(* *)
(**************************************************************************)
+include "basic_2/notation/relations/pred_5.ma".
include "basic_2/static/ssta.ma".
include "basic_2/reduction/cpr.ma".
⇩[0, i] L ≡ K.ⓑ{I}V → cpx h g K V V2 →
⇧[0, i + 1] V2 ≡ W2 → cpx h g L (#i) W2
| cpx_bind : ∀a,I,L,V1,V2,T1,T2.
- cpx h g L V1 V2 → cpx h g (L. ⓑ{I} V1) T1 T2 →
- cpx h g L (ⓑ{a,I} V1. T1) (ⓑ{a,I} V2. T2)
+ cpx h g L V1 V2 → cpx h g (L. ⓑ{I}V1) T1 T2 →
+ cpx h g L (ⓑ{a,I}V1.T1) (ⓑ{a,I}V2.T2)
| cpx_flat : ∀I,L,V1,V2,T1,T2.
cpx h g L V1 V2 → cpx h g L T1 T2 →
- cpx h g L (ⓕ{I} V1. T1) (ⓕ{I} V2. T2)
+ cpx h g L (ⓕ{I}V1.T1) (ⓕ{I}V2.T2)
| cpx_zeta : ∀L,V,T1,T,T2. cpx h g (L.ⓓV) T1 T →
- ⇧[0, 1] T2 ≡ T → cpx h g L (+ⓓV. T1) T2
-| cpx_tau : ∀L,V,T1,T2. cpx h g L T1 T2 → cpx h g L (ⓝV. T1) T2
-| cpx_beta : ∀a,L,V1,V2,W,T1,T2.
- cpx h g L V1 V2 → cpx h g (L.ⓛW) T1 T2 →
- cpx h g L (ⓐV1. ⓛ{a}W. T1) (ⓓ{a}V2. T2)
+ ⇧[0, 1] T2 ≡ T → cpx h g L (+ⓓV.T1) T2
+| cpx_tau : ∀L,V,T1,T2. cpx h g L T1 T2 → cpx h g L (ⓝV.T1) T2
+| cpx_ti : ∀L,V1,V2,T. cpx h g L V1 V2 → cpx h g L (ⓝV1.T) V2
+| cpx_beta : ∀a,L,V1,V2,W1,W2,T1,T2.
+ cpx h g L V1 V2 → cpx h g L W1 W2 → cpx h g (L.ⓛW1) T1 T2 →
+ cpx h g L (ⓐV1.ⓛ{a}W1.T1) (ⓓ{a}ⓝW2.V2.T2)
| cpx_theta: ∀a,L,V1,V,V2,W1,W2,T1,T2.
- cpx h g L V1 V → ⇧[0, 1] V ≡ V2 → cpx h g L W1 W2 → cpx h g (L.ⓓW1) T1 T2 →
- cpx h g L (ⓐV1. ⓓ{a}W1. T1) (ⓓ{a}W2. ⓐV2. T2)
+ cpx h g L V1 V → ⇧[0, 1] V ≡ V2 → cpx h g L W1 W2 →
+ cpx h g (L.ⓓW1) T1 T2 →
+ cpx h g L (ⓐV1.ⓓ{a}W1.T1) (ⓓ{a}W2.ⓐV2.T2)
.
interpretation
(* Basic properties *********************************************************)
+lemma lsubr_cpx_trans: ∀h,g. lsub_trans … (cpx h g) lsubr.
+#h #g #L1 #T1 #T2 #H elim H -L1 -T1 -T2
+[ //
+| /2 width=2/
+| #I #L1 #K1 #V1 #V2 #W2 #i #HLK1 #_ #HVW2 #IHV12 #L2 #HL12
+ elim (lsubr_fwd_ldrop2_bind … HL12 … HLK1) -HL12 -HLK1 *
+ [ /3 width=7/ | /4 width=7/ ]
+|4,9: /4 width=1/
+|5,7,8: /3 width=1/
+|6,10: /4 width=3/
+]
+qed-.
+
(* Note: this is "∀h,g,L. reflexive … (cpx h g L)" *)
lemma cpx_refl: ∀h,g,T,L. ⦃h, L⦄ ⊢ T ➡[g] T.
#h #g #T elim T -T // * /2 width=1/
∀T. ⦃h, L⦄ ⊢ ②{I}V1.T ➡[g] ②{I}V2.T.
#h #g * /2 width=1/ qed.
-lemma cpx_delift: ∀h,g,L,K,V,T1,d. ⇩[0, d] L ≡ (K. ⓓV) →
+lemma cpx_delift: ∀h,g,I,K,V,T1,L,d. ⇩[0, d] L ≡ (K.ⓑ{I}V) →
∃∃T2,T. ⦃h, L⦄ ⊢ T1 ➡[g] T2 & ⇧[d, 1] T ≡ T2.
-#h #g #L #K #V #T1 #d #HLK
-elim (cpr_delift … HLK) -HLK /3 width=4/
+#h #g #I #K #V #T1 elim T1 -T1
+[ * #i #L #d #HLK /2 width=4/
+ elim (lt_or_eq_or_gt i d) #Hid [1,3: /3 width=4/ ]
+ destruct
+ elim (lift_total V 0 (i+1)) #W #HVW
+ elim (lift_split … HVW i i) // /3 width=7/
+| * [ #a ] #I #W1 #U1 #IHW1 #IHU1 #L #d #HLK
+ elim (IHW1 … HLK) -IHW1 #W2 #W #HW12 #HW2
+ [ elim (IHU1 (L. ⓑ{I} W1) (d+1)) -IHU1 /2 width=1/ -HLK /3 width=9/
+ | elim (IHU1 … HLK) -IHU1 -HLK /3 width=8/
+ ]
+]
qed-.
lemma cpx_append: ∀h,g. l_appendable_sn … (cpx h g).
#h #g #K #T1 #T2 #H elim H -K -T1 -T2 // /2 width=1/ /2 width=3/
#I #K #K0 #V1 #V2 #W2 #i #HK0 #_ #HVW2 #IHV12 #L
-lapply (ldrop_fwd_ldrop2_length … HK0) #H
+lapply (ldrop_fwd_length_lt2 … HK0) #H
@(cpx_delta … I … (L@@K0) V1 … HVW2) //
@(ldrop_O1_append_sn_le … HK0) /2 width=2/ (**) (* /3/ does not work *)
qed.
| #I #L #V1 #V2 #T1 #T2 #_ #_ #J #H destruct
| #L #V #T1 #T #T2 #_ #_ #J #H destruct
| #L #V #T1 #T2 #_ #J #H destruct
-| #a #L #V1 #V2 #W #T1 #T2 #_ #_ #J #H destruct
+| #L #V1 #V2 #T #_ #J #H destruct
+| #a #L #V1 #V2 #W1 #W2 #T1 #T2 #_ #_ #_ #J #H destruct
| #a #L #V1 #V #V2 #W1 #W2 #T1 #T2 #_ #_ #_ #_ #J #H destruct
]
qed-.
/2 width=3 by cpx_inv_atom1_aux/ qed-.
lemma cpx_inv_sort1: ∀h,g,L,T2,k. ⦃h, L⦄ ⊢ ⋆k ➡[g] T2 → T2 = ⋆k ∨
- ∃∃k,l. deg h g k (l+1) & T2 = ⋆(next h k).
+ ∃∃l. deg h g k (l+1) & T2 = ⋆(next h k).
#h #g #L #T2 #k #H
elim (cpx_inv_atom1 … H) -H /2 width=1/ *
-[ #k0 #l #Hkl #H1 #H2 destruct /3 width=4/
+[ #k0 #l0 #Hkl0 #H1 #H2 destruct /3 width=4/
| #I #K #V #V2 #i #_ #_ #_ #H destruct
]
qed-.
qed-.
fact cpx_inv_bind1_aux: ∀h,g,L,U1,U2. ⦃h, L⦄ ⊢ U1 ➡[g] U2 →
- ∀a,J,V1,T1. U1 = ⓑ{a,J} V1. T1 → (
- ∃∃V2,T2. ⦃h, L⦄ ⊢ V1 ➡[g] V2 & ⦃h, L.ⓑ{J}V1⦄ ⊢ T1 ➡[g] T2 &
- U2 = ⓑ{a,J} V2. T2
+ ∀a,J,V1,T1. U1 = ⓑ{a,J}V1.T1 → (
+ ∃∃V2,T2. ⦃h, L⦄ ⊢ V1 ➡[g] V2 & ⦃h, L.ⓑ{J}V1⦄ ⊢ T1 ➡[g] T2 &
+ U2 = ⓑ{a,J}V2.T2
) ∨
∃∃T. ⦃h, L.ⓓV1⦄ ⊢ T1 ➡[g] T & ⇧[0, 1] U2 ≡ T &
a = true & J = Abbr.
#h #g #L #U1 #U2 * -L -U1 -U2
-[ #I #L #b #J #W1 #U1 #H destruct
-| #L #k #l #_ #b #J #W1 #U1 #H destruct
-| #I #L #K #V #V2 #W2 #i #_ #_ #_ #b #J #W1 #U1 #H destruct
-| #a #I #L #V1 #V2 #T1 #T2 #HV12 #HT12 #b #J #W1 #U1 #H destruct /3 width=5/
-| #I #L #V1 #V2 #T1 #T2 #_ #_ #b #J #W1 #U1 #H destruct
-| #L #V #T1 #T #T2 #HT1 #HT2 #b #J #W1 #U1 #H destruct /3 width=3/
-| #L #V #T1 #T2 #_ #b #J #W1 #U1 #H destruct
-| #a #L #V1 #V2 #W #T1 #T2 #_ #_ #b #J #W1 #U1 #H destruct
-| #a #L #V1 #V #V2 #W1 #W2 #T1 #T2 #_ #_ #_ #_ #b #J #W1 #U1 #H destruct
+[ #I #L #b #J #W #U1 #H destruct
+| #L #k #l #_ #b #J #W #U1 #H destruct
+| #I #L #K #V #V2 #W2 #i #_ #_ #_ #b #J #W #U1 #H destruct
+| #a #I #L #V1 #V2 #T1 #T2 #HV12 #HT12 #b #J #W #U1 #H destruct /3 width=5/
+| #I #L #V1 #V2 #T1 #T2 #_ #_ #b #J #W #U1 #H destruct
+| #L #V #T1 #T #T2 #HT1 #HT2 #b #J #W #U1 #H destruct /3 width=3/
+| #L #V #T1 #T2 #_ #b #J #W #U1 #H destruct
+| #L #V1 #V2 #T #_ #b #J #W #U1 #H destruct
+| #a #L #V1 #V2 #W1 #W2 #T1 #T2 #_ #_ #_ #b #J #W #U1 #H destruct
+| #a #L #V1 #V #V2 #W1 #W2 #T1 #T2 #_ #_ #_ #_ #b #J #W #U1 #H destruct
]
qed-.
lemma cpx_inv_bind1: ∀h,g,a,I,L,V1,T1,U2. ⦃h, L⦄ ⊢ ⓑ{a,I}V1.T1 ➡[g] U2 → (
- ∃∃V2,T2. ⦃h, L⦄ ⊢ V1 ➡[g] V2 & ⦃h, L.ⓑ{I}V1⦄ ⊢ T1 ➡[g] T2 &
- U2 = ⓑ{a,I} V2. T2
+ ∃∃V2,T2. ⦃h, L⦄ ⊢ V1 ➡[g] V2 & ⦃h, L.ⓑ{I}V1⦄ ⊢ T1 ➡[g] T2 &
+ U2 = ⓑ{a,I} V2. T2
) ∨
∃∃T. ⦃h, L.ⓓV1⦄ ⊢ T1 ➡[g] T & ⇧[0, 1] U2 ≡ T &
a = true & I = Abbr.
/2 width=3 by cpx_inv_bind1_aux/ qed-.
lemma cpx_inv_abbr1: ∀h,g,a,L,V1,T1,U2. ⦃h, L⦄ ⊢ ⓓ{a}V1.T1 ➡[g] U2 → (
- ∃∃V2,T2. ⦃h, L⦄ ⊢ V1 ➡[g] V2 & ⦃h, L.ⓓ V1⦄ ⊢ T1 ➡[g] T2 &
+ ∃∃V2,T2. ⦃h, L⦄ ⊢ V1 ➡[g] V2 & ⦃h, L.ⓓV1⦄ ⊢ T1 ➡[g] T2 &
U2 = ⓓ{a} V2. T2
) ∨
- ∃∃T. ⦃h, L.ⓓV1⦄ ⊢ T1 ➡[g] T & ⇧[0, 1] U2 ≡ T & a = true.
+ ∃∃T. ⦃h, L.ⓓV1⦄ ⊢ T1 ➡[g] T & ⇧[0, 1] U2 ≡ T & a = true.
#h #g #a #L #V1 #T1 #U2 #H
elim (cpx_inv_bind1 … H) -H * /3 width=3/ /3 width=5/
qed-.
lemma cpx_inv_abst1: ∀h,g,a,L,V1,T1,U2. ⦃h, L⦄ ⊢ ⓛ{a}V1.T1 ➡[g] U2 →
- ∃∃V2,T2. ⦃h, L⦄ ⊢ V1 ➡[g] V2 & ⦃h, L.ⓛ V1⦄ ⊢ T1 ➡[g] T2 &
- U2 = ⓛ{a} V2. T2.
+ ∃∃V2,T2. ⦃h, L⦄ ⊢ V1 ➡[g] V2 & ⦃h, L.ⓛV1⦄ ⊢ T1 ➡[g] T2 &
+ U2 = ⓛ{a} V2. T2.
#h #g #a #L #V1 #T1 #U2 #H
elim (cpx_inv_bind1 … H) -H *
[ /3 width=5/
qed-.
fact cpx_inv_flat1_aux: ∀h,g,L,U,U2. ⦃h, L⦄ ⊢ U ➡[g] U2 →
- ∀J,V1,U1. U = ⓕ{J} V1. U1 →
+ ∀J,V1,U1. U = ⓕ{J}V1.U1 →
∨∨ ∃∃V2,T2. ⦃h, L⦄ ⊢ V1 ➡[g] V2 & ⦃h, L⦄ ⊢ U1 ➡[g] T2 &
- U2 = ⓕ{J} V2. T2
+ U2 = ⓕ{J}V2.T2
| (⦃h, L⦄ ⊢ U1 ➡[g] U2 ∧ J = Cast)
- | ∃∃a,V2,W,T1,T2. ⦃h, L⦄ ⊢ V1 ➡[g] V2 & ⦃h, L.ⓛW⦄ ⊢ T1 ➡[g] T2 &
- U1 = ⓛ{a}W. T1 &
- U2 = ⓓ{a}V2. T2 & J = Appl
+ | (⦃h, L⦄ ⊢ V1 ➡[g] U2 ∧ J = Cast)
+ | ∃∃a,V2,W1,W2,T1,T2. ⦃h, L⦄ ⊢ V1 ➡[g] V2 & ⦃h, L⦄ ⊢ W1 ➡[g] W2 &
+ ⦃h, L.ⓛW1⦄ ⊢ T1 ➡[g] T2 &
+ U1 = ⓛ{a}W1.T1 &
+ U2 = ⓓ{a}ⓝW2.V2.T2 & J = Appl
| ∃∃a,V,V2,W1,W2,T1,T2. ⦃h, L⦄ ⊢ V1 ➡[g] V & ⇧[0,1] V ≡ V2 &
⦃h, L⦄ ⊢ W1 ➡[g] W2 & ⦃h, L.ⓓW1⦄ ⊢ T1 ➡[g] T2 &
- U1 = ⓓ{a}W1. T1 &
- U2 = ⓓ{a}W2. ⓐV2. T2 & J = Appl.
+ U1 = ⓓ{a}W1.T1 &
+ U2 = ⓓ{a}W2.ⓐV2.T2 & J = Appl.
#h #g #L #U #U2 * -L -U -U2
-[ #I #L #J #W1 #U1 #H destruct
-| #L #k #l #_ #J #W1 #U1 #H destruct
-| #I #L #K #V #V2 #W2 #i #_ #_ #_ #J #W1 #U1 #H destruct
-| #a #I #L #V1 #V2 #T1 #T2 #_ #_ #J #W1 #U1 #H destruct
-| #I #L #V1 #V2 #T1 #T2 #HV12 #HT12 #J #W1 #U1 #H destruct /3 width=5/
-| #L #V #T1 #T #T2 #_ #_ #J #W1 #U1 #H destruct
-| #L #V #T1 #T2 #HT12 #J #W1 #U1 #H destruct /3 width=1/
-| #a #L #V1 #V2 #W #T1 #T2 #HV12 #HT12 #J #W1 #U1 #H destruct /3 width=9/
-| #a #L #V1 #V #V2 #W1 #W2 #T1 #T2 #HV1 #HV2 #HW12 #HT12 #J #W1 #U1 #H destruct /3 width=13/
+[ #I #L #J #W #U1 #H destruct
+| #L #k #l #_ #J #W #U1 #H destruct
+| #I #L #K #V #V2 #W2 #i #_ #_ #_ #J #W #U1 #H destruct
+| #a #I #L #V1 #V2 #T1 #T2 #_ #_ #J #W #U1 #H destruct
+| #I #L #V1 #V2 #T1 #T2 #HV12 #HT12 #J #W #U1 #H destruct /3 width=5/
+| #L #V #T1 #T #T2 #_ #_ #J #W #U1 #H destruct
+| #L #V #T1 #T2 #HT12 #J #W #U1 #H destruct /3 width=1/
+| #L #V1 #V2 #T #HV12 #J #W #U1 #H destruct /3 width=1/
+| #a #L #V1 #V2 #W1 #W2 #T1 #T2 #HV12 #HW12 #HT12 #J #W #U1 #H destruct /3 width=11/
+| #a #L #V1 #V #V2 #W1 #W2 #T1 #T2 #HV1 #HV2 #HW12 #HT12 #J #W #U1 #H destruct /3 width=13/
]
qed-.
∨∨ ∃∃V2,T2. ⦃h, L⦄ ⊢ V1 ➡[g] V2 & ⦃h, L⦄ ⊢ U1 ➡[g] T2 &
U2 = ⓕ{I} V2. T2
| (⦃h, L⦄ ⊢ U1 ➡[g] U2 ∧ I = Cast)
- | ∃∃a,V2,W,T1,T2. ⦃h, L⦄ ⊢ V1 ➡[g] V2 & ⦃h, L.ⓛW⦄ ⊢ T1 ➡[g] T2 &
- U1 = ⓛ{a}W. T1 &
- U2 = ⓓ{a}V2. T2 & I = Appl
+ | (⦃h, L⦄ ⊢ V1 ➡[g] U2 ∧ I = Cast)
+ | ∃∃a,V2,W1,W2,T1,T2. ⦃h, L⦄ ⊢ V1 ➡[g] V2 & ⦃h, L⦄ ⊢ W1 ➡[g] W2 &
+ ⦃h, L.ⓛW1⦄ ⊢ T1 ➡[g] T2 &
+ U1 = ⓛ{a}W1.T1 &
+ U2 = ⓓ{a}ⓝW2.V2.T2 & I = Appl
| ∃∃a,V,V2,W1,W2,T1,T2. ⦃h, L⦄ ⊢ V1 ➡[g] V & ⇧[0,1] V ≡ V2 &
⦃h, L⦄ ⊢ W1 ➡[g] W2 & ⦃h, L.ⓓW1⦄ ⊢ T1 ➡[g] T2 &
- U1 = ⓓ{a}W1. T1 &
- U2 = ⓓ{a}W2. ⓐV2. T2 & I = Appl.
+ U1 = ⓓ{a}W1.T1 &
+ U2 = ⓓ{a}W2.ⓐV2.T2 & I = Appl.
/2 width=3 by cpx_inv_flat1_aux/ qed-.
lemma cpx_inv_appl1: ∀h,g,L,V1,U1,U2. ⦃h, L⦄ ⊢ ⓐ V1.U1 ➡[g] U2 →
∨∨ ∃∃V2,T2. ⦃h, L⦄ ⊢ V1 ➡[g] V2 & ⦃h, L⦄ ⊢ U1 ➡[g] T2 &
U2 = ⓐ V2. T2
- | ∃∃a,V2,W,T1,T2. ⦃h, L⦄ ⊢ V1 ➡[g] V2 & ⦃h, L.ⓛW⦄ ⊢ T1 ➡[g] T2 &
- U1 = ⓛ{a}W. T1 & U2 = ⓓ{a}V2. T2
+ | ∃∃a,V2,W1,W2,T1,T2. ⦃h, L⦄ ⊢ V1 ➡[g] V2 & ⦃h, L⦄ ⊢ W1 ➡[g] W2 &
+ ⦃h, L.ⓛW1⦄ ⊢ T1 ➡[g] T2 &
+ U1 = ⓛ{a}W1.T1 & U2 = ⓓ{a}ⓝW2.V2.T2
| ∃∃a,V,V2,W1,W2,T1,T2. ⦃h, L⦄ ⊢ V1 ➡[g] V & ⇧[0,1] V ≡ V2 &
⦃h, L⦄ ⊢ W1 ➡[g] W2 & ⦃h, L.ⓓW1⦄ ⊢ T1 ➡[g] T2 &
- U1 = ⓓ{a}W1. T1 & U2 = ⓓ{a}W2. ⓐV2. T2.
+ U1 = ⓓ{a}W1.T1 & U2 = ⓓ{a}W2. ⓐV2. T2.
#h #g #L #V1 #U1 #U2 #H elim (cpx_inv_flat1 … H) -H *
[ /3 width=5/
-| #_ #H destruct
-| /3 width=9/
+|2,3: #_ #H destruct
+| /3 width=11/
| /3 width=13/
]
qed-.
(* Note: the main property of simple terms *)
lemma cpx_inv_appl1_simple: ∀h,g,L,V1,T1,U. ⦃h, L⦄ ⊢ ⓐV1.T1 ➡[g] U → 𝐒⦃T1⦄ →
∃∃V2,T2. ⦃h, L⦄ ⊢ V1 ➡[g] V2 & ⦃h, L⦄ ⊢ T1 ➡[g] T2 &
- U = ⓐV2. T2.
+ U = ⓐV2.T2.
#h #g #L #V1 #T1 #U #H #HT1
elim (cpx_inv_appl1 … H) -H *
[ /2 width=5/
-| #a #V2 #W #U1 #U2 #_ #_ #H #_ destruct
+| #a #V2 #W1 #W2 #U1 #U2 #_ #_ #_ #H #_ destruct
elim (simple_inv_bind … HT1)
| #a #V #V2 #W1 #W2 #U1 #U2 #_ #_ #_ #_ #H #_ destruct
elim (simple_inv_bind … HT1)
]
qed-.
-lemma cpx_inv_cast1: ∀h,g,L,V1,U1,U2. ⦃h, L⦄ ⊢ ⓝ V1.U1 ➡[g] U2 → (
- ∃∃V2,T2. ⦃h, L⦄ ⊢ V1 ➡[g] V2 & ⦃h, L⦄ ⊢ U1 ➡[g] T2 &
- U2 = ⓝ V2. T2
- ) ∨ ⦃h, L⦄ ⊢ U1 ➡[g] U2.
+lemma cpx_inv_cast1: ∀h,g,L,V1,U1,U2. ⦃h, L⦄ ⊢ ⓝV1.U1 ➡[g] U2 →
+ ∨∨ ∃∃V2,T2. ⦃h, L⦄ ⊢ V1 ➡[g] V2 & ⦃h, L⦄ ⊢ U1 ➡[g] T2 &
+ U2 = ⓝ V2. T2
+ | ⦃h, L⦄ ⊢ U1 ➡[g] U2
+ | ⦃h, L⦄ ⊢ V1 ➡[g] U2.
#h #g #L #V1 #U1 #U2 #H elim (cpx_inv_flat1 … H) -H *
[ /3 width=5/
-| /2 width=1/
-| #a #V2 #W #T1 #T2 #_ #_ #_ #_ #H destruct
+|2,3: /2 width=1/
+| #a #V2 #W1 #W2 #T1 #T2 #_ #_ #_ #_ #_ #H destruct
| #a #V #V2 #W1 #W2 #T1 #T2 #_ #_ #_ #_ #_ #_ #H destruct
]
qed-.
projects / helm.git / blobdiff