-include "induction_support.ma".
+(* Esercitazione di logica 22/10/2008. *)
+(* Nota per gli studenti
+ =====================
+
+ * La lezione del pomeriggio con il Prof. Sacerdoti si terrà in aula
+ Pinkerle e non Cremona.
+
+ * Un piccolo manuale sul software Matita è disponibile al seguente URL:
+
+ http://mowgli.cs.unibo.it/~tassi/exercise-induction.ma.html
+
+*)
+
+(* Esercizio 0
+ ===========
+
+ Compilare i seguenti campi:
+
+ Nome1: ...
+ Cognome1: ...
+ Matricola1: ...
+ Account1: ...
+
+ Nome2: ...
+ Cognome2: ...
+ Matricola2: ...
+ Account2: ...
+
+ Prima di abbandonare la postazione:
+
+ * compilare il questionario in fondo al file
+
+ * salvare il file (menu `File ▹ Save as ...`) nella directory (cartella)
+ /public/ con nome linguaggi_Account1.ma, ad esempio Mario Rossi, il cui
+ account è mrossi, deve salvare il file in /public/linguaggi_mrossi.ma
+
+ * mandatevi via email o stampate il file. Per stampare potete usare
+ usare l'editor gedit che offre la funzionalità di stampa
+*)
+
+(*DOCBEGIN
+
+Come scrivere i simboli
+=======================
+
+Per inserire i simboli matematici è necessario digitare il loro nome
+e poi premere ALT-L. In generale i nomi dei simboli sono della forma
+`\nome`, ad esempio `\equiv`. Alcuni simboli molto frequenti hanno
+dei sinonimi più comodi da digitare, per esemio `⇒` ha sia il nome
+`\Rightarrow` sia `=>`.
+
+Segue un elenco dei simboli più comuni e i loro nomi separati da virgola,
+Se sono necessari dei simboli non riportati di seguito si può visualizzare
+l'intera lista dal menù a tendina `View ▹ TeX/UTF8 table`.
+
+* `→` : `\to`, `->`
+* `⇒` : `\Rightarrow`, `=>`
+* `ℕ` : `\naturals`
+* `≝` : `\def`, `:=`
+* `≡` : `\equiv`
+* `∀` : `\forall`
+
+La sintassi `∀x.P` significa "per tutti gli `x` vale `P`".
+
+La sintassi `F → G` dove `F` e `G` sono proposizioni nel metalinguaggio
+significa "`F` implica `G`". Attenzione, il simbolo `⇒` (usato a lezione)
+non ha lo stesso significato in Matita.
+
+La sintassi `ℕ → ℕ` è il tipo delle funzioni che preso un numero naturale
+restituiscono un numero naturale.
+
+La sintassi di Matita
+=====================
+
+Il linguaggio di Matita si basa sul λ-calcolo CIC, la cui sintassi si
+differenzia in vari aspetti da quella che solitamente viene utilizzata
+per fare matematica, e ricorda quella di Scheme che state vedendo nel corso
+di programmazione.
+
+* applicazione
+
+ Se `f` è una funzione che si aspetta due argomenti, l'applucazione di `f`
+ agli argomenti `x` e `y` si scrive `(f x y)` e non `f(x,y)`. Le parentesi
+ possono essere omesse se il senso è chiaro dal contesto. In particolare
+ vengono omesse quando l'applicazione è argomento di un operatore binario.
+ Esempio: `f x y + f y x` si legge `(f x y) + (f y x)`.
+
+* minimo e massimo
+
+ Le funzioni `min` e `max` non fanno eccezione, per calcolare il
+ massimo tra `x` e `y` si scrive `(max x y)` e non `max{x,y}`
+
+* Le funzioni definite per ricorsione strutturale utilizzano il costrutto
+ `let rec` (ricorsione) e il costrutto `match` (analisi per casi).
+
+ Ad esempio la funzione count definita a lezione come
+
+ count ⊤ ≝ 1
+ count (F1 ∧ F2) ≝ 1 + count F1 + count F2
+ ...
+
+ la si esprime come
+
+ let rec count F on F ≝
+ match F with
+ [ ⊤ ⇒ 1
+ | F1 ∧ F2 ⇒ 1 + count F1 + count F2
+ ...
+ ].
+
+* Per dare la definizione ricorsiva (di un linguaggio) si usa una sintassi
+ simile a BNF. Per esempio per definire
+
+ <A> ::= <A> "+" <A> | <A> "*" <A> | "0" | "1"
+
+ si usa il seguente comando
+
+ inductive A : Type ≝
+ | Plus : A → A → A
+ | Times : A → A → A
+ | Zero : A
+ | One : A
+ .
+
+La ratio è che `Plus` prende due argomenti di tipo `A` per darmi un `A`,
+mentre `Zero` non prende nessun argomento per darmi un `A`. Al posto di usare
+operatori infissi `(0 + 0)` la definizione crea operatori prefissi (funzioni).
+Quindi `(0+0)` si scriverà come `(Plus Zero Zero)`.
+
+DOCEND*)
+
+(* ATTENZIONE
+ ==========
+
+ Non modificare le seguenti tre righe
+*)
+include "nat/minus.ma".
+definition max : nat → nat → nat ≝ λa,b:nat.let rec max n m on n ≝ match n with [ O ⇒ b | S n ⇒ match m with [ O ⇒ a | S m ⇒ max n m]] in max a b.
+definition min : nat → nat → nat ≝ λa,b:nat.let rec min n m on n ≝ match n with [ O ⇒ a | S n ⇒ match m with [ O ⇒ b | S m ⇒ min n m]] in min a b.
+
+
+(* Esercizio 1
+ ===========
+
+ Definire il linguaggio delle formule riempiendo gli spazi
+*)
inductive Formula : Type ≝
| FBot: Formula
| FTop: (*BEGIN*)Formula(*END*)
-| FAtom: nat → Formula
-| FNot: Formula → Formula
-| FAnd: (*BEGIN*)Formula → Formula → Formula(*END*)
+| FAtom: nat → Formula (* usiamo i naturali al posto delle lettere *)
+| FAnd: Formula → Formula → Formula
| FOr: (*BEGIN*)Formula → Formula → Formula(*END*)
| FImpl: (*BEGIN*)Formula → Formula → Formula(*END*)
+| FNot: (*BEGIN*)Formula → Formula(*END*)
.
-let rec sem (v: nat -> nat) (F: formula) on F ≝
+
+(* Esercizio 2
+ ===========
+
+ Data la funzione di valutazione per gli atomi `v`, definire la
+ funzione `sem` per una generica formula `F` che vi associa la semantica
+ (o denotazione)
+*)
+let rec sem (v: nat → nat) (F: Formula) on F ≝
match F with
[ FBot ⇒ 0
| FTop ⇒ (*BEGIN*)1(*END*)
+ (*BEGIN*)
| FAtom n ⇒ v n
- | FNot F1 ⇒ 1 - sem v F1
- | FAnd F1 F2 ⇒ min (sem v F1) (sem v F2)
+ (*END*)
+ | FAnd F1 F2 ⇒ (*BEGIN*)min (sem v F1) (sem v F2)(*END*)
(*BEGIN*)
| FOr F1 F2 ⇒ max (sem v F1) (sem v F2)
| FImpl F1 F2 ⇒ max (1 - sem v F1) (sem v F2)
(*END*)
+ | FNot F1 ⇒ 1 - (sem v F1)
]
.
-definition if_then_else ≝
- λe,t,f.match e return λ_.Formula with [ true ⇒ t | false ⇒ f].
+(* NOTA
+ ====
+
+ I comandi che seguono definiscono la seguente notazione:
+
+ if e then risultato1 else risultato2
+
+ Questa notazione permette di valutare l'espressione `e`. Se questa
+ è vera restituisce `risultato1`, altrimenti restituisce `risultato2`.
+
+ Un esempio di espressione è `eqb n m`, che confronta i due numeri naturali
+ `n` ed `m`.
+
+ * [[ formula ]]_v
+
+ Questa notazione utilizza la funzione `sem` precedentemente definita, in
+ particolare `[[ f ]]_v` è una abbreviazione per `sem v f`.
+
+
+ ATTENZIONE
+ ==========
+
+ Non modificare le linee seguenti
+*)
+definition if_then_else ≝ λT:Type.λe,t,f.match e return λ_.T with [ true ⇒ t | false ⇒ f].
+notation > "'if' term 19 e 'then' term 19 t 'else' term 90 f" non associative with precedence 90 for @{ 'if_then_else $e $t $f }.
+notation < "'if' \nbsp term 19 e \nbsp 'then' \nbsp term 19 t \nbsp 'else' \nbsp term 90 f \nbsp" non associative with precedence 90 for @{ 'if_then_else $e $t $f }.
+interpretation "Formula if_then_else" 'if_then_else e t f = (if_then_else _ e t f).
+notation < "[[ \nbsp term 19 a \nbsp ]] \nbsp \sub term 90 v" non associative with precedence 90 for @{ 'semantics $v $a }.
+notation > "[[ term 19 a ]] \sub term 90 v" non associative with precedence 90 for @{ 'semantics $v $a }.
+notation > "[[ term 19 a ]]_ term 90 v" non associative with precedence 90 for @{ sem $v $a }.
+interpretation "Semantic of Formula" 'semantics v a = (sem v a).
+
+
+(* Test 1
+ ======
+
+ Viene fornita una funzione di valutazione di esempio chiamata `v1101`.
+ Tale funzione associa agli atomi 0, 1 e 3 un valore pari a 1,
+ invece a 2,4,5,6... un valore pari a 0.
+
+ Viene fornita una formula di esempio chiamata `esempio1` che rappresenta
+ la formula
+
+ D => (C ∨ (B ∧ A))
+
+ Dove A è rappresentato con l'atomo 0, B con l'atomo 1, ...
+
+ Tale formula è valida per la funzione di valutazione `v1101`.
+
+ Il comando `eval normalize [[ esempio1 ]]_v1101` permette di calcolare
+ la funzione `sem` che avete appena definito. Tale funzione deve
+ computare a 1 (verrà mostrata una finestra col risultato).
+ Se così non fosse significa che avete commesso un errore nella
+ definizione di `sem` e prima di continuare è necessario che la sistemiate.
+*)
+definition v1101 ≝ λx.
+ if eqb x 0 then 1 (* FAtom 0 ↦ 1 *)
+ else if eqb x 1 then 1 (* FAtom 1 ↦ 1 *)
+ else if eqb x 2 then 0 (* FAtom 2 ↦ 0 *)
+ else if eqb x 3 then 1 (* FAtom 3 ↦ 1 *)
+ else 0. (* FAtom _ ↦ 0 *)
-notation > "'if' term 19 e 'then' term 19 t 'else' term 90 f"
-non associative with precedence 19
-for @{ 'if_then_else $e $t $f }.
-notation < "'if' \nbsp term 19 e \nbsp 'then' \nbsp term 19 t \nbsp 'else' \nbsp term 90 f \nbsp"
-non associative with precedence 19
-for @{ 'if_then_else $e $t $f }.
+definition esempio1 ≝
+ (FImpl (FNot (FAtom 3)) (FOr (FAtom 2) (FAnd (FAtom 1) (FAtom 0)))).
-interpretation "Formula if_then_else" 'if_then_else e t f = (if_then_else e t f).
+eval normalize on [[ esempio1 ]]_v1101.
-let rec subst (x:nat) (G: Formula) (F: formula) on F ≝
+
+(* Esercizio 3
+ ===========
+
+ Definire la funzione di sostituzione di una formula `G` al posto
+ degli atomi uguali a `x` in una formula `F`.
+*)
+let rec subst (x:nat) (G: Formula) (F: Formula) on F ≝
match F with
[ FBot ⇒ FBot
| FTop ⇒ (*BEGIN*)FTop(*END*)
- | FAtom n ⇒ if eqb n x then G else (*BEGIN*)(FAtom n)(*END*)
- | FNot F ⇒ FNot (subst x G F)
+ | FAtom n ⇒ if (*BEGIN*)eqb n x(*END*) then (*BEGIN*)G(*END*) else ((*BEGIN*)FAtom n(*END*))
(*BEGIN*)
| FAnd F1 F2 ⇒ FAnd (subst x G F1) (subst x G F2)
| FOr F1 F2 ⇒ FOr (subst x G F1) (subst x G F2)
| FImpl F1 F2 ⇒ FImpl (subst x G F1) (subst x G F2)
(*END*)
+ | FNot F ⇒ FNot (subst x G F)
].
-definition equiv ≝ λv,F1,F2. sem v F1 = sem v F2.
-notation "hvbox(a \nbsp break mstyle color #0000ff (≡) \sub v \nbsp b)"
-non associative with precedence 45
-for @{ 'equivF $v $a $b }.
+(* NOTA
+ ====
+
+ I comandi che seguono definiscono la seguente notazione:
+
+ * F [ G / x ]
+
+ Questa notazione utilizza la funzione `subst` appena definita, in particolare
+ la scrittura `F [ G /x ]` è una abbreviazione per `subst x G F`.
+
+ * F ≡ G
+
+ Questa notazione è una abbreviazione per `∀v.[[ f ]]_v = [[ g ]]_v`.
+ Asserisce che for ogni funzione di valutazione `v`, la semantica di `f`
+ in `v` è uguale alla semantica di `g` in `v`.
+
+
+ ATTENZIONE
+ ==========
+
+ Non modificare le linee seguenti
+*)
+notation < "t [ \nbsp term 19 a / term 19 b \nbsp ]" non associative with precedence 90 for @{ 'substitution $b $a $t }.
+notation > "t [ term 90 a / term 90 b]" non associative with precedence 90 for @{ 'substitution $b $a $t }.
+interpretation "Substitution for Formula" 'substitution b a t = (subst b a t).
+definition equiv ≝ λF1,F2. ∀v.[[ F1 ]]_v = [[ F2 ]]_v.
+notation "hvbox(a \nbsp break mstyle color #0000ff (≡) \nbsp b)" non associative with precedence 45 for @{ 'equivF $a $b }.
+notation > "a ≡ b" non associative with precedence 50 for @{ equiv $a $b }.
+interpretation "equivalence for Formulas" 'equivF a b = (equiv a b).
+
+(* Test 2
+ ======
+
+ Viene fornita una formula di esempio `esempio2`,
+ e una formula `esempio3` che rimpiazzerà gli atomi
+ `FAtom 2` di `esempio2`.
+
+ Il risultato atteso è la formula:
+
+ FAnd (FImpl (FOr (FAtom O) (FAtom 1)) (FAtom 1))
+ (FOr (FAtom O) (FAtom 1))
+
+*)
+
+definition esempio2 ≝ (FAnd (FImpl (FAtom 2) (FAtom 1)) (FAtom 2)).
+
+definition esempio3 ≝ (FOr (FAtom 0) (FAtom 1)).
+
+eval normalize on (esempio2 [ esempio3 / 2]).
+
+(*DOCBEGIN
+
+Il linguaggio di dimostrazione di Matita
+========================================
+
+L'ultimo esercizio richiede di scrivere una dimostrazione. Tale dimostrazione
+deve essere scritta utilizzando il linguaggio di dimostrazione di Matita.
+Tale linguaggio è composto dai seguenti comandi:
-notation > "a ≡_ term 90 v b" non associative with precedence 50
-for @{ equiv $v $a $b }.
+* `assume nome : tipo`
-interpretation "equivalence for Formulas" 'equivF v a b = (equiv v a b).
+ Quando si deve dimostrare un tesi come `∀F : Formula.P`, il comando
+ `assume F : Formula` fissa una generica `Formula` `F` e la tesi
+ diventa `P` dove `F` è fissata.
-theorem substitution:
- ∀F1,F2,F,x,v. equiv v F1 F2 → equiv v (subst x F1 F) (subst x F2 F).
-assume F1 : Formula.
-assume F2 : Formula.
+* `suppose P (nome)`
+
+ Quando si deve dimostrare una tesi come `P → Q`, il comando
+ `suppose P (Ipotesi1)` da il nome `Ipotesi1` a `P` e cambia la tesi
+ `Q`, che ora può essere dimostrata facendo riferimento all'assunzione
+ `P` tramite il nome `Ipotesi1`.
+
+* `we procede by induction on F to prove Q`
+
+ Se `F` è il nome di una (ad esempio) `Formula` precedentemente
+ assunta tramite il comando `assume`, inizia una prova per induzione su `F`.
+
+* `case name`
+
+ Nelle prove per induzione o per casi, ogni caso deve iniziare con il
+ comando `case nome`, ad esempio se si procede per induzione di una
+ formula uno dei casi sarà quello in cui la formula è `⊥`, si deve quindi
+ iniziare la sotto dimostrazione per tale caso con `case ⊥`.
+
+* `we procede by cases on x to prove Q`
+
+ Analogo a `we procede by induction on F to prove Q`
+
+* `by induction hypothesis we know P (name)`
+
+ Nei casi non base di una prova per induzione sono disponibili delle ipotesi
+ induttive, quindi la tesi è della forma `P → Q`, ed è possibile
+ dare un nome a `P` e procedere a dimostrare `Q`. Simile a `suppose`.
+
+* `the thesis becomes P`
+
+ Permette di modificare la tesi, utilizzando le definizioni (eventualmente
+ ricorsive) che vi compaiono. Ad esempio se la tesi fosse `min 3 5 = max 1 3`
+ si potrebbe usare il comando `the thesis becomes (3 = max 1 3)` in quanto
+ per definizione di minimo, il minimo tra `3` e `5` è `3`.
+
+* `by name1 we proved P (name2)`
+
+ Permette di ottenere una nuova ipotesi `P` chiamandola `name2` utilizzando
+ l'ipotesi `name1`.
+
+* `conclude (P) = (Q) by name`
+
+ Quando la tesi è della forma `P = Q`, si possono utilizzare delle ipotesi
+ della forma `A = B` riscrivendo `A` in `B` (o viceversa) in `P`. Per esempio
+ se la tesi fosse `sin π + 3 = 7 - 4` e si avesse una ipotesi `sin π = 0` dal
+ nome `H`, si potrebbe usare il comando `conclude (sin π + 3) = (0 + 3) by H`
+ per cambiare la conclusione in `0 + 3 = 7 - 4`.
+
+* `= (P) by name`
+
+ Da utilizzare in seguito a un comando `conclude` per riscrivere con altre
+ ipotesi.
+
+* `done`
+
+ Termina un caso della dimostrazione, è possibile utilizzarlo quando la tesi
+ è della forma `t = t`, ad esempio `0 = 0` oppure `v x = v x`.
+
+DOCEND*)
+
+(* Esercizio 4
+ ===========
+
+ Dimostra il teorema di sostituzione visto a lezione
+*)
+theorem sostituzione: ∀G1,G2,F,x. G1 ≡ G2 → F[G1/x] ≡ F[G2/x].
+assume G1 : Formula.
+assume G2 : Formula.
+(*BEGIN*)
assume F : Formula.
assume x : ℕ.
-assume v : (ℕ → ℕ).
-assume H : (F1 ≡_v F2).
-we proceed by induction on F to prove (subst x F1 F ≡_v subst x F2 F).
-case Bot.
- the thesis becomes (FBot ≡_v (subst x F2 FBot)).
- the thesis becomes (FBot ≡_v FBot).
- the thesis becomes (sem v FBot = sem v FBot).
- the thesis becomes (0 = sem v FBot).
+(*END*)
+suppose (G1 ≡ G2) (H).
+we proceed by induction on F to prove (F[ G1/x ] ≡ F[ G2/x ]).
+case FBot.
+ the thesis becomes (FBot[ G1/x ] ≡ FBot[ G2/x ]).
+ the thesis becomes (FBot ≡ FBot[ G2/x ]).
+ the thesis becomes (FBot ≡ FBot).
+ the thesis becomes (∀v.[[FBot]]_v = [[FBot]]_v).
+ assume v : (ℕ → ℕ).
+ the thesis becomes (0 = [[FBot]]_v).
the thesis becomes (0 = 0).
done.
-case Top.
+case FTop.
(*BEGIN*)
- the thesis becomes (FTop ≡_v FTop).
- the thesis becomes (sem v FTop = sem v FTop).
+ the thesis becomes (FTop[ G1/x ] ≡ FTop[ G2/x ]).
+ the thesis becomes (FTop ≡ FTop).
+ the thesis becomes (∀v. [[FTop]]_v = [[FTop]]_v).
+ assume v : (ℕ → ℕ).
the thesis becomes (1 = 1).
(*END*)
done.
-case Atom.
+case FAtom.
assume n : ℕ.
+ the thesis becomes ((FAtom n)[ G1/x ] ≡ (FAtom n)[ G2/x ]).
the thesis becomes
- (if eqb n x then F1 else (FAtom n) ≡_v subst x F2 (FAtom n)).
- the thesis becomes
- (if eqb n x then F1 else (FAtom n) ≡_v
- if eqb n x then F2 else (FAtom n)).
- we proceed by cases on (eqb n x) to prove True. (*CSC*)
- case True.
- the thesis becomes (F1 ≡_v F2).
+ (if eqb n x then G1 else (FAtom n) ≡ (FAtom n)[ G2/x ]).
+ the thesis becomes
+ (if eqb n x then G1 else (FAtom n) ≡
+ if eqb n x then G2 else (FAtom n)).
+ we proceed by cases on (eqb n x) to prove
+ (if eqb n x then G1 else (FAtom n) ≡
+ if eqb n x then G2 else (FAtom n)).
+ case true.
+ the thesis becomes (G1 ≡ G2).
done.
- case False.
- the thesis becomes (FAtom n ≡_v FAtom n).
- the thesis becomes (sem v (FAtom n) = sem v (FAtom n)).
+ case false.
+ (*BEGIN*)
+ the thesis becomes (FAtom n ≡ FAtom n).
+ the thesis becomes (∀v. [[FAtom n]]_v = [[FAtom n]]_v).
+ assume v : (ℕ → ℕ).
the thesis becomes (v n = v n).
+ (*END*)
done.
-case Not.
- assume (*BEGIN*)f : Formula.(*END*)
- by induction hypothesis we know (subst x F1 f ≡_v subst x F2 f) (IH).
- the thesis becomes (FNot (subst x F1 f) ≡_v FNot (subst x F2 f)).
- the thesis becomes (sem v (FNot (subst x F1 f)) = sem v (FNot (subst x F2 f))).
- the thesis becomes (1 - sem v (subst x F1 f) = sem v (FNot (subst x F2 f))).
- the thesis becomes (1 - sem v (subst x F1 f) = 1 - sem v (subst x F2 f)).
- by IH we proved (sem v (subst x F1 f) = sem v (subst x F2 f)) (IH1).
- conclude (1-sem v (subst x F1 f)) = (1-sem v (subst x F2 f)) by IH1.
- done.
-case And.
- assume f : Formula.
- by induction hypothesis we know (subst x F1 f ≡_v subst x F2 f) (IH).
- assume f1 : Formula.
- by induction hypothesis we know (subst x F1 f1 ≡_v subst x F2 f1) (IH1).
- by IH we proved (sem v (subst x F1 f) = sem v (subst x F2 f)) (IH2).
- by IH1 we proved (sem v (subst x F1 f1) = sem v (subst x F2 f1)) (IH3).
+case FAnd.
+ assume F1 : Formula.
+ by induction hypothesis we know (F1[ G1/x ] ≡ F1[ G2/x ]) (IH1).
+ assume F2 : Formula.
+ by induction hypothesis we know (F2[ G1/x ] ≡ F2[ G2/x ]) (IH2).
the thesis becomes
- (sem v (FAnd (subst x F1 f) (subst x F1 f1)) =
- sem v (FAnd (subst x F2 f) (subst x F2 f1))).
+ (∀v.[[ (FAnd F1 F2)[ G1/x ] ]]_v = [[ (FAnd F1 F2)[ G2/x ] ]]_v).
+ assume v : (ℕ → ℕ).
the thesis becomes
- (min (sem v (subst x F1 f)) (sem v (subst x F1 f1)) =
- min (sem v (subst x F2 f)) (sem v (subst x F2 f1))).
+ (min ([[ F1[ G1/x ] ]]_v) ([[ F2[ G1/x ] ]]_v) =
+ min ([[ F1[ G2/x ] ]]_v) ([[ F2[ G2/x ] ]]_v)).
+ by IH1 we proved (∀v1.[[ F1[ G1/x ] ]]_v1 = [[ F1[ G2/x ] ]]_v1) (IH11).
+ by (*BEGIN*)IH2(*END*) we proved (∀v2.[[ F2[ G1/x ] ]]_v2 = [[ F2[ G2/x ] ]]_v2) (IH22).
+ by IH11 we proved ([[ F1[ G1/x ] ]]_v = [[ F1[ G2/x ] ]]_v) (IH111).
+ by (*BEGIN*)IH22(*END*) we proved ([[ F2[ G1/x ] ]]_v = [[ F2[ G2/x ] ]]_v) (IH222).
conclude
- (min (sem v (subst x F1 f)) (sem v (subst x F1 f1)))
- = (min (sem v (subst x F2 f)) (sem v (subst x F1 f1))) by IH2.
- = (*BEGIN*)(min (sem v (subst x F2 f)) (sem v (subst x F2 f1)))(*END*) by (*BEGIN*)IH3(*END*).
+ (min ([[ F1[ G1/x ] ]]_v) ([[ F2[ G1/x ] ]]_v))
+ = (min ([[ F1[ G2/x ] ]]_v) ([[ F2[ G1/x ] ]]_v)) by IH222.
+ = (min ([[(F1[ G2/x ])]]_v) ([[(F2[ G2/x ])]]_v)) by (*BEGIN*)IH111(*END*).
+ (*END*)
done.
-(*BEGIN*)
-case Or.
- assume f : Formula.
- by induction hypothesis we know (subst x F1 f ≡_v subst x F2 f) (IH).
- assume f1 : Formula.
- by induction hypothesis we know (subst x F1 f1 ≡_v subst x F2 f1) (IH1).
- by IH we proved (sem v (subst x F1 f) = sem v (subst x F2 f)) (IH2).
- by IH1 we proved (sem v (subst x F1 f1) = sem v (subst x F2 f1)) (IH3).
+case FOr.
+ (*BEGIN*)
+ assume F1 : Formula.
+ by induction hypothesis we know (F1[ G1/x ] ≡ F1[ G2/x ]) (IH1).
+ assume F2 : Formula.
+ by induction hypothesis we know (F2[ G1/x ] ≡ F2[ G2/x ]) (IH2).
the thesis becomes
- (sem v (FOr (subst x F1 f) (subst x F1 f1)) =
- sem v (FOr (subst x F2 f) (subst x F2 f1))).
+ (∀v.[[ (FOr F1 F2)[ G1/x ] ]]_v = [[ (FOr F1 F2)[ G2/x ] ]]_v).
+ assume v : (ℕ → ℕ).
the thesis becomes
- (max (sem v (subst x F1 f)) (sem v (subst x F1 f1)) =
- max (sem v (subst x F2 f)) (sem v (subst x F2 f1))).
+ (max ([[ F1[ G1/x ] ]]_v) ([[ F2[ G1/x ] ]]_v) =
+ max ([[ F1[ G2/x ] ]]_v) ([[ F2[ G2/x ] ]]_v)).
+ by IH1 we proved (∀v1.[[ F1[ G1/x ] ]]_v1 = [[ F1[ G2/x ] ]]_v1) (IH11).
+ by IH2 we proved (∀v2.[[ F2[ G1/x ] ]]_v2 = [[ F2[ G2/x ] ]]_v2) (IH22).
+ by IH11 we proved ([[ F1[ G1/x ] ]]_v = [[ F1[ G2/x ] ]]_v) (IH111).
+ by IH22 we proved ([[ F2[ G1/x ] ]]_v = [[ F2[ G2/x ] ]]_v) (IH222).
conclude
- (max (sem v (subst x F1 f)) (sem v (subst x F1 f1)))
- = (max (sem v (subst x F2 f)) (sem v (subst x F1 f1))) by IH2.
- = (max (sem v (subst x F2 f)) (sem v (subst x F2 f1))) by IH3.
- done.
-case Implication.
- assume f : Formula.
- by induction hypothesis we know (subst x F1 f ≡_v subst x F2 f) (IH).
- assume f1 : Formula.
- by induction hypothesis we know (subst x F1 f1 ≡_v subst x F2 f1) (IH1).
+ (max ([[ F1[ G1/x ] ]]_v) ([[ F2[ G1/x ] ]]_v))
+ = (max ([[ F1[ G2/x ] ]]_v) ([[ F2[ G1/x ] ]]_v)) by IH222.
+ = (max ([[(F1[ G2/x ])]]_v) ([[(F2[ G2/x ])]]_v)) by IH111.
+ (*END*)
+ done.
+case FImpl.
+ (*BEGIN*)
+ assume F1 : Formula.
+ by induction hypothesis we know (F1[ G1/x ] ≡ F1[ G2/x ]) (IH1).
+ assume F2 : Formula.
+ by induction hypothesis we know (F2[ G1/x ] ≡ F2[ G2/x ]) (IH2).
the thesis becomes
- (max (1 - sem v (subst x F1 f)) (sem v (subst x F1 f1)) =
- max (1 - sem v (subst x F2 f)) (sem v (subst x F2 f1))).
- by IH we proved (sem v (subst x F1 f) = sem v (subst x F2 f)) (IH2).
- by IH1 we proved (sem v (subst x F1 f1) = sem v (subst x F2 f1)) (IH3).
+ (∀v.max (1 - [[ F1[ G1/x ] ]]_v) ([[ F2[ G1/x ] ]]_v) =
+ max (1 - [[ F1[ G2/x ] ]]_v) ([[ F2[ G2/x ] ]]_v)).
+ assume v : (ℕ → ℕ).
+ by IH1 we proved ([[ F1[ G1/x ] ]]_v = [[ F1[ G2/x ] ]]_v) (IH11).
+ by IH2 we proved ([[ F2[ G1/x ] ]]_v = [[ F2[ G2/x ] ]]_v) (IH22).
conclude
- (max (1-sem v (subst x F1 f)) (sem v (subst x F1 f1)))
- = (max (1-sem v (subst x F2 f)) (sem v (subst x F1 f1))) by IH2.
- = (max (1-sem v (subst x F2 f)) (sem v (subst x F2 f1))) by IH3.
+ (max (1-[[ F1[ G1/x ] ]]_v) ([[ F2[ G1/x ] ]]_v))
+ = (max (1-[[ F1[ G2/x ] ]]_v) ([[ F2[ G1/x ] ]]_v)) by IH11.
+ = (max (1-[[ F1[ G2/x ] ]]_v) ([[ F2[ G2/x ] ]]_v)) by IH22.
done.
-(*END*)
+case FNot.
+ (*BEGIN*)
+ assume F1 : Formula.
+ by induction hypothesis we know (F1[ G1/x ] ≡ F1[ G2/x ]) (IH).
+ the thesis becomes (FNot (F1[ G1/x ]) ≡ FNot (F1[ G2/x ])).
+ the thesis becomes (∀v.[[FNot (F1[ G1/x ])]]_v = [[FNot (F1[ G2/x ])]]_v).
+ assume v : (ℕ → ℕ).
+ the thesis becomes (1 - [[F1[ G1/x ]]]_v = [[FNot (F1[ G2/x ])]]_v).
+ the thesis becomes (1 - [[ F1[ G1/x ] ]]_v = 1 - [[ F1[ G2/x ] ]]_v).
+ by IH we proved (∀v1.[[ F1[ G1/x ] ]]_v1 = [[ F1[ G2/x ] ]]_v1) (IH1).
+ by IH1 we proved ([[ F1[ G1/x ] ]]_v = [[ F1[ G2/x ] ]]_v) (IH2).
+ conclude
+ (1-[[ F1[ G1/x ] ]]_v)
+ = (1-[[ F1[ G2/x ] ]]_v) by IH2.
+ (*END*)
+ done.
qed.
+
+(* Questionario
+
+ Compilare mettendo una X nella risposta scelta.
+
+ 1) Pensi che sia utile l'integrazione del corso con una attività di
+ laboratorio?
+
+ [ ] per niente [ ] poco [ ] molto
+
+ 2) Pensi che gli esercizi proposti ti siano stati utili a capire meglio
+ quanto visto a lezione?
+
+ [ ] per niente [ ] poco [ ] molto
+
+
+ 3) Gli esercizi erano
+
+ [ ] troppo facili [ ] alla tua portata [ ] impossibili
+
+ 4) Il tempo a disposizione è stato
+
+ [ ] poco [ ] giusto [ ] troppo
+
+
+ 5) Cose che miglioreresti nel software Matita
+
+ .........
+
+ 6) Suggerimenti sullo svolgimento delle attività in laboratorio
+
+ .........
+
+
+*)
+
+
projects / helm.git / blobdiff