usare l'editor gedit che offre la funzionalità di stampa
*)
+(*DOCBEGIN
+
+Il teorema di dualità
+=====================
+
+Il teorema di dualizzazione dice che date due formule `F1` ed `F2`,
+se le due formule sono equivalenti (`F1 ≡ F2`) allora anche le
+loro dualizzate lo sono (`dualize F1 ≡ dualize F2`).
+
+L'ingrediente principale è la funzione di dualizzazione di una formula `F`:
+
+ * Scambia FTop con FBot e viceversa
+
+ * Scambia il connettivo FAnd con FOr e viceversa
+
+ * Sostituisce il connettivo FImpl con FAnd e nega la
+ prima sottoformula.
+
+ Ad esempio la formula `A → (B ∧ ⊥)` viene dualizzata in
+ `¬A ∧ (B ∨ ⊤)`.
+
+Per dimostrare il teorema di dualizzazione in modo agevole è necessario
+definire altre nozioni:
+
+* La funzione `negate` che presa una formula `F` ne nega gli atomi.
+ Ad esempio la formula `(A ∨ (⊤ → B))` deve diventare `¬A ∨ (⊤ → ¬B)`.
+
+* La funzione `invert` permette di invertire un mondo `v`.
+ Ovvero, per ogni indice di atomo `i`, se `v i` restituisce
+ `1` allora `(invert v) i` restituisce `0` e viceversa.
+
+DOCEND*)
+
(* ATTENZIONE
==========
esercitazione in modo che valga solo 0 oppure 1 nel caso degli
atomi, anche nel caso il mondo `v` restituisca un numero
maggiore di 1.
+
+ Suggerimento: non è necessario usare il costrutto if_then_else
+ e tantomento il predicato di maggiore o uguale.
*)
-let rec sem (v: nat → nat) (F: Formula) on F ≝
+let rec sem (v: nat → nat) (F: Formula) on F : nat ≝
match F with
[ FBot ⇒ 0
| FTop ⇒ 1
*)
eval normalize on [[For (FAtom 0) (FAtom 2)]]_v20.
+(*DOCBEGIN
+
+La libreria di Matita
+=====================
+
+Gli strumenti per la dimostrazione assistita sono corredati da
+librerie di teoremi già dimostrati. Per portare a termine l'esercitazione
+sono necessari i seguenti lemmi:
+
+* lemma `sem_bool` : `∀F,v. [[ F ]]_v = 0 ∨ [[ F ]]_v = 1`
+* lemma `min_bool` : `∀n. min n 1 = 0 ∨ min n 1 = 1`
+* lemma `min_max` : `∀F,G,v.min (1 - [[F]]_v) (1 - [[G]]_v) = 1 - max [[F]]_v [[G]]_v`
+* lemma `max_min` : `∀F,G,v.max (1 - [[F]]_v) (1 - [[G]]_v) = 1 - min [[F]]_v [[G]]_v`
+* lemma `equiv_rewrite` : `∀F1,F2,F3. F1 ≡ F2 → F1 ≡ F3 → F2 ≡ F3`
+
+DOCEND*)
(* ATTENZIONE
==========
Non modificare quanto segue.
*)
-lemma sem_bool : ∀F,v. [[ F ]]_v = 0 ∨ [[ F ]]_v = 1.
-intros; elim F; simplify;
-[left;reflexivity;
-|right;reflexivity;
-|cases (v n);[left;|cases n1;right;]reflexivity;
-|4,5,6: cases H; cases H1; rewrite > H2; rewrite > H3; simplify;
- first [ left;reflexivity | right; reflexivity ].
-|cases H; rewrite > H1; simplify;[right|left]reflexivity;]
-qed.
-lemma min_bool : ∀n. min n 1 = 0 ∨ min n 1 = 1.
-intros; cases n; [left;reflexivity] cases n1; right; reflexivity;
-qed.
-lemma min_max : ∀F,G,v.
- min (1 - [[F]]_v) (1 - [[G]]_v) = 1 - max [[F]]_v [[G]]_v.
-intros; cases (sem_bool F v);cases (sem_bool G v); rewrite > H; rewrite >H1;
-simplify; reflexivity;
-qed.
-lemma max_min : ∀F,G,v.
- max (1 - [[F]]_v) (1 - [[G]]_v) = 1 - min [[F]]_v [[G]]_v.
-intros; cases (sem_bool F v);cases (sem_bool G v); rewrite > H; rewrite >H1;
-simplify; reflexivity;
-qed.
+lemma sem_bool : ∀F,v. [[ F ]]_v = 0 ∨ [[ F ]]_v = 1. intros; elim F; simplify; [left;reflexivity; |right;reflexivity; |cases (v n);[left;|cases n1;right;]reflexivity; |4,5,6: cases H; cases H1; rewrite > H2; rewrite > H3; simplify; first [ left;reflexivity | right; reflexivity ]. |cases H; rewrite > H1; simplify;[right|left]reflexivity;] qed.
+lemma min_bool : ∀n. min n 1 = 0 ∨ min n 1 = 1. intros; cases n; [left;reflexivity] cases n1; right; reflexivity; qed.
+lemma min_max : ∀F,G,v. min (1 - [[F]]_v) (1 - [[G]]_v) = 1 - max [[F]]_v [[G]]_v. intros; cases (sem_bool F v);cases (sem_bool G v); rewrite > H; rewrite >H1; simplify; reflexivity; qed.
+lemma max_min : ∀F,G,v. max (1 - [[F]]_v) (1 - [[G]]_v) = 1 - min [[F]]_v [[G]]_v. intros; cases (sem_bool F v);cases (sem_bool G v); rewrite > H; rewrite >H1; simplify; reflexivity; qed.
(* Esercizio 2
===========
Ad esempio la formula `(A ∨ (⊤ → B))` deve diventare
`¬A ∨ (⊤ → ¬B)`.
*)
-let rec negate (F: Formula) on F ≝
+let rec negate (F: Formula) on F : Formula ≝
match F with
- [ FBot ⇒ FBot
+ [ (*BEGIN*)FBot ⇒ FBot
| FTop ⇒ FTop
| FAtom n ⇒ FNot (FAtom n)
| FAnd F1 F2 ⇒ FAnd (negate F1) (negate F2)
| FOr F1 F2 ⇒ FOr (negate F1) (negate F2)
| FImpl F1 F2 ⇒ FImpl (negate F1) (negate F2)
- | FNot F ⇒ FNot (negate F)
+ | FNot F ⇒ FNot (negate F)(*END*)
].
(* Test 2
Definire per ricorsione strutturale la funzione di
dualizzazione di una formula `F`. Tale funzione:
- * Sambia FTop con FBot e viceversa
+ * Scambia FTop con FBot e viceversa
* Scambia il connettivo FAnd con FOr e viceversa
*)
let rec dualize (F : Formula) on F : Formula ≝
match F with
- [ FBot ⇒ FTop
+ [ (*BEGIN*)FBot ⇒ FTop
| FTop ⇒ FBot
| FAtom n ⇒ FAtom n
| FAnd F1 F2 ⇒ FOr (dualize F1) (dualize F2)
| FOr F1 F2 ⇒ FAnd (dualize F1) (dualize F2)
| FImpl F1 F2 ⇒ FAnd (FNot (dualize F1)) (dualize F2)
- | FNot F ⇒ FNot (dualize F)
+ | FNot F ⇒ FNot (dualize F)(*END*)
].
(* Test 3
La funzione `invert` permette di invertire un mondo `v`.
Ovvero, per ogni indice di atomo `i`, se `v i` restituisce
`1` allora `(invert v) i` restituisce `0` e viceversa.
+
*)
definition invert ≝
λv:ℕ -> ℕ. λx. if eqb (min (v x) 1) 0 then 1 else 0.
* `symmetry`
Quando la conclusuine è `a = b` permette di cambiarla in `b = a`.
+
+* by H1, H2 we proved P (H)
+
+ Il comando `by ... we proved` visto nella scorsa esercitazione
+ permette di utilizzare più ipotesi o lemmi alla volta
+ separandoli con una virgola.
DOCEND*)
assume F:Formula.
assume v:(ℕ→ℕ).
we proceed by induction on F to prove ([[ negate F ]]_v=[[ F ]]_(invert v)).
- case FBot .
+ case FBot.
+ (*BEGIN*)
the thesis becomes ([[ negate FBot ]]_v=[[ FBot ]]_(invert v)).
+ (*END*)
done.
- case FTop .
+ case FTop.
+ (*BEGIN*)
the thesis becomes ([[ negate FTop ]]_v=[[ FTop ]]_(invert v)).
+ (*END*)
done.
case FAtom.
assume n : ℕ.
the thesis becomes ([[ negate (FAtom n) ]]_v=[[ FAtom n ]]_(invert v)).
the thesis becomes (1 - (min (v n) 1)= min (invert v n) 1).
the thesis becomes (1 - (min (v n) 1)= min (if eqb (min (v n) 1) 0 then 1 else 0) 1).
- by min_bool we proved (min (v n) 1 = 0 ∨ min (v n) 1 = 1) (H1);
+ by min_bool we proved ((*BEGIN*)min (v n) 1 = 0 ∨ min (v n) 1 = 1(*END*)) (H1);
we proceed by cases on (H1) to prove (1 - (min (v n) 1)= min (if eqb (min (v n) 1) 0 then 1 else 0) 1).
case Left.
conclude
= 1.
done.
case Right.
+ (*BEGIN*)
conclude
(1 - (min (v n) 1))
= (1 - 1) by H.
= (min (if eqb 1 0 then 1 else O) 1) by H.
= (min 0 1).
= 0.
+ (*END*)
done.
case FAnd.
assume f : Formula.
conclude
(min [[ negate f ]]_v [[ negate f1]]_v)
= (min [[ f ]]_(invert v) [[ negate f1]]_v) by H.
- = (min [[ f ]]_(invert v) [[ f1]]_(invert v)) by H1.
+ = (min [[ f ]]_(invert v) [[ f1]]_(invert v)) by (*BEGIN*)H1(*END*).
done.
case FOr.
+ (*BEGIN*)
assume f : Formula.
by induction hypothesis we know
([[ negate f ]]_v=[[ f ]]_(invert v)) (H).
(max [[ negate f ]]_v [[ negate f1]]_v)
= (max [[ f ]]_(invert v) [[ negate f1]]_v) by H.
= (max [[ f ]]_(invert v) [[ f1]]_(invert v)) by H1.
+ (*END*)
done.
case FImpl.
+ (*BEGIN*)
assume f : Formula.
by induction hypothesis we know
([[ negate f ]]_v=[[ f ]]_(invert v)) (H).
(max (1 - [[ negate f ]]_v) [[ negate f1]]_v)
= (max (1 - [[ f ]]_(invert v)) [[ negate f1]]_v) by H.
= (max (1 - [[ f ]]_(invert v)) [[ f1]]_(invert v)) by H1.
+ (*END*)
done.
case FNot.
+ (*BEGIN*)
assume f : Formula.
by induction hypothesis we know
([[ negate f ]]_v=[[ f ]]_(invert v)) (H).
- the thesis becomes
- ([[ negate (FNot f) ]]_v=[[ FNot f ]]_(invert v)).
- the thesis becomes
- (1 - [[ negate f ]]_v=[[ FNot f ]]_(invert v)).
- conclude (1 - [[ negate f ]]_v) = (1 - [[f]]_(invert v)) by H.
- done.
+ the thesis becomes
+ ([[ negate (FNot f) ]]_v=[[ FNot f ]]_(invert v)).
+ the thesis becomes
+ (1 - [[ negate f ]]_v=[[ FNot f ]]_(invert v)).
+ conclude (1 - [[ negate f ]]_v) = (1 - [[f]]_(invert v)) by H.
+ (*END*)
+ done.
qed.
(* Esercizio 5
*)
lemma negate_fun:
∀F:Formula.∀G:Formula.F ≡ G→negate F ≡ negate G.
+ (*BEGIN*)
assume F:Formula.
assume G:Formula.
suppose (F ≡ G) (H).
the thesis becomes (negate F ≡ negate G).
the thesis becomes (∀v:ℕ→ℕ.[[ negate F ]]_v=[[ negate G ]]_v).
+ (*END*)
assume v:(ℕ→ℕ).
conclude
[[ negate F ]]_v
= [[ F ]]_(invert v) by negate_invert.
- = [[ G ]]_(invert v) by H.
- = [[ negate G ]]_v by negate_invert.
+ = [[ G ]]_((*BEGIN*)invert v(*BEGIN*)) by (*BEGIN*)H(*BEGIN*).
+ = [[ negate G ]]_(*BEGIN*)v(*BEGIN*) by (*BEGIN*)negate_invert(*END*).
done.
qed.
*)
lemma not_dualize_eq_negate:
∀F:Formula.negate F ≡ FNot (dualize F).
+ (*BEGIN*)
assume F:Formula.
the thesis becomes (∀v:ℕ→ℕ.[[negate F]]_v=[[FNot (dualize F)]]_v).
+ (*END*)
assume v:(ℕ→ℕ).
we proceed by induction on F to prove ([[negate F]]_v=[[FNot (dualize F)]]_v).
- case FBot .
+ case FBot.
+ (*BEGIN*)
the thesis becomes ([[ negate FBot ]]_v=[[ FNot (dualize FBot) ]]_v).
+ (*END*)
done.
- case FTop .
+ case FTop.
+ (*BEGIN*)
the thesis becomes ([[ negate FTop ]]_v=[[ FNot (dualize FTop) ]]_v).
+ (*END*)
done.
case FAtom.
+ (*BEGIN*)
assume n : ℕ.
the thesis becomes ([[ negate (FAtom n) ]]_v=[[ FNot (dualize (FAtom n)) ]]_v).
+ (*END*)
done.
case FAnd.
assume f : Formula.
= (1 - (max [[ dualize f ]]_v [[ dualize f1 ]]_v)) by min_max.
done.
case FOr.
+ (*BEGIN*)
assume f : Formula.
by induction hypothesis we know
([[ negate f ]]_v=[[ FNot (dualize f) ]]_v) (H).
= (max [[ FNot (dualize f) ]]_v [[ FNot (dualize f1) ]]_v) by H1.
= (max (1 - [[ dualize f ]]_v) (1 - [[ dualize f1 ]]_v)).
= (1 - (min [[ dualize f ]]_v [[ dualize f1 ]]_v)) by max_min.
+ (*END*)
done.
case FImpl.
+ (*BEGIN*)
assume f : Formula.
by induction hypothesis we know
([[ negate f ]]_v=[[ FNot (dualize f) ]]_v) (H).
= (max (1-[[ FNot (dualize f) ]]_v) [[ FNot (dualize f1) ]]_v) by H1.
= (max (1 - [[ FNot (dualize f) ]]_v) (1 - [[ dualize f1 ]]_v)).
= (1 - (min [[ FNot (dualize f) ]]_v [[ dualize f1 ]]_v)) by max_min.
+ (*END*)
done.
- case FNot.
+ case FNot.
+ (*BEGIN*)
assume f : Formula.
by induction hypothesis we know
([[ negate f ]]_v=[[ FNot (dualize f) ]]_v) (H).
the thesis becomes
(1 - [[ negate f ]]_v=[[ FNot (dualize (FNot f)) ]]_v).
conclude (1 - [[ negate f ]]_v) = (1 - [[ FNot (dualize f) ]]_v) by H.
+ (*END*)
done.
qed.
Dimostrare che la negazione è iniettiva
*)
theorem not_inj:
- ∀F:Formula.∀G:Formula.FNot F ≡ FNot G→F ≡ G.
+ ∀F,G:Formula.FNot F ≡ FNot G→F ≡ G.
+ (*BEGIN*)
assume F:Formula.
assume G:Formula.
suppose (FNot F ≡ FNot G) (H).
the thesis becomes (F ≡ G).
the thesis becomes (∀v:ℕ→ℕ.[[ F ]]_v=[[ G ]]_v).
+ (*END*)
assume v:(ℕ→ℕ).
by H we proved ([[ FNot F ]]_v=[[ FNot G ]]_v) (H1).
- by sem_bool we proved ([[ F ]]_v=O∨[[ F ]]_v=1) (H2).
- by sem_bool we proved ([[ G ]]_v=O∨[[ G ]]_v=1) (H3).
+ by sem_bool we proved ([[ F ]]_v=O ∨ [[ F ]]_v=1) (H2).
+ by (*BEGIN*)sem_bool(*END*) we proved ([[ G ]]_v=(*BEGIN*)O ∨ [[ G ]]_v=1(*END*)) (H3).
we proceed by cases on H2 to prove ([[ F ]]_v=[[ G ]]_v).
case Left.
we proceed by cases on H3 to prove ([[ F ]]_v=[[ G ]]_v).
= 1.
done.
case Right.
+ (*BEGIN*)
we proceed by cases on H3 to prove ([[ F ]]_v=[[ G ]]_v).
case Left.
conclude
= 0.
done.
case Right.
- done.
+ (*END*)
+ done.
qed.
+(*DOCBEGIN
+
+La prova del teorema di dualità
+===============================
+
+Il teorema di dualità accennato a lezione dice che se due formule
+`F1` ed `F2` sono equivalenti, allora anche le formule duali lo sono.
+
+ ∀F1,F2:Formula. F1 ≡ F2 → dualize F1 ≡ dualize F2.
+
+Per dimostrare tale teorema è bene suddividere la prova in lemmi intermedi
+
+1. lemma `negate_invert`, dimostrato per induzione su F, utilizzando
+ `min_bool`
+
+ ∀F:Formula.∀v:ℕ→ℕ.[[ negate F ]]_v=[[ F ]]_(invert v).
+
+2. lemma `negate_fun`, conseguenza di `negate_invert`
+
+ ∀F,G:Formula. F ≡ G → negate F ≡ negate G.
+
+2. lemma `not_dualize_eq_negate`, dimostrato per induzione su F,
+ utilizzando `max_min` e `min_max`
+
+ ∀F:Formula. negate F ≡ FNot (dualize F)
+
+4. lemma `not_inj`, conseguenza di `sem_bool`
+
+ ∀F,G:Formula. FNot F ≡ FNot G → F ≡ G
+
+Una volta dimostrati tali lemmi la prova del teorema di dualità
+procede come di seguito:
+
+1. Assume l'ipotesi
+
+ F1 ≡ F2
+
+2. Utilizza `negate_fun` per ottenere
+
+ negate F1 ≡ negate F2
+
+3. Utilizzando due volte il lemma `not_dualize_eq_negate` e il lemma
+ `equiv_rewrite` ottiene
+
+ FNot (dualize F1) ≡ FNot (dualize F2)
+
+4. Conclude utilizzando il lemma `not_inj` per ottenere la tesi
+
+ dualize F1 ≡ dualize F2
+
+DOCEND*)
+
(* Esercizio 8
===========
Dimostrare il teorema di dualità
*)
-theorem duality:
- ∀F1:Formula.∀F2:Formula.F1 ≡ F2 → dualize F1 ≡ dualize F2.
+theorem duality: ∀F1,F2:Formula.F1 ≡ F2 → dualize F1 ≡ dualize F2.
assume F1:Formula.
assume F2:Formula.
suppose (F1 ≡ F2) (H).
the thesis becomes (dualize F1 ≡ dualize F2).
- by negate_fun we proved (negate F1 ≡ negate F2) (H1).
- by not_dualize_eq_negate, equiv_rewrite we proved (FNot (dualize F1) ≡ negate F2) (H2).
- by not_dualize_eq_negate, equiv_rewrite we proved (FNot (dualize F1) ≡ FNot (dualize F2)) (H3).
- by not_inj we proved (dualize F1 ≡ dualize F2) (H4).
+ by (*BEGIN*)negate_fun(*END*) we proved (negate F1 ≡ negate F2) (H1).
+ by (*BEGIN*)not_dualize_eq_negate(*END*), (*BEGIN*)equiv_rewrite(*END*), H1 we proved (FNot (dualize F1) ≡ negate F2) (H2).
+ by (*BEGIN*)not_dualize_eq_negate(*END*), (*BEGIN*)equiv_rewrite(*END*), H2 we proved (FNot (dualize F1) ≡ FNot (dualize F2)) (H3).
+ by (*BEGIN*)not_inj(*END*), H3 we proved (dualize F1 ≡ dualize F2) (H4).
done.
-qed.
\ No newline at end of file
+qed.
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