-(* Esercitazione di logica 22/10/2008.
+(* Esercitazione di logica 22/10/2008. *)
+
+(* Nota per gli studenti
+ =====================
+
+ * La lezione del pomeriggio con il Prof. Sacerdoti si terrà in aula
+ Pinkerle e non Cremona.
+
+ * Un piccolo manuale sul software Matita è disponibile al seguente URL:
+
+ http://mowgli.cs.unibo.it/~tassi/exercise-induction.ma.html
+
+*)
- Esercizio 0: compilare i seguenti campi
+(* Esercizio 0
+ ===========
+
+ Compilare i seguenti campi:
Nome1: ...
Cognome1: ...
* compilare il questionario in fondo al file
- * salvare il file (menu 'File ▹ Save as ...') nella directory (cartella)
+ * salvare il file (menu `File ▹ Save as ...`) nella directory (cartella)
/public/ con nome linguaggi_Account1.ma, ad esempio Mario Rossi, il cui
- account è mrossi deve salvare il file in /public/linguaggi_mrossi.ma
+ account è mrossi, deve salvare il file in /public/linguaggi_mrossi.ma
+
+ * mandatevi via email o stampate il file. Per stampare potete usare
+ usare l'editor gedit che offre la funzionalità di stampa
*)
-(*
- Come scrivere i simboli
- =======================
-
- Per inserire i simboli matematici è necessario digitare il loro nome
- e poi premere CTRL-L. In generale i nomi dei simboli sono della forma
- '\nome', ad esempio '\equiv'. Alcuni simboli molto frequenti hanno
- dei sinonimi più comodi da digitare, per esemio ⇒ ha sia il nome
- '\Rightarrow' sia '=>'.
-
- Segue un elenco dei simboli più comuni e i loro nomi separati da virgola,
- Se sono necessari dei simboli non riportati di seguito si può visualizzare
- l'intera lista dal menù a tendina 'View ▹ TeX/UTF8 table'.
-
- * → : \to, ->
- * ⇒ : \Rightarrow, =>
- * ℕ : \naturals
- * ≝ : \def, :=
- * ≡ : \equiv
- * ∀ : \forall
-
- La sintassi '∀v.P' significa "per tutti i 'v' vale 'P'".
-
- La sintassi 'F → G' dove 'F' e 'G' sono proposizioni nel metalinguaggio
- significa "'F' implica 'G'". Attenzione, il simbolo '⇒' (usato a lezione)
- non ha lo stesso significato in Matita.
-
- La sintassi 'ℕ → ℕ' è il tipo delle funzioni che preso un numero naturale
- restituiscono un numero naturale.
-
- La sintassi di Matita
- =====================
-
- Il linguaggio di Matita si basa sul λ-calcolo CIC, la cui sintassi si
- differenzia in vari aspetti da quella che solitamente viene utilizzata
- per fare matematica, e ricorda quella di Scheme che state vedendo nel corso
- di programmazione.
-
- * applicazione
-
- Se 'f' è una funzione che si aspetta due argomenti, l'applucazione di 'f'
- agli argomenti 'x' e 'y' si scrive '(f x y)' e non 'f(x,y)'. Le parentesi
- possono essere omesse se il senso è chiaro dal contesto. In particolare
- vengono omesse quando l'applicazione è argomento di un operatore binario.
- Esempio: 'f x y + f y x' si legge '(f x y) + (f y x)'.
-
- * minimo e massimo
-
- Le funzioni 'min' e 'max' non fanno eccezione, per calcolare il
- massimo tra 'x' e 'y' si scrive '(max x y)' e non 'max{x,y}'
-
- * Le funzioni definite per ricorsione strutturale utilizzano il costrutto
- 'let rec' (ricorsione) e il costrutto 'match' (analisi per casi).
-
- Ad esempio la funzione count definita a lezione come
-
+(*DOCBEGIN
+
+Come scrivere i simboli
+=======================
+
+Per inserire i simboli matematici è necessario digitare il loro nome
+e poi premere ALT-L. In generale i nomi dei simboli sono della forma
+`\nome`, ad esempio `\equiv`. Alcuni simboli molto frequenti hanno
+dei sinonimi più comodi da digitare, per esemio `⇒` ha sia il nome
+`\Rightarrow` sia `=>`.
+
+Segue un elenco dei simboli più comuni e i loro nomi separati da virgola,
+Se sono necessari dei simboli non riportati di seguito si può visualizzare
+l'intera lista dal menù a tendina `View ▹ TeX/UTF8 table`.
+
+* `→` : `\to`, `->`
+* `⇒` : `\Rightarrow`, `=>`
+* `ℕ` : `\naturals`
+* `≝` : `\def`, `:=`
+* `≡` : `\equiv`
+* `∀` : `\forall`
+
+La sintassi `∀x.P` significa "per tutti gli `x` vale `P`".
+
+La sintassi `F → G` dove `F` e `G` sono proposizioni nel metalinguaggio
+significa "`F` implica `G`". Attenzione, il simbolo `⇒` (usato a lezione)
+non ha lo stesso significato in Matita.
+
+La sintassi `ℕ → ℕ` è il tipo delle funzioni che preso un numero naturale
+restituiscono un numero naturale.
+
+La sintassi di Matita
+=====================
+
+Il linguaggio di Matita si basa sul λ-calcolo CIC, la cui sintassi si
+differenzia in vari aspetti da quella che solitamente viene utilizzata
+per fare matematica, e ricorda quella di Scheme che state vedendo nel corso
+di programmazione.
+
+* applicazione
+
+ Se `f` è una funzione che si aspetta due argomenti, l'applucazione di `f`
+ agli argomenti `x` e `y` si scrive `(f x y)` e non `f(x,y)`. Le parentesi
+ possono essere omesse se il senso è chiaro dal contesto. In particolare
+ vengono omesse quando l'applicazione è argomento di un operatore binario.
+ Esempio: `f x y + f y x` si legge `(f x y) + (f y x)`.
+
+* minimo e massimo
+
+ Le funzioni `min` e `max` non fanno eccezione, per calcolare il
+ massimo tra `x` e `y` si scrive `(max x y)` e non `max{x,y}`
+
+* Le funzioni definite per ricorsione strutturale utilizzano il costrutto
+ `let rec` (ricorsione) e il costrutto `match` (analisi per casi).
+
+ Ad esempio la funzione count definita a lezione come
+
count ⊤ ≝ 1
count (F1 ∧ F2) ≝ 1 + count F1 + count F2
...
-
- la si esprime come
+ la si esprime come
+
let rec count F on F ≝
match F with
[ ⊤ ⇒ 1
| F1 ∧ F2 ⇒ 1 + count F1 + count F2
...
].
-
- * Per dare la definizione ricorsiva (di un linguaggio) si usa una sintassi
- simile a BNF. Per esempio per definire
-
- <A> ::= <A> "+" <A> | <A> "*" <A> | "0" | "1"
- si usa il seguente comando
+* Per dare la definizione ricorsiva (di un linguaggio) si usa una sintassi
+ simile a BNF. Per esempio per definire
+
+ <A> ::= <A> "+" <A> | <A> "*" <A> | "0" | "1"
+
+ si usa il seguente comando
+
+ inductive A : Type ≝
+ | Plus : A → A → A
+ | Times : A → A → A
+ | Zero : A
+ | One : A
+ .
- inductive A : Type ≝
- | Plus : A → A → A
- | Times : A → A → A
- | Zero : A
- | One : A
- .
-
- La ratio è che 'Plus' prende due argomenti di tipo A per darmi un A,
- mentre 'Zero' non prende nessun argomento per darmi un A. Al posto di usare
- operatori infissi (0 + 0) la definizione crea operatori prefissi (funzioni).
- Quindi (0+0) si scriverà come (Plus Zero Zero).
-
-*)
+La ratio è che `Plus` prende due argomenti di tipo `A` per darmi un `A`,
+mentre `Zero` non prende nessun argomento per darmi un `A`. Al posto di usare
+operatori infissi `(0 + 0)` la definizione crea operatori prefissi (funzioni).
+Quindi `(0+0)` si scriverà come `(Plus Zero Zero)`.
+
+DOCEND*)
-(* non modificare le seguenti tre righe *)
+(* ATTENZIONE
+ ==========
+
+ Non modificare le seguenti tre righe
+*)
include "nat/minus.ma".
definition max : nat → nat → nat ≝ λa,b:nat.let rec max n m on n ≝ match n with [ O ⇒ b | S n ⇒ match m with [ O ⇒ a | S m ⇒ max n m]] in max a b.
definition min : nat → nat → nat ≝ λa,b:nat.let rec min n m on n ≝ match n with [ O ⇒ a | S n ⇒ match m with [ O ⇒ b | S m ⇒ min n m]] in min a b.
-(* Esercizio 1: Definire l'albero di sintassi astratta delle formule *)
+(* Esercizio 1
+ ===========
+
+ Definire il linguaggio delle formule riempiendo gli spazi
+*)
inductive Formula : Type ≝
| FBot: Formula
| FTop: (*BEGIN*)Formula(*END*)
.
-(* Esercizio 2: Data la funzione di valutazione per gli atomi 'v', definire la
- funzione 'sem' per una generica formula 'F' che vi associa la semantica
- (o denotazione) *)
+(* Esercizio 2
+ ===========
+
+ Data la funzione di valutazione per gli atomi `v`, definire la
+ funzione `sem` per una generica formula `F` che vi associa la semantica
+ (o denotazione)
+*)
let rec sem (v: nat → nat) (F: Formula) on F ≝
match F with
[ FBot ⇒ 0
]
.
-
-(* I comandi che seguono definiscono la seguente notazione:
+(* NOTA
+ ====
+
+ I comandi che seguono definiscono la seguente notazione:
if e then risultato1 else risultato2
- Questa notazione permette di valutare l'espressione 'e'. Se questa
- è vera restituisce 'risultato1', altrimenti restituisce 'risultato2'.
+ Questa notazione permette di valutare l'espressione `e`. Se questa
+ è vera restituisce `risultato1`, altrimenti restituisce `risultato2`.
- Un esempio di espressione è 'eqb n m', che confronta i due numeri naturali
- 'n' ed 'm'.
+ Un esempio di espressione è `eqb n m`, che confronta i due numeri naturali
+ `n` ed `m`.
* [[ formula ]]_v
- Questa notazione utilizza la funzione 'sem' precedentemente definita, in
- particolare '[[ f ]]_v' è una abbreviazione per 'sem v f'.
+ Questa notazione utilizza la funzione `sem` precedentemente definita, in
+ particolare `[[ f ]]_v` è una abbreviazione per `sem v f`.
+
- Non modificare le linee seguenti, saltare all'esercizio 3
+ ATTENZIONE
+ ==========
+
+ Non modificare le linee seguenti
*)
definition if_then_else ≝ λT:Type.λe,t,f.match e return λ_.T with [ true ⇒ t | false ⇒ f].
notation > "'if' term 19 e 'then' term 19 t 'else' term 90 f" non associative with precedence 90 for @{ 'if_then_else $e $t $f }.
-notation < "'if' \nbsp term 19 e \nbsp 'then' \nbsp term 19 t \nbsp 'else' \nbsp term 90 f \nbsp" non associative with precedence 90 for @{ 'if_then_else _ $e $t $f }.
+notation < "'if' \nbsp term 19 e \nbsp 'then' \nbsp term 19 t \nbsp 'else' \nbsp term 90 f \nbsp" non associative with precedence 90 for @{ 'if_then_else $e $t $f }.
interpretation "Formula if_then_else" 'if_then_else e t f = (if_then_else _ e t f).
notation < "[[ \nbsp term 19 a \nbsp ]] \nbsp \sub term 90 v" non associative with precedence 90 for @{ 'semantics $v $a }.
notation > "[[ term 19 a ]] \sub term 90 v" non associative with precedence 90 for @{ 'semantics $v $a }.
interpretation "Semantic of Formula" 'semantics v a = (sem v a).
-(* TESTARE LA DEFINIZIONE DI SEM *)
-definition v110 ≝ λx.
- if eqb x 0 then 1 (* Atom 0 ↦ 1 *)
- else if eqb x 1 then 1 (* Atom 1 ↦ 1 *)
- else if eqb x 2 then 0 (* Atom 2 ↦ 0 *)
- else 0. (* Atom _ ↦ 0 *)
-
+(* Test 1
+ ======
+
+ Viene fornita una funzione di valutazione di esempio chiamata `v1101`.
+ Tale funzione associa agli atomi 0, 1 e 3 un valore pari a 1,
+ invece a 2,4,5,6... un valore pari a 0.
+
+ Viene fornita una formula di esempio chiamata `esempio1` che rappresenta
+ la formula
+
+ D => (C ∨ (B ∧ A))
+
+ Dove A è rappresentato con l'atomo 0, B con l'atomo 1, ...
+
+ Tale formula è valida per la funzione di valutazione `v1101`.
+
+ Il comando `eval normalize [[ esempio1 ]]_v1101` permette di calcolare
+ la funzione `sem` che avete appena definito. Tale funzione deve
+ computare a 1 (verrà mostrata una finestra col risultato).
+ Se così non fosse significa che avete commesso un errore nella
+ definizione di `sem` e prima di continuare è necessario che la sistemiate.
+*)
+definition v1101 ≝ λx.
+ if eqb x 0 then 1 (* FAtom 0 ↦ 1 *)
+ else if eqb x 1 then 1 (* FAtom 1 ↦ 1 *)
+ else if eqb x 2 then 0 (* FAtom 2 ↦ 0 *)
+ else if eqb x 3 then 1 (* FAtom 3 ↦ 1 *)
+ else 0. (* FAtom _ ↦ 0 *)
-definition formula1 ≝ (FAnd (FAtom 1) (FAtom 0)).
+definition esempio1 ≝
+ (FImpl (FNot (FAtom 3)) (FOr (FAtom 2) (FAnd (FAtom 1) (FAtom 0)))).
-eval normalize on [[ formula1 ]]_v110.
+eval normalize on [[ esempio1 ]]_v1101.
-(* Esercizio 3: Definire la funzione di sostituzione di una formula 'G' al posto
- degli atomi uguali a 'x' in una formula 'F'. *)
+(* Esercizio 3
+ ===========
+
+ Definire la funzione di sostituzione di una formula `G` al posto
+ degli atomi uguali a `x` in una formula `F`.
+*)
let rec subst (x:nat) (G: Formula) (F: Formula) on F ≝
match F with
[ FBot ⇒ FBot
| FTop ⇒ (*BEGIN*)FTop(*END*)
- | FAtom n ⇒ if (*BEGIN*)eqb n x(*END*) then (*BEGIN*)G(*END*) else (*BEGIN*)(FAtom n)(*END*)
+ | FAtom n ⇒ if (*BEGIN*)eqb n x(*END*) then (*BEGIN*)G(*END*) else ((*BEGIN*)FAtom n(*END*))
(*BEGIN*)
| FAnd F1 F2 ⇒ FAnd (subst x G F1) (subst x G F2)
| FOr F1 F2 ⇒ FOr (subst x G F1) (subst x G F2)
| FNot F ⇒ FNot (subst x G F)
].
-(* AGGIUNGERE ALCUNI TEST *)
-
-(* I comandi che seguono definiscono la seguente notazione:
+(* NOTA
+ ====
+
+ I comandi che seguono definiscono la seguente notazione:
* F [ G / x ]
- Questa notazione utilizza la funzione 'subst' appena definita, in particolare
- la scrittura 'F [ G /x ]' è una abbreviazione per 'subst x G F'.
+ Questa notazione utilizza la funzione `subst` appena definita, in particolare
+ la scrittura `F [ G /x ]` è una abbreviazione per `subst x G F`.
* F ≡ G
- Questa notazione è una abbreviazione per '∀v.[[ f ]]_v = [[ g ]]_v'.
- Asserisce che for ogni funzione di valutazione 'v', la semantica di 'f'
- in 'v' è uguale alla semantica di 'g' in 'v'.
+ Questa notazione è una abbreviazione per `∀v.[[ f ]]_v = [[ g ]]_v`.
+ Asserisce che for ogni funzione di valutazione `v`, la semantica di `f`
+ in `v` è uguale alla semantica di `g` in `v`.
+
- Non modificare le linee seguenti, saltare all'esercizio 4
+ ATTENZIONE
+ ==========
+
+ Non modificare le linee seguenti
*)
notation < "t [ \nbsp term 19 a / term 19 b \nbsp ]" non associative with precedence 90 for @{ 'substitution $b $a $t }.
notation > "t [ term 90 a / term 90 b]" non associative with precedence 90 for @{ 'substitution $b $a $t }.
notation > "a ≡ b" non associative with precedence 50 for @{ equiv $a $b }.
interpretation "equivalence for Formulas" 'equivF a b = (equiv a b).
+(* Test 2
+ ======
+
+ Viene fornita una formula di esempio `esempio2`,
+ e una formula `esempio3` che rimpiazzerà gli atomi
+ `FAtom 2` di `esempio2`.
+
+ Il risultato atteso è la formula:
+
+ FAnd (FImpl (FOr (FAtom O) (FAtom 1)) (FAtom 1))
+ (FOr (FAtom O) (FAtom 1))
+
+*)
+
+definition esempio2 ≝ (FAnd (FImpl (FAtom 2) (FAtom 1)) (FAtom 2)).
+
+definition esempio3 ≝ (FOr (FAtom 0) (FAtom 1)).
+
+eval normalize on (esempio2 [ esempio3 / 2]).
+
+(*DOCBEGIN
+
+Il linguaggio di dimostrazione di Matita
+========================================
+L'ultimo esercizio richiede di scrivere una dimostrazione. Tale dimostrazione
+deve essere scritta utilizzando il linguaggio di dimostrazione di Matita.
+Tale linguaggio è composto dai seguenti comandi:
-(* Esercizio 4: Prove the substitution theorem *)
-theorem substitution: ∀G1,G2,F,x. G1 ≡ G2 → F[G1/x] ≡ F[G2/x].
+* `assume nome : tipo`
+
+ Quando si deve dimostrare un tesi come `∀F : Formula.P`, il comando
+ `assume F : Formula` fissa una generica `Formula` `F` e la tesi
+ diventa `P` dove `F` è fissata.
+
+* `suppose P (nome)`
+
+ Quando si deve dimostrare una tesi come `P → Q`, il comando
+ `suppose P (Ipotesi1)` da il nome `Ipotesi1` a `P` e cambia la tesi
+ `Q`, che ora può essere dimostrata facendo riferimento all'assunzione
+ `P` tramite il nome `Ipotesi1`.
+
+* `we procede by induction on F to prove Q`
+
+ Se `F` è il nome di una (ad esempio) `Formula` precedentemente
+ assunta tramite il comando `assume`, inizia una prova per induzione su `F`.
+
+* `case name`
+
+ Nelle prove per induzione o per casi, ogni caso deve iniziare con il
+ comando `case nome`, ad esempio se si procede per induzione di una
+ formula uno dei casi sarà quello in cui la formula è `⊥`, si deve quindi
+ iniziare la sotto dimostrazione per tale caso con `case ⊥`.
+
+* `we procede by cases on x to prove Q`
+
+ Analogo a `we procede by induction on F to prove Q`
+
+* `by induction hypothesis we know P (name)`
+
+ Nei casi non base di una prova per induzione sono disponibili delle ipotesi
+ induttive, quindi la tesi è della forma `P → Q`, ed è possibile
+ dare un nome a `P` e procedere a dimostrare `Q`. Simile a `suppose`.
+
+* `the thesis becomes P`
+
+ Permette di modificare la tesi, utilizzando le definizioni (eventualmente
+ ricorsive) che vi compaiono. Ad esempio se la tesi fosse `min 3 5 = max 1 3`
+ si potrebbe usare il comando `the thesis becomes (3 = max 1 3)` in quanto
+ per definizione di minimo, il minimo tra `3` e `5` è `3`.
+
+* `by name1 we proved P (name2)`
+
+ Permette di ottenere una nuova ipotesi `P` chiamandola `name2` utilizzando
+ l'ipotesi `name1`.
+
+* `conclude (P) = (Q) by name`
+
+ Quando la tesi è della forma `P = Q`, si possono utilizzare delle ipotesi
+ della forma `A = B` riscrivendo `A` in `B` (o viceversa) in `P`. Per esempio
+ se la tesi fosse `sin π + 3 = 7 - 4` e si avesse una ipotesi `sin π = 0` dal
+ nome `H`, si potrebbe usare il comando `conclude (sin π + 3) = (0 + 3) by H`
+ per cambiare la conclusione in `0 + 3 = 7 - 4`.
+
+* `= (P) by name`
+
+ Da utilizzare in seguito a un comando `conclude` per riscrivere con altre
+ ipotesi.
+
+* `done`
+
+ Termina un caso della dimostrazione, è possibile utilizzarlo quando la tesi
+ è della forma `t = t`, ad esempio `0 = 0` oppure `v x = v x`.
+
+DOCEND*)
+
+(* Esercizio 4
+ ===========
+
+ Dimostra il teorema di sostituzione visto a lezione
+*)
+theorem sostituzione: ∀G1,G2,F,x. G1 ≡ G2 → F[G1/x] ≡ F[G2/x].
assume G1 : Formula.
assume G2 : Formula.
(*BEGIN*)
suppose (G1 ≡ G2) (H).
we proceed by induction on F to prove (F[ G1/x ] ≡ F[ G2/x ]).
case FBot.
+ the thesis becomes (FBot[ G1/x ] ≡ FBot[ G2/x ]).
the thesis becomes (FBot ≡ FBot[ G2/x ]).
the thesis becomes (FBot ≡ FBot).
the thesis becomes (∀v.[[FBot]]_v = [[FBot]]_v).
done.
case FTop.
(*BEGIN*)
+ the thesis becomes (FTop[ G1/x ] ≡ FTop[ G2/x ]).
the thesis becomes (FTop ≡ FTop).
the thesis becomes (∀v. [[FTop]]_v = [[FTop]]_v).
assume v : (ℕ → ℕ).
done.
case FAtom.
assume n : ℕ.
+ the thesis becomes ((FAtom n)[ G1/x ] ≡ (FAtom n)[ G2/x ]).
the thesis becomes
(if eqb n x then G1 else (FAtom n) ≡ (FAtom n)[ G2/x ]).
the thesis becomes
(*END*)
done.
qed.
-
-eval normalize on
- (substitution (FAtom 1) (FAtom 1) formula1 1 (λ_.refl_eq ??) v110).
(* Questionario
projects / helm.git / blobdiff