d = 0 → e ≤ |L1| →
∀L. ⇩[0, e] L @@ L1 ≡ L @@ L2.
#L1 #L2 #d #e #H elim H -L1 -L2 -d -e normalize // /4 width=1/
-#d #e #_ #H #L -d
-lapply (le_n_O_to_eq … H) -H //
qed-.
lemma ldrop_O1_append_sn_le: ∀L1,L2,e. ⇩[0, e] L1 ≡ L2 → e ≤ |L1| →
|L2| ≤ e → ⇩[0, e - |L2|] L1 ≡ K.
#K #L1 #L2 elim L2 -L2 normalize //
#L2 #I #V #IHL2 #e #H #H1e
-elim (ldrop_inv_O1 … H) -H * #H2e #HL12 destruct
+elim (ldrop_inv_O1_pair1 … H) -H * #H2e #HL12 destruct
[ lapply (le_n_O_to_eq … H1e) -H1e -IHL2
>commutative_plus normalize #H destruct
| <minus_plus >minus_minus_comm /3 width=1/
#K #L1 #L2 elim L2 -L2 normalize
[ #e #H1 #H2 #K2 #H3
lapply (le_n_O_to_eq … H2) -H2 #H2
- lapply (ldrop_inv_atom1 … H3) -H3 #H3 destruct
- >(ldrop_inv_refl … H1) -H1 //
+ elim (ldrop_inv_atom1 … H3) -H3 #H3 #_ destruct
+ >(ldrop_inv_O2 … H1) -H1 //
| #L2 #I #V #IHL2 #e @(nat_ind_plus … e) -e [ -IHL2 ]
[ #H1 #_ #K2 #H2
- lapply (ldrop_inv_refl … H1) -H1 #H1
- lapply (ldrop_inv_refl … H2) -H2 #H2 destruct //
+ lapply (ldrop_inv_O2 … H1) -H1 #H1
+ lapply (ldrop_inv_O2 … H2) -H2 #H2 destruct //
| #e #_ #H1 #H #K2 #H2
lapply (le_plus_to_le_r … H) -H
lapply (ldrop_inv_ldrop1 … H1 ?) -H1 //