"context-free parallel reduction (environment)"
'PRed L1 L2 = (ltpr L1 L2).
+(* Basic properties *********************************************************)
+
+lemma ltpr_refl: ∀L:lenv. L ⇒ L.
+#L elim L -L /2/
+qed.
+
(* Basic inversion lemmas ***************************************************)
-fact ltpr_inv_item1_aux: ∀L1,L2. L1 ⇒ L2 → ∀K1,I,V1. L1 = K1. 𝕓{I} V1 →
+fact ltpr_inv_atom1_aux: ∀L1,L2. L1 ⇒ L2 → L1 = ⋆ → L2 = ⋆.
+#L1 #L2 * -L1 L2
+[ //
+| #K1 #K2 #I #V1 #V2 #_ #_ #H destruct
+]
+qed.
+
+(* Basic-1: was: wcpr0_gen_sort *)
+lemma ltpr_inv_atom1: ∀L2. ⋆ ⇒ L2 → L2 = ⋆.
+/2/ qed.
+
+fact ltpr_inv_pair1_aux: ∀L1,L2. L1 ⇒ L2 → ∀K1,I,V1. L1 = K1. 𝕓{I} V1 →
∃∃K2,V2. K1 ⇒ K2 & V1 ⇒ V2 & L2 = K2. 𝕓{I} V2.
#L1 #L2 * -L1 L2
[ #K1 #I #V1 #H destruct
]
qed.
-lemma ltpr_inv_item1: ∀K1,I,V1,L2. K1. 𝕓{I} V1 ⇒ L2 →
+(* Basic-1: was: wcpr0_gen_head *)
+lemma ltpr_inv_pair1: ∀K1,I,V1,L2. K1. 𝕓{I} V1 ⇒ L2 →
∃∃K2,V2. K1 ⇒ K2 & V1 ⇒ V2 & L2 = K2. 𝕓{I} V2.
/2/ qed.
+
+fact ltpr_inv_atom2_aux: ∀L1,L2. L1 ⇒ L2 → L2 = ⋆ → L1 = ⋆.
+#L1 #L2 * -L1 L2
+[ //
+| #K1 #K2 #I #V1 #V2 #_ #_ #H destruct
+]
+qed.
+
+lemma ltpr_inv_atom2: ∀L1. L1 ⇒ ⋆ → L1 = ⋆.
+/2/ qed.
+
+fact ltpr_inv_pair2_aux: ∀L1,L2. L1 ⇒ L2 → ∀K2,I,V2. L2 = K2. 𝕓{I} V2 →
+ ∃∃K1,V1. K1 ⇒ K2 & V1 ⇒ V2 & L1 = K1. 𝕓{I} V1.
+#L1 #L2 * -L1 L2
+[ #K2 #I #V2 #H destruct
+| #K1 #K2 #I #V1 #V2 #HK12 #HV12 #K #J #W #H destruct -K2 I V2 /2 width=5/
+]
+qed.
+
+lemma ltpr_inv_pair2: ∀L1,K2,I,V2. L1 ⇒ K2. 𝕓{I} V2 →
+ ∃∃K1,V1. K1 ⇒ K2 & V1 ⇒ V2 & L1 = K1. 𝕓{I} V1.
+/2/ qed.
+
+(* Basic-1: removed theorems 2: wcpr0_getl wcpr0_getl_back *)