--- /dev/null
+(**************************************************************************)
+(* ___ *)
+(* ||M|| *)
+(* ||A|| A project by Andrea Asperti *)
+(* ||T|| *)
+(* ||I|| Developers: *)
+(* ||T|| The HELM team. *)
+(* ||A|| http://helm.cs.unibo.it *)
+(* \ / *)
+(* \ / This file is distributed under the terms of the *)
+(* v GNU General Public License Version 2 *)
+(* *)
+(**************************************************************************)
+
+include "subterms/relocation.ma".
+
+(* RELOCATING SUBSTITUTION **************************************************)
+
+(* Policy: depth (level) metavariables: d, e (as for lift) *)
+let rec sdsubst G d F on F ≝ match F with
+[ SVRef b i ⇒ tri … i d ({b}#i) (↑[i] G) ({b}#(i-1))
+| SAbst b T ⇒ {b}𝛌. (sdsubst G (d+1) T)
+| SAppl b V T ⇒ {b}@ (sdsubst G d V). (sdsubst G d T)
+].
+
+interpretation "relocating substitution for subterms"
+ 'DSubst G d F = (sdsubst G d F).
+
+lemma sdsubst_vref_lt: ∀b,i,d,G. i < d → [d ↙ G] {b}#i = {b}#i.
+normalize /2 width=1/
+qed.
+
+lemma sdsubst_vref_eq: ∀b,i,G. [i ↙ G] {b}#i = ↑[i]G.
+normalize //
+qed.
+
+lemma sdsubst_vref_gt: ∀b,i,d,G. d < i → [d ↙ G] {b}#i = {b}#(i-1).
+normalize /2 width=1/
+qed.
+
+theorem sdsubst_slift_le: ∀h,G,F,d1,d2. d2 ≤ d1 →
+ [d2 ↙ ↑[d1 - d2, h] G] ↑[d1 + 1, h] F = ↑[d1, h] [d2 ↙ G] F.
+#h #G #F elim F -F
+[ #b #i #d1 #d2 #Hd21 elim (lt_or_eq_or_gt i d2) #Hid2
+ [ lapply (lt_to_le_to_lt … Hid2 Hd21) -Hd21 #Hid1
+ >(sdsubst_vref_lt … Hid2) >(slift_vref_lt … Hid1) >slift_vref_lt /2 width=1/
+ | destruct >sdsubst_vref_eq >slift_vref_lt /2 width=1/
+ | >(sdsubst_vref_gt … Hid2) -Hd21 elim (lt_or_ge (i-1) d1) #Hi1d1
+ [ >(slift_vref_lt … Hi1d1) >slift_vref_lt /2 width=1/
+ | lapply (ltn_to_ltO … Hid2) #Hi
+ >(slift_vref_ge … Hi1d1) >slift_vref_ge /2 width=1/ -Hi1d1 >plus_minus // /3 width=1/
+ ]
+ ]
+| normalize #b #T #IHT #d1 #d2 #Hd21
+ lapply (IHT (d1+1) (d2+1) ?) -IHT /2 width=1/
+| normalize #b #V #T #IHV #IHT #d1 #d2 #Hd21
+ >IHV -IHV // >IHT -IHT //
+]
+qed.
+
+theorem sdsubst_slift_be: ∀h,G,F,d1,d2. d1 ≤ d2 → d2 ≤ d1 + h →
+ [d2 ↙ G] ↑[d1, h + 1] F = ↑[d1, h] F.
+#h #G #F elim F -F
+[ #b #i #d1 #d2 #Hd12 #Hd21 elim (lt_or_ge i d1) #Hid1
+ [ lapply (lt_to_le_to_lt … Hid1 Hd12) -Hd12 -Hd21 #Hid2
+ >(slift_vref_lt … Hid1) >(slift_vref_lt … Hid1) /2 width=1/
+ | lapply (transitive_le … (i+h) Hd21 ?) -Hd12 -Hd21 /2 width=1/ #Hd2
+ >(slift_vref_ge … Hid1) >(slift_vref_ge … Hid1) -Hid1
+ >sdsubst_vref_gt // /2 width=1/
+ ]
+| normalize #b #T #IHT #d1 #d2 #Hd12 #Hd21
+ >IHT -IHT // /2 width=1/
+| normalize #b #V #T #IHV #IHT #d1 #d2 #Hd12 #Hd21
+ >IHV -IHV // >IHT -IHT //
+]
+qed.
+
+theorem sdsubst_slift_ge: ∀h,G,F,d1,d2. d1 + h ≤ d2 →
+ [d2 ↙ G] ↑[d1, h] F = ↑[d1, h] [d2 - h ↙ G] F.
+#h #G #F elim F -F
+[ #b #i #d1 #d2 #Hd12 elim (lt_or_eq_or_gt i (d2-h)) #Hid2h
+ [ >(sdsubst_vref_lt … Hid2h) elim (lt_or_ge i d1) #Hid1
+ [ lapply (lt_to_le_to_lt … (d1+h) Hid1 ?) -Hid2h // #Hid1h
+ lapply (lt_to_le_to_lt … Hid1h Hd12) -Hid1h -Hd12 #Hid2
+ >(slift_vref_lt … Hid1) -Hid1 /2 width=1/
+ | >(slift_vref_ge … Hid1) -Hid1 -Hd12 /3 width=1/
+ ]
+ | destruct elim (le_inv_plus_l … Hd12) -Hd12 #Hd12 #Hhd2
+ >sdsubst_vref_eq >slift_vref_ge // >slift_slift_be // <plus_minus_m_m //
+ | elim (le_inv_plus_l … Hd12) -Hd12 #Hd12 #_
+ lapply (le_to_lt_to_lt … Hd12 Hid2h) -Hd12 #Hid1
+ lapply (ltn_to_ltO … Hid2h) #Hi
+ >(sdsubst_vref_gt … Hid2h)
+ >slift_vref_ge /2 width=1/ >slift_vref_ge /2 width=1/ -Hid1
+ >sdsubst_vref_gt /2 width=1/ -Hid2h >plus_minus //
+ ]
+| normalize #b #T #IHT #d1 #d2 #Hd12
+ elim (le_inv_plus_l … Hd12) #_ #Hhd2
+ >IHT -IHT /2 width=1/ <plus_minus //
+| normalize #b #V #T #IHV #IHT #d1 #d2 #Hd12
+ >IHV -IHV // >IHT -IHT //
+]
+qed.
+
+theorem sdsubst_sdsubst_ge: ∀G1,G2,F,d1,d2. d1 ≤ d2 →
+ [d2 ↙ G2] [d1 ↙ G1] F = [d1 ↙ [d2 - d1 ↙ G2] G1] [d2 + 1 ↙ G2] F.
+#G1 #G2 #F elim F -F
+[ #b #i #d1 #d2 #Hd12 elim (lt_or_eq_or_gt i d1) #Hid1
+ [ lapply (lt_to_le_to_lt … Hid1 Hd12) -Hd12 #Hid2
+ >(sdsubst_vref_lt … Hid1) >(sdsubst_vref_lt … Hid2) >sdsubst_vref_lt /2 width=1/
+ | destruct >sdsubst_vref_eq >sdsubst_vref_lt /2 width=1/
+ | >(sdsubst_vref_gt … Hid1) elim (lt_or_eq_or_gt i (d2+1)) #Hid2
+ [ lapply (ltn_to_ltO … Hid1) #Hi
+ >(sdsubst_vref_lt … Hid2) >sdsubst_vref_lt /2 width=1/
+ | destruct /2 width=1/
+ | lapply (le_to_lt_to_lt (d1+1) … Hid2) -Hid1 /2 width=1/ -Hd12 #Hid1
+ >(sdsubst_vref_gt … Hid2) >sdsubst_vref_gt /2 width=1/
+ >sdsubst_vref_gt // /2 width=1/
+ ]
+ ]
+| normalize #b #T #IHT #d1 #d2 #Hd12
+ lapply (IHT (d1+1) (d2+1) ?) -IHT /2 width=1/
+| normalize #b #V #T #IHV #IHT #d1 #d2 #Hd12
+ >IHV -IHV // >IHT -IHT //
+]
+qed.
+
+theorem sdsubst_sdsubst_lt: ∀G1,G2,F,d1,d2. d2 < d1 →
+ [d2 ↙ [d1 - d2 -1 ↙ G1] G2] [d1 ↙ G1] F = [d1 - 1 ↙ G1] [d2 ↙ G2] F.
+#G1 #G2 #F #d1 #d2 #Hd21
+lapply (ltn_to_ltO … Hd21) #Hd1
+>sdsubst_sdsubst_ge in ⊢ (???%); /2 width=1/ <plus_minus_m_m //
+qed.
+
+definition sdsubstable_f_dx: ∀S:Type[0]. (S → ?) → predicate (relation subterms) ≝ λS,f,R.
+ ∀G,F1,F2. R F1 F2 → ∀d. R ([d ↙ (f G)] F1) ([d ↙ (f G)] F2).
+
+lemma lstar_sdsubstable_f_dx: ∀S1,f,S2,R. (∀a. sdsubstable_f_dx S1 f (R a)) →
+ ∀l. sdsubstable_f_dx S1 f (lstar S2 … R l).
+#S1 #f #S2 #R #HR #l #G #F1 #F2 #H
+@(lstar_ind_l … l F1 H) -l -F1 // /3 width=3/
+qed.
+(*
+definition sdsubstable_dx: predicate (relation subterms) ≝ λR.
+ ∀G,F1,F2. R F1 F2 → ∀d. R ([d ↙ G] F1) ([d ↙ G] F2).
+
+definition sdsubstable: predicate (relation subterms) ≝ λR.
+ ∀G1,G2. R G1 G2 → ∀F1,F2. R F1 F2 → ∀d. R ([d ↙ G1] F1) ([d ↙ G2] F2).
+
+lemma star_sdsubstable_dx: ∀R. sdsubstable_dx R → sdsubstable_dx (star … R).
+#R #HR #G #F1 #F2 #H elim H -F2 // /3 width=3/
+qed.
+
+lemma lstar_sdsubstable_dx: ∀S,R. (∀a. sdsubstable_dx (R a)) →
+ ∀l. sdsubstable_dx (lstar S … R l).
+#S #R #HR #l #G #F1 #F2 #H
+@(lstar_ind_l … l F1 H) -l -F1 // /3 width=3/
+qed.
+
+lemma star_sdsubstable: ∀R. reflexive ? R →
+ sdsubstable R → sdsubstable (star … R).
+#R #H1R #H2 #G1 #G2 #H elim H -G2 /3 width=1/ /3 width=5/
+qed.
+*)
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