(* *)
(**************************************************************************)
-include "basic_2/notation/relations/pred_5.ma".
+include "basic_2/notation/relations/pred_6.ma".
include "basic_2/static/ssta.ma".
include "basic_2/reduction/cpr.ma".
(* CONTEXT-SENSITIVE EXTENDED PARALLEL REDUCTION FOR TERMS ******************)
-inductive cpx (h) (g): lenv → relation term ≝
-| cpx_atom : ∀I,L. cpx h g L (⓪{I}) (⓪{I})
-| cpx_sort : ∀L,k,l. deg h g k (l+1) → cpx h g L (⋆k) (⋆(next h k))
-| cpx_delta: ∀I,L,K,V,V2,W2,i.
- ⇩[0, i] L ≡ K.ⓑ{I}V → cpx h g K V V2 →
- ⇧[0, i + 1] V2 ≡ W2 → cpx h g L (#i) W2
-| cpx_bind : ∀a,I,L,V1,V2,T1,T2.
- cpx h g L V1 V2 → cpx h g (L. ⓑ{I}V1) T1 T2 →
- cpx h g L (ⓑ{a,I}V1.T1) (ⓑ{a,I}V2.T2)
-| cpx_flat : ∀I,L,V1,V2,T1,T2.
- cpx h g L V1 V2 → cpx h g L T1 T2 →
- cpx h g L (ⓕ{I}V1.T1) (ⓕ{I}V2.T2)
-| cpx_zeta : ∀L,V,T1,T,T2. cpx h g (L.ⓓV) T1 T →
- ⇧[0, 1] T2 ≡ T → cpx h g L (+ⓓV.T1) T2
-| cpx_tau : ∀L,V,T1,T2. cpx h g L T1 T2 → cpx h g L (ⓝV.T1) T2
-| cpx_ti : ∀L,V1,V2,T. cpx h g L V1 V2 → cpx h g L (ⓝV1.T) V2
-| cpx_beta : ∀a,L,V1,V2,W1,W2,T1,T2.
- cpx h g L V1 V2 → cpx h g L W1 W2 → cpx h g (L.ⓛW1) T1 T2 →
- cpx h g L (ⓐV1.ⓛ{a}W1.T1) (ⓓ{a}ⓝW2.V2.T2)
-| cpx_theta: ∀a,L,V1,V,V2,W1,W2,T1,T2.
- cpx h g L V1 V → ⇧[0, 1] V ≡ V2 → cpx h g L W1 W2 →
- cpx h g (L.ⓓW1) T1 T2 →
- cpx h g L (ⓐV1.ⓓ{a}W1.T1) (ⓓ{a}W2.ⓐV2.T2)
+(* avtivate genv *)
+inductive cpx (h) (g): relation4 genv lenv term term ≝
+| cpx_atom : ∀I,G,L. cpx h g G L (⓪{I}) (⓪{I})
+| cpx_sort : ∀G,L,k,l. deg h g k (l+1) → cpx h g G L (⋆k) (⋆(next h k))
+| cpx_delta: ∀I,G,L,K,V,V2,W2,i.
+ ⇩[0, i] L ≡ K.ⓑ{I}V → cpx h g G K V V2 →
+ ⇧[0, i + 1] V2 ≡ W2 → cpx h g G L (#i) W2
+| cpx_bind : ∀a,I,G,L,V1,V2,T1,T2.
+ cpx h g G L V1 V2 → cpx h g G (L.ⓑ{I}V1) T1 T2 →
+ cpx h g G L (ⓑ{a,I}V1.T1) (ⓑ{a,I}V2.T2)
+| cpx_flat : ∀I,G,L,V1,V2,T1,T2.
+ cpx h g G L V1 V2 → cpx h g G L T1 T2 →
+ cpx h g G L (ⓕ{I}V1.T1) (ⓕ{I}V2.T2)
+| cpx_zeta : ∀G,L,V,T1,T,T2. cpx h g G (L.ⓓV) T1 T →
+ ⇧[0, 1] T2 ≡ T → cpx h g G L (+ⓓV.T1) T2
+| cpx_tau : ∀G,L,V,T1,T2. cpx h g G L T1 T2 → cpx h g G L (ⓝV.T1) T2
+| cpx_ti : ∀G,L,V1,V2,T. cpx h g G L V1 V2 → cpx h g G L (ⓝV1.T) V2
+| cpx_beta : ∀a,G,L,V1,V2,W1,W2,T1,T2.
+ cpx h g G L V1 V2 → cpx h g G L W1 W2 → cpx h g G (L.ⓛW1) T1 T2 →
+ cpx h g G L (ⓐV1.ⓛ{a}W1.T1) (ⓓ{a}ⓝW2.V2.T2)
+| cpx_theta: ∀a,G,L,V1,V,V2,W1,W2,T1,T2.
+ cpx h g G L V1 V → ⇧[0, 1] V ≡ V2 → cpx h g G L W1 W2 →
+ cpx h g G (L.ⓓW1) T1 T2 →
+ cpx h g G L (ⓐV1.ⓓ{a}W1.T1) (ⓓ{a}W2.ⓐV2.T2)
.
interpretation
"context-sensitive extended parallel reduction (term)"
- 'PRed h g L T1 T2 = (cpx h g L T1 T2).
+ 'PRed h g G L T1 T2 = (cpx h g G L T1 T2).
(* Basic properties *********************************************************)
-lemma lsubr_cpx_trans: ∀h,g. lsub_trans … (cpx h g) lsubr.
-#h #g #L1 #T1 #T2 #H elim H -L1 -T1 -T2
+lemma lsubr_cpx_trans: ∀h,g,G. lsub_trans … (cpx h g G) lsubr.
+#h #g #G #L1 #T1 #T2 #H elim H -G -L1 -T1 -T2
[ //
| /2 width=2/
-| #I #L1 #K1 #V1 #V2 #W2 #i #HLK1 #_ #HVW2 #IHV12 #L2 #HL12
+| #I #G #L1 #K1 #V1 #V2 #W2 #i #HLK1 #_ #HVW2 #IHV12 #L2 #HL12
elim (lsubr_fwd_ldrop2_bind … HL12 … HLK1) -HL12 -HLK1 *
[ /3 width=7/ | /4 width=7/ ]
|4,9: /4 width=1/
qed-.
(* Note: this is "∀h,g,L. reflexive … (cpx h g L)" *)
-lemma cpx_refl: ∀h,g,T,L. ⦃G, L⦄ ⊢ T ➡[h, g] T.
-#h #g #T elim T -T // * /2 width=1/
+lemma cpx_refl: ∀h,g,G,T,L. ⦃G, L⦄ ⊢ T ➡[h, g] T.
+#h #g #G #T elim T -T // * /2 width=1/
qed.
-lemma cpr_cpx: ∀h,g,L,T1,T2. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ➡ T2 → ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ➡[h, g] T2.
-#h #g #L #T1 #T2 #H elim H -L -T1 -T2 // /2 width=1/ /2 width=3/ /2 width=7/
+lemma cpr_cpx: ∀h,g,G,L,T1,T2. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ➡ T2 → ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ➡[h, g] T2.
+#h #g #G #L #T1 #T2 #H elim H -L -T1 -T2 // /2 width=1/ /2 width=3/ /2 width=7/
qed.
-fact ssta_cpx_aux: ∀h,g,L,T1,T2,l0. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 •[h, g] ⦃l0, T2⦄ →
+fact ssta_cpx_aux: ∀h,g,G,L,T1,T2,l0. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 •[h, g] ⦃l0, T2⦄ →
∀l. l0 = l+1 → ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ➡[h, g] T2.
-#h #g #L #T1 #T2 #l0 #H elim H -L -T1 -T2 -l0 /2 width=2/ /2 width=7/ /3 width=2/ /3 width=7/
+#h #g #G #L #T1 #T2 #l0 #H elim H -L -T1 -T2 -l0 /2 width=2/ /2 width=7/ /3 width=2/ /3 width=7/
qed-.
-lemma ssta_cpx: ∀h,g,L,T1,T2,l. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 •[h, g] ⦃l+1, T2⦄ → ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ➡[h, g] T2.
+lemma ssta_cpx: ∀h,g,G,L,T1,T2,l. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 •[h, g] ⦃l+1, T2⦄ → ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ➡[h, g] T2.
/2 width=4 by ssta_cpx_aux/ qed.
-lemma cpx_pair_sn: ∀h,g,I,L,V1,V2. ⦃G, L⦄ ⊢ V1 ➡[h, g] V2 →
+lemma cpx_pair_sn: ∀h,g,I,G,L,V1,V2. ⦃G, L⦄ ⊢ V1 ➡[h, g] V2 →
∀T. ⦃G, L⦄ ⊢ ②{I}V1.T ➡[h, g] ②{I}V2.T.
#h #g * /2 width=1/ qed.
-lemma cpx_delift: ∀h,g,I,K,V,T1,L,d. ⇩[0, d] L ≡ (K.ⓑ{I}V) →
+lemma cpx_delift: ∀h,g,I,G,K,V,T1,L,d. ⇩[0, d] L ≡ (K.ⓑ{I}V) →
∃∃T2,T. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ➡[h, g] T2 & ⇧[d, 1] T ≡ T2.
-#h #g #I #K #V #T1 elim T1 -T1
+#h #g #I #G #K #V #T1 elim T1 -T1
[ * #i #L #d #HLK /2 width=4/
elim (lt_or_eq_or_gt i d) #Hid [1,3: /3 width=4/ ]
destruct
]
qed-.
-lemma cpx_append: ∀h,g. l_appendable_sn … (cpx h g).
-#h #g #K #T1 #T2 #H elim H -K -T1 -T2 // /2 width=1/ /2 width=3/
-#I #K #K0 #V1 #V2 #W2 #i #HK0 #_ #HVW2 #IHV12 #L
+lemma cpx_append: ∀h,g,G. l_appendable_sn … (cpx h g G).
+#h #g #G #K #T1 #T2 #H elim H -G -K -T1 -T2 // /2 width=1/ /2 width=3/
+#I #G #K #K0 #V1 #V2 #W2 #i #HK0 #_ #HVW2 #IHV12 #L
lapply (ldrop_fwd_length_lt2 … HK0) #H
@(cpx_delta … I … (L@@K0) V1 … HVW2) //
@(ldrop_O1_append_sn_le … HK0) /2 width=2/ (**) (* /3/ does not work *)
(* Basic inversion lemmas ***************************************************)
-fact cpx_inv_atom1_aux: ∀h,g,L,T1,T2. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ➡[h, g] T2 → ∀J. T1 = ⓪{J} →
+fact cpx_inv_atom1_aux: ∀h,g,G,L,T1,T2. ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ➡[h, g] T2 → ∀J. T1 = ⓪{J} →
∨∨ T2 = ⓪{J}
| ∃∃k,l. deg h g k (l+1) & T2 = ⋆(next h k) & J = Sort k
- | ∃∃I,K,V,V2,i. ⇩[O, i] L ≡ K.ⓑ{I}V & ⦃h, K⦄ ⊢ V ➡[h, g] V2 &
+ | ∃∃I,K,V,V2,i. ⇩[O, i] L ≡ K.ⓑ{I}V & ⦃G, K⦄ ⊢ V ➡[h, g] V2 &
⇧[O, i + 1] V2 ≡ T2 & J = LRef i.
-#h #g #L #T1 #T2 * -L -T1 -T2
-[ #I #L #J #H destruct /2 width=1/
-| #L #k #l #Hkl #J #H destruct /3 width=5/
-| #I #L #K #V #V2 #T2 #i #HLK #HV2 #HVT2 #J #H destruct /3 width=9/
-| #a #I #L #V1 #V2 #T1 #T2 #_ #_ #J #H destruct
-| #I #L #V1 #V2 #T1 #T2 #_ #_ #J #H destruct
-| #L #V #T1 #T #T2 #_ #_ #J #H destruct
-| #L #V #T1 #T2 #_ #J #H destruct
-| #L #V1 #V2 #T #_ #J #H destruct
-| #a #L #V1 #V2 #W1 #W2 #T1 #T2 #_ #_ #_ #J #H destruct
-| #a #L #V1 #V #V2 #W1 #W2 #T1 #T2 #_ #_ #_ #_ #J #H destruct
+#G #h #g #L #T1 #T2 * -L -T1 -T2
+[ #I #G #L #J #H destruct /2 width=1/
+| #G #L #k #l #Hkl #J #H destruct /3 width=5/
+| #I #G #L #K #V #V2 #T2 #i #HLK #HV2 #HVT2 #J #H destruct /3 width=9/
+| #a #I #G #L #V1 #V2 #T1 #T2 #_ #_ #J #H destruct
+| #I #G #L #V1 #V2 #T1 #T2 #_ #_ #J #H destruct
+| #G #L #V #T1 #T #T2 #_ #_ #J #H destruct
+| #G #L #V #T1 #T2 #_ #J #H destruct
+| #G #L #V1 #V2 #T #_ #J #H destruct
+| #a #G #L #V1 #V2 #W1 #W2 #T1 #T2 #_ #_ #_ #J #H destruct
+| #a #G #L #V1 #V #V2 #W1 #W2 #T1 #T2 #_ #_ #_ #_ #J #H destruct
]
qed-.
-lemma cpx_inv_atom1: ∀h,g,J,L,T2. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓪{J} ➡[h, g] T2 →
+lemma cpx_inv_atom1: ∀h,g,J,G,L,T2. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓪{J} ➡[h, g] T2 →
∨∨ T2 = ⓪{J}
| ∃∃k,l. deg h g k (l+1) & T2 = ⋆(next h k) & J = Sort k
- | ∃∃I,K,V,V2,i. ⇩[O, i] L ≡ K.ⓑ{I}V & ⦃h, K⦄ ⊢ V ➡[h, g] V2 &
+ | ∃∃I,K,V,V2,i. ⇩[O, i] L ≡ K.ⓑ{I}V & ⦃G, K⦄ ⊢ V ➡[h, g] V2 &
⇧[O, i + 1] V2 ≡ T2 & J = LRef i.
/2 width=3 by cpx_inv_atom1_aux/ qed-.
-lemma cpx_inv_sort1: ∀h,g,L,T2,k. ⦃G, L⦄ ⊢ ⋆k ➡[h, g] T2 → T2 = ⋆k ∨
+lemma cpx_inv_sort1: ∀h,g,G,L,T2,k. ⦃G, L⦄ ⊢ ⋆k ➡[h, g] T2 → T2 = ⋆k ∨
∃∃l. deg h g k (l+1) & T2 = ⋆(next h k).
-#h #g #L #T2 #k #H
+#h #g #G #L #T2 #k #H
elim (cpx_inv_atom1 … H) -H /2 width=1/ *
[ #k0 #l0 #Hkl0 #H1 #H2 destruct /3 width=4/
| #I #K #V #V2 #i #_ #_ #_ #H destruct
]
qed-.
-lemma cpx_inv_lref1: ∀h,g,L,T2,i. ⦃G, L⦄ ⊢ #i ➡[h, g] T2 →
+lemma cpx_inv_lref1: ∀h,g,G,L,T2,i. ⦃G, L⦄ ⊢ #i ➡[h, g] T2 →
T2 = #i ∨
- ∃∃I,K,V,V2. ⇩[O, i] L ≡ K. ⓑ{I}V & ⦃h, K⦄ ⊢ V ➡[h, g] V2 &
+ ∃∃I,K,V,V2. ⇩[O, i] L ≡ K. ⓑ{I}V & ⦃G, K⦄ ⊢ V ➡[h, g] V2 &
⇧[O, i + 1] V2 ≡ T2.
-#h #g #L #T2 #i #H
+#h #g #G #L #T2 #i #H
elim (cpx_inv_atom1 … H) -H /2 width=1/ *
[ #k #l #_ #_ #H destruct
| #I #K #V #V2 #j #HLK #HV2 #HVT2 #H destruct /3 width=7/
]
qed-.
-lemma cpx_inv_gref1: ∀h,g,L,T2,p. ⦃G, L⦄ ⊢ §p ➡[h, g] T2 → T2 = §p.
-#h #g #L #T2 #p #H
+lemma cpx_inv_gref1: ∀h,g,G,L,T2,p. ⦃G, L⦄ ⊢ §p ➡[h, g] T2 → T2 = §p.
+#h #g #G #L #T2 #p #H
elim (cpx_inv_atom1 … H) -H // *
[ #k #l #_ #_ #H destruct
| #I #K #V #V2 #i #_ #_ #_ #H destruct
]
qed-.
-fact cpx_inv_bind1_aux: ∀h,g,L,U1,U2. ⦃G, L⦄ ⊢ U1 ➡[h, g] U2 →
+fact cpx_inv_bind1_aux: ∀h,g,G,L,U1,U2. ⦃G, L⦄ ⊢ U1 ➡[h, g] U2 →
∀a,J,V1,T1. U1 = ⓑ{a,J}V1.T1 → (
- ∃∃V2,T2. ⦃G, L⦄ ⊢ V1 ➡[h, g] V2 & ⦃h, L.ⓑ{J}V1⦄ ⊢ T1 ➡[h, g] T2 &
+ ∃∃V2,T2. ⦃G, L⦄ ⊢ V1 ➡[h, g] V2 & ⦃G, L.ⓑ{J}V1⦄ ⊢ T1 ➡[h, g] T2 &
U2 = ⓑ{a,J}V2.T2
) ∨
- ∃∃T. ⦃h, L.ⓓV1⦄ ⊢ T1 ➡[h, g] T & ⇧[0, 1] U2 ≡ T &
+ ∃∃T. ⦃G, L.ⓓV1⦄ ⊢ T1 ➡[h, g] T & ⇧[0, 1] U2 ≡ T &
a = true & J = Abbr.
-#h #g #L #U1 #U2 * -L -U1 -U2
-[ #I #L #b #J #W #U1 #H destruct
-| #L #k #l #_ #b #J #W #U1 #H destruct
-| #I #L #K #V #V2 #W2 #i #_ #_ #_ #b #J #W #U1 #H destruct
-| #a #I #L #V1 #V2 #T1 #T2 #HV12 #HT12 #b #J #W #U1 #H destruct /3 width=5/
-| #I #L #V1 #V2 #T1 #T2 #_ #_ #b #J #W #U1 #H destruct
-| #L #V #T1 #T #T2 #HT1 #HT2 #b #J #W #U1 #H destruct /3 width=3/
-| #L #V #T1 #T2 #_ #b #J #W #U1 #H destruct
-| #L #V1 #V2 #T #_ #b #J #W #U1 #H destruct
-| #a #L #V1 #V2 #W1 #W2 #T1 #T2 #_ #_ #_ #b #J #W #U1 #H destruct
-| #a #L #V1 #V #V2 #W1 #W2 #T1 #T2 #_ #_ #_ #_ #b #J #W #U1 #H destruct
+#h #g #G #L #U1 #U2 * -L -U1 -U2
+[ #I #G #L #b #J #W #U1 #H destruct
+| #G #L #k #l #_ #b #J #W #U1 #H destruct
+| #I #G #L #K #V #V2 #W2 #i #_ #_ #_ #b #J #W #U1 #H destruct
+| #a #I #G #L #V1 #V2 #T1 #T2 #HV12 #HT12 #b #J #W #U1 #H destruct /3 width=5/
+| #I #G #L #V1 #V2 #T1 #T2 #_ #_ #b #J #W #U1 #H destruct
+| #G #L #V #T1 #T #T2 #HT1 #HT2 #b #J #W #U1 #H destruct /3 width=3/
+| #G #L #V #T1 #T2 #_ #b #J #W #U1 #H destruct
+| #G #L #V1 #V2 #T #_ #b #J #W #U1 #H destruct
+| #a #G #L #V1 #V2 #W1 #W2 #T1 #T2 #_ #_ #_ #b #J #W #U1 #H destruct
+| #a #G #L #V1 #V #V2 #W1 #W2 #T1 #T2 #_ #_ #_ #_ #b #J #W #U1 #H destruct
]
qed-.
-lemma cpx_inv_bind1: ∀h,g,a,I,L,V1,T1,U2. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓑ{a,I}V1.T1 ➡[h, g] U2 → (
- ∃∃V2,T2. ⦃G, L⦄ ⊢ V1 ➡[h, g] V2 & ⦃h, L.ⓑ{I}V1⦄ ⊢ T1 ➡[h, g] T2 &
+lemma cpx_inv_bind1: ∀h,g,a,I,G,L,V1,T1,U2. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓑ{a,I}V1.T1 ➡[h, g] U2 → (
+ ∃∃V2,T2. ⦃G, L⦄ ⊢ V1 ➡[h, g] V2 & ⦃G, L.ⓑ{I}V1⦄ ⊢ T1 ➡[h, g] T2 &
U2 = ⓑ{a,I} V2. T2
) ∨
- ∃∃T. ⦃h, L.ⓓV1⦄ ⊢ T1 ➡[h, g] T & ⇧[0, 1] U2 ≡ T &
+ ∃∃T. ⦃G, L.ⓓV1⦄ ⊢ T1 ➡[h, g] T & ⇧[0, 1] U2 ≡ T &
a = true & I = Abbr.
/2 width=3 by cpx_inv_bind1_aux/ qed-.
-lemma cpx_inv_abbr1: ∀h,g,a,L,V1,T1,U2. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓓ{a}V1.T1 ➡[h, g] U2 → (
- ∃∃V2,T2. ⦃G, L⦄ ⊢ V1 ➡[h, g] V2 & ⦃h, L.ⓓV1⦄ ⊢ T1 ➡[h, g] T2 &
+lemma cpx_inv_abbr1: ∀h,g,a,G,L,V1,T1,U2. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓓ{a}V1.T1 ➡[h, g] U2 → (
+ ∃∃V2,T2. ⦃G, L⦄ ⊢ V1 ➡[h, g] V2 & ⦃G, L.ⓓV1⦄ ⊢ T1 ➡[h, g] T2 &
U2 = ⓓ{a} V2. T2
) ∨
- ∃∃T. ⦃h, L.ⓓV1⦄ ⊢ T1 ➡[h, g] T & ⇧[0, 1] U2 ≡ T & a = true.
-#h #g #a #L #V1 #T1 #U2 #H
+ ∃∃T. ⦃G, L.ⓓV1⦄ ⊢ T1 ➡[h, g] T & ⇧[0, 1] U2 ≡ T & a = true.
+#h #g #a #G #L #V1 #T1 #U2 #H
elim (cpx_inv_bind1 … H) -H * /3 width=3/ /3 width=5/
qed-.
-lemma cpx_inv_abst1: ∀h,g,a,L,V1,T1,U2. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓛ{a}V1.T1 ➡[h, g] U2 →
- ∃∃V2,T2. ⦃G, L⦄ ⊢ V1 ➡[h, g] V2 & ⦃h, L.ⓛV1⦄ ⊢ T1 ➡[h, g] T2 &
+lemma cpx_inv_abst1: ∀h,g,a,G,L,V1,T1,U2. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓛ{a}V1.T1 ➡[h, g] U2 →
+ ∃∃V2,T2. ⦃G, L⦄ ⊢ V1 ➡[h, g] V2 & ⦃G, L.ⓛV1⦄ ⊢ T1 ➡[h, g] T2 &
U2 = ⓛ{a} V2. T2.
-#h #g #a #L #V1 #T1 #U2 #H
+#h #g #a #G #L #V1 #T1 #U2 #H
elim (cpx_inv_bind1 … H) -H *
[ /3 width=5/
| #T #_ #_ #_ #H destruct
]
qed-.
-fact cpx_inv_flat1_aux: ∀h,g,L,U,U2. ⦃G, L⦄ ⊢ U ➡[h, g] U2 →
+fact cpx_inv_flat1_aux: ∀h,g,G,L,U,U2. ⦃G, L⦄ ⊢ U ➡[h, g] U2 →
∀J,V1,U1. U = ⓕ{J}V1.U1 →
∨∨ ∃∃V2,T2. ⦃G, L⦄ ⊢ V1 ➡[h, g] V2 & ⦃G, L⦄ ⊢ U1 ➡[h, g] T2 &
U2 = ⓕ{J}V2.T2
| (⦃G, L⦄ ⊢ U1 ➡[h, g] U2 ∧ J = Cast)
| (⦃G, L⦄ ⊢ V1 ➡[h, g] U2 ∧ J = Cast)
| ∃∃a,V2,W1,W2,T1,T2. ⦃G, L⦄ ⊢ V1 ➡[h, g] V2 & ⦃G, L⦄ ⊢ W1 ➡[h, g] W2 &
- ⦃h, L.ⓛW1⦄ ⊢ T1 ➡[h, g] T2 &
+ ⦃G, L.ⓛW1⦄ ⊢ T1 ➡[h, g] T2 &
U1 = ⓛ{a}W1.T1 &
U2 = ⓓ{a}ⓝW2.V2.T2 & J = Appl
| ∃∃a,V,V2,W1,W2,T1,T2. ⦃G, L⦄ ⊢ V1 ➡[h, g] V & ⇧[0,1] V ≡ V2 &
- ⦃G, L⦄ ⊢ W1 ➡[h, g] W2 & ⦃h, L.ⓓW1⦄ ⊢ T1 ➡[h, g] T2 &
+ ⦃G, L⦄ ⊢ W1 ➡[h, g] W2 & ⦃G, L.ⓓW1⦄ ⊢ T1 ➡[h, g] T2 &
U1 = ⓓ{a}W1.T1 &
U2 = ⓓ{a}W2.ⓐV2.T2 & J = Appl.
-#h #g #L #U #U2 * -L -U -U2
-[ #I #L #J #W #U1 #H destruct
-| #L #k #l #_ #J #W #U1 #H destruct
-| #I #L #K #V #V2 #W2 #i #_ #_ #_ #J #W #U1 #H destruct
-| #a #I #L #V1 #V2 #T1 #T2 #_ #_ #J #W #U1 #H destruct
-| #I #L #V1 #V2 #T1 #T2 #HV12 #HT12 #J #W #U1 #H destruct /3 width=5/
-| #L #V #T1 #T #T2 #_ #_ #J #W #U1 #H destruct
-| #L #V #T1 #T2 #HT12 #J #W #U1 #H destruct /3 width=1/
-| #L #V1 #V2 #T #HV12 #J #W #U1 #H destruct /3 width=1/
-| #a #L #V1 #V2 #W1 #W2 #T1 #T2 #HV12 #HW12 #HT12 #J #W #U1 #H destruct /3 width=11/
-| #a #L #V1 #V #V2 #W1 #W2 #T1 #T2 #HV1 #HV2 #HW12 #HT12 #J #W #U1 #H destruct /3 width=13/
+#h #g #G #L #U #U2 * -L -U -U2
+[ #I #G #L #J #W #U1 #H destruct
+| #G #L #k #l #_ #J #W #U1 #H destruct
+| #I #G #L #K #V #V2 #W2 #i #_ #_ #_ #J #W #U1 #H destruct
+| #a #I #G #L #V1 #V2 #T1 #T2 #_ #_ #J #W #U1 #H destruct
+| #I #G #L #V1 #V2 #T1 #T2 #HV12 #HT12 #J #W #U1 #H destruct /3 width=5/
+| #G #L #V #T1 #T #T2 #_ #_ #J #W #U1 #H destruct
+| #G #L #V #T1 #T2 #HT12 #J #W #U1 #H destruct /3 width=1/
+| #G #L #V1 #V2 #T #HV12 #J #W #U1 #H destruct /3 width=1/
+| #a #G #L #V1 #V2 #W1 #W2 #T1 #T2 #HV12 #HW12 #HT12 #J #W #U1 #H destruct /3 width=11/
+| #a #G #L #V1 #V #V2 #W1 #W2 #T1 #T2 #HV1 #HV2 #HW12 #HT12 #J #W #U1 #H destruct /3 width=13/
]
qed-.
-lemma cpx_inv_flat1: ∀h,g,I,L,V1,U1,U2. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓕ{I}V1.U1 ➡[h, g] U2 →
+lemma cpx_inv_flat1: ∀h,g,I,G,L,V1,U1,U2. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓕ{I}V1.U1 ➡[h, g] U2 →
∨∨ ∃∃V2,T2. ⦃G, L⦄ ⊢ V1 ➡[h, g] V2 & ⦃G, L⦄ ⊢ U1 ➡[h, g] T2 &
U2 = ⓕ{I} V2. T2
| (⦃G, L⦄ ⊢ U1 ➡[h, g] U2 ∧ I = Cast)
| (⦃G, L⦄ ⊢ V1 ➡[h, g] U2 ∧ I = Cast)
| ∃∃a,V2,W1,W2,T1,T2. ⦃G, L⦄ ⊢ V1 ➡[h, g] V2 & ⦃G, L⦄ ⊢ W1 ➡[h, g] W2 &
- ⦃h, L.ⓛW1⦄ ⊢ T1 ➡[h, g] T2 &
+ ⦃G, L.ⓛW1⦄ ⊢ T1 ➡[h, g] T2 &
U1 = ⓛ{a}W1.T1 &
U2 = ⓓ{a}ⓝW2.V2.T2 & I = Appl
| ∃∃a,V,V2,W1,W2,T1,T2. ⦃G, L⦄ ⊢ V1 ➡[h, g] V & ⇧[0,1] V ≡ V2 &
- ⦃G, L⦄ ⊢ W1 ➡[h, g] W2 & ⦃h, L.ⓓW1⦄ ⊢ T1 ➡[h, g] T2 &
+ ⦃G, L⦄ ⊢ W1 ➡[h, g] W2 & ⦃G, L.ⓓW1⦄ ⊢ T1 ➡[h, g] T2 &
U1 = ⓓ{a}W1.T1 &
U2 = ⓓ{a}W2.ⓐV2.T2 & I = Appl.
/2 width=3 by cpx_inv_flat1_aux/ qed-.
-lemma cpx_inv_appl1: ∀h,g,L,V1,U1,U2. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓐ V1.U1 ➡[h, g] U2 →
+lemma cpx_inv_appl1: ∀h,g,G,L,V1,U1,U2. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓐ V1.U1 ➡[h, g] U2 →
∨∨ ∃∃V2,T2. ⦃G, L⦄ ⊢ V1 ➡[h, g] V2 & ⦃G, L⦄ ⊢ U1 ➡[h, g] T2 &
U2 = ⓐ V2. T2
| ∃∃a,V2,W1,W2,T1,T2. ⦃G, L⦄ ⊢ V1 ➡[h, g] V2 & ⦃G, L⦄ ⊢ W1 ➡[h, g] W2 &
- ⦃h, L.ⓛW1⦄ ⊢ T1 ➡[h, g] T2 &
+ ⦃G, L.ⓛW1⦄ ⊢ T1 ➡[h, g] T2 &
U1 = ⓛ{a}W1.T1 & U2 = ⓓ{a}ⓝW2.V2.T2
| ∃∃a,V,V2,W1,W2,T1,T2. ⦃G, L⦄ ⊢ V1 ➡[h, g] V & ⇧[0,1] V ≡ V2 &
- ⦃G, L⦄ ⊢ W1 ➡[h, g] W2 & ⦃h, L.ⓓW1⦄ ⊢ T1 ➡[h, g] T2 &
+ ⦃G, L⦄ ⊢ W1 ➡[h, g] W2 & ⦃G, L.ⓓW1⦄ ⊢ T1 ➡[h, g] T2 &
U1 = ⓓ{a}W1.T1 & U2 = ⓓ{a}W2. ⓐV2. T2.
-#h #g #L #V1 #U1 #U2 #H elim (cpx_inv_flat1 … H) -H *
+#h #g #G #L #V1 #U1 #U2 #H elim (cpx_inv_flat1 … H) -H *
[ /3 width=5/
|2,3: #_ #H destruct
| /3 width=11/
qed-.
(* Note: the main property of simple terms *)
-lemma cpx_inv_appl1_simple: ∀h,g,L,V1,T1,U. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓐV1.T1 ➡[h, g] U → 𝐒⦃T1⦄ →
+lemma cpx_inv_appl1_simple: ∀h,g,G,L,V1,T1,U. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓐV1.T1 ➡[h, g] U → 𝐒⦃T1⦄ →
∃∃V2,T2. ⦃G, L⦄ ⊢ V1 ➡[h, g] V2 & ⦃G, L⦄ ⊢ T1 ➡[h, g] T2 &
U = ⓐV2.T2.
-#h #g #L #V1 #T1 #U #H #HT1
+#h #g #G #L #V1 #T1 #U #H #HT1
elim (cpx_inv_appl1 … H) -H *
[ /2 width=5/
| #a #V2 #W1 #W2 #U1 #U2 #_ #_ #_ #H #_ destruct
]
qed-.
-lemma cpx_inv_cast1: ∀h,g,L,V1,U1,U2. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓝV1.U1 ➡[h, g] U2 →
+lemma cpx_inv_cast1: ∀h,g,G,L,V1,U1,U2. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓝV1.U1 ➡[h, g] U2 →
∨∨ ∃∃V2,T2. ⦃G, L⦄ ⊢ V1 ➡[h, g] V2 & ⦃G, L⦄ ⊢ U1 ➡[h, g] T2 &
U2 = ⓝ V2. T2
| ⦃G, L⦄ ⊢ U1 ➡[h, g] U2
| ⦃G, L⦄ ⊢ V1 ➡[h, g] U2.
-#h #g #L #V1 #U1 #U2 #H elim (cpx_inv_flat1 … H) -H *
+#h #g #G #L #V1 #U1 #U2 #H elim (cpx_inv_flat1 … H) -H *
[ /3 width=5/
|2,3: /2 width=1/
| #a #V2 #W1 #W2 #T1 #T2 #_ #_ #_ #_ #_ #H destruct
(* Basic forward lemmas *****************************************************)
-lemma cpx_fwd_bind1_minus: ∀h,g,I,L,V1,T1,T. ⦃G, L⦄ ⊢ -ⓑ{I}V1.T1 ➡[h, g] T → ∀b.
+lemma cpx_fwd_bind1_minus: ∀h,g,I,G,L,V1,T1,T. ⦃G, L⦄ ⊢ -ⓑ{I}V1.T1 ➡[h, g] T → ∀b.
∃∃V2,T2. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓑ{b,I}V1.T1 ➡[h, g] ⓑ{b,I}V2.T2 &
T = -ⓑ{I}V2.T2.
-#h #g #I #L #V1 #T1 #T #H #b
+#h #g #I #G #L #V1 #T1 #T #H #b
elim (cpx_inv_bind1 … H) -H *
[ #V2 #T2 #HV12 #HT12 #H destruct /3 width=4/
| #T2 #_ #_ #H destruct
]
qed-.
-lemma cpx_fwd_shift1: ∀h,g,L1,L,T1,T. ⦃G, L⦄ ⊢ L1 @@ T1 ➡[h, g] T →
+lemma cpx_fwd_shift1: ∀h,g,G,L1,L,T1,T. ⦃G, L⦄ ⊢ L1 @@ T1 ➡[h, g] T →
∃∃L2,T2. |L1| = |L2| & T = L2 @@ T2.
-#h #g #L1 @(lenv_ind_dx … L1) -L1 normalize
+#h #g #G #L1 @(lenv_ind_dx … L1) -L1 normalize
[ #L #T1 #T #HT1
@(ex2_2_intro … (⋆)) // (**) (* explicit constructor *)
| #I #L1 #V1 #IH #L #T1 #X
projects / helm.git / blobdiff