+++ /dev/null
-(**************************************************************************)
-(* ___ *)
-(* ||M|| *)
-(* ||A|| A project by Andrea Asperti *)
-(* ||T|| *)
-(* ||I|| Developers: *)
-(* ||T|| The HELM team. *)
-(* ||A|| http://helm.cs.unibo.it *)
-(* \ / *)
-(* \ / This file is distributed under the terms of the *)
-(* v GNU General Public License Version 2 *)
-(* *)
-(**************************************************************************)
-
-include "lift.ma".
-
-(* DELIFTING SUBSTITUTION ***************************************************)
-
-(* Policy: depth (level) metavariables: d, e (as for lift) *)
-let rec dsubst D d M on M ≝ match M with
-[ VRef i ⇒ tri … i d (#i) (↑[i] D) (#(i-1))
-| Abst A ⇒ 𝛌. (dsubst D (d+1) A)
-| Appl B A ⇒ @ (dsubst D d B). (dsubst D d A)
-].
-
-interpretation "delifting substitution"
- 'DSubst D d M = (dsubst D d M).
-
-(* Note: the notation with "/" does not work *)
-notation "hvbox( [ term 46 d ↙ break term 46 D ] break term 46 M )"
- non associative with precedence 46
- for @{ 'DSubst $D $d $M }.
-
-notation > "hvbox( [ ↙ term 46 D ] break term 46 M )"
- non associative with precedence 46
- for @{ 'DSubst $D 0 $M }.
-
-lemma dsubst_vref_lt: ∀i,d,D. i < d → [d ↙ D] #i = #i.
-normalize /2 width=1/
-qed.
-
-lemma dsubst_vref_eq: ∀i,D. [i ↙ D] #i = ↑[i]D.
-normalize //
-qed.
-
-lemma dsubst_vref_gt: ∀i,d,D. d < i → [d ↙ D] #i = #(i-1).
-normalize /2 width=1/
-qed.
-
-theorem dsubst_lift_le: ∀h,D,M,d1,d2. d2 ≤ d1 →
- [d2 ↙ ↑[d1 - d2, h] D] ↑[d1 + 1, h] M = ↑[d1, h] [d2 ↙ D] M.
-#h #D #M elim M -M
-[ #i #d1 #d2 #Hd21 elim (lt_or_eq_or_gt i d2) #Hid2
- [ lapply (lt_to_le_to_lt … Hid2 Hd21) -Hd21 #Hid1
- >(dsubst_vref_lt … Hid2) >(lift_vref_lt … Hid1) >lift_vref_lt /2 width=1/
- | destruct >dsubst_vref_eq >lift_vref_lt /2 width=1/
- | >(dsubst_vref_gt … Hid2) -Hd21 elim (lt_or_ge (i-1) d1) #Hi1d1
- [ >(lift_vref_lt … Hi1d1) >lift_vref_lt /2 width=1/
- | lapply (ltn_to_ltO … Hid2) #Hi
- >(lift_vref_ge … Hi1d1) >lift_vref_ge /2 width=1/ -Hi1d1 >plus_minus // /3 width=1/
- ]
- ]
-| normalize #A #IHA #d1 #d2 #Hd21
- lapply (IHA (d1+1) (d2+1) ?) -IHA /2 width=1/
-| normalize #B #A #IHB #IHA #d1 #d2 #Hd21
- >IHB -IHB // >IHA -IHA //
-]
-qed.
-
-theorem dsubst_lift_be: ∀h,D,M,d1,d2. d1 ≤ d2 → d2 ≤ d1 + h →
- [d2 ↙ D] ↑[d1, h + 1] M = ↑[d1, h] M.
-#h #D #M elim M -M
-[ #i #d1 #d2 #Hd12 #Hd21 elim (lt_or_ge i d1) #Hid1
- [ lapply (lt_to_le_to_lt … Hid1 Hd12) -Hd12 -Hd21 #Hid2
- >(lift_vref_lt … Hid1) >(lift_vref_lt … Hid1) /2 width=1/
- | lapply (transitive_le … (i+h) Hd21 ?) -Hd12 -Hd21 /2 width=1/ #Hd2
- >(lift_vref_ge … Hid1) >(lift_vref_ge … Hid1) -Hid1
- >dsubst_vref_gt // /2 width=1/
- ]
-| normalize #A #IHA #d1 #d2 #Hd12 #Hd21
- >IHA -IHA // /2 width=1/
-| normalize #B #A #IHB #IHA #d1 #d2 #Hd12 #Hd21
- >IHB -IHB // >IHA -IHA //
-]
-qed.
-
-theorem dsubst_lift_ge: ∀h,D,M,d1,d2. d1 + h ≤ d2 →
- [d2 ↙ D] ↑[d1, h] M = ↑[d1, h] [d2 - h ↙ D] M.
-#h #D #M elim M -M
-[ #i #d1 #d2 #Hd12 elim (lt_or_eq_or_gt i (d2-h)) #Hid2h
- [ >(dsubst_vref_lt … Hid2h) elim (lt_or_ge i d1) #Hid1
- [ lapply (lt_to_le_to_lt … (d1+h) Hid1 ?) -Hid2h // #Hid1h
- lapply (lt_to_le_to_lt … Hid1h Hd12) -Hid1h -Hd12 #Hid2
- >(lift_vref_lt … Hid1) -Hid1 /2 width=1/
- | >(lift_vref_ge … Hid1) -Hid1 -Hd12 /3 width=1/
- ]
- | destruct elim (le_inv_plus_l … Hd12) -Hd12 #Hd12 #Hhd2
- >dsubst_vref_eq >lift_vref_ge // >lift_lift_be // <plus_minus_m_m //
- | elim (le_inv_plus_l … Hd12) -Hd12 #Hd12 #_
- lapply (le_to_lt_to_lt … Hd12 Hid2h) -Hd12 #Hid1
- lapply (ltn_to_ltO … Hid2h) #Hi
- >(dsubst_vref_gt … Hid2h)
- >lift_vref_ge /2 width=1/ >lift_vref_ge /2 width=1/ -Hid1
- >dsubst_vref_gt /2 width=1/ -Hid2h >plus_minus //
- ]
-| normalize #A #IHA #d1 #d2 #Hd12
- elim (le_inv_plus_l … Hd12) #_ #Hhd2
- >IHA -IHA /2 width=1/ <plus_minus //
-| normalize #B #A #IHB #IHA #d1 #d2 #Hd12
- >IHB -IHB // >IHA -IHA //
-]
-qed.
-
-theorem dsubst_dsubst_ge: ∀D1,D2,M,d1,d2. d1 ≤ d2 →
- [d2 ↙ D2] [d1 ↙ D1] M = [d1 ↙ [d2 - d1 ↙ D2] D1] [d2 + 1 ↙ D2] M.
-#D1 #D2 #M elim M -M
-[ #i #d1 #d2 #Hd12 elim (lt_or_eq_or_gt i d1) #Hid1
- [ lapply (lt_to_le_to_lt … Hid1 Hd12) -Hd12 #Hid2
- >(dsubst_vref_lt … Hid1) >(dsubst_vref_lt … Hid2) >dsubst_vref_lt /2 width=1/
- | destruct >dsubst_vref_eq >dsubst_vref_lt /2 width=1/
- | >(dsubst_vref_gt … Hid1) elim (lt_or_eq_or_gt i (d2+1)) #Hid2
- [ lapply (ltn_to_ltO … Hid1) #Hi
- >(dsubst_vref_lt … Hid2) >dsubst_vref_lt /2 width=1/
- | destruct /2 width=1/
- | lapply (le_to_lt_to_lt (d1+1) … Hid2) -Hid1 /2 width=1/ -Hd12 #Hid1
- >(dsubst_vref_gt … Hid2) >dsubst_vref_gt /2 width=1/
- >dsubst_vref_gt // /2 width=1/
- ]
- ]
-| normalize #A #IHA #d1 #d2 #Hd12
- lapply (IHA (d1+1) (d2+1) ?) -IHA /2 width=1/
-| normalize #B #A #IHB #IHA #d1 #d2 #Hd12
- >IHB -IHB // >IHA -IHA //
-]
-qed.
-
-theorem dsubst_dsubst_lt: ∀D1,D2,M,d1,d2. d2 < d1 →
- [d2 ↙ [d1 - d2 -1 ↙ D1] D2] [d1 ↙ D1] M = [d1 - 1 ↙ D1] [d2 ↙ D2] M.
-#D1 #D2 #M #d1 #d2 #Hd21
-lapply (ltn_to_ltO … Hd21) #Hd1
->dsubst_dsubst_ge in ⊢ (???%); /2 width=1/ <plus_minus_m_m //
-qed.
-
-definition dsubstable_dx: predicate (relation term) ≝ λR.
- ∀D,M1,M2. R M1 M2 → ∀d. R ([d ↙ D] M1) ([d ↙ D] M2).
-
-definition dsubstable: predicate (relation term) ≝ λR.
- ∀D1,D2. R D1 D2 → ∀M1,M2. R M1 M2 → ∀d. R ([d ↙ D1] M1) ([d ↙ D2] M2).
-
-lemma star_dsubstable_dx: ∀R. dsubstable_dx R → dsubstable_dx (star … R).
-#R #HR #D #M1 #M2 #H elim H -M2 // /3 width=3/
-qed.
-
-lemma lstar_dsubstable_dx: ∀T,R. (∀t. dsubstable_dx (R t)) →
- ∀l. dsubstable_dx (lstar T … R l).
-#T #R #HR #l #D #M1 #M2 #H
-@(lstar_ind_l ????????? H) -l -M1 // /3 width=3/
-qed.
-
-lemma star_dsubstable: ∀R. reflexive ? R →
- dsubstable R → dsubstable (star … R).
-#R #H1R #H2 #D1 #D2 #H elim H -D2 /3 width=1/ /3 width=5/
-qed.
projects / helm.git / blobdiff