-(* Esercitazione di logica 29/10/2008.
-
- Note per gli esercizi:
+(* Esercizio -1
+ ============
- http://www.cs.unibo.it/~tassi/exercise-duality.ma.html
-
+ 1. Leggere ATTENTAMENTE, e magari stampare, la documentazione
+ reperibile all'URL seguente:
+
+ http://mowgli.cs.unibo.it/~tassi/exercise-shannon.ma.html
+
+ 2. Questa volta si fa sul serio:
+
+ l'esercizio proposto è MOLTO difficile, occorre la vostra massima
+ concentrazione (leggi: niente cut&paste selvaggio)
+
*)
+
(* Esercizio 0
===========
Matricola2: ...
Account2: ...
- Prima di abbandonare la postazione:
-
- * salvare il file (menu `File ▹ Save as ...`) nella directory (cartella)
- /public/ con nome linguaggi_Account1.ma, ad esempio Mario Rossi, il cui
- account è mrossi, deve salvare il file in /public/linguaggi_mrossi.ma
-
- * mandatevi via email o stampate il file. Per stampare potete usare
- usare l'editor gedit che offre la funzionalità di stampa
*)
-(*DOCBEGIN
-
-Il teorema di dualità
-=====================
-
-Il teorema di dualizzazione dice che date due formule `F1` ed `F2`,
-se le due formule sono equivalenti (`F1 ≡ F2`) allora anche le
-loro dualizzate lo sono (`dualize F1 ≡ dualize F2`).
-
-L'ingrediente principale è la funzione di dualizzazione di una formula `F`:
-
- * Scambia FTop con FBot e viceversa
-
- * Scambia il connettivo FAnd con FOr e viceversa
-
- * Sostituisce il connettivo FImpl con FAnd e nega la
- prima sottoformula.
-
- Ad esempio la formula `A → (B ∧ ⊥)` viene dualizzata in
- `¬A ∧ (B ∨ ⊤)`.
-
-Per dimostrare il teorema di dualizzazione in modo agevole è necessario
-definire altre nozioni:
-
-* La funzione `negate` che presa una formula `F` ne nega gli atomi.
- Ad esempio la formula `(A ∨ (⊤ → B))` deve diventare `¬A ∨ (⊤ → ¬B)`.
-
-* La funzione `invert` permette di invertire un mondo `v`.
- Ovvero, per ogni indice di atomo `i`, se `v i` restituisce
- `1` allora `(invert v) i` restituisce `0` e viceversa.
-
-DOCEND*)
-
(* ATTENZIONE
==========
definition max ≝ λn,m. if eqb (n - m) 0 then m else n.
definition min ≝ λn,m. if eqb (n - m) 0 then n else m.
-(* Ripasso
- =======
+(* Ripasso 1
+ =========
Il linguaggio delle formule, dove gli atomi sono
rapperesentati da un numero naturale
| FNot: Formula → Formula
.
-(* Esercizio 1
- ===========
+(* Ripasso 2
+ =========
- Modificare la funzione `sem` scritta nella precedente
- esercitazione in modo che valga solo 0 oppure 1 nel caso degli
- atomi, anche nel caso in cui il mondo `v` restituisca un numero
- maggiore di 1.
-
- Suggerimento: non è necessario usare il costrutto if_then_else
- e tantomento il predicato di maggiore o uguale. È invece possibile
- usare la funzione `min`.
-*)
+ La semantica di una formula `F` in un mondo `v`: `[[ F ]]_v`
+*)
let rec sem (v: nat → nat) (F: Formula) on F : nat ≝
match F with
[ FBot ⇒ 0
| FTop ⇒ 1
- | FAtom n ⇒ (*BEGIN*)min (v n) 1(*END*)
+ | FAtom n ⇒ min (v n) 1
| FAnd F1 F2 ⇒ min (sem v F1) (sem v F2)
| FOr F1 F2 ⇒ max (sem v F1) (sem v F2)
| FImpl F1 F2 ⇒ max (1 - sem v F1) (sem v F2)
notation > "[[ term 19 a ]] \sub term 90 v" non associative with precedence 90 for @{ 'semantics $v $a }.
notation > "[[ term 19 a ]]_ term 90 v" non associative with precedence 90 for @{ sem $v $a }.
interpretation "Semantic of Formula" 'semantics v a = (sem v a).
+lemma sem_bool : ∀F,v. [[ F ]]_v = 0 ∨ [[ F ]]_v = 1. intros; elim F; simplify; [left;reflexivity; |right;reflexivity; |cases (v n);[left;|cases n1;right;]reflexivity; |4,5,6: cases H; cases H1; rewrite > H2; rewrite > H3; simplify; first [ left;reflexivity | right; reflexivity ]. |cases H; rewrite > H1; simplify;[right|left]reflexivity;] qed.
-definition v20 ≝ λx.
- if eqb x 0 then 2
- else if eqb x 1 then 1
- else 0.
-
-(* Test 1
- ======
-
- La semantica della formula `(A ∨ C)` nel mondo `v20` in cui
- `A` vale `2` e `C` vale `0` deve valere `1`.
-
-*)
-eval normalize on [[FOr (FAtom 0) (FAtom 2)]]_v20.
-
-(*DOCBEGIN
-
-La libreria di Matita
-=====================
-
-Gli strumenti per la dimostrazione assistita sono corredati da
-librerie di teoremi già dimostrati. Per portare a termine l'esercitazione
-sono necessari i seguenti lemmi:
-
-* lemma `sem_le_1` : `∀F,v. [[ F ]]_v ≤ 1`
-* lemma `min_1_1` : `∀x. x ≤ 1 → 1 - (1 - x) = x`
-* lemma `min_bool` : `∀n. min n 1 = 0 ∨ min n 1 = 1`
-* lemma `min_max` : `∀F,G,v.min (1 - [[F]]_v) (1 - [[G]]_v) = 1 - max [[F]]_v [[G]]_v`
-* lemma `max_min` : `∀F,G,v.max (1 - [[F]]_v) (1 - [[G]]_v) = 1 - min [[F]]_v [[G]]_v`
-* lemma `equiv_rewrite` : `∀F1,F2,F3. F1 ≡ F2 → F1 ≡ F3 → F2 ≡ F3`
-
-DOCEND*)
-
-(* ATTENZIONE
- ==========
+(* Ripasso 3
+ =========
- Non modificare quanto segue.
+ L'operazione di sostituzione di una formula `G` al posto dell'atomo
+ `x` in una formula `F`: `F[G/x]`
*)
-lemma sem_bool : ∀F,v. [[ F ]]_v = 0 ∨ [[ F ]]_v = 1. intros; elim F; simplify; [left;reflexivity; |right;reflexivity; |cases (v n);[left;|cases n1;right;]reflexivity; |4,5,6: cases H; cases H1; rewrite > H2; rewrite > H3; simplify; first [ left;reflexivity | right; reflexivity ]. |cases H; rewrite > H1; simplify;[right|left]reflexivity;] qed.
-lemma min_bool : ∀n. min n 1 = 0 ∨ min n 1 = 1. intros; cases n; [left;reflexivity] cases n1; right; reflexivity; qed.
-lemma min_max : ∀F,G,v. min (1 - [[F]]_v) (1 - [[G]]_v) = 1 - max [[F]]_v [[G]]_v. intros; cases (sem_bool F v);cases (sem_bool G v); rewrite > H; rewrite >H1; simplify; reflexivity; qed.
-lemma max_min : ∀F,G,v. max (1 - [[F]]_v) (1 - [[G]]_v) = 1 - min [[F]]_v [[G]]_v. intros; cases (sem_bool F v);cases (sem_bool G v); rewrite > H; rewrite >H1; simplify; reflexivity; qed.
-lemma min_1_1 : ∀x.x ≤ 1 → 1 - (1 - x) = x. intros; inversion H; intros; destruct; [reflexivity;] rewrite < (le_n_O_to_eq ? H1); reflexivity;qed.
-lemma sem_le_1 : ∀F,v.[[F]]_v ≤ 1. intros; cases (sem_bool F v); rewrite > H; [apply le_O_n|apply le_n]qed.
+
let rec subst (x:nat) (G: Formula) (F: Formula) on F ≝
match F with
[ FBot ⇒ FBot
- | FTop ⇒ (*BEGIN*)FTop(*END*)
- | FAtom n ⇒ if (*BEGIN*)eqb n x(*END*) then (*BEGIN*)G(*END*) else ((*BEGIN*)FAtom n(*END*))
- (*BEGIN*)
+ | FTop ⇒ FTop
+ | FAtom n ⇒ if eqb n x then G else (FAtom n)
| FAnd F1 F2 ⇒ FAnd (subst x G F1) (subst x G F2)
| FOr F1 F2 ⇒ FOr (subst x G F1) (subst x G F2)
| FImpl F1 F2 ⇒ FImpl (subst x G F1) (subst x G F2)
- (*END*)
| FNot F ⇒ FNot (subst x G F)
].
-
+
+(* ATTENZIONE
+ ==========
+
+ Non modificare quanto segue.
+*)
notation < "t [ \nbsp term 19 a / term 19 b \nbsp ]" non associative with precedence 19 for @{ 'substitution $b $a $t }.
notation > "t [ term 90 a / term 90 b]" non associative with precedence 19 for @{ 'substitution $b $a $t }.
interpretation "Substitution for Formula" 'substitution b a t = (subst b a t).
notation "hvbox(a \nbsp break mstyle color #0000ff (≡) \nbsp b)" non associative with precedence 45 for @{ 'equivF $a $b }.
notation > "a ≡ b" non associative with precedence 50 for @{ equiv $a $b }.
interpretation "equivalence for Formulas" 'equivF a b = (equiv a b).
+lemma min_1_sem: ∀F,v.min 1 [[ F ]]_v = [[ F ]]_v. intros; cases (sem_bool F v); rewrite > H; reflexivity; qed.
+lemma max_0_sem: ∀F,v.max [[ F ]]_v 0 = [[ F ]]_v. intros; cases (sem_bool F v); rewrite > H; reflexivity; qed.
+definition IFTE := λA,B,C:Formula. FOr (FAnd A B) (FAnd (FNot A) C).
+
+(*DOCBEGIN
+
+La libreria di Matita
+=====================
+
+Per portare a termine l'esercitazione sono necessari i seguenti lemmi:
+
+* lemma `decidable_eq_nat` : `∀x,y.x = y ∨ x ≠ y`
+* lemma `sem_bool` : `∀F,v. [[ F ]]_v = 0 ∨ [[ F ]]_v = 1`
+* lemma `not_eq_to_eqb_false` : `∀x,y.x ≠ y → eqb x y = false`
+* lemma `eq_to_eqb_true` : `∀x,y.x = y → eqb x y = true`
+* lemma `min_1_sem` : `∀F,v.min 1 [[ F ]]_v = [[ F ]]_v`
+* lemma `max_0_sem` : `∀F,v.max [[ F ]]_v 0 = [[ F ]]_v`
+
+Nota su `x = y` e `eqb x y`
+---------------------------
+
+Se vi siete mai chiesti la differenza tra `x = y` ed `eqb x y`
+quanto segue prova a chiarirla.
+
+Presi due numeri `x` e `y` in ℕ, dire che `x = y` significa i due numeri
+sono lo stesso numero, ovvero che se `x` è il numero `3`,
+anche `y` è il numero `3`.
+
+`eqb` è un funzione, un programma, che confronta due numeri naturali
+e restituisce `true` se sono uguali, `false` se sono diversi. L'utilizzo
+di tale programma è necessario per usare il costrutto (che è a sua volta
+un programma) `if E then A else B`, che lancia il programma `E`,
+e se il suo
+risultato è `true` si comporta come `A` altrimenti come `B`. Come
+ben sapete i programmi possono contenere errori. In particolare anche
+`eqb` potrebbe essere sbagliato, e per esempio restituire sempre `true`.
+I teoremi `eq_to_eqb_true` e
+`not_eq_to_eqb_false` sono la dimostrazione che il programma `eqb` è
+corretto, ovvero che che se `x = y` allora `eqb x y` restituisce `true`,
+se `x ≠ y` allora `eqb x y` restituisce `false`.
+
+Il teorema di espansione di Shannon
+===================================
+
+Si definisce un connettivo logico `IFTE A B C` come
+
+ FOr (FAnd A B) (FAnd (FNot A) C)
+
+Il teorema dice che data una formula `F`, e preso un atomo `x`, la seguente
+formula è equivalente a `F`:
+
+ IFTE (FAtom x) (F[FTop/x]) (F[FBot/x])
+
+Ovvero, fissato un mondo `v`, sostituisco l'atomo `x` con `FBot` se tale
+atomo è falso, lo sostituisco con `FTop` se è vero.
+
+La dimostrazione è composta da due lemmi, `shannon_false` e `shannon_true`.
+
+Vediamo solo la dimostrazione del primo, essendo il secondo del tutto analogo.
+Il lemma asserisce quanto segue:
+
+ ∀F,x,v. [[ FAtom x ]]_v = 0 → [[ F[FBot/x] ]]_v = [[ F ]]_v
+
+Una volta assunte la formula `F`, l'atomo `x`, il mondo `v` e aver
+supposto che `[[ FAtom x ]]_v = 0` si procede per induzione su `F`.
+I casi `FTop` e `FBot` sono banali. Nei casi `FAnd/FOr/FImpl/FNot`,
+una volta assunte le sottoformule e le relative ipotesi induttive,
+si conclude con una catena di uguaglianze.
+
+Il caso `FAtom` richiede maggiore cura. Assunto l'indice dell'atomo `n`,
+occorre utilizzare il lemma `decidable_eq_nat` per ottenere l'ipotesi
+aggiuntiva `n = x ∨ n ≠ x` (dove `x` è l'atomo su cui predica il teorema).
+Si procede per casi sull'ipotesi appena ottenuta.
+In entrambi i casi, usando i lemmi `eq_to_eqb_true` oppure `not_eq_to_eqb_false`
+si ottengolo le ipotesi aggiuntive `(eqb n x = true)` oppure `(eqb n x = false)`.
+Entrambi i casi si concludono con una catena di uguaglianze.
+
+Il teorema principale si dimostra utilizzando il lemma `sem_bool` per
+ottenre l'ipotesi `[[ FAtom x ]]_v = 0 ∨ [[ FAtom x ]]_v = 1` su cui
+si procede poi per casi. Entrambi i casi si concludono con
+una catena di uguaglianze che utilizza i lemmi dimostrati in precedenza
+e i lemmi `min_1_sem` oppure `max_0_sem`.
+
+DOCEND*)
+
+lemma shannon_false:
+ ∀F,x,v. [[ FAtom x ]]_v = 0 → [[ F[FBot/x] ]]_v = [[ F ]]_v.
+(*BEGIN*)
+assume F : Formula.
+assume x : ℕ.
+assume v : (ℕ → ℕ).
+suppose ([[ FAtom x ]]_v = 0) (H).
+we proceed by induction on F to prove ([[ F[FBot/x] ]]_v = [[ F ]]_v).
+case FBot.
+ the thesis becomes ([[ FBot[FBot/x] ]]_v = [[ FBot ]]_v).
+ the thesis becomes ([[ FBot ]]_v = [[ FBot ]]_v).
+ done.
+case FTop.
+ the thesis becomes ([[ FTop[FBot/x] ]]_v = [[ FTop ]]_v).
+ the thesis becomes ([[ FTop ]]_v = [[ FTop ]]_v).
+ done.
+case FAtom.
+ assume n : ℕ.
+ the thesis becomes ([[ (FAtom n)[FBot/x] ]]_v = [[ FAtom n ]]_v).
+ the thesis becomes ([[ if eqb n x then FBot else (FAtom n) ]]_v = [[ FAtom n ]]_v).
+ by decidable_eq_nat we proved (n = x ∨ n ≠ x) (H1).
+ we proceed by cases on H1 to prove ([[ if eqb n x then FBot else (FAtom n) ]]_v = [[ FAtom n ]]_v).
+ case Left.
+ by H2, eq_to_eqb_true we proved (eqb n x = true) (H3).
+ conclude
+ ([[ if eqb n x then FBot else (FAtom n) ]]_v)
+ = ([[ if true then FBot else (FAtom n) ]]_v) by H3.
+ = ([[ FBot ]]_v).
+ = 0.
+ = ([[ FAtom x ]]_v) by H.
+ = ([[ FAtom n ]]_v) by H2.
+ done.
+ case Right.
+ by H2, not_eq_to_eqb_false we proved (eqb n x = false) (H3).
+ conclude
+ ([[ if eqb n x then FBot else (FAtom n) ]]_v)
+ = ([[ if false then FBot else (FAtom n) ]]_v) by H3.
+ = ([[ FAtom n ]]_v).
+ done.
+case FAnd.
+ assume f1 : Formula.
+ by induction hypothesis we know ([[ f1[FBot/x] ]]_v = [[ f1 ]]_v) (H1).
+ assume f2 : Formula.
+ by induction hypothesis we know ([[ f2[FBot/x] ]]_v = [[ f2 ]]_v) (H2).
+ the thesis becomes ([[ (FAnd f1 f2)[FBot/x] ]]_v = [[ FAnd f1 f2 ]]_v).
+ conclude
+ ([[ (FAnd f1 f2)[FBot/x] ]]_v)
+ = ([[ FAnd (f1[FBot/x]) (f2[FBot/x]) ]]_v).
+ = (min [[ f1[FBot/x] ]]_v [[ f2[FBot/x] ]]_v).
+ = (min [[ f1 ]]_v [[ f2[FBot/x] ]]_v) by H1.
+ = (min [[ f1 ]]_v [[ f2 ]]_v) by H2.
+ = ([[ FAnd f1 f2 ]]_v).
+ done.
+case FOr.
+ assume f1 : Formula.
+ by induction hypothesis we know ([[ f1[FBot/x] ]]_v = [[ f1 ]]_v) (H1).
+ assume f2 : Formula.
+ by induction hypothesis we know ([[ f2[FBot/x] ]]_v = [[ f2 ]]_v) (H2).
+ the thesis becomes ([[ (FOr f1 f2)[FBot/x] ]]_v = [[ FOr f1 f2 ]]_v).
+ conclude
+ ([[ (FOr f1 f2)[FBot/x] ]]_v)
+ = ([[ FOr (f1[FBot/x]) (f2[FBot/x]) ]]_v).
+ = (max [[ f1[FBot/x] ]]_v [[ f2[FBot/x] ]]_v).
+ = (max [[ f1 ]]_v [[ f2[FBot/x] ]]_v) by H1.
+ = (max [[ f1 ]]_v [[ f2 ]]_v) by H2.
+ = ([[ FOr f1 f2 ]]_v).
+ done.
+case FImpl.
+ assume f1 : Formula.
+ by induction hypothesis we know ([[ f1[FBot/x] ]]_v = [[ f1 ]]_v) (H1).
+ assume f2 : Formula.
+ by induction hypothesis we know ([[ f2[FBot/x] ]]_v = [[ f2 ]]_v) (H2).
+ the thesis becomes ([[ (FImpl f1 f2)[FBot/x] ]]_v = [[ FImpl f1 f2 ]]_v).
+ conclude
+ ([[ (FImpl f1 f2)[FBot/x] ]]_v)
+ = ([[ FImpl (f1[FBot/x]) (f2[FBot/x]) ]]_v).
+ = (max (1 - [[ f1[FBot/x] ]]_v) [[ f2[FBot/x] ]]_v).
+ = (max (1 - [[ f1 ]]_v) [[ f2[FBot/x] ]]_v) by H1.
+ = (max (1 - [[ f1 ]]_v) [[ f2 ]]_v) by H2.
+ = ([[ FImpl f1 f2 ]]_v).
+ done.
+case FNot.
+ assume f : Formula.
+ by induction hypothesis we know ([[ f[FBot/x] ]]_v = [[ f ]]_v) (H1).
+ the thesis becomes ([[ (FNot f)[FBot/x] ]]_v = [[ FNot f ]]_v).
+ conclude
+ ([[ (FNot f)[FBot/x] ]]_v)
+ = ([[ FNot (f[FBot/x]) ]]_v).
+ = (1 - [[ f[FBot/x] ]]_v).
+ = (1 - [[ f ]]_v) by H1.
+ = ([[ FNot f ]]_v).
+ done.
+(*END*)
+qed.
+
+lemma shannon_true:
+ ∀F,x,v. [[ FAtom x ]]_v = 1 → [[ F[FTop/x] ]]_v = [[ F ]]_v.
+(*BEGIN*)
+assume F : Formula.
+assume x : ℕ.
+assume v : (ℕ → ℕ).
+suppose ([[ FAtom x ]]_v = 1) (H).
+we proceed by induction on F to prove ([[ F[FTop/x] ]]_v = [[ F ]]_v).
+case FBot.
+ the thesis becomes ([[ FBot[FTop/x] ]]_v = [[ FBot ]]_v).
+ the thesis becomes ([[ FBot ]]_v = [[ FBot ]]_v).
+ done.
+case FTop.
+ the thesis becomes ([[ FTop[FTop/x] ]]_v = [[ FTop ]]_v).
+ the thesis becomes ([[ FTop ]]_v = [[ FTop ]]_v).
+ done.
+case FAtom.
+ assume n : ℕ.
+ the thesis becomes ([[ (FAtom n)[FTop/x] ]]_v = [[ FAtom n ]]_v).
+ the thesis becomes ([[ if eqb n x then FTop else (FAtom n) ]]_v = [[ FAtom n ]]_v).
+ by decidable_eq_nat we proved (n = x ∨ n ≠ x) (H1).
+ we proceed by cases on H1 to prove ([[ if eqb n x then FTop else (FAtom n) ]]_v = [[ FAtom n ]]_v).
+ case Left.
+ by H2, eq_to_eqb_true we proved (eqb n x = true) (H3).
+ conclude
+ ([[ if eqb n x then FTop else (FAtom n) ]]_v)
+ = ([[ if true then FTop else (FAtom n) ]]_v) by H3.
+ = ([[ FTop ]]_v).
+ = 1.
+ = ([[ FAtom x ]]_v) by H.
+ = ([[ FAtom n ]]_v) by H2.
+ done.
+ case Right.
+ by H2, not_eq_to_eqb_false we proved (eqb n x = false) (H3).
+ conclude
+ ([[ if eqb n x then FTop else (FAtom n) ]]_v)
+ = ([[ if false then FTop else (FAtom n) ]]_v) by H3.
+ = ([[ FAtom n ]]_v).
+ done.
+case FAnd.
+ assume f1 : Formula.
+ by induction hypothesis we know ([[ f1[FTop/x] ]]_v = [[ f1 ]]_v) (H1).
+ assume f2 : Formula.
+ by induction hypothesis we know ([[ f2[FTop/x] ]]_v = [[ f2 ]]_v) (H2).
+ the thesis becomes ([[ (FAnd f1 f2)[FTop/x] ]]_v = [[ FAnd f1 f2 ]]_v).
+ conclude
+ ([[ (FAnd f1 f2)[FTop/x] ]]_v)
+ = ([[ FAnd (f1[FTop/x]) (f2[FTop/x]) ]]_v).
+ = (min [[ f1[FTop/x] ]]_v [[ f2[FTop/x] ]]_v).
+ = (min [[ f1 ]]_v [[ f2[FTop/x] ]]_v) by H1.
+ = (min [[ f1 ]]_v [[ f2 ]]_v) by H2.
+ = ([[ FAnd f1 f2 ]]_v).
+ done.
+case FOr.
+ assume f1 : Formula.
+ by induction hypothesis we know ([[ f1[FTop/x] ]]_v = [[ f1 ]]_v) (H1).
+ assume f2 : Formula.
+ by induction hypothesis we know ([[ f2[FTop/x] ]]_v = [[ f2 ]]_v) (H2).
+ the thesis becomes ([[ (FOr f1 f2)[FTop/x] ]]_v = [[ FOr f1 f2 ]]_v).
+ conclude
+ ([[ (FOr f1 f2)[FTop/x] ]]_v)
+ = ([[ FOr (f1[FTop/x]) (f2[FTop/x]) ]]_v).
+ = (max [[ f1[FTop/x] ]]_v [[ f2[FTop/x] ]]_v).
+ = (max [[ f1 ]]_v [[ f2[FTop/x] ]]_v) by H1.
+ = (max [[ f1 ]]_v [[ f2 ]]_v) by H2.
+ = ([[ FOr f1 f2 ]]_v).
+ done.
+case FImpl.
+ assume f1 : Formula.
+ by induction hypothesis we know ([[ f1[FTop/x] ]]_v = [[ f1 ]]_v) (H1).
+ assume f2 : Formula.
+ by induction hypothesis we know ([[ f2[FTop/x] ]]_v = [[ f2 ]]_v) (H2).
+ the thesis becomes ([[ (FImpl f1 f2)[FTop/x] ]]_v = [[ FImpl f1 f2 ]]_v).
+ conclude
+ ([[ (FImpl f1 f2)[FTop/x] ]]_v)
+ = ([[ FImpl (f1[FTop/x]) (f2[FTop/x]) ]]_v).
+ = (max (1 - [[ f1[FTop/x] ]]_v) [[ f2[FTop/x] ]]_v).
+ = (max (1 - [[ f1 ]]_v) [[ f2[FTop/x] ]]_v) by H1.
+ = (max (1 - [[ f1 ]]_v) [[ f2 ]]_v) by H2.
+ = ([[ FImpl f1 f2 ]]_v).
+ done.
+case FNot.
+ assume f : Formula.
+ by induction hypothesis we know ([[ f[FTop/x] ]]_v = [[ f ]]_v) (H1).
+ the thesis becomes ([[ (FNot f)[FTop/x] ]]_v = [[ FNot f ]]_v).
+ conclude
+ ([[ (FNot f)[FTop/x] ]]_v)
+ = ([[ FNot (f[FTop/x]) ]]_v).
+ = (1 - [[ f[FTop/x] ]]_v).
+ = (1 - [[ f ]]_v) by H1.
+ = ([[ FNot f ]]_v).
+ done.
+(*END*)
+qed.
theorem shannon :
- ∀F,x,v. [[ if eqb [[FAtom x]]_v 0 then F[FBot/x] else (F[FTop/x]) ]]_v = [[F]]_v.
-intros; elim F;
-[1,2: cases (eqb [[FAtom x]]_v 0); reflexivity;
-|4,5,6: cases (eqb [[FAtom x]]_v 0) in H H1; simplify; intros; rewrite > H; rewrite > H1; reflexivity;
-|7: cases (eqb [[FAtom x]]_v 0) in H; simplify; intros; rewrite > H; reflexivity;
-| cases (sem_bool (FAtom x) v); rewrite > H; simplify;
- cases (decidable_eq_nat n x); destruct H1;
- [1,3: rewrite > eqb_n_n; simplify; rewrite >H;reflexivity;.
- |*:simplify in H; rewrite > (not_eq_to_eqb_false ?? H1); simplify; reflexivity;]]
+ ∀F,x. IFTE (FAtom x) (F[FTop/x]) (F[FBot/x]) ≡ F.
+(*BEGIN*)
+assume F : Formula.
+assume x : ℕ.
+assume v : (ℕ → ℕ).
+the thesis becomes ([[ IFTE (FAtom x) (F[FTop/x]) (F[FBot/x])]]_v = [[ F ]]_v).
+by sem_bool we proved ([[ FAtom x]]_v = 0 ∨ [[ FAtom x]]_v = 1) (H).
+we proceed by cases on H to prove ([[ IFTE (FAtom x) (F[FTop/x]) (F[FBot/x])]]_v = [[ F ]]_v).
+case Left.
+ conclude
+ ([[ IFTE (FAtom x) (F[FTop/x]) (F[FBot/x])]]_v)
+ = ([[ FOr (FAnd (FAtom x) (F[FTop/x])) (FAnd (FNot (FAtom x)) (F[FBot/x]))]]_v).
+ = (max [[ (FAnd (FAtom x) (F[FTop/x])) ]]_v [[ (FAnd (FNot (FAtom x)) (F[FBot/x]))]]_v).
+ = (max (min [[ FAtom x ]]_v [[ F[FTop/x] ]]_v) (min (1 - [[ FAtom x ]]_v) [[ F[FBot/x] ]]_v)).
+ = (max (min 0 [[ F[FTop/x] ]]_v) (min (1 - 0) [[ F[FBot/x] ]]_v)) by H.
+ = (max 0 (min 1 [[ F[FBot/x] ]]_v)).
+ = (max 0 [[ F[FBot/x] ]]_v) by min_1_sem.
+ = ([[ F[FBot/x] ]]_v).
+ = ([[ F ]]_v) by H1, shannon_false.
+ done.
+case Right.
+ conclude
+ ([[ IFTE (FAtom x) (F[FTop/x]) (F[FBot/x])]]_v)
+ = ([[ FOr (FAnd (FAtom x) (F[FTop/x])) (FAnd (FNot (FAtom x)) (F[FBot/x]))]]_v).
+ = (max [[ (FAnd (FAtom x) (F[FTop/x])) ]]_v [[ (FAnd (FNot (FAtom x)) (F[FBot/x]))]]_v).
+ = (max (min [[ FAtom x ]]_v [[ F[FTop/x] ]]_v) (min (1 - [[ FAtom x ]]_v) [[ F[FBot/x] ]]_v)).
+ = (max (min 1 [[ F[FTop/x] ]]_v) (min (1 - 1) [[ F[FBot/x] ]]_v)) by H.
+ = (max (min 1 [[ F[FTop/x] ]]_v) (min 0 [[ F[FBot/x] ]]_v)).
+ = (max [[ F[FTop/x] ]]_v (min 0 [[ F[FBot/x] ]]_v)) by min_1_sem.
+ = (max [[ F[FTop/x] ]]_v 0).
+ = ([[ F[FTop/x] ]]_v) by max_0_sem.
+ = ([[ F ]]_v) by H1, shannon_true.
+ done.
+(*END*)
qed.
+(*DOCBEGIN
+
+Note generali
+=============
+
+Si ricorda che:
+
+1. Ogni volta che nella finestra di destra compare un simbolo `∀` oppure un
+ simbolo `→` è opportuno usare il comando `assume` oppure `suppose`
+ oppure (se si è in un caso di una dimostrazione per induzione) il comando
+ `by induction hypothesis we know` (che vengono nuovamente spiegati in seguito).
+
+2. Ogni caso (o sotto caso) della dimostrazione:
+
+ 1. Inizia con una sequenza di comandi `assume` o `suppose` oppure
+ `by induction hypothesis we know`. Tale sequenza di comandi può anche
+ essere vuota.
+
+ 2. Continua poi con almeno un comando `the thesis becomes`.
+
+ 3. Eventualmente seguono vari comandi `by ... we proved` per
+ utilizzare i teoremi già disponibili per generare nuove
+ ipotesi.
+
+ 4. Eventualmente uno o più comandi `we proceed by cases on (...) to prove (...)`.
+
+ 5. Se necessario un comando `conclude` seguito da un numero anche
+ molto lungo di passi `= (...) by ... .` per rendere la parte
+ sinistra della vostra tesi uguale alla parte destra.
+
+ 6. Ogni caso termina con `done`.
+
+3. Ogni caso corrispondente a un nodo con sottoformule (FAnd/For/FNot)
+ avrà tante ipotesi induttive quante sono le sue sottoformule e tali
+ ipotesi sono necessarie per portare a termine la dimostrazione.
+
+I comandi da utilizzare
+=======================
+
+* `the thesis becomes (...).`
+
+ Afferma quale sia la tesi da dimostrare. Se ripetuto
+ permette di espandere le definizioni.
+
+* `we proceed by cases on (...) to prove (...).`
+
+ Permette di andare per casi su una ipotesi (quando essa è della forma
+ `A ∨ B`).
+
+ Esempio: `we proceed by cases on H to prove Q.`
+
+* `case ... .`
+
+ Nelle dimostrazioni per casi o per induzioni si utulizza tale comando
+ per inizia la sotto prova relativa a un caso. Esempio: `case Fbot.`
+* `done.`
+
+ Ogni caso di una dimostrazione deve essere terminato con il comando
+ `done.`
-
\ No newline at end of file
+* `assume ... : (...) .`
+
+ Assume una formula o un numero, ad esempio `assume n : (ℕ).` assume
+ un numero naturale `n`.
+
+* `by ..., ..., ..., we proved (...) (...).`
+
+ Permette di comporre lemmi e ipotesi per ottenere nuove ipotesi.
+ Ad esempio `by H, H1 we prove (F ≡ G) (H2).` ottiene una nuova ipotesi
+ `H2` che dice che `F ≡ G` componendo insieme `H` e `H1`.
+
+* `conclude (...) = (...) by ... .`
+
+ Il comando conclude lavora SOLO sulla parte sinistra della tesi. È il comando
+ con cui si inizia una catena di uguaglianze. La prima formula che si
+ scrive deve essere esattamente uguale alla parte sinistra della conclusione
+ originale. Esempio `conclude ([[ FAtom x ]]_v) = ([[ FAtom n ]]_v) by H.`
+ Se la giustificazione non è un lemma o una ipotesi ma la semplice espansione
+ di una definizione, la parte `by ...` deve essere omessa.
+
+* `= (...) by ... .`
+
+ Continua un comando `conclude`, lavorando sempre sulla parte sinistra della
+ tesi.
+
+DOCEND*)
projects / helm.git / blobdiff