+(* Istruzioni:
+
+ http://mowgli.cs.unibo.it/~tassi/exercise-natural_deduction.html
+
+*)
+
(* Esercizio 0
===========
(*DOCBEGIN
+Scopo della lezione
+===================
+
+Lo scopo della lezione è di farvi imparare ad usare Matita
+per auto-correggervi gli esercizi di deduzione naturale, che
+saranno parte dell'esame scritto. Il consiglio è di
+fare prima gli esercizi su carta e poi digitarli in Matita
+per verificarne la correttezza. Fare direttamente gli esercizi
+con Matita è difficile e richiede molto più tempo.
+
I connettivi logici
===================
* `⊥` : `\bot`
* `⊤` : `\top`
+I termini, le formule e i nomi delle ipotesi
+============================================
+
+* Le formule, quando argomenti di
+ una regola, vengono scritte tra `(` e `)`.
+
+* I nomi delle ipotesi, quando argomenti di
+ una regola, vengono scritti tra `[` e `]`.
+
Le regole di deduzione naturale
===============================
L'albero si descrive partendo dalla radice. Le regole
con premesse multiple sono seguite da `[`, `|` e `]`.
-Ad esempio
+Ad esempio:
apply rule (∧_i (A∨B) ⊥);
[ …continua qui il sottoalbero per (A∨B)
Le regole vengono applicate alle loro premesse, ovvero
gli argomenti delle regole sono le formule che normalmente
scrivete sopra la linea che rappresenta l'applicazione della
-regola stessa.
+regola stessa. Ad esempio:
+
+ aply rule (∨_e (A∨B) [h1] C [h2] C);
+ [ …prova di (A∨B)
+ | …prova di C sotto l'ipotesi A (di nome h1)
+ | …prova di C sotto l'ipotesi B (di nome h2)
+ ]
-Le formule sono racchiuse tra `(` e `)`, mentre i nomi
-che date ad ipotesi aggiuntive (nella regola di eliminazione
-dell' OR, in RAA, e nella regola di introduzione
-dell'implicazione) sono ragghiusi tra `[` e `]`.
+Le regole che hanno una sola premessa non vengono seguite
+da parentesi quadre.
L'albero di deduzione
=====================
Applicazioni di regole errate vengono contrassegnate con
il colore rosso.
+Usare i lemmi dimostrati in precedenza
+======================================
+
+Una volta dimostrati alcuni utili lemmi come `A ∨ ¬A` è possibile
+riutilizzarli in altre dimostrazioni utilizzando la "regola" `lem`.
+
+La "regola" `lem` prende come argomenti:
+
+- Il numero delle ipotesi del lemma che si vuole utilizzare, nel
+ caso del terzo escluso `0`, nel caso di `¬¬A⇒A` le ipotesi sono `1`.
+
+- Dopo il numero di ipotesi, è necessario digitare il nome del lemma.
+
+- Infine, le formule che devono essere scritte come premesse per la
+ "regola".
+
+Ad esempio, per usare il lemma EM (terzo escluso) basta digitare
+`lem 0 EM`, mentre per usare il lemma NNAA (`¬¬A⇒A`) bisogna digitare
+`lem 1 NNAA (¬¬A)`. Ai lemmi con più di una premessa è necessario
+far seguire le parentesi quadre come spiegato in precedenza.
+
+Si noti che "regola" `lem` non è una vera regola, ma una forma compatta
+per rappresentare l'albero di prova del lemma che si sta riutilizzando.
+
+Per motivi che saranno più chiari una volta studiate logiche del primo ordine
+o di ordine superiore, i lemmi che si intende riutilizzare è bene
+che siano dimostrati astratti sugli atomi, ovvero per ogni
+atomo `A`...`Z` che compare nella formula, è bene aggiungere
+una quantificazione all'inizio della formula stessa (es. `∀A:CProp.`)
+e iniziare la dimostrazione con il comando `assume`. In tale
+modo il lemma EM può essere utilizzato sia per dimostrare
+`A ∨ ¬A` sia `B ∨ ¬B` sia `(A∨C) ∨ ¬(A∨C)` ...
+
DOCEND*)
include "didactic/support/natural_deduction.ma".
-theorem EM: ∀A. A ∨ ¬ A.
+theorem EM: ∀A:CProp. A ∨ ¬ A.
(* Il comando assume è necessario perchè dimostriamo A∨¬A
per una A generica. *)
assume A: CProp.
+(* Questo comando inizia a disegnare l'albero *)
apply rule (prove (A ∨ ¬A));
-
+(* qui inizia l'albero, eseguite passo passo osservando come
+ si modifica l'albero. *)
apply rule (RAA [H] (⊥)).
apply rule (¬_e (¬(A ∨ ¬A)) (A ∨ ¬A));
[ apply rule (discharge [H]).
apply rule (⇒_i [h3] (D ⇒ C));
apply rule (⇒_i [h4] (C));
apply rule (∨_e (B∨¬B) [h5] (C) [h6] (C));
- [ apply rule (lem EM);
+ [ apply rule (lem 0 EM);
| apply rule (⇒_e (B∧D⇒C) (B∧D));
[ apply rule (discharge [h2]);
| apply rule (∧_i (B) (D));
(*END*)
qed.
+(* Per dimostrare questo teorema torna comodo il lemma EM
+ dimostrato in precedenza. *)
theorem ex3: (F ⇒ G∨E) ⇒ (G ⇒ ¬L∨E) ⇒ (L⇒F) ⇒ L ⇒ E.
apply rule (prove ((F ⇒ G∨E) ⇒ (G ⇒ ¬L∨E) ⇒ (L⇒F) ⇒ L ⇒ E));
(*BEGIN*)
(*BEGIN*)
apply rule (⇒_i [h1] (¬A∨¬B));
apply rule (∨_e (A ∨ ¬A) [h2] ((¬A∨¬B)) [h3] ((¬A∨¬B)));
- [ apply rule (lem EM);
+ [ apply rule (lem 0 EM);
| apply rule (∨_e (B ∨ ¬B) [h4] ((¬A∨¬B)) [h5] ((¬A∨¬B)));
- [ apply rule (lem EM);
+ [ apply rule (lem 0 EM);
| apply rule (⊥_e (⊥));
apply rule (¬_e (¬(A∧B)) (A∧B));
[ apply rule (discharge [h1]);
(*BEGIN*)
apply rule (⇒_i [h1] (¬A ∧ ¬B));
apply rule (∨_e (A∨¬A) [h2] (¬A ∧ ¬B) [h3] (¬A ∧ ¬B));
- [ apply rule (lem EM);
+ [ apply rule (lem 0 EM);
| apply rule (⊥_e (⊥));
apply rule (¬_e (¬(A∨B)) (A∨B));
[ apply rule (discharge [h1]);
apply rule (discharge [h2]);
]
| apply rule (∨_e (B∨¬B) [h10] (¬A ∧ ¬B) [h11] (¬A ∧ ¬B));
- [ apply rule (lem EM);
+ [ apply rule (lem 0 EM);
| apply rule (⊥_e (⊥));
apply rule (¬_e (¬(A∨B)) (A∨B));
[ apply rule (discharge [h1]);
]
]
(*END*)
-qed.
+qed.
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