(* Properties concerning basic local environment slicing ********************)
-lemma drops_drop_trans: ∀L1,L,des. ⬇*[Ⓕ, des] L1 ≡ L → ∀L2,i. ⬇[i] L ≡ L2 →
- ∃∃L0,des0,i0. ⬇[i0] L1 ≡ L0 & ⬇*[Ⓕ, des0] L0 ≡ L2 &
- @⦃i, des⦄ ≡ i0 & des ▭ i ≡ des0.
-#L1 #L #des #H elim H -L1 -L -des
+lemma drops_drop_trans: ∀L1,L,cs. ⬇*[Ⓕ, cs] L1 ≡ L → ∀L2,i. ⬇[i] L ≡ L2 →
+ ∃∃L0,cs0,i0. ⬇[i0] L1 ≡ L0 & ⬇*[Ⓕ, cs0] L0 ≡ L2 &
+ @⦃i, cs⦄ ≡ i0 & cs ▭ i ≡ cs0.
+#L1 #L #cs #H elim H -L1 -L -cs
[ /2 width=7 by drops_nil, minuss_nil, at_nil, ex4_3_intro/
-| #L1 #L0 #L #des #l #m #_ #HL0 #IHL0 #L2 #i #HL2
+| #L1 #L0 #L #cs #l #m #_ #HL0 #IHL0 #L2 #i #HL2
elim (lt_or_ge i l) #Hil
[ elim (drop_trans_le … HL0 … HL2) -L /2 width=2 by lt_to_le/
#L #HL0 #HL2 elim (IHL0 … HL0) -L0 /3 width=7 by drops_cons, minuss_lt, at_lt, ex4_3_intro/