(* Esercizio -1
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- 1. Leggere ATTENTAMENTE, e magari stampare, la documentazione reperibile
- all'URL seguente:
+ 1. Leggere ATTENTAMENTE, e magari stampare, la documentazione
+ reperibile all'URL seguente:
http://mowgli.cs.unibo.it/~tassi/exercise-shannon.ma.html
- 2. Questa volta si fa sul serio:
- l'esercizio proposto è molto difficile, occorre la vostra massima
- concentrazione (leggi: niente cut&paste selvaggio, cercate di capire!)
+ 2. Questa volta si fa sul serio:
+
+ l'esercizio proposto è MOLTO difficile, occorre la vostra massima
+ concentrazione (leggi: niente cut&paste selvaggio)
*)
interpretation "equivalence for Formulas" 'equivF a b = (equiv a b).
lemma min_1_sem: ∀F,v.min 1 [[ F ]]_v = [[ F ]]_v. intros; cases (sem_bool F v); rewrite > H; reflexivity; qed.
lemma max_0_sem: ∀F,v.max [[ F ]]_v 0 = [[ F ]]_v. intros; cases (sem_bool F v); rewrite > H; reflexivity; qed.
+definition IFTE := λA,B,C:Formula. FOr (FAnd A B) (FAnd (FNot A) C).
+
(*DOCBEGIN
La libreria di Matita
Per portare a termine l'esercitazione sono necessari i seguenti lemmi:
* lemma `decidable_eq_nat` : `∀x,y.x = y ∨ x ≠ y`
+* lemma `sem_bool` : `∀F,v. [[ F ]]_v = 0 ∨ [[ F ]]_v = 1`
* lemma `not_eq_to_eqb_false` : `∀x,y.x ≠ y → eqb x y = false`
* lemma `eq_to_eqb_true` : `∀x,y.x = y → eqb x y = true`
* lemma `min_1_sem` : `∀F,v.min 1 [[ F ]]_v = [[ F ]]_v`
* lemma `max_0_sem` : `∀F,v.max [[ F ]]_v 0 = [[ F ]]_v`
+Nota su `x = y` e `eqb x y`
+---------------------------
+
+Se vi siete mai chiesti la differenza tra `x = y` ed `eqb x y`
+quanto segue prova a chiarirla.
+
+Presi due numeri `x` e `y` in ℕ, dire che `x = y` significa i due numeri
+sono lo stesso numero, ovvero che se `x` è il numero `3`,
+anche `y` è il numero `3`.
+
+`eqb` è un funzione, un programma, che confronta due numeri naturali
+e restituisce `true` se sono uguali, `false` se sono diversi. L'utilizzo
+di tale programma è necessario per usare il costrutto (che è a sua volta
+un programma) `if E then A else B`, che lancia il programma `E`,
+e se il suo
+risultato è `true` si comporta come `A` altrimenti come `B`. Come
+ben sapete i programmi possono contenere errori. In particolare anche
+`eqb` potrebbe essere sbagliato, e per esempio restituire sempre `true`.
+I teoremi `eq_to_eqb_true` e
+`not_eq_to_eqb_false` sono la dimostrazione che il programma `eqb` è
+corretto, ovvero che che se `x = y` allora `eqb x y` restituisce `true`,
+se `x ≠ y` allora `eqb x y` restituisce `false`.
+
Il teorema di espansione di Shannon
===================================
+Si definisce un connettivo logico `IFTE A B C` come
+
+ FOr (FAnd A B) (FAnd (FNot A) C)
+
Il teorema dice che data una formula `F`, e preso un atomo `x`, la seguente
-formula ha in un mondo `v` la stessa semantica di `F`:
+formula è equivalente a `F`:
- if eqb [[FAtom x]]_v 0 then F[FBot/x] else (F[FTop/x])
+ IFTE (FAtom x) (F[FTop/x]) (F[FBot/x])
-Ovvero, sostituisco l'atomo `x` con `FBot` se tale atomo è falso
-nel mondo `v`, altrimenti lo sostituisco con `FTop`.
+Ovvero, fissato un mondo `v`, sostituisco l'atomo `x` con `FBot` se tale
+atomo è falso, lo sostituisco con `FTop` se è vero.
-DOCEND*)
+La dimostrazione è composta da due lemmi, `shannon_false` e `shannon_true`.
-definition IFTE := λA,B,C:Formula. FOr (FAnd A B) (FAnd (FNot A) C).
+Vediamo solo la dimostrazione del primo, essendo il secondo del tutto analogo.
+Il lemma asserisce quanto segue:
+
+ ∀F,x,v. [[ FAtom x ]]_v = 0 → [[ F[FBot/x] ]]_v = [[ F ]]_v
+
+Una volta assunte la formula `F`, l'atomo `x`, il mondo `v` e aver
+supposto che `[[ FAtom x ]]_v = 0` si procede per induzione su `F`.
+I casi `FTop` e `FBot` sono banali. Nei casi `FAnd/FOr/FImpl/FNot`,
+una volta assunte le sottoformule e le relative ipotesi induttive,
+si conclude con una catena di uguaglianze.
+
+Il caso `FAtom` richiede maggiore cura. Assunto l'indice dell'atomo `n`,
+occorre utilizzare il lemma `decidable_eq_nat` per ottenere l'ipotesi
+aggiuntiva `n = x ∨ n ≠ x` (dove `x` è l'atomo su cui predica il teorema).
+Si procede per casi sull'ipotesi appena ottenuta.
+In entrambi i casi, usando i lemmi `eq_to_eqb_true` oppure `not_eq_to_eqb_false`
+si ottengolo le ipotesi aggiuntive `(eqb n x = true)` oppure `(eqb n x = false)`.
+Entrambi i casi si concludono con una catena di uguaglianze.
+
+Il teorema principale si dimostra utilizzando il lemma `sem_bool` per
+ottenre l'ipotesi `[[ FAtom x ]]_v = 0 ∨ [[ FAtom x ]]_v = 1` su cui
+si procede poi per casi. Entrambi i casi si concludono con
+una catena di uguaglianze che utilizza i lemmi dimostrati in precedenza
+e i lemmi `min_1_sem` oppure `max_0_sem`.
+
+DOCEND*)
lemma shannon_false:
∀F,x,v. [[ FAtom x ]]_v = 0 → [[ F[FBot/x] ]]_v = [[ F ]]_v.
+(*BEGIN*)
assume F : Formula.
assume x : ℕ.
assume v : (ℕ → ℕ).
= (1 - [[ f ]]_v) by H1.
= ([[ FNot f ]]_v).
done.
+(*END*)
qed.
lemma shannon_true:
∀F,x,v. [[ FAtom x ]]_v = 1 → [[ F[FTop/x] ]]_v = [[ F ]]_v.
+(*BEGIN*)
assume F : Formula.
assume x : ℕ.
assume v : (ℕ → ℕ).
= (1 - [[ f ]]_v) by H1.
= ([[ FNot f ]]_v).
done.
+(*END*)
qed.
theorem shannon :
∀F,x. IFTE (FAtom x) (F[FTop/x]) (F[FBot/x]) ≡ F.
+(*BEGIN*)
assume F : Formula.
assume x : ℕ.
assume v : (ℕ → ℕ).
= ([[ F[FTop/x] ]]_v) by max_0_sem.
= ([[ F ]]_v) by H1, shannon_true.
done.
+(*END*)
qed.
(*DOCBEGIN
Si ricorda che:
1. Ogni volta che nella finestra di destra compare un simbolo `∀` oppure un
- simbolo `→` è opportuno usare il comando `assume` oppure `suppose` (che
- vengono nuovamente spiegati in seguito).
+ simbolo `→` è opportuno usare il comando `assume` oppure `suppose`
+ oppure (se si è in un caso di una dimostrazione per induzione) il comando
+ `by induction hypothesis we know` (che vengono nuovamente spiegati in seguito).
2. Ogni caso (o sotto caso) della dimostrazione:
2. Continua poi con almeno un comando `the thesis becomes`.
- 3. Eventualmente seguono vari comandi `by ... we proved` per combinare le
- ipotesi tra loro o utilizzare i teoremi già disponibili per generare nuove
+ 3. Eventualmente seguono vari comandi `by ... we proved` per
+ utilizzare i teoremi già disponibili per generare nuove
ipotesi.
4. Eventualmente uno o più comandi `we proceed by cases on (...) to prove (...)`.
avrà tante ipotesi induttive quante sono le sue sottoformule e tali
ipotesi sono necessarie per portare a termine la dimostrazione.
-La dimostrazione
-================
-
-...
-
-Il caso (FAtom n)
------------------
-
-Questo è il caso più difficile di tutta la dimostrazione.
-
-La tesi è `([[ if eqb [[ FAtom x ]]_v O then (FAtom n)[ FBot/x ] else (FAtom n[ FTop/x ]) ]]_v = [[ FAtom n ]]_ v)`
-
-Per dimostrarla è necessario utilizzare il lemma `decidable_eq_nat` per
-ottenere l'ipotesi agiuntiva `n = x ∨ n ≠ x` che chiameremo `H` e il lemma
-`sem_bool` per ottenre l'ipotesi aggiuntiva `[[ FAtom x ]]_v = 0 ∨ [[ FAtom x ]]_v = 1`
-che chiameremo `H1`.
-
-Si procede poi per casi sull'ipotesi `H`, e in ogni suo sotto caso si procede
-per casi su `H1`.
-
-Nei casi in cui è presente l'ipotesi aggiuntiva `n ≠ x` è bene
-ottenre tramite il lemma `not_eq_to_eqb_false` l'ipotesi aggiuntiva
-`eqb n x = false`.
-
-Abbiamo quindi quattro casi, in tutti si procede con un comando `conclude`:
-
-1. Caso in cui `n=x` e `[[ FAtom x ]]_v = 0`.
-
- Utilizzando l'ipotesi `[[ FAtom x ]]_v = 0` e espandendo alcune definizioni
- si ottiene che la parte sinistra della conclusione è
-
- ([[ if eqb n x then FBot else (FAtom n) ]]_v)
-
- Usando l'ipotesi `n = x`, poi il lemma `eqb_n_n` e espandendo alcune
- definizioni si ottiene `0`. Tornando ad usare le due ipotesi
- `n=x` e `[[ FAtom x ]]_v = 0` si ottiene una formula uguale al
- lato destro della conclusione.
-
-2. Caso in cui `n=x` e `[[ FAtom x ]]_v = 1`.
-
- Analogo al caso precedente.
-
-3. Caso in cui `n≠x` e `[[ FAtom x ]]_v = 0`.
-
- Si ottiene l'ipotesi aggiuntiva `eqb n x = false` usando il lemma
- `not_eq_to_eqb_false` insieme all'ipotesi `n ≠ x`. Usando il comando
- conlude e l'ipotesi `[[ FAtom x ]]_v = 0`, la nuova ipotesi appena
- ottenuta e espandendo alcune definizioni si ottiene una formula
- uguale a quella di destra.
-
-4. Caso in cui `n≠x` e `[[ FAtom x ]]_v = 1`.
-
- Analogo al caso precedente.
-
I comandi da utilizzare
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* `we proceed by cases on (...) to prove (...).`
Permette di andare per casi su una ipotesi (quando essa è della forma
- `A ∨ B`) oppure su una espressione come `eqb n m`.
+ `A ∨ B`).
Esempio: `we proceed by cases on H to prove Q.`
-
- Esempio: `we proceed by cases on (eqb x 0) to prove Q.`
* `case ... .`
projects / helm.git / blobdiff