-
+(* Esercitazione di logica 29/10/2008. *)
+
+(* Esercizio 0
+ ===========
+
+ Compilare i seguenti campi:
+
+ Nome1: ...
+ Cognome1: ...
+ Matricola1: ...
+ Account1: ...
+
+ Nome2: ...
+ Cognome2: ...
+ Matricola2: ...
+ Account2: ...
+
+ Prima di abbandonare la postazione:
+
+ * salvare il file (menu `File ▹ Save as ...`) nella directory (cartella)
+ /public/ con nome linguaggi_Account1.ma, ad esempio Mario Rossi, il cui
+ account è mrossi, deve salvare il file in /public/linguaggi_mrossi.ma
+
+ * mandatevi via email o stampate il file. Per stampare potete usare
+ usare l'editor gedit che offre la funzionalità di stampa
+*)
+
+(*DOCBEGIN
+
+Il teorema di dualità
+=====================
+
+Il teorema di dualizzazione dice che date due formule `F1` ed `F2`,
+se le due formule sono equivalenti (`F1 ≡ F2`) allora anche le
+loro dualizzate lo sono (`dualize F1 ≡ dualize F2`).
+
+L'ingrediente principale è la funzione di dualizzazione di una formula `F`:
+
+ * Scambia FTop con FBot e viceversa
+
+ * Scambia il connettivo FAnd con FOr e viceversa
+
+ * Sostituisce il connettivo FImpl con FAnd e nega la
+ prima sottoformula.
+
+ Ad esempio la formula `A → (B ∧ ⊥)` viene dualizzata in
+ `¬A ∧ (B ∨ ⊤)`.
+
+Per dimostrare il teorema di dualizzazione in modo agevole è necessario
+definire altre nozioni:
+
+* La funzione `negate` che presa una formula `F` ne nega gli atomi.
+ Ad esempio la formula `(A ∨ (⊤ → B))` deve diventare `¬A ∨ (⊤ → ¬B)`.
+
+* La funzione `invert` permette di invertire un mondo `v`.
+ Ovvero, per ogni indice di atomo `i`, se `v i` restituisce
+ `1` allora `(invert v) i` restituisce `0` e viceversa.
+
+DOCEND*)
+
+(* ATTENZIONE
+ ==========
+
+ Non modificare quanto segue
+*)
include "nat/minus.ma".
-definition max : nat → nat → nat ≝ λa,b:nat.let rec max n m on n ≝ match n with [ O ⇒ b | S n ⇒ match m with [ O ⇒ a | S m ⇒ max n m]] in max a b.
-definition min : nat → nat → nat ≝ λa,b:nat.let rec min n m on n ≝ match n with [ O ⇒ a | S n ⇒ match m with [ O ⇒ b | S m ⇒ min n m]] in min a b.
-
-
-
+definition if_then_else ≝ λT:Type.λe,t,f.match e return λ_.T with [ true ⇒ t | false ⇒ f].
+notation > "'if' term 19 e 'then' term 19 t 'else' term 90 f" non associative with precedence 19 for @{ 'if_then_else $e $t $f }.
+notation < "'if' \nbsp term 19 e \nbsp 'then' \nbsp term 19 t \nbsp 'else' \nbsp term 90 f \nbsp" non associative with precedence 19 for @{ 'if_then_else $e $t $f }.
+interpretation "Formula if_then_else" 'if_then_else e t f = (if_then_else _ e t f).
+definition max ≝ λn,m. if eqb (n - m) 0 then m else n.
+definition min ≝ λn,m. if eqb (n - m) 0 then n else m.
+
+(* Ripasso
+ =======
+
+ Il linguaggio delle formule, dove gli atomi sono
+ rapperesentati da un numero naturale
+*)
inductive Formula : Type ≝
| FBot: Formula
-| FTop: (*BEGIN*)Formula(*END*)
-| FAtom: nat → Formula (* usiamo i naturali al posto delle lettere *)
+| FTop: Formula
+| FAtom: nat → Formula
| FAnd: Formula → Formula → Formula
-| FOr: (*BEGIN*)Formula → Formula → Formula(*END*)
-| FImpl: (*BEGIN*)Formula → Formula → Formula(*END*)
-| FNot: (*BEGIN*)Formula → Formula(*END*)
+| FOr: Formula → Formula → Formula
+| FImpl: Formula → Formula → Formula
+| FNot: Formula → Formula
.
-
-
-let rec sem (v: nat → nat) (F: Formula) on F ≝
+(* Esercizio 1
+ ===========
+
+ Modificare la funzione `sem` scritta nella precedente
+ esercitazione in modo che valga solo 0 oppure 1 nel caso degli
+ atomi, anche nel caso il mondo `v` restituisca un numero
+ maggiore di 1.
+
+ Suggerimento: non è necessario usare il costrutto if_then_else
+ e tantomento il predicato di maggiore o uguale.
+*)
+let rec sem (v: nat → nat) (F: Formula) on F : nat ≝
match F with
[ FBot ⇒ 0
- | FTop ⇒ (*BEGIN*)1(*END*)
- (*BEGIN*)
- | FAtom n ⇒ v n
- (*END*)
- | FAnd F1 F2 ⇒ (*BEGIN*)min (sem v F1) (sem v F2)(*END*)
- (*BEGIN*)
+ | FTop ⇒ 1
+ | FAtom n ⇒ (*BEGIN*)min (v n) 1(*END*)
+ | FAnd F1 F2 ⇒ min (sem v F1) (sem v F2)
| FOr F1 F2 ⇒ max (sem v F1) (sem v F2)
| FImpl F1 F2 ⇒ max (1 - sem v F1) (sem v F2)
- (*END*)
| FNot F1 ⇒ 1 - (sem v F1)
]
.
-
-definition if_then_else ≝ λT:Type.λe,t,f.match e return λ_.T with [ true ⇒ t | false ⇒ f].
-notation > "'if' term 19 e 'then' term 19 t 'else' term 90 f" non associative with precedence 90 for @{ 'if_then_else $e $t $f }.
-notation < "'if' \nbsp term 19 e \nbsp 'then' \nbsp term 19 t \nbsp 'else' \nbsp term 90 f \nbsp" non associative with precedence 90 for @{ 'if_then_else $e $t $f }.
-interpretation "Formula if_then_else" 'if_then_else e t f = (if_then_else _ e t f).
+(* ATTENZIONE
+ ==========
+
+ Non modificare quanto segue.
+*)
notation < "[[ \nbsp term 19 a \nbsp ]] \nbsp \sub term 90 v" non associative with precedence 90 for @{ 'semantics $v $a }.
notation > "[[ term 19 a ]] \sub term 90 v" non associative with precedence 90 for @{ 'semantics $v $a }.
notation > "[[ term 19 a ]]_ term 90 v" non associative with precedence 90 for @{ sem $v $a }.
interpretation "Semantic of Formula" 'semantics v a = (sem v a).
-
-let rec subst (F: Formula) on F ≝
+definition v20 ≝ λx.
+ if eqb x 0 then 2
+ else if eqb x 1 then 1
+ else 0.
+
+(* Test 1
+ ======
+
+ La semantica della formula `(A ∨ C)` nel mondo `v20` in cui
+ `A` vale `2` e `C` vale `0` deve valere `1`.
+
+*)
+eval normalize on [[For (FAtom 0) (FAtom 2)]]_v20.
+
+(*DOCBEGIN
+
+La libreria di Matita
+=====================
+
+Gli strumenti per la dimostrazione assistita sono corredati da
+librerie di teoremi già dimostrati. Per portare a termine l'esercitazione
+sono necessari i seguenti lemmi:
+
+* lemma `sem_bool` : `∀F,v. [[ F ]]_v = 0 ∨ [[ F ]]_v = 1`
+* lemma `min_bool` : `∀n. min n 1 = 0 ∨ min n 1 = 1`
+* lemma `min_max` : `∀F,G,v.min (1 - [[F]]_v) (1 - [[G]]_v) = 1 - max [[F]]_v [[G]]_v`
+* lemma `max_min` : `∀F,G,v.max (1 - [[F]]_v) (1 - [[G]]_v) = 1 - min [[F]]_v [[G]]_v`
+* lemma `equiv_rewrite` : `∀F1,F2,F3. F1 ≡ F2 → F1 ≡ F3 → F2 ≡ F3`
+
+DOCEND*)
+
+(* ATTENZIONE
+ ==========
+
+ Non modificare quanto segue.
+*)
+lemma sem_bool : ∀F,v. [[ F ]]_v = 0 ∨ [[ F ]]_v = 1. intros; elim F; simplify; [left;reflexivity; |right;reflexivity; |cases (v n);[left;|cases n1;right;]reflexivity; |4,5,6: cases H; cases H1; rewrite > H2; rewrite > H3; simplify; first [ left;reflexivity | right; reflexivity ]. |cases H; rewrite > H1; simplify;[right|left]reflexivity;] qed.
+lemma min_bool : ∀n. min n 1 = 0 ∨ min n 1 = 1. intros; cases n; [left;reflexivity] cases n1; right; reflexivity; qed.
+lemma min_max : ∀F,G,v. min (1 - [[F]]_v) (1 - [[G]]_v) = 1 - max [[F]]_v [[G]]_v. intros; cases (sem_bool F v);cases (sem_bool G v); rewrite > H; rewrite >H1; simplify; reflexivity; qed.
+lemma max_min : ∀F,G,v. max (1 - [[F]]_v) (1 - [[G]]_v) = 1 - min [[F]]_v [[G]]_v. intros; cases (sem_bool F v);cases (sem_bool G v); rewrite > H; rewrite >H1; simplify; reflexivity; qed.
+
+(* Esercizio 2
+ ===========
+
+ Definire per ricorsione strutturale la funzione `negate`
+ che presa una formula `F` ne nega gli atomi.
+
+ Ad esempio la formula `(A ∨ (⊤ → B))` deve diventare
+ `¬A ∨ (⊤ → ¬B)`.
+*)
+let rec negate (F: Formula) on F : Formula ≝
match F with
- [ FBot ⇒ FBot
+ [ (*BEGIN*)FBot ⇒ FBot
| FTop ⇒ FTop
| FAtom n ⇒ FNot (FAtom n)
- | FAnd F1 F2 ⇒ FAnd (subst F1) (subst F2)
- | FOr F1 F2 ⇒ FOr (subst F1) (subst F2)
- | FImpl F1 F2 ⇒ FImpl (subst F1) (subst F2)
- | FNot F ⇒ FNot (subst F)
+ | FAnd F1 F2 ⇒ FAnd (negate F1) (negate F2)
+ | FOr F1 F2 ⇒ FOr (negate F1) (negate F2)
+ | FImpl F1 F2 ⇒ FImpl (negate F1) (negate F2)
+ | FNot F ⇒ FNot (negate F)(*END*)
].
-
+(* Test 2
+ ======
+
+ Testare la funzione `negate`. Il risultato atteso è:
+
+ FOr (FNot (FAtom O)) (FImpl FTop (FNot (FAtom 1)))
+*)
+
+eval normalize on (negate (FOr (FAtom 0) (FImpl FTop (FAtom 1)))).
+
+(* ATTENZIONE
+ ==========
+
+ Non modificare quanto segue
+*)
definition equiv ≝ λF1,F2. ∀v.[[ F1 ]]_v = [[ F2 ]]_v.
notation "hvbox(a \nbsp break mstyle color #0000ff (≡) \nbsp b)" non associative with precedence 45 for @{ 'equivF $a $b }.
notation > "a ≡ b" non associative with precedence 50 for @{ equiv $a $b }.
interpretation "equivalence for Formulas" 'equivF a b = (equiv a b).
-
+lemma equiv_rewrite : ∀F1,F2,F3. F1 ≡ F2 → F1 ≡ F3 → F2 ≡ F3. intros; intro; autobatch. qed.
+
+(* Esercizio 3
+ ===========
+
+ Definire per ricorsione strutturale la funzione di
+ dualizzazione di una formula `F`. Tale funzione:
+
+ * Scambia FTop con FBot e viceversa
+
+ * Scambia il connettivo FAnd con FOr e viceversa
+
+ * Sostituisce il connettivo FImpl con FAnd e nega la
+ prima sottoformula.
+
+ Ad esempio la formula `A → (B ∧ ⊥)` viene dualizzata in
+ `¬A ∧ (B ∨ ⊤)`.
+*)
let rec dualize (F : Formula) on F : Formula ≝
match F with
- [ FBot ⇒ FTop
+ [ (*BEGIN*)FBot ⇒ FTop
| FTop ⇒ FBot
| FAtom n ⇒ FAtom n
| FAnd F1 F2 ⇒ FOr (dualize F1) (dualize F2)
| FOr F1 F2 ⇒ FAnd (dualize F1) (dualize F2)
| FImpl F1 F2 ⇒ FAnd (FNot (dualize F1)) (dualize F2)
- | FNot F ⇒ FNot (dualize F)
+ | FNot F ⇒ FNot (dualize F)(*END*)
].
+(* Test 3
+ ======
+
+ Testare la funzione `dualize`. Il risultato atteso è:
+
+ FAnd (FNot (FAtom O)) (FOr (FAtom 1) FTop)
+*)
+
+eval normalize on (dualize (FImpl (FAtom 0) (FAnd (FAtom 1) FBot))).
+
+(* Spiegazione
+ ===========
+
+ La funzione `invert` permette di invertire un mondo `v`.
+ Ovvero, per ogni indice di atomo `i`, se `v i` restituisce
+ `1` allora `(invert v) i` restituisce `0` e viceversa.
+
+*)
+definition invert ≝
+ λv:ℕ -> ℕ. λx. if eqb (min (v x) 1) 0 then 1 else 0.
+
+interpretation "Inversione del mondo" 'invert v = (invert v).
+
+(*DOCBEGIN
+
+Il linguaggio di dimostrazione di Matita
+========================================
+
+Per dimostrare il lemma `negate_invert` in modo agevole è necessario
+utilizzare il seguente comando:
+
+* `symmetry`
+
+ Quando la conclusuine è `a = b` permette di cambiarla in `b = a`.
+
+* by H1, H2 we proved P (H)
+
+ Il comando `by ... we proved` visto nella scorsa esercitazione
+ permette di utilizzare più ipotesi o lemmi alla volta
+ separandoli con una virgola.
+
+DOCEND*)
+
+(* Esercizio 4
+ ===========
+
+ Dimostrare il lemma `negate_invert` che asserisce che
+ la semantica in un mondo `v` associato alla formula
+ negata di `F` e uguale alla semantica associata
+ a `F` in un mondo invertito.
+*)
+lemma negate_invert:
+ ∀F:Formula.∀v:ℕ→ℕ.[[ negate F ]]_v=[[ F ]]_(invert v).
+assume F:Formula.
+assume v:(ℕ→ℕ).
+we proceed by induction on F to prove ([[ negate F ]]_v=[[ F ]]_(invert v)).
+ case FBot.
+ (*BEGIN*)
+ the thesis becomes ([[ negate FBot ]]_v=[[ FBot ]]_(invert v)).
+ (*END*)
+ done.
+ case FTop.
+ (*BEGIN*)
+ the thesis becomes ([[ negate FTop ]]_v=[[ FTop ]]_(invert v)).
+ (*END*)
+ done.
+ case FAtom.
+ assume n : ℕ.
+ the thesis becomes ([[ negate (FAtom n) ]]_v=[[ FAtom n ]]_(invert v)).
+ the thesis becomes (1 - (min (v n) 1)= min (invert v n) 1).
+ the thesis becomes (1 - (min (v n) 1)= min (if eqb (min (v n) 1) 0 then 1 else 0) 1).
+ by min_bool we proved ((*BEGIN*)min (v n) 1 = 0 ∨ min (v n) 1 = 1(*END*)) (H1);
+ we proceed by cases on (H1) to prove (1 - (min (v n) 1)= min (if eqb (min (v n) 1) 0 then 1 else 0) 1).
+ case Left.
+ conclude
+ (1 - (min (v n) 1))
+ = (1 - 0) by H.
+ = 1.
+ symmetry.
+ conclude
+ (min (if eqb (min (v n) 1) O then 1 else O) 1)
+ = (min (if eqb 0 0 then 1 else O) 1) by H.
+ = (min 1 1).
+ = 1.
+ done.
+ case Right.
+ (*BEGIN*)
+ conclude
+ (1 - (min (v n) 1))
+ = (1 - 1) by H.
+ = 0.
+ symmetry.
+ conclude
+ (min (if eqb (min (v n) 1) O then 1 else O) 1)
+ = (min (if eqb 1 0 then 1 else O) 1) by H.
+ = (min 0 1).
+ = 0.
+ (*END*)
+ done.
+ case FAnd.
+ assume f : Formula.
+ by induction hypothesis we know
+ ([[ negate f ]]_v=[[ f ]]_(invert v)) (H).
+ assume f1 : Formula.
+ by induction hypothesis we know
+ ([[ negate f1 ]]_v=[[ f1 ]]_(invert v)) (H1).
+ the thesis becomes
+ ([[ negate (FAnd f f1) ]]_v=[[ FAnd f f1 ]]_(invert v)).
+ the thesis becomes
+ (min [[ negate f ]]_v [[ negate f1]]_v = [[ FAnd f f1 ]]_(invert v)).
+ conclude
+ (min [[ negate f ]]_v [[ negate f1]]_v)
+ = (min [[ f ]]_(invert v) [[ negate f1]]_v) by H.
+ = (min [[ f ]]_(invert v) [[ f1]]_(invert v)) by (*BEGIN*)H1(*END*).
+ done.
+ case FOr.
+ (*BEGIN*)
+ assume f : Formula.
+ by induction hypothesis we know
+ ([[ negate f ]]_v=[[ f ]]_(invert v)) (H).
+ assume f1 : Formula.
+ by induction hypothesis we know
+ ([[ negate f1 ]]_v=[[ f1 ]]_(invert v)) (H1).
+ the thesis becomes
+ ([[ negate (FOr f f1) ]]_v=[[ FOr f f1 ]]_(invert v)).
+ the thesis becomes
+ (max [[ negate f ]]_v [[ negate f1]]_v = [[ FOr f f1 ]]_(invert v)).
+ conclude
+ (max [[ negate f ]]_v [[ negate f1]]_v)
+ = (max [[ f ]]_(invert v) [[ negate f1]]_v) by H.
+ = (max [[ f ]]_(invert v) [[ f1]]_(invert v)) by H1.
+ (*END*)
+ done.
+ case FImpl.
+ (*BEGIN*)
+ assume f : Formula.
+ by induction hypothesis we know
+ ([[ negate f ]]_v=[[ f ]]_(invert v)) (H).
+ assume f1 : Formula.
+ by induction hypothesis we know
+ ([[ negate f1 ]]_v=[[ f1 ]]_(invert v)) (H1).
+ the thesis becomes
+ ([[ negate (FImpl f f1) ]]_v=[[ FImpl f f1 ]]_(invert v)).
+ the thesis becomes
+ (max (1 - [[ negate f ]]_v) [[ negate f1]]_v = [[ FImpl f f1 ]]_(invert v)).
+ conclude
+ (max (1 - [[ negate f ]]_v) [[ negate f1]]_v)
+ = (max (1 - [[ f ]]_(invert v)) [[ negate f1]]_v) by H.
+ = (max (1 - [[ f ]]_(invert v)) [[ f1]]_(invert v)) by H1.
+ (*END*)
+ done.
+ case FNot.
+ (*BEGIN*)
+ assume f : Formula.
+ by induction hypothesis we know
+ ([[ negate f ]]_v=[[ f ]]_(invert v)) (H).
+ the thesis becomes
+ ([[ negate (FNot f) ]]_v=[[ FNot f ]]_(invert v)).
+ the thesis becomes
+ (1 - [[ negate f ]]_v=[[ FNot f ]]_(invert v)).
+ conclude (1 - [[ negate f ]]_v) = (1 - [[f]]_(invert v)) by H.
+ (*END*)
+ done.
+qed.
+
+(* Esercizio 5
+ ===========
+
+ Dimostrare che la funzione negate rispetta l'equivalenza.
+*)
+lemma negate_fun:
+ ∀F:Formula.∀G:Formula.F ≡ G→negate F ≡ negate G.
+ (*BEGIN*)
+ assume F:Formula.
+ assume G:Formula.
+ suppose (F ≡ G) (H).
+ the thesis becomes (negate F ≡ negate G).
+ the thesis becomes (∀v:ℕ→ℕ.[[ negate F ]]_v=[[ negate G ]]_v).
+ (*END*)
+ assume v:(ℕ→ℕ).
+ conclude
+ [[ negate F ]]_v
+ = [[ F ]]_(invert v) by negate_invert.
+ = [[ G ]]_((*BEGIN*)invert v(*BEGIN*)) by (*BEGIN*)H(*BEGIN*).
+ = [[ negate G ]]_(*BEGIN*)v(*BEGIN*) by (*BEGIN*)negate_invert(*END*).
+ done.
+qed.
+
+(* Esercizio 6
+ ===========
+
+ Dimostrare che per ogni formula `F`, `(negae F)` equivale a
+ dualizzarla e negarla.
+*)
+lemma not_dualize_eq_negate:
+ ∀F:Formula.negate F ≡ FNot (dualize F).
+ (*BEGIN*)
+ assume F:Formula.
+ the thesis becomes (∀v:ℕ→ℕ.[[negate F]]_v=[[FNot (dualize F)]]_v).
+ (*END*)
+ assume v:(ℕ→ℕ).
+ we proceed by induction on F to prove ([[negate F]]_v=[[FNot (dualize F)]]_v).
+ case FBot.
+ (*BEGIN*)
+ the thesis becomes ([[ negate FBot ]]_v=[[ FNot (dualize FBot) ]]_v).
+ (*END*)
+ done.
+ case FTop.
+ (*BEGIN*)
+ the thesis becomes ([[ negate FTop ]]_v=[[ FNot (dualize FTop) ]]_v).
+ (*END*)
+ done.
+ case FAtom.
+ (*BEGIN*)
+ assume n : ℕ.
+ the thesis becomes ([[ negate (FAtom n) ]]_v=[[ FNot (dualize (FAtom n)) ]]_v).
+ (*END*)
+ done.
+ case FAnd.
+ assume f : Formula.
+ by induction hypothesis we know
+ ([[ negate f ]]_v=[[ FNot (dualize f) ]]_v) (H).
+ assume f1 : Formula.
+ by induction hypothesis we know
+ ([[ negate f1 ]]_v=[[ FNot (dualize f1) ]]_v) (H1).
+ the thesis becomes
+ ([[ negate (FAnd f f1) ]]_v=[[ FNot (dualize (FAnd f f1)) ]]_v).
+ the thesis becomes
+ (min [[ negate f ]]_v [[ negate f1 ]]_v=[[ FNot (dualize (FAnd f f1)) ]]_v).
+ conclude
+ (min [[ negate f ]]_v [[ negate f1 ]]_v)
+ = (min [[ FNot (dualize f) ]]_v [[ negate f1 ]]_v) by H.
+ = (min [[ FNot (dualize f) ]]_v [[ FNot (dualize f1) ]]_v) by H1.
+ = (min (1 - [[ dualize f ]]_v) (1 - [[ dualize f1 ]]_v)).
+ = (1 - (max [[ dualize f ]]_v [[ dualize f1 ]]_v)) by min_max.
+ done.
+ case FOr.
+ (*BEGIN*)
+ assume f : Formula.
+ by induction hypothesis we know
+ ([[ negate f ]]_v=[[ FNot (dualize f) ]]_v) (H).
+ assume f1 : Formula.
+ by induction hypothesis we know
+ ([[ negate f1 ]]_v=[[ FNot (dualize f1) ]]_v) (H1).
+ the thesis becomes
+ ([[ negate (FOr f f1) ]]_v=[[ FNot (dualize (FOr f f1)) ]]_v).
+ the thesis becomes
+ (max [[ negate f ]]_v [[ negate f1 ]]_v=[[ FNot (dualize (FOr f f1)) ]]_v).
+ conclude
+ (max [[ negate f ]]_v [[ negate f1 ]]_v)
+ = (max [[ FNot (dualize f) ]]_v [[ negate f1 ]]_v) by H.
+ = (max [[ FNot (dualize f) ]]_v [[ FNot (dualize f1) ]]_v) by H1.
+ = (max (1 - [[ dualize f ]]_v) (1 - [[ dualize f1 ]]_v)).
+ = (1 - (min [[ dualize f ]]_v [[ dualize f1 ]]_v)) by max_min.
+ (*END*)
+ done.
+ case FImpl.
+ (*BEGIN*)
+ assume f : Formula.
+ by induction hypothesis we know
+ ([[ negate f ]]_v=[[ FNot (dualize f) ]]_v) (H).
+ assume f1 : Formula.
+ by induction hypothesis we know
+ ([[ negate f1 ]]_v=[[ FNot (dualize f1) ]]_v) (H1).
+ the thesis becomes
+ ([[ negate (FImpl f f1) ]]_v=[[ FNot (dualize (FImpl f f1)) ]]_v).
+ the thesis becomes
+ (max (1 - [[ negate f ]]_v) [[ negate f1 ]]_v=[[ FNot (dualize (FImpl f f1)) ]]_v).
+ conclude
+ (max (1-[[ negate f ]]_v) [[ negate f1 ]]_v)
+ = (max (1-[[ FNot (dualize f) ]]_v) [[ negate f1 ]]_v) by H.
+ = (max (1-[[ FNot (dualize f) ]]_v) [[ FNot (dualize f1) ]]_v) by H1.
+ = (max (1 - [[ FNot (dualize f) ]]_v) (1 - [[ dualize f1 ]]_v)).
+ = (1 - (min [[ FNot (dualize f) ]]_v [[ dualize f1 ]]_v)) by max_min.
+ (*END*)
+ done.
+ case FNot.
+ (*BEGIN*)
+ assume f : Formula.
+ by induction hypothesis we know
+ ([[ negate f ]]_v=[[ FNot (dualize f) ]]_v) (H).
+ the thesis becomes
+ ([[ negate (FNot f) ]]_v=[[ FNot (dualize (FNot f)) ]]_v).
+ the thesis becomes
+ (1 - [[ negate f ]]_v=[[ FNot (dualize (FNot f)) ]]_v).
+ conclude (1 - [[ negate f ]]_v) = (1 - [[ FNot (dualize f) ]]_v) by H.
+ (*END*)
+ done.
+qed.
+
+(* Esercizio 7
+ ===========
+
+ Dimostrare che la negazione è iniettiva
+*)
+theorem not_inj:
+ ∀F,G:Formula.FNot F ≡ FNot G→F ≡ G.
+ (*BEGIN*)
+ assume F:Formula.
+ assume G:Formula.
+ suppose (FNot F ≡ FNot G) (H).
+ the thesis becomes (F ≡ G).
+ the thesis becomes (∀v:ℕ→ℕ.[[ F ]]_v=[[ G ]]_v).
+ (*END*)
+ assume v:(ℕ→ℕ).
+ by H we proved ([[ FNot F ]]_v=[[ FNot G ]]_v) (H1).
+ by sem_bool we proved ([[ F ]]_v=O ∨ [[ F ]]_v=1) (H2).
+ by (*BEGIN*)sem_bool(*END*) we proved ([[ G ]]_v=(*BEGIN*)O ∨ [[ G ]]_v=1(*END*)) (H3).
+ we proceed by cases on H2 to prove ([[ F ]]_v=[[ G ]]_v).
+ case Left.
+ we proceed by cases on H3 to prove ([[ F ]]_v=[[ G ]]_v).
+ case Left.
+ done.
+ case Right.
+ conclude
+ ([[ F ]]_v)
+ = 0 by H4;
+ = (1 - 1).
+ = (1 - [[G]]_v) by H5.
+ = [[ FNot G ]]_v.
+ = [[ FNot F ]]_v by H1.
+ = (1 - [[F]]_v).
+ = (1 - 0) by H4.
+ = 1.
+ done.
+ case Right.
+ (*BEGIN*)
+ we proceed by cases on H3 to prove ([[ F ]]_v=[[ G ]]_v).
+ case Left.
+ conclude
+ ([[ F ]]_v)
+ = 1 by H4;
+ = (1 - 0).
+ = (1 - [[G]]_v) by H5.
+ = [[ FNot G ]]_v.
+ = [[ FNot F ]]_v by H1.
+ = (1 - [[F]]_v).
+ = (1 - 1) by H4.
+ = 0.
+ done.
+ case Right.
+ (*END*)
+ done.
+qed.
+
+(*DOCBEGIN
+
+La prova del teorema di dualità
+===============================
+
+Il teorema di dualità accennato a lezione dice che se due formule
+`F1` ed `F2` sono equivalenti, allora anche le formule duali lo sono.
+
+ ∀F1,F2:Formula. F1 ≡ F2 → dualize F1 ≡ dualize F2.
+
+Per dimostrare tale teorema è bene suddividere la prova in lemmi intermedi
+
+1. lemma `negate_invert`, dimostrato per induzione su F, utilizzando
+ `min_bool`
+
+ ∀F:Formula.∀v:ℕ→ℕ.[[ negate F ]]_v=[[ F ]]_(invert v).
+
+2. lemma `negate_fun`, conseguenza di `negate_invert`
+
+ ∀F,G:Formula. F ≡ G → negate F ≡ negate G.
+
+2. lemma `not_dualize_eq_negate`, dimostrato per induzione su F,
+ utilizzando `max_min` e `min_max`
+
+ ∀F:Formula. negate F ≡ FNot (dualize F)
+
+4. lemma `not_inj`, conseguenza di `sem_bool`
+
+ ∀F,G:Formula. FNot F ≡ FNot G → F ≡ G
-lemma : F[G/x] ≡ F
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-lemma max_n_O : ∀n. max n O = n. intros; cases n; reflexivity; qed.
-
-lemma min_n_n : ∀n. min n n = n. intros; elim n; [reflexivity] simplify;assumption;
+Una volta dimostrati tali lemmi la prova del teorema di dualità
+procede come di seguito:
-lemma min_minus_n_m : ∀n,m. min (n-m) n = n-m. intro; elim n; try reflexivity;
-cases m; [
-simplify in ⊢ (? ? (? % ?) ?);simplify; rewrite > (H n1);
+1. Assume l'ipotesi
-lemma min_one :
- ∀x,y.1 - max x y = min (1 -x) (1-y).
-intros; apply (nat_elim2 ???? y x); intros;
-[ rewrite > max_n_O;
-whd in ⊢ (? ? ? (? ? %));
+ F1 ≡ F2
+2. Utilizza `negate_fun` per ottenere
+ negate F1 ≡ negate F2
+3. Utilizzando due volte il lemma `not_dualize_eq_negate` e il lemma
+ `equiv_rewrite` ottiene
-
+ FNot (dualize F1) ≡ FNot (dualize F2)
-axiom dualize2 : ∀F. FNot (dualize F) ≡ subst F.
-[[ subst f ]]v = [[ f ]]_(1-v)
-f=g -> subst f = subst g
-not f = not g => f = g
+4. Conclude utilizzando il lemma `not_inj` per ottenere la tesi
-theorem dualize1: ∀F1,F2. F1 ≡ F2 → dualize F1 ≡ dualize F2.
-intros;
-cut (FNot F1 ≡ FNot F2);
-.
-cut (dualize (subst F1) ≡ dualize (subst F2)).
-cut (subst (subst F1) ≡ subst (subst F2)).
+ dualize F1 ≡ dualize F2
-dual f = dual (subst subst f)
- = (dual subst) (subst f)
- = not (subst f)
- =
+DOCEND*)
+(* Esercizio 8
+ ===========
+
+ Dimostrare il teorema di dualità
+*)
+theorem duality: ∀F1,F2:Formula.F1 ≡ F2 → dualize F1 ≡ dualize F2.
+ assume F1:Formula.
+ assume F2:Formula.
+ suppose (F1 ≡ F2) (H).
+ the thesis becomes (dualize F1 ≡ dualize F2).
+ by (*BEGIN*)negate_fun(*END*) we proved (negate F1 ≡ negate F2) (H1).
+ by (*BEGIN*)not_dualize_eq_negate(*END*), (*BEGIN*)equiv_rewrite(*END*), H1 we proved (FNot (dualize F1) ≡ negate F2) (H2).
+ by (*BEGIN*)not_dualize_eq_negate(*END*), (*BEGIN*)equiv_rewrite(*END*), H2 we proved (FNot (dualize F1) ≡ FNot (dualize F2)) (H3).
+ by (*BEGIN*)not_inj(*END*), H3 we proved (dualize F1 ≡ dualize F2) (H4).
+ done.
+qed.
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