\ /
V_______________________________________________________________ *)
+include "lambda-delta/substitution/lift_fun.ma".
include "lambda-delta/substitution/lift_weight.ma".
include "lambda-delta/reduction/tpr_main.ma".
+include "lambda-delta/reduction/tpr_ps.ma".
(* CONTEXT-FREE PARALLEL REDUCTION ON TERMS *********************************)
(* Confluence lemmas ********************************************************)
-lemma tpr_conf_sort_sort: ∀k1. ∃∃T0. ⋆k1 ⇒ T0 & ⋆k1 ⇒ T0.
+lemma tpr_conf_sort_sort: ∀k. ∃∃X. ⋆k ⇒ X & ⋆k ⇒ X.
/2/ qed.
-lemma tpr_conf_lref_lref: ∀i1. ∃∃T0. #i1 ⇒ T0 & #i1 ⇒ T0.
+lemma tpr_conf_lref_lref: ∀i. ∃∃X. #i ⇒ X & #i ⇒ X.
/2/ qed.
lemma tpr_conf_bind_bind:
- ∀I1,V11,V12,T11,T12,V22,T22. (
- ∀T1. #T1 < #V11 + #T11 + 1 →
- ∀T3,T4. T1 ⇒ T3 → T1 ⇒ T4 →
- ∃∃T0. T3 ⇒ T0 & T4 ⇒ T0
+ ∀I,V0,V1,T0,T1,V2,T2. (
+ ∀X0:term. #X0 < #V0 + #T0 + 1 →
+ ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
+ ∃∃X. X1 ⇒ X & X2 ⇒ X
) →
- V11 ⇒ V12 → T11 ⇒ T12 →
- V11 ⇒ V22 → T11 ⇒ T22 →
- ∃∃T0. 𝕓{I1} V12. T12 ⇒ T0 & 𝕓{I1} V22. T22 ⇒ T0.
-#I1 #V11 #V12 #T11 #T12 #V22 #T22 #IH #HV1 #HT1 #HV2 #HT2
-elim (IH … HV1 … HV2) -HV1 HV2 // #V #HV1 #HV2
-elim (IH … HT1 … HT2) -HT1 HT2 IH /3 width=5/
+ V0 ⇒ V1 → V0 ⇒ V2 → T0 ⇒ T1 → T0 ⇒ T2 →
+ ∃∃X. 𝕓{I} V1. T1 ⇒ X & 𝕓{I} V2. T2 ⇒ X.
+#I #V0 #V1 #T0 #T1 #V2 #T2 #IH #HV01 #HV02 #HT01 #HT02
+elim (IH … HV01 … HV02) -HV01 HV02 // #V #HV1 #HV2
+elim (IH … HT01 … HT02) -HT01 HT02 IH /3 width=5/
+qed.
+
+lemma tpr_conf_bind_delta:
+ ∀V0,V1,T0,T1,V2,T2,T. (
+ ∀X0:term. #X0 < #V0 + #T0 + 1 →
+ ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
+ ∃∃X. X1 ⇒ X & X2 ⇒ X
+ ) →
+ V0 ⇒ V1 → V0 ⇒ V2 →
+ T0 ⇒ T1 → T0 ⇒ T2 → ⋆. 𝕓{Abbr} V2 ⊢ T2 [O,1] ≫ T →
+ ∃∃X. 𝕓{Abbr} V1. T1 ⇒ X & 𝕓{Abbr} V2. T ⇒ X.
+#V0 #V1 #T0 #T1 #V2 #T2 #T #IH #HV01 #HV02 #HT01 #HT02 #HT2
+elim (IH … HV01 … HV02) -HV01 HV02 // #V #HV1 #HV2
+elim (IH … HT01 … HT02) -HT01 HT02 IH // -V0 T0 #T0 #HT10 #HT20
+elim (tpr_ps_bind … HV2 HT20 … HT2) -HT20 HT2 /3 width=5/
qed.
lemma tpr_conf_bind_zeta:
- ∀V11,V12,T11,T12,T22,T20. (
- ∀T1. #T1 < #V11 + #T11 +1 →
- ∀T3,T4. T1 ⇒ T3 → T1 ⇒ T4 →
- ∃∃T0. T3 ⇒ T0 & T4 ⇒ T0
+ ∀X2,V0,V1,T0,T1,T. (
+ ∀X0:term. #X0 < #V0 + #T0 +1 →
+ ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
+ ∃∃X. X1 ⇒ X & X2 ⇒ X
) →
- V11 ⇒ V12 → T22 ⇒ T20 → T11 ⇒ T12 → ↑[O, 1] T22 ≡ T11 →
- ∃∃T0. 𝕓{Abbr} V12. T12 ⇒ T0 & T20 ⇒ T0.
-#V11 #V12 #T11 #T12 #T22 #T20 #IH #HV112 #HT202 #HT112 #HT
-elim (tpr_inv_lift … HT112 … HT) -HT112 #T #HT12 #HT22
-lapply (tw_lift … HT) -HT #HT
-elim (IH … HT202 … HT22) -HT202 HT22 IH /3/
+ V0 ⇒ V1 → T0 ⇒ T1 → T ⇒ X2 → ↑[O, 1] T ≡ T0 →
+ ∃∃X. 𝕓{Abbr} V1. T1 ⇒ X & X2 ⇒ X.
+#X2 #V0 #V1 #T0 #T1 #T #IH #HV01 #HT01 #HTX2 #HT0
+elim (tpr_inv_lift … HT01 … HT0) -HT01 #U #HUT1 #HTU
+lapply (tw_lift … HT0) -HT0 #HT0
+elim (IH … HTX2 … HTU) -HTX2 HTU IH /3/
qed.
lemma tpr_conf_flat_flat:
- ∀I1,V11,V12,T11,T12,V22,T22. (
- ∀T1. #T1 < #V11 + #T11 + 1 →
- ∀T3,T4. T1 ⇒ T3 → T1 ⇒ T4 →
- ∃∃T0. T3 ⇒ T0 & T4 ⇒ T0
+ ∀I,V0,V1,T0,T1,V2,T2. (
+ ∀X0:term. #X0 < #V0 + #T0 + 1 →
+ ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
+ ∃∃X. X1 ⇒ X & X2 ⇒ X
) →
- V11 ⇒ V12 → T11 ⇒ T12 →
- V11 ⇒ V22 → T11 ⇒ T22 →
- ∃∃T0. 𝕗{I1} V12. T12 ⇒ T0 & 𝕗{I1} V22. T22 ⇒ T0.
-#I1 #V11 #V12 #T11 #T12 #V22 #T22 #IH #HV1 #HT1 #HV2 #HT2
-elim (IH … HV1 … HV2) -HV1 HV2 // #V #HV1 #HV2
-elim (IH … HT1 … HT2) -HT1 HT2 /3 width=5/
+ V0 ⇒ V1 → V0 ⇒ V2 → T0 ⇒ T1 → T0 ⇒ T2 →
+ ∃∃T0. 𝕗{I} V1. T1 ⇒ T0 & 𝕗{I} V2. T2 ⇒ T0.
+#I #V0 #V1 #T0 #T1 #V2 #T2 #IH #HV01 #HV02 #HT01 #HT02
+elim (IH … HV01 … HV02) -HV01 HV02 // #V #HV1 #HV2
+elim (IH … HT01 … HT02) -HT01 HT02 /3 width=5/
qed.
lemma tpr_conf_flat_beta:
- ∀V11,V12,T12,V22,W2,T21,T22. (
- ∀T1. #T1 < #V11 + (#W2 + #T21 + 1) + 1 →
- ∀T3,T4. T1 ⇒ T3 → T1 ⇒ T4 →
- ∃∃T0. T3 ⇒ T0 & T4 ⇒ T0
+ ∀V0,V1,T1,V2,W0,U0,T2. (
+ ∀X0:term. #X0 < #V0 + (#W0 + #U0 + 1) + 1 →
+ ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
+ ∃∃X. X1 ⇒ X & X2 ⇒ X
) →
- V11 ⇒ V12 → V11 ⇒ V22 →
- T21 ⇒ T22 → 𝕓{Abst} W2. T21 ⇒ T12 →
- ∃∃T0. 𝕗{Appl} V12. T12 ⇒ T0 & 𝕓{Abbr} V22. T22 ⇒ T0.
-#V11 #V12 #T12 #V22 #W2 #T21 #T22 #IH #HV1 #HV2 #HT1 #HT2
-elim (tpr_inv_abst1 … HT2) -HT2 #W1 #T1 #HW21 #HT21 #H destruct -T12;
-elim (IH … HV1 … HV2) -HV1 HV2 // #V #HV12 #HV22
-elim (IH … HT21 … HT1) -HT21 HT1 IH /3 width=5/
+ V0 ⇒ V1 → V0 ⇒ V2 →
+ U0 ⇒ T2 → 𝕓{Abst} W0. U0 ⇒ T1 →
+ ∃∃X. 𝕗{Appl} V1. T1 ⇒ X & 𝕓{Abbr} V2. T2 ⇒ X.
+#V0 #V1 #T1 #V2 #W0 #U0 #T2 #IH #HV01 #HV02 #HT02 #H
+elim (tpr_inv_abst1 … H) -H #W1 #U1 #HW01 #HU01 #H destruct -T1;
+elim (IH … HV01 … HV02) -HV01 HV02 // #V #HV1 #HV2
+elim (IH … HT02 … HU01) -HT02 HU01 IH /3 width=5/
qed.
lemma tpr_conf_flat_theta:
- ∀V11,V12,T12,V2,V22,W21,W22,T21,T22. (
- ∀T1. #T1 < #V11 + (#W21 + #T21 + 1) + 1 →
- ∀T3,T4. T1 ⇒ T3 → T1 ⇒ T4 →
- ∃∃T0. T3 ⇒ T0 & T4 ⇒T0
+ ∀V0,V1,T1,V2,V,W0,W2,U0,U2. (
+ ∀X0:term. #X0 < #V0 + (#W0 + #U0 + 1) + 1 →
+ ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
+ ∃∃X. X1 ⇒ X & X2 ⇒ X
) →
- V11 ⇒ V12 → V11 ⇒ V22 → ↑[O,1] V22 ≡ V2 →
- W21 ⇒ W22 → T21 ⇒ T22 → 𝕓{Abbr} W21. T21 ⇒ T12 →
- ∃∃T0. 𝕗{Appl} V12. T12 ⇒ T0 & 𝕓{Abbr} W22. 𝕗{Appl} V2. T22 ⇒T0.
-
-
+ V0 ⇒ V1 → V0 ⇒ V2 → ↑[O,1] V2 ≡ V →
+ W0 ⇒ W2 → U0 ⇒ U2 → 𝕓{Abbr} W0. U0 ⇒ T1 →
+ ∃∃X. 𝕗{Appl} V1. T1 ⇒ X & 𝕓{Abbr} W2. 𝕗{Appl} V. U2 ⇒ X.
+#V0 #V1 #T1 #V2 #V #W0 #W2 #U0 #U2 #IH #HV01 #HV02 #HV2 #HW02 #HU02 #H
+elim (IH … HV01 … HV02) -HV01 HV02 // #VV #HVV1 #HVV2
+elim (lift_total VV 0 1) #VVV #HVV
+lapply (tpr_lift … HVV2 … HV2 … HVV) #HVVV
+elim (tpr_inv_abbr1 … H) -H *
+(* case 1: bind *)
+[ -HV2 HVV2 #WW #UU #HWW0 #HUU0 #H destruct -T1;
+ elim (IH … HW02 … HWW0) -HW02 HWW0 // #W #HW2 #HWW
+ elim (IH … HU02 … HUU0) -HU02 HUU0 IH // #U #HU2 #HUU
+ @ex2_1_intro
+ [2: @tpr_theta [5: @HVV1 |6: @HVV |7:// by {}; (*@HWW*) |8: @HUU |1,2,3,4:skip ]
+ |3: @tpr_bind [ @HW2 | @tpr_flat [ @HVVV | @HU2 ] ]
+ | skip
(* Confluence ***************************************************************)
+lemma tpr_conf_aux:
+ ∀Y0:term. (
+ ∀X0:term. #X0 < #Y0 → ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
+ ∃∃X. X1 ⇒ X & X2 ⇒ X
+ ) →
+ ∀X0,X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 → X0 = Y0 →
+ ∃∃X. X1 ⇒ X & X2 ⇒ X.
+#Y0 #IH #X0 #X1 #X2 * -X0 X1
+[ #k1 #H1 #H2 destruct -Y0;
+ lapply (tpr_inv_sort1 … H1) -H1
+(* case 1: sort, sort *)
+ #H1 destruct -X2 //
+| #i1 #H1 #H2 destruct -Y0;
+ lapply (tpr_inv_lref1 … H1) -H1
+(* case 2: lref, lref *)
+ #H1 destruct -X2 //
+| #I #V0 #V1 #T0 #T1 #HV01 #HT01 #H1 #H2 destruct -Y0;
+ elim (tpr_inv_bind1 … H1) -H1 *
+(* case 3: bind, bind *)
+ [ #V2 #T2 #HV02 #HT02 #H destruct -X2
+ @tpr_conf_bind_bind /2 width=7/ (**) (* /3 width=7/ is too slow *)
+(* case 4: bind, delta *)
+ | #V2 #T2 #T #HV02 #HT02 #HT2 #H1 #H2 destruct -X2 I
+ @tpr_conf_bind_delta /2 width=9/ (**) (* /3 width=9/ is too slow *)
+(* case 5: bind, zeta *)
+ | #T #HT0 #HTX2 #H destruct -I
+ @tpr_conf_bind_zeta /2 width=8/ (**) (* /3 width=8/ is too slow *)
+ ]
+| #I #V0 #V1 #T0 #T1 #HV01 #HT01 #H1 #H2 destruct -Y0;
+ elim (tpr_inv_flat1 … H1) -H1 *
+(* case 6: flat, flat *)
+ [ #V2 #T2 #HV02 #HT02 #H destruct -X2
+ @tpr_conf_flat_flat /2 width=7/ (**) (* /3 width=7/ is too slow *)
+(* case 7: flat, beta *)
+ | #V2 #W #U0 #T2 #HV02 #HT02 #H1 #H2 #H3 destruct -T0 X2 I
+ @tpr_conf_flat_beta /2 width=8/ (**) (* /3 width=8/ is too slow *)
+(* case 8: flat, theta *)
+ | #V2 #V #W0 #W2 #U0 #U2 #HV02 #HW02 #HT02 #HV2 #H1 #H2 #H3 destruct -T0 X2 I
+ //
+theorem tpr_conf: ∀T0,T1,T2. T0 ⇒ T1 → T0 ⇒ T2 →
+ ∃∃T. T1 ⇒ T & T2 ⇒ T.
+#T @(tw_wf_ind … T) -T /3 width=6/
+qed.
+*)
lemma tpr_conf_aux:
∀T. (
∀T1. #T1 < #T → ∀T3,T4. T1 ⇒ T3 → T1 ⇒ T4 →
W21 ⇒ W22 → T21 ⇒ T22 → 𝕓{Abbr} W21. T21 ⇒ T12 →
∃∃T0. 𝕗{Appl} V12. T12 ⇒ T0 & 𝕓{Abbr} W22. 𝕗{Appl} V2. T22 ⇒T0.
-theorem tpr_conf: ∀T,T1,T2. T ⇒ T1 → T ⇒ T2 →
- ∃∃T0. T1 ⇒ T0 & T2 ⇒ T0.
-#T @(tw_wf_ind … T) -T /3 width=8/
-qed.
+lemma tpr_conf_bind_delta:
+ ∀V0,V1,T0,T1,V2,T2,T. (
+ ∀X. #X < #V0 + #T0 + 1 →
+ ∀X1,X2. X0 ⇒ X1 → X0 ⇒ X2 →
+ ∃∃X. X1 ⇒ X & X2⇒X
+ ) →
+ V0 ⇒ V1 → V0 ⇒ V2 →
+ T0 ⇒ T1 → T0 ⇒ T2 → ⋆. 𝕓{Abbr} V2 ⊢ T2 [O,1] ≫ T →
+ ∃∃X. 𝕓{Abbr} V1. T1 ⇒ X & 𝕓{Abbr} V2. T ⇒ X.
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