(* Advanced inversion lemmas ************************************************)
lemma fsle_frees_trans:
- â\88\80L1,L2,T1,T2. â\9dªL1,T1â\9d« â\8a\86 â\9dªL2,T2â\9d« →
- â\88\80f2. L2 â\8a¢ ð\9d\90\85+â\9dªT2â\9d« ≘ f2 →
- â\88\83â\88\83n1,n2,f1. L1 â\8a¢ ð\9d\90\85+â\9dªT1â\9d« ≘ f1 & L1 ≋ⓧ*[n1,n2] L2 & ⫰*[n1]f1 ⊆ ⫰*[n2]f2.
+ â\88\80L1,L2,T1,T2. â\9d¨L1,T1â\9d© â\8a\86 â\9d¨L2,T2â\9d© →
+ â\88\80f2. L2 â\8a¢ ð\9d\90\85+â\9d¨T2â\9d© ≘ f2 →
+ â\88\83â\88\83n1,n2,f1. L1 â\8a¢ ð\9d\90\85+â\9d¨T1â\9d© ≘ f1 & L1 ≋ⓧ*[n1,n2] L2 & ⫰*[n1]f1 ⊆ ⫰*[n2]f2.
#L1 #L2 #T1 #T2 * #n1 #n2 #f1 #g2 #Hf1 #Hg2 #HL #Hn #f2 #Hf2
lapply (frees_mono … Hg2 … Hf2) -Hg2 -Hf2 #Hgf2
lapply (pr_tls_eq_repl n2 … Hgf2) -Hgf2 #Hgf2
lemma fsle_frees_trans_eq:
∀L1,L2. |L1| = |L2| →
- â\88\80T1,T2. â\9dªL1,T1â\9d« â\8a\86 â\9dªL2,T2â\9d« â\86\92 â\88\80f2. L2 â\8a¢ ð\9d\90\85+â\9dªT2â\9d« ≘ f2 →
- â\88\83â\88\83f1. L1 â\8a¢ ð\9d\90\85+â\9dªT1â\9d« ≘ f1 & f1 ⊆ f2.
+ â\88\80T1,T2. â\9d¨L1,T1â\9d© â\8a\86 â\9d¨L2,T2â\9d© â\86\92 â\88\80f2. L2 â\8a¢ ð\9d\90\85+â\9d¨T2â\9d© ≘ f2 →
+ â\88\83â\88\83f1. L1 â\8a¢ ð\9d\90\85+â\9d¨T1â\9d© ≘ f1 & f1 ⊆ f2.
#L1 #L2 #H1L #T1 #T2 #H2L #f2 #Hf2
elim (fsle_frees_trans … H2L … Hf2) -T2 #n1 #n2 #f1 #Hf1 #H2L #Hf12
elim (lveq_inj_length … H2L) // -L2 #H1 #H2 destruct
lemma fsle_inv_frees_eq:
∀L1,L2. |L1| = |L2| →
- â\88\80T1,T2. â\9dªL1,T1â\9d« â\8a\86 â\9dªL2,T2â\9d« →
- â\88\80f1. L1 â\8a¢ ð\9d\90\85+â\9dªT1â\9d« â\89\98 f1 â\86\92 â\88\80f2. L2 â\8a¢ ð\9d\90\85+â\9dªT2â\9d« ≘ f2 →
+ â\88\80T1,T2. â\9d¨L1,T1â\9d© â\8a\86 â\9d¨L2,T2â\9d© →
+ â\88\80f1. L1 â\8a¢ ð\9d\90\85+â\9d¨T1â\9d© â\89\98 f1 â\86\92 â\88\80f2. L2 â\8a¢ ð\9d\90\85+â\9d¨T2â\9d© ≘ f2 →
f1 ⊆ f2.
#L1 #L2 #H1L #T1 #T2 #H2L #f1 #Hf1 #f2 #Hf2
elim (fsle_frees_trans_eq … H2L … Hf2) // -L2 -T2
qed-.
lemma fsle_frees_conf:
- â\88\80L1,L2,T1,T2. â\9dªL1,T1â\9d« â\8a\86 â\9dªL2,T2â\9d« →
- â\88\80f1. L1 â\8a¢ ð\9d\90\85+â\9dªT1â\9d« ≘ f1 →
- â\88\83â\88\83n1,n2,f2. L2 â\8a¢ ð\9d\90\85+â\9dªT2â\9d« ≘ f2 & L1 ≋ⓧ*[n1,n2] L2 & ⫰*[n1]f1 ⊆ ⫰*[n2]f2.
+ â\88\80L1,L2,T1,T2. â\9d¨L1,T1â\9d© â\8a\86 â\9d¨L2,T2â\9d© →
+ â\88\80f1. L1 â\8a¢ ð\9d\90\85+â\9d¨T1â\9d© ≘ f1 →
+ â\88\83â\88\83n1,n2,f2. L2 â\8a¢ ð\9d\90\85+â\9d¨T2â\9d© ≘ f2 & L1 ≋ⓧ*[n1,n2] L2 & ⫰*[n1]f1 ⊆ ⫰*[n2]f2.
#L1 #L2 #T1 #T2 * #n1 #n2 #g1 #g2 #Hg1 #Hg2 #HL #Hn #f1 #Hf1
lapply (frees_mono … Hg1 … Hf1) -Hg1 -Hf1 #Hgf1
lapply (pr_tls_eq_repl n1 … Hgf1) -Hgf1 #Hgf1
lemma fsle_frees_conf_eq:
∀L1,L2. |L1| = |L2| →
- â\88\80T1,T2. â\9dªL1,T1â\9d« â\8a\86 â\9dªL2,T2â\9d« â\86\92 â\88\80f1. L1 â\8a¢ ð\9d\90\85+â\9dªT1â\9d« ≘ f1 →
- â\88\83â\88\83f2. L2 â\8a¢ ð\9d\90\85+â\9dªT2â\9d« ≘ f2 & f1 ⊆ f2.
+ â\88\80T1,T2. â\9d¨L1,T1â\9d© â\8a\86 â\9d¨L2,T2â\9d© â\86\92 â\88\80f1. L1 â\8a¢ ð\9d\90\85+â\9d¨T1â\9d© ≘ f1 →
+ â\88\83â\88\83f2. L2 â\8a¢ ð\9d\90\85+â\9d¨T2â\9d© ≘ f2 & f1 ⊆ f2.
#L1 #L2 #H1L #T1 #T2 #H2L #f1 #Hf1
elim (fsle_frees_conf … H2L … Hf1) -T1 #n1 #n2 #f2 #Hf2 #H2L #Hf12
elim (lveq_inj_length … H2L) // -L1 #H1 #H2 destruct
(* Main properties **********************************************************)
theorem fsle_trans_sn:
- â\88\80L1,L2,T1,T. â\9dªL1,T1â\9d« â\8a\86 â\9dªL2,Tâ\9d« →
- â\88\80T2. â\9dªL2,Tâ\9d« â\8a\86 â\9dªL2,T2â\9d« â\86\92 â\9dªL1,T1â\9d« â\8a\86 â\9dªL2,T2â\9d«.
+ â\88\80L1,L2,T1,T. â\9d¨L1,T1â\9d© â\8a\86 â\9d¨L2,Tâ\9d© →
+ â\88\80T2. â\9d¨L2,Tâ\9d© â\8a\86 â\9d¨L2,T2â\9d© â\86\92 â\9d¨L1,T1â\9d© â\8a\86 â\9d¨L2,T2â\9d©.
#L1 #L2 #T1 #T
* #m1 #m0 #g1 #g0 #Hg1 #Hg0 #Hm #Hg
#T2
qed-.
theorem fsle_trans_dx:
- â\88\80L1,T1,T. â\9dªL1,T1â\9d« â\8a\86 â\9dªL1,Tâ\9d« →
- â\88\80L2,T2. â\9dªL1,Tâ\9d« â\8a\86 â\9dªL2,T2â\9d« â\86\92 â\9dªL1,T1â\9d« â\8a\86 â\9dªL2,T2â\9d«.
+ â\88\80L1,T1,T. â\9d¨L1,T1â\9d© â\8a\86 â\9d¨L1,Tâ\9d© →
+ â\88\80L2,T2. â\9d¨L1,Tâ\9d© â\8a\86 â\9d¨L2,T2â\9d© â\86\92 â\9d¨L1,T1â\9d© â\8a\86 â\9d¨L2,T2â\9d©.
#L1 #T1 #T
* #m1 #m0 #g1 #g0 #Hg1 #Hg0 #Hm #Hg
#L2 #T2
qed-.
theorem fsle_trans_rc:
- â\88\80L1,L,T1,T. |L1| = |L| â\86\92 â\9dªL1,T1â\9d« â\8a\86 â\9dªL,Tâ\9d« →
- â\88\80L2,T2. |L| = |L2| â\86\92 â\9dªL,Tâ\9d« â\8a\86 â\9dªL2,T2â\9d« â\86\92 â\9dªL1,T1â\9d« â\8a\86 â\9dªL2,T2â\9d«.
+ â\88\80L1,L,T1,T. |L1| = |L| â\86\92 â\9d¨L1,T1â\9d© â\8a\86 â\9d¨L,Tâ\9d© →
+ â\88\80L2,T2. |L| = |L2| â\86\92 â\9d¨L,Tâ\9d© â\8a\86 â\9d¨L2,T2â\9d© â\86\92 â\9d¨L1,T1â\9d© â\8a\86 â\9d¨L2,T2â\9d©.
#L1 #L #T1 #T #HL1
* #m1 #m0 #g1 #g0 #Hg1 #Hg0 #Hm #Hg
#L2 #T2 #HL2
theorem fsle_bind_sn_ge:
∀L1,L2. |L2| ≤ |L1| →
- â\88\80V1,T1,T. â\9dªL1,V1â\9d« â\8a\86 â\9dªL2,Tâ\9d« â\86\92 â\9dªL1.â\93§,T1â\9d« â\8a\86 â\9dªL2,Tâ\9d« →
- â\88\80p,I. â\9dªL1,â\93\91[p,I]V1.T1â\9d« â\8a\86 â\9dªL2,Tâ\9d«.
+ â\88\80V1,T1,T. â\9d¨L1,V1â\9d© â\8a\86 â\9d¨L2,Tâ\9d© â\86\92 â\9d¨L1.â\93§,T1â\9d© â\8a\86 â\9d¨L2,Tâ\9d© →
+ â\88\80p,I. â\9d¨L1,â\93\91[p,I]V1.T1â\9d© â\8a\86 â\9d¨L2,Tâ\9d©.
#L1 #L2 #HL #V1 #T1 #T * #n1 #x #f1 #g #Hf1 #Hg #H1n1 #H2n1 #H #p #I
elim (fsle_frees_trans … H … Hg) -H #n2 #n #f2 #Hf2 #H1n2 #H2n2
elim (lveq_inj_void_sn_ge … H1n1 … H1n2) -H1n2 // #H1 #H2 #H3 destruct
qed.
theorem fsle_flat_sn:
- â\88\80L1,L2,V1,T1,T. â\9dªL1,V1â\9d« â\8a\86 â\9dªL2,Tâ\9d« â\86\92 â\9dªL1,T1â\9d« â\8a\86 â\9dªL2,Tâ\9d« →
- â\88\80I. â\9dªL1,â\93\95[I]V1.T1â\9d« â\8a\86 â\9dªL2,Tâ\9d«.
+ â\88\80L1,L2,V1,T1,T. â\9d¨L1,V1â\9d© â\8a\86 â\9d¨L2,Tâ\9d© â\86\92 â\9d¨L1,T1â\9d© â\8a\86 â\9d¨L2,Tâ\9d© →
+ â\88\80I. â\9d¨L1,â\93\95[I]V1.T1â\9d© â\8a\86 â\9d¨L2,Tâ\9d©.
#L1 #L2 #V1 #T1 #T * #n1 #x #f1 #g #Hf1 #Hg #H1n1 #H2n1 #H #I
elim (fsle_frees_trans … H … Hg) -H #n2 #n #f2 #Hf2 #H1n2 #H2n2
elim (lveq_inj … H1n1 … H1n2) -H1n2 #H1 #H2 destruct
qed.
theorem fsle_bind_eq:
- â\88\80L1,L2. |L1| = |L2| â\86\92 â\88\80V1,V2. â\9dªL1,V1â\9d« â\8a\86 â\9dªL2,V2â\9d« →
- â\88\80I2,T1,T2. â\9dªL1.â\93§,T1â\9d« â\8a\86 â\9dªL2.â\93\91[I2]V2,T2â\9d« →
- â\88\80p,I1. â\9dªL1,â\93\91[p,I1]V1.T1â\9d« â\8a\86 â\9dªL2,â\93\91[p,I2]V2.T2â\9d«.
+ â\88\80L1,L2. |L1| = |L2| â\86\92 â\88\80V1,V2. â\9d¨L1,V1â\9d© â\8a\86 â\9d¨L2,V2â\9d© →
+ â\88\80I2,T1,T2. â\9d¨L1.â\93§,T1â\9d© â\8a\86 â\9d¨L2.â\93\91[I2]V2,T2â\9d© →
+ â\88\80p,I1. â\9d¨L1,â\93\91[p,I1]V1.T1â\9d© â\8a\86 â\9d¨L2,â\93\91[p,I2]V2.T2â\9d©.
#L1 #L2 #HL #V1 #V2
* #n1 #m1 #f1 #g1 #Hf1 #Hg1 #H1L #Hfg1 #I2 #T1 #T2
* #n2 #m2 #f2 #g2 #Hf2 #Hg2 #H2L #Hfg2 #p #I1
qed.
theorem fsle_bind:
- â\88\80L1,L2,V1,V2. â\9dªL1,V1â\9d« â\8a\86 â\9dªL2,V2â\9d« →
- â\88\80I1,I2,T1,T2. â\9dªL1.â\93\91[I1]V1,T1â\9d« â\8a\86 â\9dªL2.â\93\91[I2]V2,T2â\9d« →
- â\88\80p. â\9dªL1,â\93\91[p,I1]V1.T1â\9d« â\8a\86 â\9dªL2,â\93\91[p,I2]V2.T2â\9d«.
+ â\88\80L1,L2,V1,V2. â\9d¨L1,V1â\9d© â\8a\86 â\9d¨L2,V2â\9d© →
+ â\88\80I1,I2,T1,T2. â\9d¨L1.â\93\91[I1]V1,T1â\9d© â\8a\86 â\9d¨L2.â\93\91[I2]V2,T2â\9d© →
+ â\88\80p. â\9d¨L1,â\93\91[p,I1]V1.T1â\9d© â\8a\86 â\9d¨L2,â\93\91[p,I2]V2.T2â\9d©.
#L1 #L2 #V1 #V2
* #n1 #m1 #f1 #g1 #Hf1 #Hg1 #H1L #Hfg1 #I1 #I2 #T1 #T2
* #n2 #m2 #f2 #g2 #Hf2 #Hg2 #H2L #Hfg2 #p
qed.
theorem fsle_flat:
- â\88\80L1,L2,V1,V2. â\9dªL1,V1â\9d« â\8a\86 â\9dªL2,V2â\9d« →
- â\88\80T1,T2. â\9dªL1,T1â\9d« â\8a\86 â\9dªL2,T2â\9d« →
- â\88\80I1,I2. â\9dªL1,â\93\95[I1]V1.T1â\9d« â\8a\86 â\9dªL2,â\93\95[I2]V2.T2â\9d«.
+ â\88\80L1,L2,V1,V2. â\9d¨L1,V1â\9d© â\8a\86 â\9d¨L2,V2â\9d© →
+ â\88\80T1,T2. â\9d¨L1,T1â\9d© â\8a\86 â\9d¨L2,T2â\9d© →
+ â\88\80I1,I2. â\9d¨L1,â\93\95[I1]V1.T1â\9d© â\8a\86 â\9d¨L2,â\93\95[I2]V2.T2â\9d©.
/3 width=1 by fsle_flat_sn, fsle_flat_dx_dx, fsle_flat_dx_sn/ qed-.