lemma sor_isid: âf1,f2,f. đâŠf1⊠â đâŠf2⊠â đâŠf⊠â f1 â f2 ⥠f.
/4 width=3 by sor_eq_repl_back2, sor_eq_repl_back1, isid_inv_eq_repl/ qed.
+(* Inversion lemmas with tail ***********************************************)
+
+lemma sor_inv_tl_sn: âf1,f2,f. ⫱f1 â f2 ⥠f â f1 â â«Żf2 ⥠⫯f.
+#f1 #f2 #f elim (pn_split f1) *
+#g1 #H destruct /2 width=7 by sor_pn, sor_nn/
+qed-.
+
+lemma sor_inv_tl_dx: âf1,f2,f. f1 â ⫱f2 ⥠f â â«Żf1 â f2 ⥠⫯f.
+#f1 #f2 #f elim (pn_split f2) *
+#g2 #H destruct /2 width=7 by sor_np, sor_nn/
+qed-.
+
(* Inversion lemmas with test for identity **********************************)
lemma sor_isid_inv_sn: âf1,f2,f. f1 â f2 ⥠f â đâŠf1⊠â f2 â f.
/3 width=5 by sle_push, sle_next, sle_weak/
qed-.
+lemma sor_inv_sle_sn_trans: âf1,f2,f. f1 â f2 ⥠f â âg. g â f1 â g â f.
+/3 width=4 by sor_inv_sle_sn, sle_trans/ qed-.
+
+lemma sor_inv_sle_dx_trans: âf1,f2,f. f1 â f2 ⥠f â âg. g â f2 â g â f.
+/3 width=4 by sor_inv_sle_dx, sle_trans/ qed-.
+
+axiom sor_inv_sle: âf1,f2,f. f1 â f2 ⥠f â âg. f1 â g â f2 â g â f â g.
+
(* Properties with inclusion ************************************************)
-lemma sor_sle_sn: âf1,f2,f. f1 â f2 ⥠f â âg. g â f1 â g â f.
-/3 width=4 by sor_inv_sle_sn, sle_trans/ qed.
+corec lemma sor_sle_dx: âf1,f2. f1 â f2 â f1 â f2 ⥠f2.
+#f1 #f2 * -f1 -f2 /3 width=7 by sor_pp, sor_nn, sor_pn/
+qed.
+
+corec lemma sor_sle_sn: âf1,f2. f1 â f2 â f2 â f1 ⥠f2.
+#f1 #f2 * -f1 -f2 /3 width=7 by sor_pp, sor_nn, sor_np/
+qed.
-lemma sor_sle_dx: âf1,f2,f. f1 â f2 ⥠f â âg. g â f2 â g â f.
-/3 width=4 by sor_inv_sle_dx, sle_trans/ qed.
+(* Main properties **********************************************************)
+
+axiom monotonic_sle_sor: âf1,g1. f1 â g1 â âf2,g2. f2 â g2 â
+ âf. f1 â f2 ⥠f â âg. g1 â g2 ⥠g â f â g.
+
+axiom sor_trans1: âf0,f3,f4. f0 â f3 ⥠f4 â
+ âf1,f2. f1 â f2 ⥠f0 â
+ âf. f2 â f3 ⥠f â f1 â f ⥠f4.
+
+axiom sor_trans2: âf1,f0,f4. f1 â f0 ⥠f4 â
+ âf2, f3. f2 â f3 ⥠f0 â
+ âf. f1 â f2 ⥠f â f â f3 ⥠f4.
+
+corec theorem sor_distr_dx: âf1,f2,f. f1 â f2 ⥠f â âg1,g2,g. g1 â g2 ⥠g â
+ âg0. g1 â g0 ⥠f1 â g2 â g0 ⥠f2 â g â g0 ⥠f.
+#f1 #f2 #f cases (pn_split f) * #x #Hx #Hf #g1 #g2 #g #Hg #g0 #Hf1 #Hf2
+[ cases (sor_inv_xxp ⊠Hf ⊠Hx) -Hf #x1 #x2 #Hf #Hx1 #Hx2
+ cases (sor_inv_xxp ⊠Hf1 ⊠Hx1) -f1 #y1 #y0 #Hf1 #Hy1 #Hy0
+ cases (sor_inv_xpp ⊠Hf2 ⊠Hy0 ⊠Hx2) -f2 #y2 #Hf2 #Hy2
+ cases (sor_inv_ppx ⊠Hg ⊠Hy1 Hy2) -g1 -g2 #y #Hg #Hy
+ @(sor_pp ⊠Hy Hy0 Hx) -g -g0 -f /2 width=8 by/
+| cases (pn_split g) * #y #Hy
+ [ cases (sor_inv_xxp ⊠Hg ⊠Hy) -Hg #y1 #y2 #Hg #Hy1 #Hy2
+ cases (sor_xxn_tl ⊠Hf ⊠Hx) * #x1 #x2 #_ #Hx1 #Hx2
+ [ cases (sor_inv_pxn ⊠Hf1 ⊠Hy1 Hx1) -g1 #y0 #Hf1 #Hy0
+ cases (sor_inv_pnx ⊠Hf2 ⊠Hy2 Hy0) -g2 -x2 #x2 #Hf2 #Hx2
+ | cases (sor_inv_pxn ⊠Hf2 ⊠Hy2 Hx2) -g2 #y0 #Hf2 #Hy0
+ cases (sor_inv_pnx ⊠Hf1 ⊠Hy1 Hy0) -g1 -x1 #x1 #Hf1 #Hx1
+ ]
+ lapply (sor_inv_nnn ⊠Hf ⊠Hx1 Hx2 Hx) -f1 -f2 #Hf
+ @(sor_pn ⊠Hy Hy0 Hx) -g -g0 -f /2 width=8 by/
+ | lapply (sor_tl ⊠Hf) -Hf #Hf
+ lapply (sor_tl ⊠Hg) -Hg #Hg
+ lapply (sor_tl ⊠Hf1) -Hf1 #Hf1
+ lapply (sor_tl ⊠Hf2) -Hf2 #Hf2
+ cases (pn_split g0) * #y0 #Hy0
+ [ @(sor_np ⊠Hy Hy0 Hx) /2 width=8 by/
+ | @(sor_nn ⊠Hy Hy0 Hx) /2 width=8 by/
+ ]
+ ]
+]
+qed-.