(* activate genv *)
inductive snv (h:sh) (g:sd h): relation3 genv lenv term ≝
| snv_sort: ∀G,L,k. snv h g G L (⋆k)
-| snv_lref: ∀I,G,L,K,V,i. ⇩[0, i] L ≡ K.ⓑ{I}V → snv h g G K V → snv h g G L (#i)
+| snv_lref: ∀I,G,L,K,V,i. ⇩[i] L ≡ K.ⓑ{I}V → snv h g G K V → snv h g G L (#i)
| snv_bind: ∀a,I,G,L,V,T. snv h g G L V → snv h g G (L.ⓑ{I}V) T → snv h g G L (ⓑ{a,I}V.T)
| snv_appl: ∀a,G,L,V,W,W0,T,U,l. snv h g G L V → snv h g G L T →
⦃G, L⦄ ⊢ V ▪[h, g] l+1 → ⦃G, L⦄ ⊢ V •[h, g] W → ⦃G, L⦄ ⊢ W ➡* W0 →
(* Basic inversion lemmas ***************************************************)
fact snv_inv_lref_aux: ∀h,g,G,L,X. ⦃G, L⦄ ⊢ X ¡[h, g] → ∀i. X = #i →
- ∃∃I,K,V. ⇩[0, i] L ≡ K.ⓑ{I}V & ⦃G, K⦄ ⊢ V ¡[h, g].
+ ∃∃I,K,V. ⇩[i] L ≡ K.ⓑ{I}V & ⦃G, K⦄ ⊢ V ¡[h, g].
#h #g #G #L #X * -G -L -X
[ #G #L #k #i #H destruct
-| #I #G #L #K #V #i0 #HLK #HV #i #H destruct /2 width=5/
+| #I #G #L #K #V #i0 #HLK #HV #i #H destruct /2 width=5 by ex2_3_intro/
| #a #I #G #L #V #T #_ #_ #i #H destruct
| #a #G #L #V #W #W0 #T #U #l #_ #_ #_ #_ #_ #_ #i #H destruct
| #G #L #W #T #U #l #_ #_ #_ #_ #_ #i #H destruct
qed-.
lemma snv_inv_lref: ∀h,g,G,L,i. ⦃G, L⦄ ⊢ #i ¡[h, g] →
- ∃∃I,K,V. ⇩[0, i] L ≡ K.ⓑ{I}V & ⦃G, K⦄ ⊢ V ¡[h, g].
+ ∃∃I,K,V. ⇩[i] L ≡ K.ⓑ{I}V & ⦃G, K⦄ ⊢ V ¡[h, g].
/2 width=3 by snv_inv_lref_aux/ qed-.
fact snv_inv_gref_aux: ∀h,g,G,L,X. ⦃G, L⦄ ⊢ X ¡[h, g] → ∀p. X = §p → ⊥.
#h #g #G #L #X * -G -L -X
[ #G #L #k #a #I #V #T #H destruct
| #I0 #G #L #K #V0 #i #_ #_ #a #I #V #T #H destruct
-| #b #I0 #G #L #V0 #T0 #HV0 #HT0 #a #I #V #T #H destruct /2 width=1/
+| #b #I0 #G #L #V0 #T0 #HV0 #HT0 #a #I #V #T #H destruct /2 width=1 by conj/
| #b #G #L #V0 #W0 #W00 #T0 #U0 #l #_ #_ #_ #_#_ #_ #a #I #V #T #H destruct
| #G #L #W0 #T0 #U0 #l #_ #_ #_ #_ #_ #a #I #V #T #H destruct
]
qed-.
lemma snv_inv_bind: ∀h,g,a,I,G,L,V,T. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓑ{a,I}V.T ¡[h, g] →
- ⦃G, L⦄ ⊢ V ¡[h, g] ∧ ⦃G, L.ⓑ{I}V⦄ ⊢ T ¡[h, g].
+ ⦃G, L⦄ ⊢ V ¡[h, g] ∧ ⦃G, L.ⓑ{I}V⦄ ⊢ T ¡[h, g].
/2 width=4 by snv_inv_bind_aux/ qed-.
fact snv_inv_appl_aux: ∀h,g,G,L,X. ⦃G, L⦄ ⊢ X ¡[h, g] → ∀V,T. X = ⓐV.T →
∃∃a,W,W0,U,l. ⦃G, L⦄ ⊢ V ¡[h, g] & ⦃G, L⦄ ⊢ T ¡[h, g] &
- ⦃G, L⦄ ⊢ V ▪[h, g] l+1 & ⦃G, L⦄ ⊢ V •[h, g] W & ⦃G, L⦄ ⊢ W ➡* W0 &
- ⦃G, L⦄ ⊢ T •*➡*[h, g] ⓛ{a}W0.U.
+ ⦃G, L⦄ ⊢ V ▪[h, g] l+1 & ⦃G, L⦄ ⊢ V •[h, g] W & ⦃G, L⦄ ⊢ W ➡* W0 &
+ ⦃G, L⦄ ⊢ T •*➡*[h, g] ⓛ{a}W0.U.
#h #g #G #L #X * -L -X
[ #G #L #k #V #T #H destruct
| #I #G #L #K #V0 #i #_ #_ #V #T #H destruct
| #a #I #G #L #V0 #T0 #_ #_ #V #T #H destruct
-| #a #G #L #V0 #W0 #W00 #T0 #U0 #l #HV0 #HT0 #Hl #HVW0 #HW00 #HTU0 #V #T #H destruct /2 width=8/
+| #a #G #L #V0 #W0 #W00 #T0 #U0 #l #HV0 #HT0 #Hl #HVW0 #HW00 #HTU0 #V #T #H destruct /2 width=8 by ex6_5_intro/
| #G #L #W0 #T0 #U0 #l #_ #_ #_ #_ #_ #V #T #H destruct
]
qed-.
lemma snv_inv_appl: ∀h,g,G,L,V,T. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓐV.T ¡[h, g] →
∃∃a,W,W0,U,l. ⦃G, L⦄ ⊢ V ¡[h, g] & ⦃G, L⦄ ⊢ T ¡[h, g] &
- ⦃G, L⦄ ⊢ V ▪[h, g] l+1 & ⦃G, L⦄ ⊢ V •[h, g] W & ⦃G, L⦄ ⊢ W ➡* W0 &
- ⦃G, L⦄ ⊢ T •*➡*[h, g] ⓛ{a}W0.U.
+ ⦃G, L⦄ ⊢ V ▪[h, g] l+1 & ⦃G, L⦄ ⊢ V •[h, g] W & ⦃G, L⦄ ⊢ W ➡* W0 &
+ ⦃G, L⦄ ⊢ T •*➡*[h, g] ⓛ{a}W0.U.
/2 width=3 by snv_inv_appl_aux/ qed-.
fact snv_inv_cast_aux: ∀h,g,G,L,X. ⦃G, L⦄ ⊢ X ¡[h, g] → ∀W,T. X = ⓝW.T →
| #I #G #L #K #V #i #_ #_ #W #T #H destruct
| #a #I #G #L #V #T0 #_ #_ #W #T #H destruct
| #a #G #L #V #W0 #W00 #T0 #U #l #_ #_ #_ #_ #_ #_ #W #T #H destruct
-| #G #L #W0 #T0 #U0 #l #HW0 #HT0 #Hl #HTU0 #HUW0 #W #T #H destruct /2 width=4/
+| #G #L #W0 #T0 #U0 #l #HW0 #HT0 #Hl #HTU0 #HUW0 #W #T #H destruct /2 width=4 by ex5_2_intro/
]
qed-.