alias symbol "covers" (instance 2) = "covers set".
alias symbol "covers" (instance 3) = "covers".
ntheorem transitivity: ∀A:Ax.∀a:A.∀U,V. a ◃ U → U ◃ V → a ◃ V.
-#A; #a; #U; #V; #aU; #UV;
-nelim aU;
-##[ #c; #H; nauto;
-##| #c; #i; #HCU; #H; @2 i; nauto;
-##]
+#A; #a; #U; #V; #aU; #UV; nelim aU; nauto depth=4;
nqed.
ndefinition emptyset: ∀A.Ω^A ≝ λA.{x | False}.
∀A:Ax.∀a:A. a ◃ ∅ → ∃i. ¬ a ∈ 𝐂 a i.
#A; #a; #H; nelim H;
##[ #n; *;
-##| #b; #i_star; #IH1; #IH2;
- ncases (EM … b i_star);
- ##[##2: (* nauto; *) #W; @i_star; napply W;
- ##| nauto;
- ##]
+##| #b; #i_star; #IH1; #IH2; ncases (EM … b i_star); nauto;
##]
nqed.
}.
ndefinition uax : uAx → Ax.
-#A; @ (uax_ A) (λx.unit); #a; #_; napply (𝐂 a ?); nlapply one; ncases (with_ A a); nauto;
+#A; @ (uax_ A) (λx.unit); #a; #_;
+napply (𝐂 a ?); nlapply one; ncases (with_ A a); nauto;
nqed.
ncoercion uax : ∀u:uAx. Ax ≝ uax on _u : uAx to Ax.
ntheorem col2_4 :
- ∀A:uAx.∀a:A. a ◃ ∅ → ¬ a ∈ 𝐂 a ?. ##[ (* bug *) ##2: nnormalize; napply one; ##]
+ ∀A:uAx.∀a:A. a ◃ ∅ → ¬ a ∈ 𝐂 a one.
#A; #a; #H; nelim H;
##[ #n; *;
-##| #b; #i_star; #IH1; #IH2; #H3; nlapply (IH2 … H3); #H4; nauto;
+##| #b; #i_star; #IH1; #IH2; #H3; nlapply (IH2 … H3); nauto;
##]
nqed.
ndefinition Z : Ω^axs ≝ { x | x ◃ ∅ }.
ntheorem cover_monotone: ∀A:Ax.∀a:A.∀U,V.U ⊆ V → a ◃ U → a ◃ V.
-#A; #a; #U; #V; #HUV; #H; nelim H;
-##[ nauto;
-##| #b; #i; #HCU; #W; @2 i; #x; nauto; ##]
+#A; #a; #U; #V; #HUV; #H; nelim H; nauto depth=4;
nqed.
ntheorem th3_1: ¬∃a:axs.Z ⊆ S a ∧ S a ⊆ Z.
*; #a; *; #ZSa; #SaZ;
ncut (a ◃ Z); ##[
nlapply (axiom_cond … a one); #AxCon; nchange in AxCon with (a ◃ S a);
- (* nauto; *) napply (cover_monotone … AxCon); nassumption; ##] #H;
-ncut (a ◃ ∅); ##[ napply (transitivity … H); #x; #E; napply E; ##] #H1;
+ napply (cover_monotone … AxCon); nassumption; ##] #H;
+ncut (a ◃ ∅); ##[ napply (transitivity … H); nwhd in match Z; nauto; ##] #H1;
ncut (¬ a ∈ S a); ##[ napply (col2_4 … H1); ##] #H2;
ncut (a ∈ S a); ##[ napply ZSa; napply H1; ##] #H3;
nauto;
nlemma replace_char:
∀A:Ax.∀U,V.U ⊆ V → V ⊆ U → ∀a:A.a ◃ U → a ◃ V.
-#A; #U; #V; #a; #H1; #H2; #E; nelim E;
-##[ #b; #Hb; @; nauto;
-##| #b; #i; #H3; #H4; @2 i; #c; #Hc; nauto; ##]
+#A; #U; #V; #UV; #VU; #a; #aU; nelim aU; nauto;
nqed.
ntheorem th_ch3: ¬∃a:caxs.∀x.ϕ a x = h x.
*; #a; #H;
ncut (a ◃ { x | x ◃ ∅}); ##[
- napply (replace_char … { x | h x = O }); ##[ ##1,2: #x; ncases (Ph x);
- (* nauto; *) #H1; #H2; #H3; nauto; (* ??? *) ##]
- napply (replace_char … { x | ϕ a x = O }); ##[##1,2: #x; nrewrite > (H x);
- (* nauto; *) #E; napply E; ##]
+ napply (replace_char … { x | h x = O }); ##[ ##1,2: #x; ncases (Ph x); nauto; ##]
+ napply (replace_char … { x | ϕ a x = O }); ##[##1,2: #x; nrewrite > (H x); nauto; ##]
napply (axiom_cond … a one); ##] #H1;
-ncut (a ◃ ∅); ##[ napply (transitivity … H1); #x; nauto; ##] #H2;
+ncut (a ◃ ∅); ##[ napply (transitivity … H1); nauto; ##] #H2;
nlapply (col2_4 …H2); #H3;
ncut (a ∈ 𝐂 a one); ##[
nnormalize; ncases (Ph a); nrewrite > (H a); nauto; ##] #H4;