(* Esercizio -1
============
- 1. Leggere ATTENTAMENTE, e magari stampare, la documentazione reperibile
- all'URL seguente:
+ 1. Leggere ATTENTAMENTE, e magari stampare, la documentazione
+ reperibile all'URL seguente:
http://mowgli.cs.unibo.it/~tassi/exercise-shannon.ma.html
- 2. Questa volta si fa sul serio:
- l'esercizio proposto è molto difficile, occorre la vostra massima
- concentrazione (leggi: niente cut&paste selvaggio, cercate di capire!)
+ 2. Questa volta si fa sul serio:
+
+ l'esercizio proposto è MOLTO difficile, occorre la vostra massima
+ concentrazione (leggi: niente cut&paste selvaggio)
*)
notation "hvbox(a \nbsp break mstyle color #0000ff (≡) \nbsp b)" non associative with precedence 45 for @{ 'equivF $a $b }.
notation > "a ≡ b" non associative with precedence 50 for @{ equiv $a $b }.
interpretation "equivalence for Formulas" 'equivF a b = (equiv a b).
+lemma min_1_sem: ∀F,v.min 1 [[ F ]]_v = [[ F ]]_v. intros; cases (sem_bool F v); rewrite > H; reflexivity; qed.
+lemma max_0_sem: ∀F,v.max [[ F ]]_v 0 = [[ F ]]_v. intros; cases (sem_bool F v); rewrite > H; reflexivity; qed.
+definition IFTE := λA,B,C:Formula. FOr (FAnd A B) (FAnd (FNot A) C).
(*DOCBEGIN
Per portare a termine l'esercitazione sono necessari i seguenti lemmi:
* lemma `decidable_eq_nat` : `∀x,y.x = y ∨ x ≠ y`
-* lemma `eqb_n_n` : `∀x.eqb x x = true`
+* lemma `sem_bool` : `∀F,v. [[ F ]]_v = 0 ∨ [[ F ]]_v = 1`
* lemma `not_eq_to_eqb_false` : `∀x,y.x ≠ y → eqb x y = false`
+* lemma `eq_to_eqb_true` : `∀x,y.x = y → eqb x y = true`
+* lemma `min_1_sem` : `∀F,v.min 1 [[ F ]]_v = [[ F ]]_v`
+* lemma `max_0_sem` : `∀F,v.max [[ F ]]_v 0 = [[ F ]]_v`
+
+Nota su `x = y` e `eqb x y`
+---------------------------
+
+Se vi siete mai chiesti la differenza tra `x = y` ed `eqb x y`
+quanto segue prova a chiarirla.
+
+Presi due numeri `x` e `y` in ℕ, dire che `x = y` significa i due numeri
+sono lo stesso numero, ovvero che se `x` è il numero `3`,
+anche `y` è il numero `3`.
+
+`eqb` è un funzione, un programma, che confronta due numeri naturali
+e restituisce `true` se sono uguali, `false` se sono diversi. L'utilizzo
+di tale programma è necessario per usare il costrutto (che è a sua volta
+un programma) `if E then A else B`, che lancia il programma `E`,
+e se il suo
+risultato è `true` si comporta come `A` altrimenti come `B`. Come
+ben sapete i programmi possono contenere errori. In particolare anche
+`eqb` potrebbe essere sbagliato, e per esempio restituire sempre `true`.
+I teoremi `eq_to_eqb_true` e
+`not_eq_to_eqb_false` sono la dimostrazione che il programma `eqb` è
+corretto, ovvero che che se `x = y` allora `eqb x y` restituisce `true`,
+se `x ≠ y` allora `eqb x y` restituisce `false`.
Il teorema di espansione di Shannon
===================================
+Si definisce un connettivo logico `IFTE A B C` come
+
+ FOr (FAnd A B) (FAnd (FNot A) C)
+
Il teorema dice che data una formula `F`, e preso un atomo `x`, la seguente
-formula ha in un mondo `v` la stessa semantica di `F`:
+formula è equivalente a `F`:
+
+ IFTE (FAtom x) (F[FTop/x]) (F[FBot/x])
+
+Ovvero, fissato un mondo `v`, sostituisco l'atomo `x` con `FBot` se tale
+atomo è falso, lo sostituisco con `FTop` se è vero.
- if eqb [[FAtom x]]_v 0 then F[FBot/x] else (F[FTop/x])
+La dimostrazione è composta da due lemmi, `shannon_false` e `shannon_true`.
+
+Vediamo solo la dimostrazione del primo, essendo il secondo del tutto analogo.
+Il lemma asserisce quanto segue:
+
+ ∀F,x,v. [[ FAtom x ]]_v = 0 → [[ F[FBot/x] ]]_v = [[ F ]]_v
-Ovvero, sostituisco l'atomo `x` con `FBot` se tale atomo è falso
-nel mondo `v`, altrimenti lo sostituisco con `FTop`.
+Una volta assunte la formula `F`, l'atomo `x`, il mondo `v` e aver
+supposto che `[[ FAtom x ]]_v = 0` si procede per induzione su `F`.
+I casi `FTop` e `FBot` sono banali. Nei casi `FAnd/FOr/FImpl/FNot`,
+una volta assunte le sottoformule e le relative ipotesi induttive,
+si conclude con una catena di uguaglianze.
+
+Il caso `FAtom` richiede maggiore cura. Assunto l'indice dell'atomo `n`,
+occorre utilizzare il lemma `decidable_eq_nat` per ottenere l'ipotesi
+aggiuntiva `n = x ∨ n ≠ x` (dove `x` è l'atomo su cui predica il teorema).
+Si procede per casi sull'ipotesi appena ottenuta.
+In entrambi i casi, usando i lemmi `eq_to_eqb_true` oppure `not_eq_to_eqb_false`
+si ottengolo le ipotesi aggiuntive `(eqb n x = true)` oppure `(eqb n x = false)`.
+Entrambi i casi si concludono con una catena di uguaglianze.
+
+Il teorema principale si dimostra utilizzando il lemma `sem_bool` per
+ottenre l'ipotesi `[[ FAtom x ]]_v = 0 ∨ [[ FAtom x ]]_v = 1` su cui
+si procede poi per casi. Entrambi i casi si concludono con
+una catena di uguaglianze che utilizza i lemmi dimostrati in precedenza
+e i lemmi `min_1_sem` oppure `max_0_sem`.
DOCEND*)
+lemma shannon_false:
+ ∀F,x,v. [[ FAtom x ]]_v = 0 → [[ F[FBot/x] ]]_v = [[ F ]]_v.
+(*BEGIN*)
+assume F : Formula.
+assume x : ℕ.
+assume v : (ℕ → ℕ).
+suppose ([[ FAtom x ]]_v = 0) (H).
+we proceed by induction on F to prove ([[ F[FBot/x] ]]_v = [[ F ]]_v).
+case FBot.
+ the thesis becomes ([[ FBot[FBot/x] ]]_v = [[ FBot ]]_v).
+ the thesis becomes ([[ FBot ]]_v = [[ FBot ]]_v).
+ done.
+case FTop.
+ the thesis becomes ([[ FTop[FBot/x] ]]_v = [[ FTop ]]_v).
+ the thesis becomes ([[ FTop ]]_v = [[ FTop ]]_v).
+ done.
+case FAtom.
+ assume n : ℕ.
+ the thesis becomes ([[ (FAtom n)[FBot/x] ]]_v = [[ FAtom n ]]_v).
+ the thesis becomes ([[ if eqb n x then FBot else (FAtom n) ]]_v = [[ FAtom n ]]_v).
+ by decidable_eq_nat we proved (n = x ∨ n ≠ x) (H1).
+ we proceed by cases on H1 to prove ([[ if eqb n x then FBot else (FAtom n) ]]_v = [[ FAtom n ]]_v).
+ case Left.
+ by H2, eq_to_eqb_true we proved (eqb n x = true) (H3).
+ conclude
+ ([[ if eqb n x then FBot else (FAtom n) ]]_v)
+ = ([[ if true then FBot else (FAtom n) ]]_v) by H3.
+ = ([[ FBot ]]_v).
+ = 0.
+ = ([[ FAtom x ]]_v) by H.
+ = ([[ FAtom n ]]_v) by H2.
+ done.
+ case Right.
+ by H2, not_eq_to_eqb_false we proved (eqb n x = false) (H3).
+ conclude
+ ([[ if eqb n x then FBot else (FAtom n) ]]_v)
+ = ([[ if false then FBot else (FAtom n) ]]_v) by H3.
+ = ([[ FAtom n ]]_v).
+ done.
+case FAnd.
+ assume f1 : Formula.
+ by induction hypothesis we know ([[ f1[FBot/x] ]]_v = [[ f1 ]]_v) (H1).
+ assume f2 : Formula.
+ by induction hypothesis we know ([[ f2[FBot/x] ]]_v = [[ f2 ]]_v) (H2).
+ the thesis becomes ([[ (FAnd f1 f2)[FBot/x] ]]_v = [[ FAnd f1 f2 ]]_v).
+ conclude
+ ([[ (FAnd f1 f2)[FBot/x] ]]_v)
+ = ([[ FAnd (f1[FBot/x]) (f2[FBot/x]) ]]_v).
+ = (min [[ f1[FBot/x] ]]_v [[ f2[FBot/x] ]]_v).
+ = (min [[ f1 ]]_v [[ f2[FBot/x] ]]_v) by H1.
+ = (min [[ f1 ]]_v [[ f2 ]]_v) by H2.
+ = ([[ FAnd f1 f2 ]]_v).
+ done.
+case FOr.
+ assume f1 : Formula.
+ by induction hypothesis we know ([[ f1[FBot/x] ]]_v = [[ f1 ]]_v) (H1).
+ assume f2 : Formula.
+ by induction hypothesis we know ([[ f2[FBot/x] ]]_v = [[ f2 ]]_v) (H2).
+ the thesis becomes ([[ (FOr f1 f2)[FBot/x] ]]_v = [[ FOr f1 f2 ]]_v).
+ conclude
+ ([[ (FOr f1 f2)[FBot/x] ]]_v)
+ = ([[ FOr (f1[FBot/x]) (f2[FBot/x]) ]]_v).
+ = (max [[ f1[FBot/x] ]]_v [[ f2[FBot/x] ]]_v).
+ = (max [[ f1 ]]_v [[ f2[FBot/x] ]]_v) by H1.
+ = (max [[ f1 ]]_v [[ f2 ]]_v) by H2.
+ = ([[ FOr f1 f2 ]]_v).
+ done.
+case FImpl.
+ assume f1 : Formula.
+ by induction hypothesis we know ([[ f1[FBot/x] ]]_v = [[ f1 ]]_v) (H1).
+ assume f2 : Formula.
+ by induction hypothesis we know ([[ f2[FBot/x] ]]_v = [[ f2 ]]_v) (H2).
+ the thesis becomes ([[ (FImpl f1 f2)[FBot/x] ]]_v = [[ FImpl f1 f2 ]]_v).
+ conclude
+ ([[ (FImpl f1 f2)[FBot/x] ]]_v)
+ = ([[ FImpl (f1[FBot/x]) (f2[FBot/x]) ]]_v).
+ = (max (1 - [[ f1[FBot/x] ]]_v) [[ f2[FBot/x] ]]_v).
+ = (max (1 - [[ f1 ]]_v) [[ f2[FBot/x] ]]_v) by H1.
+ = (max (1 - [[ f1 ]]_v) [[ f2 ]]_v) by H2.
+ = ([[ FImpl f1 f2 ]]_v).
+ done.
+case FNot.
+ assume f : Formula.
+ by induction hypothesis we know ([[ f[FBot/x] ]]_v = [[ f ]]_v) (H1).
+ the thesis becomes ([[ (FNot f)[FBot/x] ]]_v = [[ FNot f ]]_v).
+ conclude
+ ([[ (FNot f)[FBot/x] ]]_v)
+ = ([[ FNot (f[FBot/x]) ]]_v).
+ = (1 - [[ f[FBot/x] ]]_v).
+ = (1 - [[ f ]]_v) by H1.
+ = ([[ FNot f ]]_v).
+ done.
+(*END*)
+qed.
+
+lemma shannon_true:
+ ∀F,x,v. [[ FAtom x ]]_v = 1 → [[ F[FTop/x] ]]_v = [[ F ]]_v.
+(*BEGIN*)
+assume F : Formula.
+assume x : ℕ.
+assume v : (ℕ → ℕ).
+suppose ([[ FAtom x ]]_v = 1) (H).
+we proceed by induction on F to prove ([[ F[FTop/x] ]]_v = [[ F ]]_v).
+case FBot.
+ the thesis becomes ([[ FBot[FTop/x] ]]_v = [[ FBot ]]_v).
+ the thesis becomes ([[ FBot ]]_v = [[ FBot ]]_v).
+ done.
+case FTop.
+ the thesis becomes ([[ FTop[FTop/x] ]]_v = [[ FTop ]]_v).
+ the thesis becomes ([[ FTop ]]_v = [[ FTop ]]_v).
+ done.
+case FAtom.
+ assume n : ℕ.
+ the thesis becomes ([[ (FAtom n)[FTop/x] ]]_v = [[ FAtom n ]]_v).
+ the thesis becomes ([[ if eqb n x then FTop else (FAtom n) ]]_v = [[ FAtom n ]]_v).
+ by decidable_eq_nat we proved (n = x ∨ n ≠ x) (H1).
+ we proceed by cases on H1 to prove ([[ if eqb n x then FTop else (FAtom n) ]]_v = [[ FAtom n ]]_v).
+ case Left.
+ by H2, eq_to_eqb_true we proved (eqb n x = true) (H3).
+ conclude
+ ([[ if eqb n x then FTop else (FAtom n) ]]_v)
+ = ([[ if true then FTop else (FAtom n) ]]_v) by H3.
+ = ([[ FTop ]]_v).
+ = 1.
+ = ([[ FAtom x ]]_v) by H.
+ = ([[ FAtom n ]]_v) by H2.
+ done.
+ case Right.
+ by H2, not_eq_to_eqb_false we proved (eqb n x = false) (H3).
+ conclude
+ ([[ if eqb n x then FTop else (FAtom n) ]]_v)
+ = ([[ if false then FTop else (FAtom n) ]]_v) by H3.
+ = ([[ FAtom n ]]_v).
+ done.
+case FAnd.
+ assume f1 : Formula.
+ by induction hypothesis we know ([[ f1[FTop/x] ]]_v = [[ f1 ]]_v) (H1).
+ assume f2 : Formula.
+ by induction hypothesis we know ([[ f2[FTop/x] ]]_v = [[ f2 ]]_v) (H2).
+ the thesis becomes ([[ (FAnd f1 f2)[FTop/x] ]]_v = [[ FAnd f1 f2 ]]_v).
+ conclude
+ ([[ (FAnd f1 f2)[FTop/x] ]]_v)
+ = ([[ FAnd (f1[FTop/x]) (f2[FTop/x]) ]]_v).
+ = (min [[ f1[FTop/x] ]]_v [[ f2[FTop/x] ]]_v).
+ = (min [[ f1 ]]_v [[ f2[FTop/x] ]]_v) by H1.
+ = (min [[ f1 ]]_v [[ f2 ]]_v) by H2.
+ = ([[ FAnd f1 f2 ]]_v).
+ done.
+case FOr.
+ assume f1 : Formula.
+ by induction hypothesis we know ([[ f1[FTop/x] ]]_v = [[ f1 ]]_v) (H1).
+ assume f2 : Formula.
+ by induction hypothesis we know ([[ f2[FTop/x] ]]_v = [[ f2 ]]_v) (H2).
+ the thesis becomes ([[ (FOr f1 f2)[FTop/x] ]]_v = [[ FOr f1 f2 ]]_v).
+ conclude
+ ([[ (FOr f1 f2)[FTop/x] ]]_v)
+ = ([[ FOr (f1[FTop/x]) (f2[FTop/x]) ]]_v).
+ = (max [[ f1[FTop/x] ]]_v [[ f2[FTop/x] ]]_v).
+ = (max [[ f1 ]]_v [[ f2[FTop/x] ]]_v) by H1.
+ = (max [[ f1 ]]_v [[ f2 ]]_v) by H2.
+ = ([[ FOr f1 f2 ]]_v).
+ done.
+case FImpl.
+ assume f1 : Formula.
+ by induction hypothesis we know ([[ f1[FTop/x] ]]_v = [[ f1 ]]_v) (H1).
+ assume f2 : Formula.
+ by induction hypothesis we know ([[ f2[FTop/x] ]]_v = [[ f2 ]]_v) (H2).
+ the thesis becomes ([[ (FImpl f1 f2)[FTop/x] ]]_v = [[ FImpl f1 f2 ]]_v).
+ conclude
+ ([[ (FImpl f1 f2)[FTop/x] ]]_v)
+ = ([[ FImpl (f1[FTop/x]) (f2[FTop/x]) ]]_v).
+ = (max (1 - [[ f1[FTop/x] ]]_v) [[ f2[FTop/x] ]]_v).
+ = (max (1 - [[ f1 ]]_v) [[ f2[FTop/x] ]]_v) by H1.
+ = (max (1 - [[ f1 ]]_v) [[ f2 ]]_v) by H2.
+ = ([[ FImpl f1 f2 ]]_v).
+ done.
+case FNot.
+ assume f : Formula.
+ by induction hypothesis we know ([[ f[FTop/x] ]]_v = [[ f ]]_v) (H1).
+ the thesis becomes ([[ (FNot f)[FTop/x] ]]_v = [[ FNot f ]]_v).
+ conclude
+ ([[ (FNot f)[FTop/x] ]]_v)
+ = ([[ FNot (f[FTop/x]) ]]_v).
+ = (1 - [[ f[FTop/x] ]]_v).
+ = (1 - [[ f ]]_v) by H1.
+ = ([[ FNot f ]]_v).
+ done.
+(*END*)
+qed.
+
theorem shannon :
- ∀F,x,v. [[ if eqb [[FAtom x]]_v 0 then F[FBot/x] else (F[FTop/x]) ]]_v = [[F]]_v.
+ ∀F,x. IFTE (FAtom x) (F[FTop/x]) (F[FBot/x]) ≡ F.
+(*BEGIN*)
assume F : Formula.
assume x : ℕ.
assume v : (ℕ → ℕ).
-we proceed by induction on F to prove ([[ if eqb [[FAtom x]]_v 0 then F[FBot/x] else (F[FTop/x]) ]]_v = [[F]]_v).
+the thesis becomes ([[ IFTE (FAtom x) (F[FTop/x]) (F[FBot/x])]]_v = [[ F ]]_v).
+by sem_bool we proved ([[ FAtom x]]_v = 0 ∨ [[ FAtom x]]_v = 1) (H).
+we proceed by cases on H to prove ([[ IFTE (FAtom x) (F[FTop/x]) (F[FBot/x])]]_v = [[ F ]]_v).
+case Left.
+ conclude
+ ([[ IFTE (FAtom x) (F[FTop/x]) (F[FBot/x])]]_v)
+ = ([[ FOr (FAnd (FAtom x) (F[FTop/x])) (FAnd (FNot (FAtom x)) (F[FBot/x]))]]_v).
+ = (max [[ (FAnd (FAtom x) (F[FTop/x])) ]]_v [[ (FAnd (FNot (FAtom x)) (F[FBot/x]))]]_v).
+ = (max (min [[ FAtom x ]]_v [[ F[FTop/x] ]]_v) (min (1 - [[ FAtom x ]]_v) [[ F[FBot/x] ]]_v)).
+ = (max (min 0 [[ F[FTop/x] ]]_v) (min (1 - 0) [[ F[FBot/x] ]]_v)) by H.
+ = (max 0 (min 1 [[ F[FBot/x] ]]_v)).
+ = (max 0 [[ F[FBot/x] ]]_v) by min_1_sem.
+ = ([[ F[FBot/x] ]]_v).
+ = ([[ F ]]_v) by H1, shannon_false.
+ done.
+case Right.
+ conclude
+ ([[ IFTE (FAtom x) (F[FTop/x]) (F[FBot/x])]]_v)
+ = ([[ FOr (FAnd (FAtom x) (F[FTop/x])) (FAnd (FNot (FAtom x)) (F[FBot/x]))]]_v).
+ = (max [[ (FAnd (FAtom x) (F[FTop/x])) ]]_v [[ (FAnd (FNot (FAtom x)) (F[FBot/x]))]]_v).
+ = (max (min [[ FAtom x ]]_v [[ F[FTop/x] ]]_v) (min (1 - [[ FAtom x ]]_v) [[ F[FBot/x] ]]_v)).
+ = (max (min 1 [[ F[FTop/x] ]]_v) (min (1 - 1) [[ F[FBot/x] ]]_v)) by H.
+ = (max (min 1 [[ F[FTop/x] ]]_v) (min 0 [[ F[FBot/x] ]]_v)).
+ = (max [[ F[FTop/x] ]]_v (min 0 [[ F[FBot/x] ]]_v)) by min_1_sem.
+ = (max [[ F[FTop/x] ]]_v 0).
+ = ([[ F[FTop/x] ]]_v) by max_0_sem.
+ = ([[ F ]]_v) by H1, shannon_true.
+ done.
+(*END*)
+qed.
+
(*DOCBEGIN
-La dimostrazione
-================
+Note generali
+=============
-La dimostrazione procede per induzione sulla formula `F`. Si ricorda che:
+Si ricorda che:
1. Ogni volta che nella finestra di destra compare un simbolo `∀` oppure un
- simbolo `→` è opportuno usare il comando `assume` oppure `suppose` (che
- vengono nuovamente spiegati in seguito).
+ simbolo `→` è opportuno usare il comando `assume` oppure `suppose`
+ oppure (se si è in un caso di una dimostrazione per induzione) il comando
+ `by induction hypothesis we know` (che vengono nuovamente spiegati in seguito).
2. Ogni caso (o sotto caso) della dimostrazione:
2. Continua poi con almeno un comando `the thesis becomes`.
- 3. Eventualmente seguono vari comandi `by ... we proved` per combinare le
- ipotesi tra loro o utilizzare i teoremi già disponibili per generare nuove
+ 3. Eventualmente seguono vari comandi `by ... we proved` per
+ utilizzare i teoremi già disponibili per generare nuove
ipotesi.
4. Eventualmente uno o più comandi `we proceed by cases on (...) to prove (...)`.
avrà tante ipotesi induttive quante sono le sue sottoformule e tali
ipotesi sono necessarie per portare a termine la dimostrazione.
-DOCEND*)
-case FBot.
-(*DOCBEGIN
-
-Il caso FBot
-------------
-
-La tesi è
-
- [[ if eqb [[FAtom x]]_v 0 then FBot[FBot/x] else (FBot[FTop/x]) ]]_v = [[FBot]]_v
-
-Si procede per casi su `eqb [[FAtom x]]_v 0`. In entrambi i casi basta
-espandere piano piano le definizioni.
-
-### I comandi da utilizzare
+I comandi da utilizzare
+=======================
* `the thesis becomes (...).`
* `we proceed by cases on (...) to prove (...).`
Permette di andare per casi su una ipotesi (quando essa è della forma
- `A ∨ B`) oppure su una espressione come `eqb n m`.
+ `A ∨ B`).
Esempio: `we proceed by cases on H to prove Q.`
-
- Esempio: `we proceed by cases on (eqb x 0) to prove Q.`
* `case ... .`
* `done.`
Ogni caso di una dimostrazione deve essere terminato con il comando
- `done.`
-
-DOCEND*)
- the thesis becomes ([[ if eqb [[FAtom x]]_v 0 then FBot[FBot/x] else (FBot[FTop/x]) ]]_v = [[FBot]]_v).
- we proceed by cases on (eqb [[ FAtom x ]]_v 0)
- to prove ([[ if eqb [[FAtom x]]_v 0 then FBot[FBot/x] else (FBot[FTop/x]) ]]_v = [[FBot]]_v).
- case true.
- the thesis becomes ([[ if true then FBot[FBot/x] else (FBot[FTop/x]) ]]_v = [[FBot]]_v).
- the thesis becomes ([[ FBot[FBot/x]]]_v = [[FBot]]_v).
- the thesis becomes ([[ FBot ]]_v = [[FBot]]_v).
- the thesis becomes (0 = 0).
- done.
- case false.
- done.
-case FTop.
-(*DOCBEGIN
-
-Il caso FTop
-------------
-
-Analogo al caso FBot
-
-DOCEND*)
- we proceed by cases on (eqb [[ FAtom x ]]_v 0)
- to prove ([[ if eqb [[FAtom x]]_v 0 then FTop[FBot/x] else (FTop[FTop/x]) ]]_v = [[FTop]]_v).
- case true.
- done.
- case false.
- done.
-case FAtom.
-(*DOCBEGIN
-
-Il caso (FAtom n)
------------------
-
-Questo è il caso più difficile di tutta la dimostrazione.
-
-La tesi è `([[ if eqb [[ FAtom x ]]_v O then (FAtom n)[ FBot/x ] else (FAtom n[ FTop/x ]) ]]_v = [[ FAtom n ]]_ v)`
-
-Per dimostrarla è necessario utilizzare il lemma `decidable_eq_nat` per
-ottenere l'ipotesi agiuntiva `n = x ∨ n ≠ x` che chiameremo `H` e il lemma
-`sem_bool` per ottenre l'ipotesi aggiuntiva `[[ FAtom x ]]_v = 0 ∨ [[ FAtom x ]]_v = 1`
-che chiameremo `H1`.
-
-Si procede poi per casi sull'ipotesi `H`, e in ogni suo sotto caso si procede
-per casi su `H1`.
-
-Nei casi in cui è presente l'ipotesi aggiuntiva `n ≠ x` è bene
-ottenre tramite il lemma `not_eq_to_eqb_false` l'ipotesi aggiuntiva
-`eqb n x = false`.
-
-Abbiamo quindi quattro casi, in tutti si procede con un comando `conclude`:
-
-1. Caso in cui `n=x` e `[[ FAtom x ]]_v = 0`.
-
- Utilizzando l'ipotesi `[[ FAtom x ]]_v = 0` e espandendo alcune definizioni
- si ottiene che la parte sinistra della conclusione è
-
- ([[ if eqb n x then FBot else (FAtom n) ]]_v)
-
- Usando l'ipotesi `n = x`, poi il lemma `eqb_n_n` e espandendo alcune
- definizioni si ottiene `0`. Tornando ad usare le due ipotesi
- `n=x` e `[[ FAtom x ]]_v = 0` si ottiene una formula uguale al
- lato destro della conclusione.
-
-2. Caso in cui `n=x` e `[[ FAtom x ]]_v = 1`.
-
- Analogo al caso precedente.
-
-3. Caso in cui `n≠x` e `[[ FAtom x ]]_v = 0`.
-
- Si ottiene l'ipotesi aggiuntiva `eqb n x = false` usando il lemma
- `not_eq_to_eqb_false` insieme all'ipotesi `n ≠ x`. Usando il comando
- conlude e l'ipotesi `[[ FAtom x ]]_v = 0`, la nuova ipotesi appena
- ottenuta e espandendo alcune definizioni si ottiene una formula
- uguale a quella di destra.
-
-4. Caso in cui `n≠x` e `[[ FAtom x ]]_v = 1`.
-
- Analogo al caso precedente.
-
-### I comandi da usare
+ `done.`
* `assume ... : (...) .`
tesi.
DOCEND*)
- assume n : ℕ.
- the thesis becomes ([[ if eqb [[ FAtom x ]]_v O then (FAtom n)[ FBot/x ] else (FAtom n[ FTop/x ]) ]]_v = [[ FAtom n ]]_ v).
- by decidable_eq_nat we proved (n = x ∨ n ≠ x) (H).
- by sem_bool we proved ([[ FAtom x ]]_v = 0 ∨ [[ FAtom x ]]_v = 1) (H1).
- we proceed by cases on H to prove
- ([[ if eqb [[ FAtom x ]]_v O then (FAtom n)[ FBot/x ] else (FAtom n[ FTop/x ]) ]]_v = [[ FAtom n ]]_ v).
- case Left. (* H2 : n = x *)
- we proceed by cases on H1 to prove
- ([[ if eqb [[ FAtom x ]]_v O then (FAtom n)[ FBot/x ] else (FAtom n[ FTop/x ]) ]]_v = [[ FAtom n ]]_ v).
- case Left. (* H3 : [[ FAtom x ]]_v = 0 *)
- conclude
- ([[ if eqb [[ FAtom x ]]_v O then (FAtom n)[ FBot/x ] else (FAtom n[ FTop/x ]) ]]_v)
- = ([[ if eqb 0 0 then (FAtom n)[ FBot/x ] else (FAtom n[ FTop/x ]) ]]_v) by H3.
- = ([[ if true then (FAtom n)[ FBot/x ] else (FAtom n[ FTop/x ]) ]]_v).
- = ([[ (FAtom n)[ FBot/x ] ]]_v).
- = ([[ if eqb n x then FBot else (FAtom n) ]]_v).
- = ([[ if eqb n n then FBot else (FAtom n) ]]_v) by H2.
- = ([[ if true then FBot else (FAtom n) ]]_v) by eqb_n_n.
- = ([[ FBot ]]_v).
- = 0.
- = [[ FAtom x ]]_v by H3.
- = [[ FAtom n ]]_v by H2.
- done.
- case Right.
- conclude
- ([[ if eqb [[ FAtom x ]]_v O then (FAtom n)[ FBot/x ] else (FAtom n[ FTop/x ]) ]]_v)
- = ([[ if eqb 1 0 then (FAtom n)[ FBot/x ] else (FAtom n[ FTop/x ]) ]]_v) by H3.
- = ([[ if false then (FAtom n)[ FBot/x ] else (FAtom n[ FTop/x ]) ]]_v).
- = ([[ (FAtom n)[ FTop/x ] ]]_v).
- = ([[ if eqb n x then FTop else (FAtom n) ]]_v).
- = ([[ if eqb n n then FTop else (FAtom n) ]]_v) by H2.
- = ([[ if true then FTop else (FAtom n) ]]_v) by eqb_n_n.
- = ([[ FTop ]]_v).
- = 1.
- = [[ FAtom x ]]_v by H3.
- = [[ FAtom n ]]_v by H2.
- done.
- case Right.
- by not_eq_to_eqb_false, H2 we proved (eqb n x = false) (H3).
- we proceed by cases on H1 to prove
- ([[ if eqb [[ FAtom x ]]_v O then (FAtom n)[ FBot/x ] else (FAtom n[ FTop/x ]) ]]_v = [[ FAtom n ]]_ v).
- case Left.
- conclude
- ([[ if eqb [[ FAtom x ]]_v O then (FAtom n)[ FBot/x ] else (FAtom n[ FTop/x ]) ]]_v)
- = ([[ if eqb 0 O then (FAtom n)[ FBot/x ] else (FAtom n[ FTop/x ]) ]]_v) by H4.
- = [[ (FAtom n)[ FBot/x ] ]]_v.
- = [[ if eqb n x then FBot else (FAtom n) ]]_v.
- = [[ if false then FBot else (FAtom n) ]]_v by H3.
- = [[ FAtom n ]]_v.
- done.
- case Right.
- conclude
- ([[ if eqb [[ FAtom x ]]_v O then (FAtom n)[ FBot/x ] else (FAtom n[ FTop/x ]) ]]_v)
- = ([[ if eqb 1 O then (FAtom n)[ FBot/x ] else (FAtom n[ FTop/x ]) ]]_v) by H4.
- = [[ FAtom n[ FTop/x ] ]]_v.
- = [[ if eqb n x then FTop else (FAtom n) ]]_v.
- = [[ if false then FTop else (FAtom n) ]]_v by H3.
- = [[ FAtom n ]]_v.
- done.
-case FAnd.
-(*DOCBEGIN
-
-Il caso FAnd
-------------
-
-Una volta assunte eventuali sottoformule (che chiameremo f ed f1) e
-relative ipotesi induttive
-la tesi diventa `([[ if eqb [[ FAtom x ]]_v O then ((FAnd f f1)[ FBot/x ]) else ((FAnd f f1)[ FTop/x ]) ]]_v = [[ FAnd f f1 ]]_v)`.
-
-Utilizzando il lemma `sem_bool` si ottiene l'ipotesi aggiuntiva
-`([[ FAtom x ]]_v = 0 ∨ [[ FAtom x ]]_v = 1)`. Si procede poi per casi
-su di essa.
-
-1. caso in cui vale `[[ FAtom x ]]_v = 0`.
-
- Componendo le ipotesi induttive con `[[ FAtom x ]]_v = 0` e
- espandendo alcune definizioni si ottengono
- `([[ f[FBot/x ] ]]_v = [[ f ]]_v)` e
- `([[ f1[FBot/x ] ]]_v = [[ f1 ]]_v)`.
-
- La sotto prova termina con una catena di uguaglianze che
- lavora sul lato sinistro della tesi.
- Espandendo alcune definizioni, utilizzando
- `[[ FAtom x ]]_v = 0` e le nuove ipotesi appena ottenute
- si arriva a `(min [[ f ]]_v [[ f1 ]]_v)`.
- Tale espressione è uguale alla parte destra della conclusione.
-
-1. caso in cui vale `[[ FAtom x ]]_v = 1`.
-
- Analogo al precedente.
-
-DOCEND*)
- assume f : Formula.
- by induction hypothesis we know ([[ if eqb [[ FAtom x ]]_v O then f[ FBot/x ] else (f[ FTop/x ]) ]]_v = [[ f ]]_v) (H).
- assume f1 : Formula.
- by induction hypothesis we know ([[ if eqb [[ FAtom x ]]_v O then f1[ FBot/x ] else (f1[ FTop/x ]) ]]_v = [[ f1 ]]_v) (H1).
- the thesis becomes
- ([[ if eqb [[ FAtom x ]]_v O then ((FAnd f f1)[ FBot/x ]) else ((FAnd f f1)[ FTop/x ]) ]]_v = [[ FAnd f f1 ]]_v).
- by sem_bool we proved ([[ FAtom x ]]_v = 0 ∨ [[ FAtom x ]]_v = 1) (H2).
- we proceed by cases on H2 to prove
- ([[ if eqb [[ FAtom x ]]_v O then ((FAnd f f1)[ FBot/x ]) else ((FAnd f f1)[ FTop/x ]) ]]_v = [[ FAnd f f1 ]]_v).
- case Left.
- by H3, H we proved
- ([[ if eqb 0 O then f[ FBot/x ] else (f[ FTop/x ]) ]]_v = [[ f ]]_v) (H4).
- by H4 we proved ([[ f[FBot/x ] ]]_v = [[ f ]]_v) (H5).
- by H3, H1 we proved
- ([[ if eqb 0 O then f1[ FBot/x ] else (f1[ FTop/x ]) ]]_v = [[ f1 ]]_v) (H6).
- by H6 we proved ([[ f1[FBot/x ] ]]_v = [[ f1 ]]_v) (H7).
- conclude
- ([[ if eqb [[ FAtom x ]]_v O then ((FAnd f f1)[ FBot/x ]) else ((FAnd f f1)[ FTop/x ]) ]]_v)
- = ([[ if eqb 0 O then ((FAnd f f1)[ FBot/x ]) else ((FAnd f f1)[ FTop/x ]) ]]_v) by H3.
- = ([[ if true then ((FAnd f f1)[ FBot/x ]) else ((FAnd f f1)[ FTop/x ]) ]]_v).
- = ([[ (FAnd f f1)[ FBot/x ] ]]_v).
- = ([[ FAnd (f[ FBot/x ]) (f1[ FBot/x ]) ]]_v).
- = (min [[ f[ FBot/x ] ]]_v [[ f1[ FBot/x ] ]]_v).
- = (min [[ f ]]_v [[ f1[ FBot/x ] ]]_v) by H5.
- = (min [[ f ]]_v [[ f1 ]]_v) by H6.
- = ([[ FAnd f f1 ]]_v).
- done.
- case Right.
- by H3, H we proved
- ([[ if eqb 1 O then f[ FBot/x ] else (f[ FTop/x ]) ]]_v = [[ f ]]_v) (H4).
- by H4 we proved ([[ f[FTop/x ] ]]_v = [[ f ]]_v) (H5).
- by H3, H1 we proved
- ([[ if eqb 1 O then f1[ FBot/x ] else (f1[ FTop/x ]) ]]_v = [[ f1 ]]_v) (H6).
- by H6 we proved ([[ f1[FTop/x ] ]]_v = [[ f1 ]]_v) (H7).
- conclude
- ([[ if eqb [[ FAtom x ]]_v O then ((FAnd f f1)[ FBot/x ]) else ((FAnd f f1)[ FTop/x ]) ]]_v)
- = ([[ if eqb 1 O then ((FAnd f f1)[ FBot/x ]) else ((FAnd f f1)[ FTop/x ]) ]]_v) by H3.
- = ([[ if false then ((FAnd f f1)[ FBot/x ]) else ((FAnd f f1)[ FTop/x ]) ]]_v).
- = ([[ (FAnd f f1)[ FTop/x ] ]]_v).
- = ([[ FAnd (f[ FTop/x ]) (f1[ FTop/x ]) ]]_v).
- = (min [[ f[ FTop/x ] ]]_v [[ f1[ FTop/x ] ]]_v).
- = (min [[ f ]]_v [[ f1[ FTop/x ] ]]_v) by H5.
- = (min [[ f ]]_v [[ f1 ]]_v) by H6.
- = ([[ FAnd f f1 ]]_v).
- done.
-case FOr.
-(*DOCBEGIN
-
-Il caso FOr
------------
-
-Una volta assunte eventuali sottoformule e ipotesi induttive
-la tesi diventa `([[ if eqb [[ FAtom x ]]_v O then ((FOr f f1)[ FBot/x ]) else ((FOr f f1)[ FTop/x ]) ]]_v = [[ FOr f f1 ]]_v)`.
-
-Analogo al caso FAnd.
-
-DOCEND*)
- assume f : Formula.
- by induction hypothesis we know ([[ if eqb [[ FAtom x ]]_v O then f[ FBot/x ] else (f[ FTop/x ]) ]]_v = [[ f ]]_v) (H).
- assume f1 : Formula.
- by induction hypothesis we know ([[ if eqb [[ FAtom x ]]_v O then f1[ FBot/x ] else (f1[ FTop/x ]) ]]_v = [[ f1 ]]_v) (H1).
- the thesis becomes
- ([[ if eqb [[ FAtom x ]]_v O then ((FOr f f1)[ FBot/x ]) else ((FOr f f1)[ FTop/x ]) ]]_v = [[ FOr f f1 ]]_v).
- by sem_bool we proved ([[ FAtom x ]]_v = 0 ∨ [[ FAtom x ]]_v = 1) (H2).
- we proceed by cases on H2 to prove
- ([[ if eqb [[ FAtom x ]]_v O then ((FOr f f1)[ FBot/x ]) else ((FOr f f1)[ FTop/x ]) ]]_v = [[ FOr f f1 ]]_v).
- case Left.
- by H3, H we proved
- ([[ if eqb 0 O then f[ FBot/x ] else (f[ FTop/x ]) ]]_v = [[ f ]]_v) (H4).
- by H4 we proved ([[ f[FBot/x ] ]]_v = [[ f ]]_v) (H5).
- by H3, H1 we proved
- ([[ if eqb 0 O then f1[ FBot/x ] else (f1[ FTop/x ]) ]]_v = [[ f1 ]]_v) (H6).
- by H6 we proved ([[ f1[FBot/x ] ]]_v = [[ f1 ]]_v) (H7).
- conclude
- ([[ if eqb [[ FAtom x ]]_v O then ((FOr f f1)[ FBot/x ]) else ((FOr f f1)[ FTop/x ]) ]]_v)
- = ([[ if eqb 0 O then ((FOr f f1)[ FBot/x ]) else ((FOr f f1)[ FTop/x ]) ]]_v) by H3.
- = ([[ if true then ((FOr f f1)[ FBot/x ]) else ((FOr f f1)[ FTop/x ]) ]]_v).
- = ([[ (FOr f f1)[ FBot/x ] ]]_v).
- = ([[ FOr (f[ FBot/x ]) (f1[ FBot/x ]) ]]_v).
- = (max [[ f[ FBot/x ] ]]_v [[ f1[ FBot/x ] ]]_v).
- = (max [[ f ]]_v [[ f1[ FBot/x ] ]]_v) by H5.
- = (max [[ f ]]_v [[ f1 ]]_v) by H6.
- = ([[ FOr f f1 ]]_v).
- done.
- case Right.
- by H3, H we proved
- ([[ if eqb 1 O then f[ FBot/x ] else (f[ FTop/x ]) ]]_v = [[ f ]]_v) (H4).
- by H4 we proved ([[ f[FTop/x ] ]]_v = [[ f ]]_v) (H5).
- by H3, H1 we proved
- ([[ if eqb 1 O then f1[ FBot/x ] else (f1[ FTop/x ]) ]]_v = [[ f1 ]]_v) (H6).
- by H6 we proved ([[ f1[FTop/x ] ]]_v = [[ f1 ]]_v) (H7).
- conclude
- ([[ if eqb [[ FAtom x ]]_v O then ((FOr f f1)[ FBot/x ]) else ((FOr f f1)[ FTop/x ]) ]]_v)
- = ([[ if eqb 1 O then ((FOr f f1)[ FBot/x ]) else ((FOr f f1)[ FTop/x ]) ]]_v) by H3.
- = ([[ if false then ((FOr f f1)[ FBot/x ]) else ((FOr f f1)[ FTop/x ]) ]]_v).
- = ([[ (FOr f f1)[ FTop/x ] ]]_v).
- = ([[ FOr (f[ FTop/x ]) (f1[ FTop/x ]) ]]_v).
- = (max [[ f[ FTop/x ] ]]_v [[ f1[ FTop/x ] ]]_v).
- = (max [[ f ]]_v [[ f1[ FTop/x ] ]]_v) by H5.
- = (max [[ f ]]_v [[ f1 ]]_v) by H6.
- = ([[ FOr f f1 ]]_v).
- done.
-case FImpl.
-(*DOCBEGIN
-
-Il caso FImpl
--------------
-
-Una volta assunte eventuali sottoformule e ipotesi induttive
-la tesi diventa `([[ if eqb [[ FAtom x ]]_v O then ((FImpl f f1)[ FBot/x ]) else ((FImpl f f1)[ FTop/x ]) ]]_v = [[ FImpl f f1 ]]_v)`.
-
-Analogo al caso FAnd.
-
-DOCEND*)
- assume f : Formula.
- by induction hypothesis we know ([[ if eqb [[ FAtom x ]]_v O then f[ FBot/x ] else (f[ FTop/x ]) ]]_v = [[ f ]]_v) (H).
- assume f1 : Formula.
- by induction hypothesis we know ([[ if eqb [[ FAtom x ]]_v O then f1[ FBot/x ] else (f1[ FTop/x ]) ]]_v = [[ f1 ]]_v) (H1).
- the thesis becomes
- ([[ if eqb [[ FAtom x ]]_v O then ((FImpl f f1)[ FBot/x ]) else ((FImpl f f1)[ FTop/x ]) ]]_v = [[ FImpl f f1 ]]_v).
- by sem_bool we proved ([[ FAtom x ]]_v = 0 ∨ [[ FAtom x ]]_v = 1) (H2).
- we proceed by cases on H2 to prove
- ([[ if eqb [[ FAtom x ]]_v O then ((FImpl f f1)[ FBot/x ]) else ((FImpl f f1)[ FTop/x ]) ]]_v = [[ FImpl f f1 ]]_v).
- case Left.
- by H3, H we proved
- ([[ if eqb 0 O then f[ FBot/x ] else (f[ FTop/x ]) ]]_v = [[ f ]]_v) (H4).
- by H4 we proved ([[ f[FBot/x ] ]]_v = [[ f ]]_v) (H5).
- by H3, H1 we proved
- ([[ if eqb 0 O then f1[ FBot/x ] else (f1[ FTop/x ]) ]]_v = [[ f1 ]]_v) (H6).
- by H6 we proved ([[ f1[FBot/x ] ]]_v = [[ f1 ]]_v) (H7).
- conclude
- ([[ if eqb [[ FAtom x ]]_v O then ((FImpl f f1)[ FBot/x ]) else ((FImpl f f1)[ FTop/x ]) ]]_v)
- = ([[ if eqb 0 O then ((FImpl f f1)[ FBot/x ]) else ((FImpl f f1)[ FTop/x ]) ]]_v) by H3.
- = ([[ if true then ((FImpl f f1)[ FBot/x ]) else ((FImpl f f1)[ FTop/x ]) ]]_v).
- = ([[ (FImpl f f1)[ FBot/x ] ]]_v).
- = ([[ FImpl (f[ FBot/x ]) (f1[ FBot/x ]) ]]_v).
- = (max (1 - [[ f[ FBot/x ] ]]_v) [[ f1[ FBot/x ] ]]_v).
- = (max (1 - [[ f ]]_v) [[ f1[ FBot/x ] ]]_v) by H5.
- = (max (1 - [[ f ]]_v) [[ f1 ]]_v) by H6.
- = ([[ FImpl f f1 ]]_v).
- done.
- case Right.
- by H3, H we proved
- ([[ if eqb 1 O then f[ FBot/x ] else (f[ FTop/x ]) ]]_v = [[ f ]]_v) (H4).
- by H4 we proved ([[ f[FTop/x ] ]]_v = [[ f ]]_v) (H5).
- by H3, H1 we proved
- ([[ if eqb 1 O then f1[ FBot/x ] else (f1[ FTop/x ]) ]]_v = [[ f1 ]]_v) (H6).
- by H6 we proved ([[ f1[FTop/x ] ]]_v = [[ f1 ]]_v) (H7).
- conclude
- ([[ if eqb [[ FAtom x ]]_v O then ((FImpl f f1)[ FBot/x ]) else ((FImpl f f1)[ FTop/x ]) ]]_v)
- = ([[ if eqb 1 O then ((FImpl f f1)[ FBot/x ]) else ((FImpl f f1)[ FTop/x ]) ]]_v) by H3.
- = ([[ if false then ((FImpl f f1)[ FBot/x ]) else ((FImpl f f1)[ FTop/x ]) ]]_v).
- = ([[ (FImpl f f1)[ FTop/x ] ]]_v).
- = ([[ FImpl (f[ FTop/x ]) (f1[ FTop/x ]) ]]_v).
- = (max (1 - [[ f[ FTop/x ] ]]_v) [[ f1[ FTop/x ] ]]_v).
- = (max (1 - [[ f ]]_v) [[ f1[ FTop/x ] ]]_v) by H5.
- = (max (1 - [[ f ]]_v) [[ f1 ]]_v) by H6.
- = ([[ FImpl f f1 ]]_v).
- done.
-case FNot.
-(*DOCBEGIN
-
-Il caso FNot
-------------
-
-Una volta assunte eventuali sottoformule e ipotesi induttive
-la tesi diventa `([[ if eqb [[ FAtom x ]]_v O then ((FNot f)[ FBot/x ]) else ((FNot f)[ FTop/x ]) ]]_v = [[ FNot f ]]_v)`.
-
-Analogo al caso FAnd.
-
-DOCEND*)
- assume f : Formula.
- by induction hypothesis we know ([[ if eqb [[ FAtom x ]]_v O then f[ FBot/x ] else (f[ FTop/x ]) ]]_v = [[ f ]]_v) (H).
- the thesis becomes
- ([[ if eqb [[ FAtom x ]]_v O then ((FNot f)[ FBot/x ]) else ((FNot f)[ FTop/x ]) ]]_v = [[ FNot f ]]_v).
- by sem_bool we proved ([[ FAtom x ]]_v = 0 ∨ [[ FAtom x ]]_v = 1) (H2).
- we proceed by cases on H2 to prove
- ([[ if eqb [[ FAtom x ]]_v O then ((FNot f)[ FBot/x ]) else ((FNot f)[ FTop/x ]) ]]_v = [[ FNot f ]]_v).
- case Left.
- by H1, H we proved
- ([[ if eqb 0 O then f[ FBot/x ] else (f[ FTop/x ]) ]]_v = [[ f ]]_v) (H4).
- by H4 we proved ([[ f[FBot/x ] ]]_v = [[ f ]]_v) (H5).
- conclude
- ([[ if eqb [[ FAtom x ]]_v O then ((FNot f)[ FBot/x ]) else ((FNot f)[ FTop/x ]) ]]_v)
- = ([[ if eqb 0 O then ((FNot f)[ FBot/x ]) else ((FNot f)[ FTop/x ]) ]]_v) by H1.
- = ([[ if true then ((FNot f)[ FBot/x ]) else ((FNot f)[ FTop/x ]) ]]_v).
- = ([[ (FNot f)[ FBot/x ] ]]_v).
- = ([[ FNot (f[ FBot/x ]) ]]_v).
- = (1 - [[ f[ FBot/x ] ]]_v).
- = (1 - [[ f ]]_v) by H5.
- = ([[ FNot f ]]_v).
- done.
- case Right.
- by H1, H we proved
- ([[ if eqb 1 O then f[ FBot/x ] else (f[ FTop/x ]) ]]_v = [[ f ]]_v) (H4).
- by H4 we proved ([[ f[FTop/x ] ]]_v = [[ f ]]_v) (H5).
- conclude
- ([[ if eqb [[ FAtom x ]]_v O then ((FNot f)[ FBot/x ]) else ((FNot f)[ FTop/x ]) ]]_v)
- = ([[ if eqb 1 O then ((FNot f)[ FBot/x ]) else ((FNot f)[ FTop/x ]) ]]_v) by H1.
- = ([[ if false then ((FNot f)[ FBot/x ]) else ((FNot f)[ FTop/x ]) ]]_v).
- = ([[ (FNot f)[ FTop/x ] ]]_v).
- = ([[ FNot (f[ FTop/x ]) ]]_v).
- = (1 - [[ f[ FTop/x ] ]]_v).
- = (1 - [[ f ]]_v) by H5.
- = ([[ FNot f ]]_v).
- done.
-qed.
-
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