(* *)
(**************************************************************************)
-include "basic_2/notation/relations/nativevalid_4.ma".
+include "basic_2/notation/relations/nativevalid_5.ma".
include "basic_2/computation/cpds.ma".
include "basic_2/equivalence/cpcs.ma".
(* STRATIFIED NATIVE VALIDITY FOR TERMS *************************************)
-inductive snv (h:sh) (g:sd h): lenv → predicate term ≝
-| snv_sort: ∀L,k. snv h g L (⋆k)
-| snv_lref: ∀I,L,K,V,i. ⇩[0, i] L ≡ K.ⓑ{I}V → snv h g K V → snv h g L (#i)
-| snv_bind: ∀a,I,L,V,T. snv h g L V → snv h g (L.ⓑ{I}V) T → snv h g L (ⓑ{a,I}V.T)
-| snv_appl: ∀a,L,V,W,W0,T,U,l. snv h g L V → snv h g L T →
+(* activate genv *)
+inductive snv (h:sh) (g:sd h): relation3 genv lenv term ≝
+| snv_sort: ∀G,L,k. snv h g G L (⋆k)
+| snv_lref: ∀I,G,L,K,V,i. ⇩[0, i] L ≡ K.ⓑ{I}V → snv h g G K V → snv h g G L (#i)
+| snv_bind: ∀a,I,G,L,V,T. snv h g G L V → snv h g G (L.ⓑ{I}V) T → snv h g G L (ⓑ{a,I}V.T)
+| snv_appl: ∀a,G,L,V,W,W0,T,U,l. snv h g G L V → snv h g G L T →
⦃G, L⦄ ⊢ V •[h, g] ⦃l+1, W⦄ → ⦃G, L⦄ ⊢ W ➡* W0 →
- ⦃G, L⦄ ⊢ T •*➡*[h, g] ⓛ{a}W0.U → snv h g L (ⓐV.T)
-| snv_cast: ∀L,W,T,U,l. snv h g L W → snv h g L T →
- ⦃G, L⦄ ⊢ T •[h, g] ⦃l+1, U⦄ → ⦃G, L⦄ ⊢ U ⬌* W → snv h g L (ⓝW.T)
+ ⦃G, L⦄ ⊢ T •*➡*[h, g] ⓛ{a}W0.U → snv h g G L (ⓐV.T)
+| snv_cast: ∀G,L,W,T,U,l. snv h g G L W → snv h g G L T →
+ ⦃G, L⦄ ⊢ T •[h, g] ⦃l+1, U⦄ → ⦃G, L⦄ ⊢ U ⬌* W → snv h g G L (ⓝW.T)
.
interpretation "stratified native validity (term)"
- 'NativeValid h g L T = (snv h g L T).
+ 'NativeValid h g G L T = (snv h g G L T).
(* Basic inversion lemmas ***************************************************)
-fact snv_inv_lref_aux: ∀h,g,L,X. ⦃G, L⦄ ⊢ X ¡[h, g] → ∀i. X = #i →
- ∃∃I,K,V. ⇩[0, i] L ≡ K.ⓑ{I}V & ⦃h, K⦄ ⊢ V ¡[h, g].
-#h #g #L #X * -L -X
-[ #L #k #i #H destruct
-| #I #L #K #V #i0 #HLK #HV #i #H destruct /2 width=5/
-| #a #I #L #V #T #_ #_ #i #H destruct
-| #a #L #V #W #W0 #T #U #l #_ #_ #_ #_ #_ #i #H destruct
-| #L #W #T #U #l #_ #_ #_ #_ #i #H destruct
+fact snv_inv_lref_aux: ∀h,g,G,L,X. ⦃G, L⦄ ⊢ X ¡[h, g] → ∀i. X = #i →
+ ∃∃I,K,V. ⇩[0, i] L ≡ K.ⓑ{I}V & ⦃G, K⦄ ⊢ V ¡[h, g].
+#h #g #G #L #X * -G -L -X
+[ #G #L #k #i #H destruct
+| #I #G #L #K #V #i0 #HLK #HV #i #H destruct /2 width=5/
+| #a #I #G #L #V #T #_ #_ #i #H destruct
+| #a #G #L #V #W #W0 #T #U #l #_ #_ #_ #_ #_ #i #H destruct
+| #G #L #W #T #U #l #_ #_ #_ #_ #i #H destruct
]
-qed.
-
-lemma snv_inv_lref: ∀h,g,L,i. ⦃G, L⦄ ⊢ #i ¡[h, g] →
- ∃∃I,K,V. ⇩[0, i] L ≡ K.ⓑ{I}V & ⦃h, K⦄ ⊢ V ¡[h, g].
-/2 width=3/ qed-.
-
-fact snv_inv_gref_aux: ∀h,g,L,X. ⦃G, L⦄ ⊢ X ¡[h, g] → ∀p. X = §p → ⊥.
-#h #g #L #X * -L -X
-[ #L #k #p #H destruct
-| #I #L #K #V #i #_ #_ #p #H destruct
-| #a #I #L #V #T #_ #_ #p #H destruct
-| #a #L #V #W #W0 #T #U #l #_ #_ #_ #_ #_ #p #H destruct
-| #L #W #T #U #l #_ #_ #_ #_ #p #H destruct
+qed-.
+
+lemma snv_inv_lref: ∀h,g,G,L,i. ⦃G, L⦄ ⊢ #i ¡[h, g] →
+ ∃∃I,K,V. ⇩[0, i] L ≡ K.ⓑ{I}V & ⦃G, K⦄ ⊢ V ¡[h, g].
+/2 width=3 by snv_inv_lref_aux/ qed-.
+
+fact snv_inv_gref_aux: ∀h,g,G,L,X. ⦃G, L⦄ ⊢ X ¡[h, g] → ∀p. X = §p → ⊥.
+#h #g #G #L #X * -G -L -X
+[ #G #L #k #p #H destruct
+| #I #G #L #K #V #i #_ #_ #p #H destruct
+| #a #I #G #L #V #T #_ #_ #p #H destruct
+| #a #G #L #V #W #W0 #T #U #l #_ #_ #_ #_ #_ #p #H destruct
+| #G #L #W #T #U #l #_ #_ #_ #_ #p #H destruct
]
-qed.
-
-lemma snv_inv_gref: ∀h,g,L,p. ⦃G, L⦄ ⊢ §p ¡[h, g] → ⊥.
-/2 width=7/ qed-.
-
-fact snv_inv_bind_aux: ∀h,g,L,X. ⦃G, L⦄ ⊢ X ¡[h, g] → ∀a,I,V,T. X = ⓑ{a,I}V.T →
- ⦃G, L⦄ ⊢ V ¡[h, g] ∧ ⦃h, L.ⓑ{I}V⦄ ⊢ T ¡[h, g].
-#h #g #L #X * -L -X
-[ #L #k #a #I #V #T #H destruct
-| #I0 #L #K #V0 #i #_ #_ #a #I #V #T #H destruct
-| #b #I0 #L #V0 #T0 #HV0 #HT0 #a #I #V #T #H destruct /2 width=1/
-| #b #L #V0 #W0 #W00 #T0 #U0 #l #_ #_ #_ #_ #_ #a #I #V #T #H destruct
-| #L #W0 #T0 #U0 #l #_ #_ #_ #_ #a #I #V #T #H destruct
+qed-.
+
+lemma snv_inv_gref: ∀h,g,G,L,p. ⦃G, L⦄ ⊢ §p ¡[h, g] → ⊥.
+/2 width=8 by snv_inv_gref_aux/ qed-.
+
+fact snv_inv_bind_aux: ∀h,g,G,L,X. ⦃G, L⦄ ⊢ X ¡[h, g] → ∀a,I,V,T. X = ⓑ{a,I}V.T →
+ ⦃G, L⦄ ⊢ V ¡[h, g] ∧ ⦃G, L.ⓑ{I}V⦄ ⊢ T ¡[h, g].
+#h #g #G #L #X * -G -L -X
+[ #G #L #k #a #I #V #T #H destruct
+| #I0 #G #L #K #V0 #i #_ #_ #a #I #V #T #H destruct
+| #b #I0 #G #L #V0 #T0 #HV0 #HT0 #a #I #V #T #H destruct /2 width=1/
+| #b #G #L #V0 #W0 #W00 #T0 #U0 #l #_ #_ #_ #_ #_ #a #I #V #T #H destruct
+| #G #L #W0 #T0 #U0 #l #_ #_ #_ #_ #a #I #V #T #H destruct
]
-qed.
+qed-.
-lemma snv_inv_bind: ∀h,g,a,I,L,V,T. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓑ{a,I}V.T ¡[h, g] →
- ⦃G, L⦄ ⊢ V ¡[h, g] ∧ ⦃h, L.ⓑ{I}V⦄ ⊢ T ¡[h, g].
-/2 width=4/ qed-.
+lemma snv_inv_bind: ∀h,g,a,I,G,L,V,T. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓑ{a,I}V.T ¡[h, g] →
+ ⦃G, L⦄ ⊢ V ¡[h, g] ∧ ⦃G, L.ⓑ{I}V⦄ ⊢ T ¡[h, g].
+/2 width=4 by snv_inv_bind_aux/ qed-.
-fact snv_inv_appl_aux: ∀h,g,L,X. ⦃G, L⦄ ⊢ X ¡[h, g] → ∀V,T. X = ⓐV.T →
+fact snv_inv_appl_aux: ∀h,g,G,L,X. ⦃G, L⦄ ⊢ X ¡[h, g] → ∀V,T. X = ⓐV.T →
∃∃a,W,W0,U,l. ⦃G, L⦄ ⊢ V ¡[h, g] & ⦃G, L⦄ ⊢ T ¡[h, g] &
⦃G, L⦄ ⊢ V •[h, g] ⦃l+1, W⦄ & ⦃G, L⦄ ⊢ W ➡* W0 &
⦃G, L⦄ ⊢ T •*➡*[h, g] ⓛ{a}W0.U.
-#h #g #L #X * -L -X
-[ #L #k #V #T #H destruct
-| #I #L #K #V0 #i #_ #_ #V #T #H destruct
-| #a #I #L #V0 #T0 #_ #_ #V #T #H destruct
-| #a #L #V0 #W0 #W00 #T0 #U0 #l #HV0 #HT0 #HVW0 #HW00 #HTU0 #V #T #H destruct /2 width=8/
-| #L #W0 #T0 #U0 #l #_ #_ #_ #_ #V #T #H destruct
+#h #g #G #L #X * -L -X
+[ #G #L #k #V #T #H destruct
+| #I #G #L #K #V0 #i #_ #_ #V #T #H destruct
+| #a #I #G #L #V0 #T0 #_ #_ #V #T #H destruct
+| #a #G #L #V0 #W0 #W00 #T0 #U0 #l #HV0 #HT0 #HVW0 #HW00 #HTU0 #V #T #H destruct /2 width=8/
+| #G #L #W0 #T0 #U0 #l #_ #_ #_ #_ #V #T #H destruct
]
-qed.
+qed-.
-lemma snv_inv_appl: ∀h,g,L,V,T. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓐV.T ¡[h, g] →
+lemma snv_inv_appl: ∀h,g,G,L,V,T. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓐV.T ¡[h, g] →
∃∃a,W,W0,U,l. ⦃G, L⦄ ⊢ V ¡[h, g] & ⦃G, L⦄ ⊢ T ¡[h, g] &
⦃G, L⦄ ⊢ V •[h, g] ⦃l+1, W⦄ & ⦃G, L⦄ ⊢ W ➡* W0 &
⦃G, L⦄ ⊢ T •*➡*[h, g] ⓛ{a}W0.U.
-/2 width=3/ qed-.
+/2 width=3 by snv_inv_appl_aux/ qed-.
-fact snv_inv_cast_aux: ∀h,g,L,X. ⦃G, L⦄ ⊢ X ¡[h, g] → ∀W,T. X = ⓝW.T →
+fact snv_inv_cast_aux: ∀h,g,G,L,X. ⦃G, L⦄ ⊢ X ¡[h, g] → ∀W,T. X = ⓝW.T →
∃∃U,l. ⦃G, L⦄ ⊢ W ¡[h, g] & ⦃G, L⦄ ⊢ T ¡[h, g] &
⦃G, L⦄ ⊢ T •[h, g] ⦃l+1, U⦄ & ⦃G, L⦄ ⊢ U ⬌* W.
-#h #g #L #X * -L -X
-[ #L #k #W #T #H destruct
-| #I #L #K #V #i #_ #_ #W #T #H destruct
-| #a #I #L #V #T0 #_ #_ #W #T #H destruct
-| #a #L #V #W0 #W00 #T0 #U #l #_ #_ #_ #_ #_ #W #T #H destruct
-| #L #W0 #T0 #U0 #l #HW0 #HT0 #HTU0 #HUW0 #W #T #H destruct /2 width=4/
+#h #g #G #L #X * -G -L -X
+[ #G #L #k #W #T #H destruct
+| #I #G #L #K #V #i #_ #_ #W #T #H destruct
+| #a #I #G #L #V #T0 #_ #_ #W #T #H destruct
+| #a #G #L #V #W0 #W00 #T0 #U #l #_ #_ #_ #_ #_ #W #T #H destruct
+| #G #L #W0 #T0 #U0 #l #HW0 #HT0 #HTU0 #HUW0 #W #T #H destruct /2 width=4/
]
-qed.
+qed-.
-lemma snv_inv_cast: ∀h,g,L,W,T. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓝW.T ¡[h, g] →
+lemma snv_inv_cast: ∀h,g,G,L,W,T. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓝW.T ¡[h, g] →
∃∃U,l. ⦃G, L⦄ ⊢ W ¡[h, g] & ⦃G, L⦄ ⊢ T ¡[h, g] &
⦃G, L⦄ ⊢ T •[h, g] ⦃l+1, U⦄ & ⦃G, L⦄ ⊢ U ⬌* W.
-/2 width=3/ qed-.
+/2 width=3 by snv_inv_cast_aux/ qed-.
(* Basic forward lemmas *****************************************************)
-lemma snv_fwd_ssta: ∀h,g,L,T. ⦃G, L⦄ ⊢ T ¡[h, g] → ∃∃l,U. ⦃G, L⦄ ⊢ T •[h, g] ⦃l, U⦄.
-#h #g #L #T #H elim H -L -T
-[ #L #k elim (deg_total h g k) /3 width=3/
-| * #L #K #V #i #HLK #_ * #l0 #W #HVW
+lemma snv_fwd_ssta: ∀h,g,G,L,T. ⦃G, L⦄ ⊢ T ¡[h, g] → ∃∃l,U. ⦃G, L⦄ ⊢ T •[h, g] ⦃l, U⦄.
+#h #g #G #L #T #H elim H -G -L -T
+[ #G #L #k elim (deg_total h g k) /3 width=3/
+| * #G #L #K #V #i #HLK #_ * #l0 #W #HVW
[ elim (lift_total W 0 (i+1)) /3 width=8/
| elim (lift_total V 0 (i+1)) /3 width=8/
]
-| #a #I #L #V #T #_ #_ #_ * /3 width=3/
-| #a #L #V #W #W1 #T0 #T1 #l #_ #_ #_ #_ #_ #_ * /3 width=3/
-| #L #W #T #U #l #_ #_ #HTU #_ #_ #_ /3 width=3/ (**) (* auto fails without the last #_ *)
+| #a #I #G #L #V #T #_ #_ #_ * /3 width=3/
+| #a #G #L #V #W #W1 #T0 #T1 #l #_ #_ #_ #_ #_ #_ * /3 width=3/
+| #G #L #W #T #U #l #_ #_ #HTU #_ #_ #_ /3 width=3/ (**) (* auto fails without the last #_ *)
]
qed-.
projects / helm.git / blobdiff