| intros 6; apply refl1;]
qed.
-axiom DDD : False.
-
-definition Fo :=
- λC1,C2: CAT2.λF:arrows3 CAT2 C1 C2.
- (exT22 ? (λx:C2.exT22 ? (λy:C1.map_objs2 ?? F y =_\ID x))).
-
-definition sigma_equivalence_relation2:
- ∀C2:CAT2.∀Q.∀X,Y:exT22 ? (λy:C2.Q y).∀P.
- equivalence_relation2 (exT22 ? (λf:arrows2 C2 (\fst X) (\fst Y).P f)).
-intros; constructor 1;
- [ intros(F G); apply (\fst F =_2 \fst G);
- | intro; apply refl2;
- | intros 3; apply sym2; assumption;
- | intros 5; apply (trans2 ?? ??? x1 x2);]
-qed.
-
-lemma REW : ∀C1,C2: CAT2.∀F:arrows3 CAT2 C1 C2.∀X,Y:Fo ?? F.
- arrows2 C2 (F (\fst (\snd X))) (F (\fst (\snd Y))) →
- arrows2 C2 (\fst X) (\fst Y).
-intros 5; cases X; cases Y; cases x; cases x1; clear X Y x x1;
-cases H; cases H1; intros; assumption;
-qed.
-
-definition Fm :
- ∀C1,C2: CAT2.∀F:arrows3 CAT2 C1 C2.
- Fo ?? F → Fo ?? F → setoid2.
-intros (C1 C2 F X Y); constructor 1;
- [ apply (exT22 ? (λf:arrows2 C2 (\fst X) (\fst Y).
- exT22 ? (λg:arrows2 C1 (\fst (\snd X)) (\fst (\snd Y)).
- REW ?? F X Y (map_arrows2 ?? F ?? g) = f)));
- | apply sigma_equivalence_relation2;]
-qed.
-
-definition F_id :
- ∀C1,C2: CAT2.∀F:arrows3 CAT2 C1 C2.∀o.Fm ?? F o o.
-intros; constructor 1;
- [ apply (id2 C2 (\fst o));
- | exists[apply (id2 C1 (\fst (\snd o)))]
- cases o; cases x; cases H; unfold hide; simplify;
- apply (respects_id2 ?? F);]
-qed.
-
-definition F_comp :
- ∀C1,C2: CAT2.∀F:arrows3 CAT2 C1 C2.∀o1,o2,o3.
- binary_morphism2 (Fm ?? F o1 o2) (Fm ?? F o2 o3) (Fm ?? F o1 o3).
-intros; constructor 1;
-[ intros (f g); constructor 1;
- [ apply (comp2 C2 (\fst o1) (\fst o2) (\fst o3) (\fst f) (\fst g));
- | exists[apply (comp2 C1 (\fst (\snd o1)) (\fst (\snd o2)) (\fst (\snd o3)) (\fst (\snd f)) (\fst (\snd g)))]
- cases o1 in f; cases o2 in g; cases o3; clear o1 o2 o3;
- cases x; cases x1; cases x2; clear x x1 x2;
- cases H; cases H1; cases H2; simplify; intros 2;
- cases c; cases c1; cases x; cases x1; clear x x1 c c1; simplify;
- apply (.= (respects_comp2:?));
- apply (x3‡x2);]
-| (* DISABILITARE INNERTYPES *)
- STOP
- cases x3; cases x2;
- apply refl2;
- simplify;
-
-definition Apply : ∀C1,C2: CAT2.arrows3 CAT2 C1 C2 → CAT2.
-intros (C1 C2 F);
-constructor 1;
-[ apply (Fo ?? F);
-| apply (Fm ?? F);
-| apply F_id;
-| apply F_comp; intros (o1 o2 o3); constructor 1;
- [ intros (f g); whd in f g; constructor 1;
- [ apply (comp2 C2 (\fst o1) (\fst o2) (\fst o3) (\fst f) (\fst g));
- | exists[apply (comp2 C1 (\fst (\snd o1)) (\fst (\snd o2)) (\fst (\snd o3)) (\fst (\snd f)) (\fst (\snd g)))]
- cases o1; cases x; cases H;
-
-(* scrivo gli statement qua cosi' verra' un conflitto :-)
-
-1. definire il funtore OR
-2. dimostrare che ORel e' faithful
-
-3. Definire la funzione
- Apply:
- \forall C1,C2: CAT2. F: arrows3 CAT2 C1 C2 -> CAT2
- :=
- constructor 1;
- [ gli oggetti sono gli oggetti di C1 mappati da F
- | i morfismi i morfismi di C1 mappati da F
- | ....
- ]
-
- E : objs CATS === Σx.∃y. F y = x
-
- Quindi (Apply C1 C2 F) (che usando da ora in avanti una coercion
- scrivero' (F C1) ) e' l'immagine di C1 tramite F ed e'
- una sottocategoria di C2 (qualcosa da dimostare qui??? vedi sotto
- al punto 5)
-
-4. Definire rOBP (le OBP rappresentabili) come (BP_to_OBP BP)
- [Si puo' fare lo stesso per le OA: rOA := Rel_to_OA REL ]
-
-5. Dimostrare che OR (il funtore faithful da OBP a OBTop) e' full
- quando applicato a rOBP.
- Nota: puo' darsi che faccia storie ad accettare lo statement.
- Infatti rOBP e' (BP_to_OBP BP) ed e' "una sottocategoria di OBP"
- e OR va da OBP a OBTop. Non so se tipa subito o se devi dare
- una "proiezione" da rOBP a OBP.
-
-6. Definire rOBTop come (OBP_to_OBTop rOBP).
-
-7. Per composizione si ha un funtore full and faithful da BP a rOBTop:
- basta prendere (OR \circ BP_to_OBP).
-
-8. Dimostrare (banale: quasi tutti i campi sono per conversione) che
- esiste un funtore da rOBTop a BTop. Dimostrare che tale funtore e'
- faithful e full (banale: tutta conversione).
-
-9. Per composizione si ha un funtore full and faithful da BP a BTop.
-
-10. Dimostrare che i seguenti funtori sono anche isomorphism-dense
- (http://planetmath.org/encyclopedia/DenseFunctor.html):
-
- BP_to_OBP
- OBP_to_OBTop quando applicato alle rOBP
- OBTop_to_BTop quando applicato alle rOBTop
-
- Concludere per composizione che anche il funtore da BP a BTop e'
- isomorphism-dense.
-
-====== Da qui in avanti non e' "necessario" nulla:
-
-== altre cose mancanti
-
-11. Dimostrare che le r* e le * orrizzontali
- sono isomorfe dando il funtore da r* a * e dimostrando che componendo i
- due funtori ottengo l'identita'
-
-12. La definizione di r* fa schifo: in pratica dici solo come ottieni
- qualcosa, ma non come lo caratterizzeresti. Ora un teorema carino
- e' che una a* (e.g. una aOBP) e' sempre una rOBP dove "a" sta per
- atomic. Dimostrarlo per tutte le r*.
-
-== categorish/future works
-
-13. definire astrattamente la FG-completion e usare quella per
- ottenere le BP da Rel e le OBP da OA.
-
-14. indebolire le OA, generalizzare le costruzioni, etc. come detto
- con Giovanni
-
-*)
-
projects / helm.git / blobdiff