#a #b #c #Rab #sbc #sbc @(star_compl … Rab) //
qed.
-lemma star_ind_l :
- ∀A:Type[0].∀R:relation A.∀Q:A → A → Prop.
- (∀a.Q a a) →
- (∀a,b,c.R a b → star A R b c → Q b c → Q a c) →
- ∀a,b.star A R a b → Q a b.
-#A #R #Q #H1 #H2 #a #b #H0
-elim (star_to_starl ???? H0) // -H0 -b -a
-#a #b #c #Rab #slbc @H2 // @starl_to_star //
-qed.
+fact star_ind_l_aux: ∀A,R,a2. ∀P:predicate A.
+ P a2 →
+ (∀a1,a. R a1 a → star … R a a2 → P a → P a1) →
+ ∀a1,a. star … R a1 a → a = a2 → P a1.
+#A #R #a2 #P #H1 #H2 #a1 #a #Ha1
+elim (star_to_starl ???? Ha1) -a1 -a
+[ #a #b #c #Hab #Hbc #IH #H destruct /3 width=4/
+| #a #H destruct /2 width=1/
+]
+qed-.
+
+(* imporeved version of star_ind_l with "left_parameter" *)
+lemma star_ind_l: ∀A,R,a2. ∀P:predicate A.
+ P a2 →
+ (∀a1,a. R a1 a → star … R a a2 → P a → P a1) →
+ ∀a1. star … R a1 a2 → P a1.
+#A #R #a2 #P #H1 #H2 #a1 #Ha12
+@(star_ind_l_aux … H1 H2 … Ha12) //
+qed.
(* RC and star *)
R a1 b1 a b → bi_TC … R a b a2 b2 → bi_TC … R a1 b1 a2 b2.
#A #B #R #a1 #a #a2 #b1 #b #b2 #HR #H elim H -a2 -b2 /2 width=4/ /3 width=4/
qed.
-
+
lemma bi_TC_reflexive: ∀A,B,R. bi_reflexive A B R →
bi_reflexive A B (bi_TC … R).
/2 width=1/ qed.
| #H12 @(bi_TC_ind_dx ?????????? H12) -a1 -b1 /2 width=5/ -H /3 width=5/
]
qed-.
+
+(* ************ confluence of star *****************)
+
+lemma star_strip: ∀A,R. confluent A R →
+ ∀a0,a1. star … R a0 a1 → ∀a2. R a0 a2 →
+ ∃∃a. R a1 a & star … R a2 a.
+#A #R #HR #a0 #a1 #H elim H -a1 /2 width=3/
+#a #a1 #_ #Ha1 #IHa0 #a2 #Ha02
+elim (IHa0 … Ha02) -a0 #a0 #Ha0 #Ha20
+elim (HR … Ha1 … Ha0) -a /3 width=5/
+qed-.
+
+lemma star_confluent: ∀A,R. confluent A R → confluent A (star … R).
+#A #R #HR #a0 #a1 #H elim H -a1 /2 width=3/
+#a #a1 #_ #Ha1 #IHa0 #a2 #Ha02
+elim (IHa0 … Ha02) -a0 #a0 #Ha0 #Ha20
+elim (star_strip … HR … Ha0 … Ha1) -a /3 width=5/
+qed-.