: nat → nat) (F: Formula) on F : nat ≝
match F with
`A` vale `2` e `C` vale `0` deve valere `1`.
*)
-eval normalize on [[For (FAtom 0) (FAtom 2)]]_v20.
+eval normalize on [[FOr (FAtom 0) (FAtom 2)]]_v20.
(*DOCBEGIN
librerie di teoremi già dimostrati. Per portare a termine l'esercitazione
sono necessari i seguenti lemmi:
-* lemma `sem_bool` : `∀F,v. [[ F ]]_v = 0 ∨ [[ F ]]_v = 1`
+* lemma `sem_le_1` : `∀F,v. [[ F ]]_v ≤ 1`
+* lemma `min_1_1` : `∀x. x ≤ 1 → 1 - (1 - x) = x`
* lemma `min_bool` : `∀n. min n 1 = 0 ∨ min n 1 = 1`
* lemma `min_max` : `∀F,G,v.min (1 - [[F]]_v) (1 - [[G]]_v) = 1 - max [[F]]_v [[G]]_v`
* lemma `max_min` : `∀F,G,v.max (1 - [[F]]_v) (1 - [[G]]_v) = 1 - min [[F]]_v [[G]]_v`
lemma min_bool : ∀n. min n 1 = 0 ∨ min n 1 = 1. intros; cases n; [left;reflexivity] cases n1; right; reflexivity; qed.
lemma min_max : ∀F,G,v. min (1 - [[F]]_v) (1 - [[G]]_v) = 1 - max [[F]]_v [[G]]_v. intros; cases (sem_bool F v);cases (sem_bool G v); rewrite > H; rewrite >H1; simplify; reflexivity; qed.
lemma max_min : ∀F,G,v. max (1 - [[F]]_v) (1 - [[G]]_v) = 1 - min [[F]]_v [[G]]_v. intros; cases (sem_bool F v);cases (sem_bool G v); rewrite > H; rewrite >H1; simplify; reflexivity; qed.
+lemma min_1_1 : ∀x.x ≤ 1 → 1 - (1 - x) = x. intros; inversion H; intros; destruct; [reflexivity;] rewrite < (le_n_O_to_eq ? H1); reflexivity;qed.
+lemma sem_le_1 : ∀F,v.[[F]]_v ≤ 1. intros; cases (sem_bool F v); rewrite > H; [apply le_O_n|apply le_n]qed.
(* Esercizio 2
===========
* Scambia il connettivo FAnd con FOr e viceversa
* Sostituisce il connettivo FImpl con FAnd e nega la
- prima sottoformula.
+ prima sottoformula. Il razionale è che `FImpl A B`
+ è semanticamente equivalente a `FOr (FNot A) B` il
+ cui duale è `FAnd (FNot A) B`.
Ad esempio la formula `A → (B ∧ ⊥)` viene dualizzata in
`¬A ∧ (B ∨ ⊤)`.
*)
definition invert ≝
- λv:ℕ -> ℕ. λx. if eqb (min (v x) 1) 0 then 1 else 0.
+ λv:ℕ → ℕ. λx. if eqb (min (v x) 1) 0 then 1 else 0.
interpretation "Inversione del mondo" 'invert v = (invert v).
Per dimostrare il lemma `negate_invert` in modo agevole è necessario
utilizzare il seguente comando:
-* `symmetry`
-
- Quando la conclusuine è `a = b` permette di cambiarla in `b = a`.
-
* by H1, H2 we proved P (H)
Il comando `by ... we proved` visto nella scorsa esercitazione
done.
case FAtom.
assume n : ℕ.
- the thesis becomes ([[ negate (FAtom n) ]]_v=[[ FAtom n ]]_(invert v)).
- the thesis becomes (1 - (min (v n) 1)= min (invert v n) 1).
+ the thesis becomes ((*BEGIN*)[[ negate (FAtom n) ]]_v=[[ FAtom n ]]_(invert v)(*END*)).
+ the thesis becomes ((*BEGIN*)1 - (min (v n) 1)= min (invert v n) 1(*END*)).
the thesis becomes (1 - (min (v n) 1)= min (if eqb (min (v n) 1) 0 then 1 else 0) 1).
- by min_bool we proved ((*BEGIN*)min (v n) 1 = 0 ∨ min (v n) 1 = 1(*END*)) (H1);
+ by min_bool we proved (min (v n) 1 = 0 ∨ min (v n) 1 = 1) (H1);
we proceed by cases on (H1) to prove (1 - (min (v n) 1)= min (if eqb (min (v n) 1) 0 then 1 else 0) 1).
case Left.
conclude
(1 - (min (v n) 1))
= (1 - 0) by H.
= 1.
- symmetry.
- conclude
- (min (if eqb (min (v n) 1) O then 1 else O) 1)
- = (min (if eqb 0 0 then 1 else O) 1) by H.
= (min 1 1).
- = 1.
+ = (min (if true then 1 else O) 1).
+ = (min (if eqb 0 0 then 1 else O) 1).
+ = (min (if eqb (min (v n) 1) O then 1 else O) 1) by H.
done.
case Right.
(*BEGIN*)
(1 - (min (v n) 1))
= (1 - 1) by H.
= 0.
- symmetry.
- conclude
- (min (if eqb (min (v n) 1) O then 1 else O) 1)
- = (min (if eqb 1 0 then 1 else O) 1) by H.
= (min 0 1).
- = 0.
+ = (min (if eqb 1 0 then 1 else O) 1).
+ = (min (if eqb (min (v n) 1) O then 1 else O) 1) by H.
(*END*)
done.
case FAnd.
assume f : Formula.
by induction hypothesis we know
- ([[ negate f ]]_v=[[ f ]]_(invert v)) (H).
+ ((*BEGIN*)[[ negate f ]]_v=[[ f ]]_(invert v)(*END*)) (H).
assume f1 : Formula.
by induction hypothesis we know
- ([[ negate f1 ]]_v=[[ f1 ]]_(invert v)) (H1).
+ ((*BEGIN*)[[ negate f1 ]]_v=[[ f1 ]]_(invert v)(*END*)) (H1).
the thesis becomes
([[ negate (FAnd f f1) ]]_v=[[ FAnd f f1 ]]_(invert v)).
the thesis becomes
(min [[ negate f ]]_v [[ negate f1]]_v = [[ FAnd f f1 ]]_(invert v)).
conclude
(min [[ negate f ]]_v [[ negate f1]]_v)
- = (min [[ f ]]_(invert v) [[ negate f1]]_v) by H.
+ = (min [[ f ]]_(invert v) [[ negate f1]]_v) by (*BEGIN*)H(*END*).
= (min [[ f ]]_(invert v) [[ f1]]_(invert v)) by (*BEGIN*)H1(*END*).
done.
case FOr.
Dimostrare che la funzione negate rispetta l'equivalenza.
*)
lemma negate_fun:
- ∀F:Formula.∀G:Formula.F ≡ G→negate F ≡ negate G.
- (*BEGIN*)
- assume F:Formula.
- assume G:Formula.
- suppose (F ≡ G) (H).
- the thesis becomes (negate F ≡ negate G).
- the thesis becomes (∀v:ℕ→ℕ.[[ negate F ]]_v=[[ negate G ]]_v).
- (*END*)
+ ∀F:Formula.∀G:Formula.F ≡ G → negate F ≡ negate G.
+ assume (*BEGIN*)F:Formula(*END*).
+ assume (*BEGIN*)G:Formula(*END*).
+ suppose (*BEGIN*)(F ≡ G) (H)(*END*).
+ the thesis becomes (*BEGIN*)(negate F ≡ negate G)(*END*).
+ the thesis becomes (*BEGIN*)(∀v:ℕ→ℕ.[[ negate F ]]_v=[[ negate G ]]_v)(*END*).
assume v:(ℕ→ℕ).
conclude
[[ negate F ]]_v
- = [[ F ]]_(invert v) by negate_invert.
+ = [[ F ]]_(invert v) by (*BEGIN*)negate_invert(*END*).
= [[ G ]]_((*BEGIN*)invert v(*BEGIN*)) by (*BEGIN*)H(*BEGIN*).
= [[ negate G ]]_(*BEGIN*)v(*BEGIN*) by (*BEGIN*)negate_invert(*END*).
done.
(* Esercizio 6
===========
- Dimostrare che per ogni formula `F`, `(negae F)` equivale a
+ Dimostrare che per ogni formula `F`, `(negate F)` equivale a
dualizzarla e negarla.
*)
lemma not_dualize_eq_negate:
the thesis becomes
(min [[ negate f ]]_v [[ negate f1 ]]_v=[[ FNot (dualize (FAnd f f1)) ]]_v).
conclude
- (min [[ negate f ]]_v [[ negate f1 ]]_v)
- = (min [[ FNot (dualize f) ]]_v [[ negate f1 ]]_v) by H.
- = (min [[ FNot (dualize f) ]]_v [[ FNot (dualize f1) ]]_v) by H1.
+ (min (*BEGIN*)[[ negate f ]]_v(*END*) (*BEGIN*)[[ negate f1 ]]_v(*END*))
+ = (min (*BEGIN*)[[ FNot (dualize f) ]]_v(*END*) (*BEGIN*)[[ negate f1 ]]_v(*END*)) by H.
+ = (min (*BEGIN*)[[ FNot (dualize f) ]]_v(*END*) (*BEGIN*)[[ FNot (dualize f1) ]]_v(*END*)) by H1.
= (min (1 - [[ dualize f ]]_v) (1 - [[ dualize f1 ]]_v)).
= (1 - (max [[ dualize f ]]_v [[ dualize f1 ]]_v)) by min_max.
done.
the thesis becomes (∀v:ℕ→ℕ.[[ F ]]_v=[[ G ]]_v).
(*END*)
assume v:(ℕ→ℕ).
- by H we proved ([[ FNot F ]]_v=[[ FNot G ]]_v) (H1).
- by sem_bool we proved ([[ F ]]_v=O ∨ [[ F ]]_v=1) (H2).
- by (*BEGIN*)sem_bool(*END*) we proved ([[ G ]]_v=(*BEGIN*)O ∨ [[ G ]]_v=1(*END*)) (H3).
- we proceed by cases on H2 to prove ([[ F ]]_v=[[ G ]]_v).
- case Left.
- we proceed by cases on H3 to prove ([[ F ]]_v=[[ G ]]_v).
- case Left.
- done.
- case Right.
- conclude
- ([[ F ]]_v)
- = 0 by H4;
- = (1 - 1).
- = (1 - [[G]]_v) by H5.
- = [[ FNot G ]]_v.
- = [[ FNot F ]]_v by H1.
- = (1 - [[F]]_v).
- = (1 - 0) by H4.
- = 1.
- done.
- case Right.
- (*BEGIN*)
- we proceed by cases on H3 to prove ([[ F ]]_v=[[ G ]]_v).
- case Left.
- conclude
- ([[ F ]]_v)
- = 1 by H4;
- = (1 - 0).
- = (1 - [[G]]_v) by H5.
- = [[ FNot G ]]_v.
- = [[ FNot F ]]_v by H1.
- = (1 - [[F]]_v).
- = (1 - 1) by H4.
- = 0.
- done.
- case Right.
- (*END*)
- done.
+ by sem_le_1 we proved ([[F]]_v ≤ 1) (H1).
+ by (*BEGIN*)sem_le_1(*END*) we proved ([[G]]_v ≤ 1) (H2).
+ by min_1_1, H1 we proved (1 - (1 - [[F]]_v) = [[F]]_v) (H3).
+ by (*BEGIN*)min_1_1, H2(*END*) we proved ((*BEGIN*)1 - (1 - [[G]]_v)(*END*) = [[G]]_v) (H4).
+ conclude
+ ([[F]]_v)
+ = (1 - (1 - [[F]]_v)) by (*BEGIN*)H3(*END*).
+ = (1 - [[(*BEGIN*)FNot F(*END*)]]_v).
+ = (1 - [[ FNot G]]_v) by H.
+ = (1 - (*BEGIN*)(1 - [[G]]_v)(*END*)).
+ = [[G]]_v by (*BEGIN*)H4(*END*).
+ done.
qed.
(*DOCBEGIN
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