(* STRATIFIED NATIVE VALIDITY FOR TERMS *************************************)
+definition scast: ∀h. sd h → nat → relation4 genv lenv term term ≝
+ λh,g,l,G,L,V,W. ∀V0,W0,l0.
+ l0 ≤ l → ⦃G, L⦄ ⊢ V •*[h, g, l0+1] V0 → ⦃G, L⦄ ⊢ W •*[h, g, l0] W0 → ⦃G, L⦄ ⊢ V0 ⬌* W0.
+
(* activate genv *)
inductive snv (h:sh) (g:sd h): relation3 genv lenv term ≝
| snv_sort: ∀G,L,k. snv h g G L (⋆k)
| snv_lref: ∀I,G,L,K,V,i. ⇩[0, i] L ≡ K.ⓑ{I}V → snv h g G K V → snv h g G L (#i)
| snv_bind: ∀a,I,G,L,V,T. snv h g G L V → snv h g G (L.ⓑ{I}V) T → snv h g G L (ⓑ{a,I}V.T)
| snv_appl: ∀a,G,L,V,W,W0,T,U,l. snv h g G L V → snv h g G L T →
- â¦\83G, Lâ¦\84 â\8a¢ V â\80¢[h, g] â¦\83l+1, Wâ¦\84 → ⦃G, L⦄ ⊢ W ➡* W0 →
+ â¦\83G, Lâ¦\84 â\8a¢ V â\96ª[h, g] l+1 â\86\92 â¦\83G, Lâ¦\84 â\8a¢ V â\80¢[h, g] W → ⦃G, L⦄ ⊢ W ➡* W0 →
⦃G, L⦄ ⊢ T •*➡*[h, g] ⓛ{a}W0.U → snv h g G L (ⓐV.T)
| snv_cast: ∀G,L,W,T,U,l. snv h g G L W → snv h g G L T →
- â¦\83G, Lâ¦\84 â\8a¢ T â\80¢[h, g] â¦\83l+1, Uâ¦\84 → ⦃G, L⦄ ⊢ U ⬌* W → snv h g G L (ⓝW.T)
+ â¦\83G, Lâ¦\84 â\8a¢ T â\96ª[h, g] l+1 â\86\92 â¦\83G, Lâ¦\84 â\8a¢ T â\80¢[h, g] U → ⦃G, L⦄ ⊢ U ⬌* W → snv h g G L (ⓝW.T)
.
interpretation "stratified native validity (term)"
[ #G #L #k #i #H destruct
| #I #G #L #K #V #i0 #HLK #HV #i #H destruct /2 width=5/
| #a #I #G #L #V #T #_ #_ #i #H destruct
-| #a #G #L #V #W #W0 #T #U #l #_ #_ #_ #_ #_ #i #H destruct
-| #G #L #W #T #U #l #_ #_ #_ #_ #i #H destruct
+| #a #G #L #V #W #W0 #T #U #l #_ #_ #_ #_ #_ #_ #i #H destruct
+| #G #L #W #T #U #l #_ #_ #_ #_ #_ #i #H destruct
]
qed-.
[ #G #L #k #p #H destruct
| #I #G #L #K #V #i #_ #_ #p #H destruct
| #a #I #G #L #V #T #_ #_ #p #H destruct
-| #a #G #L #V #W #W0 #T #U #l #_ #_ #_ #_ #_ #p #H destruct
-| #G #L #W #T #U #l #_ #_ #_ #_ #p #H destruct
+| #a #G #L #V #W #W0 #T #U #l #_ #_ #_ #_ #_ #_ #p #H destruct
+| #G #L #W #T #U #l #_ #_ #_ #_ #_ #p #H destruct
]
qed-.
[ #G #L #k #a #I #V #T #H destruct
| #I0 #G #L #K #V0 #i #_ #_ #a #I #V #T #H destruct
| #b #I0 #G #L #V0 #T0 #HV0 #HT0 #a #I #V #T #H destruct /2 width=1/
-| #b #G #L #V0 #W0 #W00 #T0 #U0 #l #_ #_ #_ #_ #_ #a #I #V #T #H destruct
-| #G #L #W0 #T0 #U0 #l #_ #_ #_ #_ #a #I #V #T #H destruct
+| #b #G #L #V0 #W0 #W00 #T0 #U0 #l #_ #_ #_ #_#_ #_ #a #I #V #T #H destruct
+| #G #L #W0 #T0 #U0 #l #_ #_ #_ #_ #_ #a #I #V #T #H destruct
]
qed-.
fact snv_inv_appl_aux: ∀h,g,G,L,X. ⦃G, L⦄ ⊢ X ¡[h, g] → ∀V,T. X = ⓐV.T →
∃∃a,W,W0,U,l. ⦃G, L⦄ ⊢ V ¡[h, g] & ⦃G, L⦄ ⊢ T ¡[h, g] &
- â¦\83G, Lâ¦\84 â\8a¢ V â\80¢[h, g] â¦\83l+1, Wâ¦\84 & ⦃G, L⦄ ⊢ W ➡* W0 &
+ â¦\83G, Lâ¦\84 â\8a¢ V â\96ª[h, g] l+1 & â¦\83G, Lâ¦\84 â\8a¢ V â\80¢[h, g] W & ⦃G, L⦄ ⊢ W ➡* W0 &
⦃G, L⦄ ⊢ T •*➡*[h, g] ⓛ{a}W0.U.
#h #g #G #L #X * -L -X
[ #G #L #k #V #T #H destruct
| #I #G #L #K #V0 #i #_ #_ #V #T #H destruct
| #a #I #G #L #V0 #T0 #_ #_ #V #T #H destruct
-| #a #G #L #V0 #W0 #W00 #T0 #U0 #l #HV0 #HT0 #HVW0 #HW00 #HTU0 #V #T #H destruct /2 width=8/
-| #G #L #W0 #T0 #U0 #l #_ #_ #_ #_ #V #T #H destruct
+| #a #G #L #V0 #W0 #W00 #T0 #U0 #l #HV0 #HT0 #Hl #HVW0 #HW00 #HTU0 #V #T #H destruct /2 width=8/
+| #G #L #W0 #T0 #U0 #l #_ #_ #_ #_ #_ #V #T #H destruct
]
qed-.
lemma snv_inv_appl: ∀h,g,G,L,V,T. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓐV.T ¡[h, g] →
∃∃a,W,W0,U,l. ⦃G, L⦄ ⊢ V ¡[h, g] & ⦃G, L⦄ ⊢ T ¡[h, g] &
- â¦\83G, Lâ¦\84 â\8a¢ V â\80¢[h, g] â¦\83l+1, Wâ¦\84 & ⦃G, L⦄ ⊢ W ➡* W0 &
+ â¦\83G, Lâ¦\84 â\8a¢ V â\96ª[h, g] l+1 & â¦\83G, Lâ¦\84 â\8a¢ V â\80¢[h, g] W & ⦃G, L⦄ ⊢ W ➡* W0 &
⦃G, L⦄ ⊢ T •*➡*[h, g] ⓛ{a}W0.U.
/2 width=3 by snv_inv_appl_aux/ qed-.
fact snv_inv_cast_aux: ∀h,g,G,L,X. ⦃G, L⦄ ⊢ X ¡[h, g] → ∀W,T. X = ⓝW.T →
∃∃U,l. ⦃G, L⦄ ⊢ W ¡[h, g] & ⦃G, L⦄ ⊢ T ¡[h, g] &
- â¦\83G, Lâ¦\84 â\8a¢ T â\80¢[h, g] â¦\83l+1, Uâ¦\84 & ⦃G, L⦄ ⊢ U ⬌* W.
+ â¦\83G, Lâ¦\84 â\8a¢ T â\96ª[h, g] l+1 & â¦\83G, Lâ¦\84 â\8a¢ T â\80¢[h, g] U & ⦃G, L⦄ ⊢ U ⬌* W.
#h #g #G #L #X * -G -L -X
[ #G #L #k #W #T #H destruct
| #I #G #L #K #V #i #_ #_ #W #T #H destruct
| #a #I #G #L #V #T0 #_ #_ #W #T #H destruct
-| #a #G #L #V #W0 #W00 #T0 #U #l #_ #_ #_ #_ #_ #W #T #H destruct
-| #G #L #W0 #T0 #U0 #l #HW0 #HT0 #HTU0 #HUW0 #W #T #H destruct /2 width=4/
+| #a #G #L #V #W0 #W00 #T0 #U #l #_ #_ #_ #_ #_ #_ #W #T #H destruct
+| #G #L #W0 #T0 #U0 #l #HW0 #HT0 #Hl #HTU0 #HUW0 #W #T #H destruct /2 width=4/
]
qed-.
lemma snv_inv_cast: ∀h,g,G,L,W,T. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓝW.T ¡[h, g] →
∃∃U,l. ⦃G, L⦄ ⊢ W ¡[h, g] & ⦃G, L⦄ ⊢ T ¡[h, g] &
- â¦\83G, Lâ¦\84 â\8a¢ T â\80¢[h, g] â¦\83l+1, Uâ¦\84 & ⦃G, L⦄ ⊢ U ⬌* W.
+ â¦\83G, Lâ¦\84 â\8a¢ T â\96ª[h, g] l+1 & â¦\83G, Lâ¦\84 â\8a¢ T â\80¢[h, g] U & ⦃G, L⦄ ⊢ U ⬌* W.
/2 width=3 by snv_inv_cast_aux/ qed-.
-
-(* Basic forward lemmas *****************************************************)
-
-lemma snv_fwd_ssta: ∀h,g,G,L,T. ⦃G, L⦄ ⊢ T ¡[h, g] → ∃∃l,U. ⦃G, L⦄ ⊢ T •[h, g] ⦃l, U⦄.
-#h #g #G #L #T #H elim H -G -L -T
-[ #G #L #k elim (deg_total h g k) /3 width=3/
-| * #G #L #K #V #i #HLK #_ * #l0 #W #HVW
- [ elim (lift_total W 0 (i+1)) /3 width=8/
- | elim (lift_total V 0 (i+1)) /3 width=8/
- ]
-| #a #I #G #L #V #T #_ #_ #_ * /3 width=3/
-| #a #G #L #V #W #W1 #T0 #T1 #l #_ #_ #_ #_ #_ #_ * /3 width=3/
-| #G #L #W #T #U #l #_ #_ #HTU #_ #_ #_ /3 width=3/ (**) (* auto fails without the last #_ *)
-]
-qed-.