- update in Basic_2

[helm.git] / matita / matita / contribs / lambda_delta / Ground_2 / star.ma

diff --git a/matita/matita/contribs/lambda_delta/Ground_2/star.ma b/matita/matita/contribs/lambda_delta/Ground_2/star.ma
index e68ab1785666d895c110d1f0eddfdcf188d67d3c..ed35806424bbb2c0bca9ae9796fc8a3521eae9a7 100644 (file)
--- a/matita/matita/contribs/lambda_delta/Ground_2/star.ma
+++ b/matita/matita/contribs/lambda_delta/Ground_2/star.ma
@@ -14,109 +14,99 @@
 
 include "basics/star.ma".
 include "Ground_2/xoa_props.ma".
+include "Ground_2/notation.ma".
 
-(* PROPERTIES of RELATIONS **************************************************)
+(* PROPERTIES OF RELATIONS **************************************************)
 
-definition confluent: ∀A. ∀R1,R2: relation A. Prop ≝ λA,R1,R2.
-                      ∀a0,a1. R1 a0 a1 → ∀a2. R2 a0 a2 →
-                      ∃∃a. R2 a1 a & R1 a2 a.
+definition Decidable: Prop → Prop ≝ λR. R ∨ (R → False).
 
-definition transitive: ∀A. ∀R1,R2: relation A. Prop ≝ λA,R1,R2.
-                       ∀a1,a0. R1 a1 a0 → ∀a2. R2 a0 a2 →
-                       ∃∃a. R2 a1 a & R1 a a2.
+definition confluent2: ∀A. ∀R1,R2: relation A. Prop ≝ λA,R1,R2.
+                       ∀a0,a1. R1 a0 a1 → ∀a2. R2 a0 a2 →
+                       ∃∃a. R2 a1 a & R1 a2 a.
 
-lemma TC_strip1: ∀A,R1,R2. confluent A R1 R2 →
+definition transitive2: ∀A. ∀R1,R2: relation A. Prop ≝ λA,R1,R2.
+                        ∀a1,a0. R1 a1 a0 → ∀a2. R2 a0 a2 →
+                        ∃∃a. R2 a1 a & R1 a a2.
+
+lemma TC_strip1: ∀A,R1,R2. confluent2 A R1 R2 →
                  ∀a0,a1. TC … R1 a0 a1 → ∀a2. R2 a0 a2 →
                  ∃∃a. R2 a1 a & TC … R1 a2 a.
-#A #R1 #R2 #HR12 #a0 #a1 #H elim H -H a1
+#A #R1 #R2 #HR12 #a0 #a1 #H elim H -a1
 [ #a1 #Ha01 #a2 #Ha02
-  elim (HR12 … Ha01 … Ha02) -HR12 a0 /3/
+  elim (HR12 … Ha01 … Ha02) -HR12 -a0 /3 width=3/
 | #a #a1 #_ #Ha1 #IHa0 #a2 #Ha02
-  elim (IHa0 … Ha02) -IHa0 Ha02 a0 #a0 #Ha0 #Ha20
-  elim (HR12 … Ha1 … Ha0) -HR12 a /4/
+  elim (IHa0 … Ha02) -a0 #a0 #Ha0 #Ha20
+  elim (HR12 … Ha1 … Ha0) -HR12 -a /4 width=3/
 ]
 qed.
 
-lemma TC_strip2: ∀A,R1,R2. confluent A R1 R2 →
+lemma TC_strip2: ∀A,R1,R2. confluent2 A R1 R2 →
                  ∀a0,a2. TC … R2 a0 a2 → ∀a1. R1 a0 a1 →
                  ∃∃a. TC … R2 a1 a & R1 a2 a.
-#A #R1 #R2 #HR12 #a0 #a2 #H elim H -H a2
+#A #R1 #R2 #HR12 #a0 #a2 #H elim H -a2
 [ #a2 #Ha02 #a1 #Ha01
-  elim (HR12 … Ha01 … Ha02) -HR12 a0 /3/
+  elim (HR12 … Ha01 … Ha02) -HR12 -a0 /3 width=3/
 | #a #a2 #_ #Ha2 #IHa0 #a1 #Ha01
-  elim (IHa0 … Ha01) -IHa0 Ha01 a0 #a0 #Ha10 #Ha0
-  elim (HR12 … Ha0 … Ha2) -HR12 a /4/
+  elim (IHa0 … Ha01) -a0 #a0 #Ha10 #Ha0
+  elim (HR12 … Ha0 … Ha2) -HR12 -a /4 width=3/
 ]
 qed.
 
-lemma TC_confluent: ∀A,R1,R2.
-                    confluent A R1 R2 → confluent A (TC … R1) (TC … R2).
-#A #R1 #R2 #HR12 #a0 #a1 #H elim H -H a1
+lemma TC_confluent2: ∀A,R1,R2.
+                     confluent2 A R1 R2 → confluent2 A (TC … R1) (TC … R2).
+#A #R1 #R2 #HR12 #a0 #a1 #H elim H -a1
 [ #a1 #Ha01 #a2 #Ha02
-  elim (TC_strip2 … HR12 … Ha02 … Ha01) -HR12 a0 /3/
+  elim (TC_strip2 … HR12 … Ha02 … Ha01) -HR12 -a0 /3 width=3/
 | #a #a1 #_ #Ha1 #IHa0 #a2 #Ha02
-  elim (IHa0 … Ha02) -IHa0 Ha02 a0 #a0 #Ha0 #Ha20
-  elim (TC_strip2 … HR12 … Ha0 … Ha1) -HR12 a /4/
+  elim (IHa0 … Ha02) -a0 #a0 #Ha0 #Ha20
+  elim (TC_strip2 … HR12 … Ha0 … Ha1) -HR12 -a /4 width=3/
 ]
 qed.
 
-lemma TC_strap: ∀A. ∀R:relation A. ∀a1,a,a2.
-                R a1 a → TC … R a a2 → TC … R a1 a2.
-/3/ qed.
-
-lemma TC_strap1: ∀A,R1,R2. transitive A R1 R2 →
+lemma TC_strap1: ∀A,R1,R2. transitive2 A R1 R2 →
                  ∀a1,a0. TC … R1 a1 a0 → ∀a2. R2 a0 a2 →
                  ∃∃a. R2 a1 a & TC … R1 a a2.
-#A #R1 #R2 #HR12 #a1 #a0 #H elim H -H a0
+#A #R1 #R2 #HR12 #a1 #a0 #H elim H -a0
 [ #a0 #Ha10 #a2 #Ha02
-  elim (HR12 … Ha10 … Ha02) -HR12 a0 /3/
+  elim (HR12 … Ha10 … Ha02) -HR12 -a0 /3 width=3/
 | #a #a0 #_ #Ha0 #IHa #a2 #Ha02
-  elim (HR12 … Ha0 … Ha02) -HR12 a0 #a0 #Ha0 #Ha02
-  elim (IHa … Ha0) -a /4/
+  elim (HR12 … Ha0 … Ha02) -HR12 -a0 #a0 #Ha0 #Ha02
+  elim (IHa … Ha0) -a /4 width=3/
 ]
 qed.
 
-lemma TC_strap2: ∀A,R1,R2. transitive A R1 R2 →
+lemma TC_strap2: ∀A,R1,R2. transitive2 A R1 R2 →
                  ∀a0,a2. TC … R2 a0 a2 → ∀a1. R1 a1 a0 →
                  ∃∃a. TC … R2 a1 a & R1 a a2.
-#A #R1 #R2 #HR12 #a0 #a2 #H elim H -H a2
+#A #R1 #R2 #HR12 #a0 #a2 #H elim H -a2
 [ #a2 #Ha02 #a1 #Ha10
-  elim (HR12 … Ha10 … Ha02) -HR12 a0 /3/
+  elim (HR12 … Ha10 … Ha02) -HR12 -a0 /3 width=3/
 | #a #a2 #_ #Ha02 #IHa #a1 #Ha10
   elim (IHa … Ha10) -a0 #a0 #Ha10 #Ha0
-  elim (HR12 … Ha0 … Ha02) -HR12 a /4/
+  elim (HR12 … Ha0 … Ha02) -HR12 -a /4 width=3/
 ]
 qed.
 
-lemma TC_transitive: ∀A,R1,R2.
-                     transitive A R1 R2 → transitive A (TC … R1) (TC … R2).
+lemma TC_transitive2: ∀A,R1,R2.
+                      transitive2 A R1 R2 → transitive2 A (TC … R1) (TC … R2).
 #A #R1 #R2 #HR12 #a1 #a0 #H elim H -a0
 [ #a0 #Ha10 #a2 #Ha02
-  elim (TC_strap2 … HR12 … Ha02 … Ha10) -HR12 a0 /3/
+  elim (TC_strap2 … HR12 … Ha02 … Ha10) -HR12 -a0 /3 width=3/
 | #a #a0 #_ #Ha0 #IHa #a2 #Ha02
-  elim (TC_strap2 … HR12 … Ha02 … Ha0) -HR12 a0 #a0 #Ha0 #Ha02
-  elim (IHa … Ha0) -a /4/
+  elim (TC_strap2 … HR12 … Ha02 … Ha0) -HR12 -a0 #a0 #Ha0 #Ha02
+  elim (IHa … Ha0) -a /4 width=3/
 ]
 qed.
 
-lemma TC_reflexive: ∀A,R. reflexive A R → reflexive A (TC … R).
-/2/ qed.
-
-lemma TC_star_ind: ∀A,R. reflexive A R → ∀a1. ∀P:A→Prop.
-                   P a1 → (∀a,a2. TC … R a1 a → R a a2 → P a → P a2) →
-                   ∀a2. TC … R a1 a2 → P a2.
-#A #R #H #a1 #P #Ha1 #IHa1 #a2 #Ha12 elim Ha12 -Ha12 a2 /3/
-qed.
-
-definition NF: ∀A. relation A → relation A → A → Prop ≝
+definition NF: ∀A. relation A → relation A → predicate A ≝
    λA,R,S,a1. ∀a2. R a1 a2 → S a1 a2.
 
-inductive SN (A) (R,S:relation A): A → Prop ≝
+inductive SN (A) (R,S:relation A): predicate A ≝
 | SN_intro: ∀a1. (∀a2. R a1 a2 → (S a1 a2 → False) → SN A R S a2) → SN A R S a1
 .
 
 lemma NF_to_SN: ∀A,R,S,a. NF A R S a → SN A R S a.
 #A #R #S #a1 #Ha1
 @SN_intro #a2 #HRa12 #HSa12
-elim (HSa12 ?) -HSa12 /2/
+elim (HSa12 ?) -HSa12 /2 width=1/
 qed.